Симметричное распределение вероятностей

В статистике, А симметричное распределение вероятностей является распределение вероятности -an присвоение вероятностей для возможных возникновений-который не меняется при его функция плотности вероятности или функция вероятности масса будет отражена вокруг вертикальной линии при некотором значении случайной величины, представленной распределением. Эта вертикальная линия является линией симметрии распределения. Таким образом, вероятность оказаться на любом заданном расстоянии по одну сторону от значения, относительно которого имеет место симметрия, такая же, как вероятность оказаться на том же расстоянии по другую сторону от этого значения.

• 1 Формальное определение
• 2 Многомерные распределения
• 3 свойства
• 4 Унимодальный случай
• 5 Неполный список примеров
• 6 Ссылки

Распределение вероятностей называется симметричным тогда и только тогда, когда существует такое значение, что ${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle f (x_ {0} - \ delta) = f (x_ {0} + \ delta)}$ для всех действительных чисел ${\ displaystyle \ delta,}$

где f - функция плотности вероятности, если распределение непрерывно, или функция массы вероятности, если распределение дискретное.

Степень симметрии в смысле зеркальной симметрии может быть оценена количественно для многомерных распределений с хиральным индексом, который принимает значения в интервале [0; 1] и равен нулю тогда и только тогда, когда распределение является зеркально-симметричным. Таким образом, распределение с переменной d определяется как зеркально-симметричное, когда его хиральный индекс равен нулю. Распределение может быть дискретным или непрерывным, и наличие плотности не требуется, но инерция должна быть конечной и отличной от нуля. В одномерном случае этот индекс был предложен как непараметрический тест симметрии.

Для непрерывной симметричной сферической формы Мир М. Али дал следующее определение. Обозначим через класс сферически-симметричных распределений абсолютно непрерывного типа в n-мерном евклидовом пространстве, имеющих совместную плотность формы внутри сферы с центром в начале координат с заданным радиусом, который может быть конечным или бесконечным и нулем в другом месте. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = g (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n } ^ {2})}$

• Медиана и среднее (если она существует) симметричного распределения, как происходит в точке, о которой происходит симметрия.${\ displaystyle x_ {0}}$
• Если симметричное распределение является унимодальным, мода совпадает с медианой и средним значением.
• Все нечетные центральные моменты симметричного распределения равны нулю (если они существуют), потому что при вычислении таких моментов отрицательные члены, возникающие из отрицательных отклонений от точного баланса, положительные члены, возникающие из равных положительных отклонений от.${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$
• Каждая мера асимметрии равна нулю для симметричного распределения.

Следующие распределения симметричны для всех параметризаций. (Многие другие распределения симметричны для определенной параметризации.)

• Распределение арксинусов
• Распределение Бейтса
• Распределение Коши
• Распределение Champernowne
• Непрерывное равномерное распределение
• Вырожденное распределение
• Дискретное равномерное распределение
• Эллиптические распределения
• Гауссово q-распределение
• Обобщенное нормальное распределение
• Гиперболическое распределение с параметром асимметрии, равным нулю
• Распределение гиперболического секанса
• Распределение Ирвина – Холла
• Распределение Лапласа
• Логистическая дистрибуция
• Нормальное распределение
• Нормально-экспоненциально-гамма-распределение
• Распределение Радемахера
• Распределение приподнятого косинуса
• Распределение Стьюдента
• Лямбда-распределение Тьюки
• U-квадратичное распределение
• Распределение фойгта
• распределение фон Мизеса
• Распределение полукруга Вигнера

1. ^ Petitjean, М. (2002). «Хиральные смеси» (PDF). Журнал математической физики. 43 (8): 4147–4157. DOI : 10.1063 / 1.1484559.
2. ^ Петижан, М (2020). «Таблицы квантилей распределения эмпирического хирального индекса в случае единообразного закона и в случае нормального закона». arXiv : 2005.09960 [ stat.ME ].
3. ^ Али, Мир М. (1980). "Характеризация нормального распределения непрерывного симметричного сферического класса". Журнал Королевского статистического общества. Серия Б (Методическая). 42 (2): 162–164. DOI : 10.1111 / j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR   2984955.
4. ^ Деккинг, FM; Kraaikamp, ​​C.; Лопухаа, HP; Мистер, Л. Е. (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание, почему и как. Springer-Verlag London. п. 68. ISBN   978-1-84628-168-6.