Распределение фон Мизеса - von Mises distribution

распределение фон Мизеса

Функция плотности вероятности . Поддержка выбрана как [ −π, π] с μ = 0
Кумулятивная функция распределения . Опора выбрана равной [−π, π] с μ = 0
Параметры	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$реальный. $\kappa >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa>0\}$
Поддержка	$x\; \in \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\}$
любой длины 2 PDF	$е\; \kappa \; соз\; \; (х\; -\; \mu )\; 2\; \pi \; I\; 0\; (\kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; kappa\; \backslash \; cos\; (x-\; \backslash \; mu)\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\}$
CDF	(не аналитический - см. текст)
Среднее	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$
Медиана	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$
Режим	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$
Дисперсия	$var\; (x)\; =\; 1\; -\; I\; 1\; (\kappa )\; /\; I\; 0\; (\kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{var\}\}\; (x)\; =\; 1-I\_\; \{1\}\; (\backslash \; k\; appa)\; /\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}$(круговой)
Энтропия	$-\; \kappa \; I\; 1\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa )\; +\; ln\; \; [2\; \pi \; I\; 0\; (\kappa )]\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; kappa\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{1\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; +\; \backslash \; ln\; [2\; \backslash \; pi\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)]\}$(дифференциал)
CF	$I\; |\; т\; |\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa )\; eit\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{|\; t\; |\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; e\; ^\; \{it\; \backslash \; mu\}\}$

В теории вероятностей и направленной статистике, распределение фон Мизеса (также известное как круговое нормальное распределение или Распределение Тихонова ) - непрерывное распределение вероятностей на окружности. Это близкое приближение к нормальному распределению, которое является круговым аналогом нормального распределения. Свободно распространяющийся угол $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$на окружности представляет собой обернутую нормально распределенную случайную величину с развернутой дисперсией, которая растет линейно во времени. С другой стороны, распределение фон Мизеса - это стационарное распределение процесса дрейфа и диффузии на окружности в гармоническом потенциале, то есть с предпочтительной ориентацией. Распределение фон Мизеса - это распределение максимальной энтропии для круговых данных, когда указаны действительная и мнимая части первого кругового момента. Распределение фон Мизеса является частным случаем распределения фон Мизеса – Фишера на N-мерной сфере.

• 1 Определение
• 2 Моменты
• 3 Ограничивающее поведение
• 4 Оценка параметров
• 5 Распределение среднего
• 6 Энтропия
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература

Функция плотности вероятности фон Мизеса для угла x определяется как:

$f\; (x\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; =\; e\; \kappa \; cos\; \; (x\; -\; \mu )\; 2\; \pi \; I\; 0\; (\kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; kappa\; \backslash \; cos\; (x-\; \backslash \; mu)\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\; I\_\; \{0\; \}\; (\backslash \; kappa)\}\}\}$

где I 0($\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$) - это модифицированная функция Бесселя порядка 0.

Параметры μ и 1 / $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$аналогичны μ и σ (среднее значение и дисперсия) в нормальном распределении:

• μ - мера местоположения ( распределение сгруппировано вокруг μ), а
• $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$- мера концентрации (величина, обратная дисперсии, поэтому 1 / $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$аналогично σ).
  • Если $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$равно нулю, распределение равномерное, а для малых $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$, оно близко к однородному.
  • Если $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$большое, распределение становится очень концентрированным вокруг угла μ с $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$- мера концентрации. Фактически, по мере увеличения $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$распределение приближается к нормальному распределению по x со средним μ и дисперсией 1 / $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$.

Плотность вероятности может быть выражена как серия функций Бесселя

$f\; (x\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; =\; 1\; 2\; \pi \; (1\; +\; 2\; I\; 0\; (\kappa )\; \sum \; j\; =\; 1\; \infty \; I\; j\; (\kappa )\; cos\; \; [j\; (x\; -\; \mu )])\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{I\_\; \{0\})\; (\backslash \; kappa)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; I\_\; \{j\}\; (\backslash \; kappa)\; \backslash \; cos\; [j\; (x-\; \backslash \; mu)]\; \backslash \; right)\}$

где I j (x) - это модифицированная функция Бесселя порядка j.

