Нормальное распределение в оболочке

редактировать

Обернутый нормальный
Функция плотности вероятности . Поддержка выбирается равной [-π, π] с μ = 0
Кумулятивная функция распределения . поддержка выбрана равной [-π, π] с μ = 0
Параметры	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ real. $σ>0 {\ displaystyle \ sigma>0}$ $\sigma>0$
Поддержка	$θ ∈ {\ displaystyle \ theta \ in}$ $\ тета \ в$ любой интервал длиной 2π
PDF	$1 2 π ϑ (θ - μ 2 π, i σ 2 2 π) {\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ vartheta \ left ({\ frac {\ theta - \ mu} {2 \ pi}}, {\ frac {i \ sigma ^ {2}} {2 \ pi}} \ right)}$ ${\ frac {1} {2 \ pi} } \ vartheta \ left ({\ frac {\ theta - \ mu} {2 \ pi}}, {\ frac {i \ sigma ^ {2}} {2 \ pi}} \ right)$
Среднее	$μ { \ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , если поддержка находится в интервале $μ ± π {\ displaystyle \ mu \ pm \ pi}$ ${\ displaystyle \ mu \ pm \ pi}$
Median	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ если поддержка находится в интервале $μ ± π {\ displaystyle \ mu \ pm \ pi}$ ${\ displaystyle \ mu \ pm \ pi}$
Mode	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$
Дисперсия	$1 - e - σ 2 / 2 {\ displaystyle 1-e ^ {- \ sigma ^ {2} / 2}}$ $1-e ^ {- \ sigma ^ {2 } / 2}$ (круговой)
Энтропия	(см. Текст)
CF	$e - σ 2 n 2 / 2 + в μ {\ displaystyle e ^ {- \ sigma ^ {2} n ^ {2} / 2 + in \ mu}}$ $e ^ {- \ sigma ^ {2} n ^ {2} / 2 + in \ mu}$

В теории вероятностей и направленной статистике, обернутое нормальное распределение - это обернутое распределение вероятностей, которое является результатом «обертывания» нормального распределения вокруг единичной окружности. Он находит применение в теории броуновского движения и является решением уравнения теплопроводности для периодических граничных условий. Это близко аппроксимируется распределением фон Мизеса, которое, благодаря своей математической простоте и управляемости, является наиболее часто используемым распределением в направленной статистике.

Содержание

1 Определение
2 Моменты
3 Оценка параметров
4 Энтропия
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Определение

функция плотности вероятности обернутое нормальное распределение имеет вид

f WN (θ; μ, σ) = 1 σ 2 π ∑ k = - ∞ ∞ exp ⁡ [- (θ - μ + 2 π k) 2 2 σ 2], {\ displaystyle f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left [{\ frac {- (\ theta - \ mu +2 \ pi k) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right],}

{\ displaystyle f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left [{\ frac {- (\ theta - \ mu + 2 \ pi k) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right],}

где μ и σ среднее и стандартное отклонение развернутого распределения соответственно. Выражая вышеуказанную функцию плотности через характеристическую функцию нормального распределения, получаем:

f WN (θ; μ, σ) = 1 2 π ∑ n = - ∞ ∞ е - σ 2 N 2/2 + в (θ - μ) знак равно 1 2 π ϑ (θ - μ 2 π, я σ 2 2 π), {\ displaystyle f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ sigma ^ {2} n ^ {2} / 2 + in ( \ theta - \ mu)} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ vartheta \ left ({\ frac {\ theta - \ mu} {2 \ pi}}, {\ frac {i \ sigma ^ {2}} {2 \ pi}} \ right),}

f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1 } {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ sigma ^ {2} n ^ {2} / 2 + in (\ theta - \ mu)} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ vartheta \ left ({\ frac {\ theta - \ mu} {2 \ pi}}, {\ frac {i \ sigma ^ {2}} {2 \ pi }} \ right),

где $ϑ (θ, τ) {\ displaystyle \ vartheta (\ theta, \ tau)}$ $\ vartheta (\ theta, \ tau)$ - это тета-функция Якоби, задаваемая

ϑ (θ, τ) = ∑ n = - ∞ ∞ (w 2) nqn 2, где w ≡ ei π θ {\ displaystyle \ vartheta (\ theta, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} {\ text {where}} w \ Equiv e ^ { i \ pi \ theta}}

\ vartheta (\ theta, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} {\ text {где }} вес \ экв е ^ {я \ пи \ тета}

q ≡ ei π τ. {\ displaystyle q \ Equiv e ^ {i \ pi \ tau}.}

q \ Equiv e ^ {i \ pi \ tau}.

Обернутое нормальное распределение также может быть выражено через тройное произведение Якоби :

f WN (θ; μ, σ) = 1 2 π ∏ n знак равно 1 ∞ (1 - qn) (1 + qn - 1/2 z) (1 + qn - 1/2 / z). {\ displaystyle f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {n }) (1 + q ^ {n-1/2} z) (1 + q ^ {n-1/2} / z).}

f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {n}) (1 + q ^ {n-1/2} z) (1 + q ^ {n-1/2} / z).

где $z = ei (θ - μ) {\ displaystyle z = e ^ {i (\ theta - \ mu)} \,}$ $z = e ^ {i (\ theta - \ mu)} \,$ и $q = e - σ 2. {\ displaystyle q = e ^ {- \ sigma ^ {2}}.}$ $q = e ^ {- \ сигма ^ {2}}.$

Моменты

в терминах круговой переменной $z = ei θ {\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}$ $z = e ^ {я \ theta}$ круговые моменты свернутого нормального распределения являются характеристической функцией нормального распределения, вычисляемого при целочисленных аргументах:

⟨zn⟩ = ∫ Γ ein θ f WN (θ; μ, σ) d θ = ein μ - n 2 σ 2/2. {\ displaystyle \ langle z ^ {n} \ rangle = \ int _ {\ Gamma} e ^ {in \ theta} \, f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) \, d \ theta = e ^ {in \ mu -n ^ {2} \ sigma ^ {2} / 2}.}

\ langle z ^ {n} \ rangle = \ int _ {\ Gamma} e ^ {in \ theta} \, f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) \, d \ theta = e ^ {in \ mu -n ^ {2} \ sigma ^ {2} / 2}.

где $Γ {\ displaystyle \ Gamma \,}$ $\ Gamma \,$ - некоторый интервал длины $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ . Тогда первый момент - это среднее значение z, также известное как среднее результирующее, или средний результирующий вектор:

⟨z⟩ = ei μ - σ 2/2 {\ displaystyle \ langle z \ rangle = e ^ {i \ mu - \ sigma ^ {2} / 2}}

\ langle z \ rangle = e ^ {i \ mu - \ sigma ^ {2} / 2}

Средний угол равен

θ μ = A rg ⟨z⟩ = μ {\ displaystyle \ theta _ {\ mu} = \ mathrm {Arg} \ langle z \ rangle = \ mu}

\ theta _ {\ mu} = \ mathrm {Arg} \ langle z \ rangle = \ mu

, а длина среднего результата равна

R = | ⟨Z⟩ | = e - σ 2/2 {\ displaystyle R = | \ langle z \ rangle | = e ^ {- \ sigma ^ {2} / 2}}

R = | \ langle z \ rangle | = e ^ {- \ sigma ^ {2} / 2}

Круговое стандартное отклонение, которое является полезной мерой дисперсии для обернутое нормальное распределение и его близкий родственник распределение фон Мизеса задается следующим образом:

s = ln ⁡ (R - 2) 1/2 = σ {\ displaystyle s = \ ln (R ^ {-2}) ^ {1/2} = \ sigma}

{ \ displaystyle s = \ ln (R ^ {- 2}) ^ {1/2} = \ sigma}

Оценка параметров

Может быть получена серия из N измерений z n = e, полученных из свернутого нормального распределения. используется для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение ряда z определяется как

z ¯ = 1 N ∑ n = 1 N zn {\ displaystyle {\ overline {z}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}

{\ overline {z}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}

и его математическое ожидание будет только первым моментом:

⟨z ¯⟩ = ei μ - σ 2/2. {\ displaystyle \ langle {\ overline {z}} \ rangle = e ^ {i \ mu - \ sigma ^ {2} / 2}. \,}

{\ displaystyle \ langle {\ overline {z}} \ rangle = e ^ { я \ му - \ sigma ^ {2} / 2}. \,}

Другими словами, z - это несмещенная оценка первого момент. Если мы предположим, что среднее μ лежит в интервале [−π, π), то Arg z будет (смещенной) оценкой среднего μ.

Если рассматривать z n как набор векторов в комплексной плоскости, статистика R представляет собой квадрат длины усредненного вектора:

R ¯ 2 = z ¯ z ∗ ¯ знак равно (1 N ∑ N = 1 N соз ⁡ θ N) 2 + (1 N ∑ N = 1 N грех ⁡ θ n) 2 {\ displaystyle {\ overline {R}} ^ {2} = {\ overline {z}} \, {\ overline {z ^ {*}}} = \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ cos \ theta _ {n } \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ sin \ theta _ {n} \ right) ^ {2} \,}

{\ displaystyle {\ overline {R} } ^ {2} = {\ overline {z}} \, {\ overline {z ^ {*}}} = \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ { N} \ cos \ theta _ {n} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ sin \ theta _ {n } \ right) ^ {2} \,}

и его ожидаемое значение:

⟨R ¯ 2⟩ = 1 N + N - 1 N e - σ 2 {\ displaystyle \ left \ langle {\ overline {R}} ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {1} {N}} + {\ frac {N-1} {N}} \, e ^ {- \ sigma ^ {2}} \,}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ overline {R}} ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {1} {N}} + {\ frac {N-1} { N}} \, e ^ {- \ sigma ^ {2}} \,}

Другими словами, статистика

R e 2 = NN - 1 (R ¯ 2 - 1 N) {\ displaystyle R_ {e} ^ {2} = {\ frac {N} {N-1}} \ left ({\ overline {R}} ^ {2} - {\ frac {1} {N}} \ right)}