Кумулятивная функция распределения не является аналитической, и ее лучше всего находить путем интегрирования вышеуказанного ряда. Неопределенный интеграл плотности вероятности:

$\Phi \; (x\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; =\; \int \; f\; (t\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; dt\; =\; 1\; 2\; \pi \; (x\; +\; 2\; I\; 0\; (\kappa )\; \sum \; j\; =\; 1\; \infty \; I\; j\; (\kappa )\; sin\; \; [j\; (x\; -\; \mu )]\; j).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; =\; \backslash \; int\; f\; (t\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; I\_\; \{j\}\; (\backslash \; kappa)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; [j\; (x-\; \backslash \; mu)]\}\; \{j\}\}\; \backslash \; right).\}$

Кумулятивная функция распределения будет функцией нижнего предела интегрирования x 0:

$F\; (x\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; =\; \Phi \; (x\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; -\; \Phi \; (x\; 0\; \mid \; \mu ,\; \kappa ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; =\; \backslash \; Phi\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; -\; \backslash \; Phi\; (x\_\; \{0\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa).\; \backslash ,\}$

Моменты распределения фон Мизеса обычно вычисляются как моменты комплексной экспоненты z = e, а не как угол x. Эти моменты называются круговыми моментами. Дисперсия, рассчитанная по этим моментам, называется круговой дисперсией. Единственным исключением из этого правила является то, что «среднее» обычно относится к аргументу комплексного среднего.

n-й необработанный момент z равен:

$mn\; =\; ⟨zn⟩\; =\; \int \; \Gamma \; znf\; (x\; |\; \mu ,\; \kappa )\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; langle\; z\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; z\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; f\; (x\; |\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; \backslash ,\; dx\}$

$=\; I\; |\; п\; |\; (\kappa )\; я\; 0\; (\kappa )\; ein\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{|\; n\; |\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; e\; ^\; \{in\; \backslash \; mu\}\}$

, где интеграл берется по любому интервалу $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$длины 2π. При вычислении указанного выше интеграла мы используем тот факт, что z = cos (nx) + i sin (nx) и тождество функции Бесселя:

$I\; n\; (\kappa )\; =\; 1\; \pi \; \int \; 0\; \pi \; e\; \kappa \; cos\; \; (x)\; cos\; \; (nx)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{n\}\; (\backslash \; kappa)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; e\; ^\; \{\backslash \; kappa\; \backslash \; cos\; (x)\}\; \backslash \; cos\; (nx)\; \backslash ,\; dx.\}$

Тогда среднее значение комплексной экспоненты z равно

$m\; 1\; =\; I\; 1\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa )\; ei\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{\; 1\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mu\}\}$

, и тогда в качестве аргумента μ принимается круговое среднее значение угла x. Это ожидаемое или предпочтительное направление угловых случайных величин. Дисперсия z, или круговая дисперсия x:

$var\; (x)\; =\; 1\; -\; E\; [cos\; \; (x\; -\; \mu )]\; =\; 1\; -\; I\; 1\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{var\}\}\; (x)\; =\; 1-E\; [\backslash \; cos\; (x-\; \backslash \; mu)]\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{1\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; каппа)\}\}.\}$

Когда $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$велико, распределение напоминает нормальное распределение. В частности, для больших положительных действительных чисел $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$,

$f\; (x\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; \approx \; 1\; \sigma \; 2\; \pi \; exp\; \; [-\; (x\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; е\; (х\; \backslash \; середина\; \backslash \; му,\; \backslash \; каппа)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; dfrac\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

где σ = 1 / $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$и разница между левой рукой сторона и правая часть аппроксимации сходятся равномерно к нулю, поскольку $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$стремится к бесконечности. Кроме того, когда $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$мало, функция плотности вероятности напоминает равномерное распределение :

$lim\; \kappa \; \to \; 0\; f\; (x\; \mid \; \mu ,\; \kappa )\; =\; U\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; kappa\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (x)\}$

где интервал для равномерного распределения $U\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (x)\}$- выбранный интервал длины $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$(т.е. $U\; (x)\; =\; 1\; /\; (2\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (x)\; =\; 1\; /\; (2\; \backslash \; pi)\}$, когда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$находится в интервале и $U\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (x)\; =\; 0\}$, когда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$не входит в интервал).

Серия из N измерений $zn\; =\; ei\; \theta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{n\}\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\}\}$, полученный из распределения фон Мизеса, можно использовать для оценки определенных параметров распределения. (Borradaile, 2003) Среднее значение ряда $z\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}$определяется как

$z\; ¯\; =\; 1\; N\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; zn\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; z\_\; \{n\}\}$

и его математическое ожидание будет только первым моментом :

$⟨z\; ¯⟩\; =\; I\; 1\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa )\; ei\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{1\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mu\}.\}$

Другими словами, $z\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\}$- это несмещенная оценка первого момента. Если предположить, что среднее значение $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$лежит в интервале $[-\; \pi ,\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-\; \backslash \; pi,\; \backslash \; pi]\}$, тогда Arg $(z\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; overline\; \{z\}\})\}$будет (смещенной) оценкой среднего $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$.

При просмотре $zn\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{n\}\}$как набора векторов в комплексной плоскости $R\; ¯\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{R\; \}\}\; ^\; \{2\}\}$статистика - это квадрат длины усредненного вектора:

$R\; ¯\; 2\; =\; z\; ¯\; z\; \ast \; ¯\; =\; (1\; N\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; cos\; \; \theta \; n)\; 2\; +\; (1\; N\; \sum \; N\; =\; 1\; N\; грех\; \; \theta \; n)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; overline\; \{z\; ^\; \{*\}\; \}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

и его математическое ожидание:

$⟨R\; ¯\; 2⟩\; знак\; равно\; 1\; N\; +\; N\; -\; 1\; NI\; 1\; (\kappa )\; 2\; I\; 0\; (\kappa )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{N-1\}\; \{N\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{\; 1\}\; (\backslash \; kappa)\; ^\; \{2\}\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Другими словами, статистика

$R\; e\; 2\; =\; NN\; -\; 1\; (R\; ¯\; 2–1\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\}\; \{N-1\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right)\}$

будет несмещенной оценкой $I\; 1\; (\kappa )\; 2\; I\; 0\; (\kappa )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{1\}\; (\backslash \; kappa)\; ^\; \{2\; \}\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\}$и решение уравнения $R\; e\; =\; I\; 1\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{e\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{1\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; \backslash ,\}$для $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \backslash ,\}$даст (смещенную) оценку $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \backslash ,\}$. По аналогии с линейным случаем, решение уравнения $R\; ¯\; =\; I\; 1\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{1\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\; \backslash ,\}$даст оценку максимального правдоподобия из $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \backslash ,\}$и оба будут равны в пределах большого N. Для приближенного решения $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \backslash ,\}$обратитесь к распределению фон Мизеса – Фишера.

Распределение среднего выборочного $z\; ¯\; =\; R\; ¯\; ei\; \theta \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\; \}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$для распределения фон Мизеса определяется как:

$P\; (R\; ¯,\; \theta \; ¯)\; d\; R\; ¯\; d\; \theta \; ¯\; =\; 1\; (\; 2\; \pi \; I\; 0\; (\kappa ))\; N\; \int \; \Gamma \; \prod \; n\; =\; 1\; N\; (e\; \kappa \; cos\; \; (\theta \; n\; -\; \mu )\; d\; \theta \; n)\; =\; e\; \kappa \; NR\; ¯\; cos\; \; (\theta \; ¯\; -\; \mu )\; I\; 0\; (\kappa )\; N\; (1\; (2\; \pi )\; N\; \int \; \Gamma \; \prod \; N\; =\; 1\; N\; d\; \theta \; N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (\{\backslash \; bar\; \{R\}\},\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; theta\}\})\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa))\; ^\; \{N\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{\backslash \; k\; appa\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; mu)\}\; d\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; kappa\; N\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; bar\; \{\; \backslash \; theta\}\}\; -\; \backslash \; mu)\}\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\; ^\; \{N\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{N\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; \backslash \; Gamma\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; d\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$

где N - количество измерений, а $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash ,\}$состоит из интервалов $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$в переменных, при условии, что $R\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\; \}\}$и $\theta \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; theta\}\}\}$являются постоянными, где $R\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\; \}\}$- результат среднего:

$R\; ¯\; 2\; =\; |\; z\; ¯\; |\; 2\; знак\; равно\; (1\; N\; \sum \; N\; =\; 1\; N\; соз\; \; (\theta \; N))\; 2\; +\; (1\; N\; \sum \; N\; =\; 1\; N\; грех\; \; (\theta \; n))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; |\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; \_\; \{n\})\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta\; \_\; \{n\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

и $\theta \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; theta\}\}\}$- средний угол:

$\theta \; ¯\; =\; A\; rg\; (z\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Arg\}\; (\{\backslash \; overline\; \{z\}\}).\; \backslash ,\}$

Обратите внимание, что термин продукта в круглых скобках представляет собой просто распределение среднего для круговое равномерное распределение.

Это означает, что распределение среднего направления $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$распределения фон Мизеса $VM\; (\mu ,\; \kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; VM\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\}$- распределение фон Мизеса $VM\; (\mu ,\; R\; ¯\; N\; \kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; VM\; (\backslash \; mu,\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; N\; \backslash \; kappa)\; \}$, или, что то же самое, $VM\; (\mu ,\; R\; \kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; VM\; (\backslash \; mu,\; R\; \backslash \; kappa)\}$.

По определению, информационная энтропия распределения фон Мизеса равна

$H\; =\; -\; \int \; \Gamma \; f\; (\theta ;\; \mu ,\; \kappa )\; ln\; \; (f\; (\theta ;\; \mu ,\; \kappa ))\; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; f\; (\backslash \; theta;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; \backslash ,\; \backslash \; ln\; (f\; (\backslash \; theta;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa))\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

где $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$- любой интервал длины $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$. Логарифм плотности распределения Фон Мизеса прост:

$ln\; \; (f\; (\theta ;\; \mu ,\; \kappa ))\; =\; -\; ln\; \; (2\; \pi \; I\; 0\; (\kappa ))\; +\; \kappa \; cos\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (е\; (\backslash \; theta;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa))\; =\; -\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa))\; +\; \backslash \; kappa\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\}$

характеристика Функциональное представление для распределения Фон Мизеса:

$f\; (\theta ;\; \mu ,\; \kappa )\; =\; 1\; 2\; \pi \; (1\; +\; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \varphi \; n\; cos\; \; (n\; \theta ))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; theta;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; kappa)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; cos\; (n\; \backslash \; theta)\; \backslash \; right)\}$

где $\varphi \; n\; =\; I\; |\; п\; |\; (\kappa )\; /\; я\; 0\; (\kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{n\}\; =\; I\_\; \{|\; n\; |\}\; (\backslash \; kappa)\; /\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}$. Подставляя эти выражения в интеграл энтропии, меняя порядок интегрирования и суммирования и используя ортогональность косинусов, энтропию можно записать:

$H\; =\; ln\; \; (2\; \pi \; I\; 0\; (\kappa ))\; -\; \kappa \; \varphi \; 1\; знак\; равно\; пер\; \; (2\; \pi \; I\; 0\; (\kappa ))\; -\; \kappa \; I\; 1\; (\kappa )\; I\; 0\; (\kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa))\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi\; I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa))\; -\; \backslash \; kappa\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{1\}\; (\backslash \; kappa)\}\; \{I\_\; \{0\}\; (\backslash \; kappa)\}\}\}$

Для $\kappa \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; =\; 0\}$распределение фон Мизеса становится круговым равномерным распределением, а энтропия достигает максимального значения $ln\; \; (2\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi)\}$.

Обратите внимание, что распределение Фон Мизеса максимизирует энтропию, когда действительная и мнимая части первого кругового момента указаны или, что то же самое, круговое среднее и круговое отклонение.

• Двумерное распределение фон Мизеса
• Направленная статистика
• Распределение Фон Мизеса – Фишера
• Распределение Кента

1. ^Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера – Планка. Springer. ISBN 978-3-540-61530-9.
2. ^ Мардиа, Кантилал ; Джапп, Питер Э. (1999). Направленная статистика. Вайли. ISBN 978-0-471-95333-3.
3. ^см. Абрамовиц и Стегун §9.6.34
4. ^См. Абрамовиц и Стегун §9.6.19
5. ^ Джаммаламадака, С. Рао; Сенгупта, А. (2001). Темы в циркулярной статистике. Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-02-3778-3.
6. ^Джаммаламадака, С. Рао; СенГупта, А. (2001). Темы циркулярной статистики. Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 981-02-3778-2. Проверено 15 мая 2011 г.

• Абрамовиц, М. и Стегун, И.А. (ред.), Справочник по математическим функциям, Национальное бюро стандартов, 1964; перепечатано Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4
• «Алгоритм AS 86: функция распределения фон Мизеса», Mardia, Applied Statistics, 24, 1975 ( pp. 268–272).
• «Алгоритм 518, Неполная функция Бесселя I0: Распределение фон Мизеса», Hill, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 3, № 3, сентябрь 1977 г., страницы 279–284.
• Бест, Д. и Фишер, Н. (1979). Эффективное моделирование распределения фон Мизеса. Прикладная статистика, 28, 152–157.
• Эванс, М., Гастингс, Н., и Пикок, Б., «Распределение фон Мизеса». Гл. 41 в статистических распределениях, 3-е изд. Нью-Йорк. Wiley 2000.
• Фишер, Николас И., Статистический анализ циркулярных данных. Нью-Йорк. Кембридж 1993.
• «Статистические распределения», 2-е. Edition, Evans, Hastings, and Peacock, John Wiley and Sons, 1993, (глава 39). ISBN 0-471-55951-2
• Borradaile, Graham (2003). Статистика данных наук о Земле. Springer. ISBN 978-3-540-43603-4. Проверено 31 декабря 2009 г.