{\ displaystyle R_ {e} ^ {2} = {\ frac {N} {N-1}} \ left ({\ overline {R}} ^ {2} - {\ frac {1} {N}} \ right)}

будет несмещенной оценкой e, а ln (1 / R e) будет (смещенная) оценка σ

энтропии

информационная энтропия свернутого нормального распределения определяется как:

H = - ∫ Γ f W N (θ; μ, σ) пер ⁡ (е WN (θ; μ, σ)) d θ {\ Displaystyle H = - \ int _ {\ Gamma} f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) \, \ ln (f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma)) \, d \ theta}

{\ Displaystyle H = - \ int _ {\ Gamma} f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) \, \ ln (f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma)) \, d \ theta}

где $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ - любой интервал длины $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ . Определение $z = ei (θ - μ) {\ displaystyle z = e ^ {i (\ theta - \ mu)}}$ ${\ displaystyle z = e ^ {i ( \ theta - \ mu)}}$ и $q = e - σ 2 {\ displaystyle q = e ^ {- \ sigma ^ {2}}}$ ${\ displaystyle q = e ^ {- \ sigma ^ {2}}}$ , представление тройного произведения Якоби для обернутой нормали:

f WN (θ; μ, σ) = ϕ (q) 2 π ∏ м знак равно 1 ∞ (1 + qm - 1/2 z) (1 + qm - 1/2 z - 1) {\ displaystyle f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {\ phi (q)} {2 \ pi}} \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} (1 + q ^ {m-1/2} z) (1 + q ^ { m-1/2} z ^ {- 1})}

{\ displaystyle f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {\ phi (q)} {2 \ pi}} \ prod _ {m = 1 } ^ {\ infty} (1 + q ^ {m-1/2} z) (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {- 1})}

где $ϕ (q) {\ displaystyle \ phi (q) \,}$ ${\ displaystyle \ phi (q) \,}$ - функция Эйлера. Логарифм плотности свернутого нормального распределения можно записать:

ln ⁡ (f WN (θ; μ, σ)) = ln ⁡ (ϕ (q) 2 π) + ∑ m = 1 ∞ ln ⁡ ( 1 + qm - 1/2 z) + ∑ м знак равно 1 ∞ пер ⁡ (1 + qm - 1/2 z - 1) {\ displaystyle \ ln (f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma)) = \ ln \ left ({\ frac {\ phi (q)} {2 \ pi}} \ right) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ ln (1 + q ^ {m-1 / 2} z) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ ln (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {- 1})}

{\ displaystyle \ ln (f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma)) = \ ln \ left ({\ frac {\ phi (q)} {2 \ pi}} \ right) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ ln (1 + q ^ {m- 1/2} z) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ ln (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {- 1})}

Использование разложения в ряд для логарифм:

ln ⁡ (1 + x) = - ∑ k = 1 ∞ (- 1) kkxk {\ displaystyle \ ln (1 + x) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \, x ^ {k}}

{\ displaystyle \ ln (1 + x) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \, x ^ {k}}

логарифмические суммы могут быть записаны как:

∑ m = 1 ∞ ln ⁡ (1 + qm - 1/2 z ± 1) = - ∑ m = 1 ∞ ∑ k = 1 ∞ (- 1) kkqmk - k / 2 z ± k = - k = 1 ∞ (- 1) kkqk / 2 1 - qkz ± k {\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ ln (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {\ pm 1}) = - \ sum _ {m = 1} ^ { \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \, q ^ {mk-k / 2} z ^ {\ pm k } = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \, {\ frac {q ^ {k / 2}} {1- q ^ {k}}} \, z ^ {\ pm k}}

{\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ ln (1 + q ^ {m-1/2} z ^ {\ pm 1}) = - \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \, q ^ {mk-k / 2} z ^ {\ pm k} = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \, {\ frac {q ^ { k / 2}} {1-q ^ {k}}} \, z ^ {\ pm k}}

, так что логарифм плотности свернутого нормального распределения можно записать как:

ln ⁡ (f W N (θ; μ, σ)) знак равно пер ⁡ (ϕ (q) 2 π) - ∑ K = 1 ∞ (- 1) kkqk / 2 1 - qk (zk + z - k) {\ displaystyle \ ln (f_ {WN} ( \ theta; \ mu, \ sigma)) = \ ln \ left ({\ frac {\ phi (q)} {2 \ pi}} \ right) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {k}} {k}} {\ frac {q ^ {k / 2}} {1-q ^ {k}}} \, (z ^ {k} + z ^ { -k})}

{\ displaystyle \ ln (f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma)) = \ ln \ left ({\ frac {\ phi (q) } {2 \ pi}} \ right) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} {\ frac {q ^ {k / 2}} {1-q ^ {k}}} \, (z ^ {k} + z ^ {- k})}

, который по существу является рядом Фурье в $θ {\ displaystyle \ theta \,}$ $\ theta \,$ . Используя представление характеристической функции для свернутого нормального распределения в левой части интеграла:

f WN (θ; μ, σ) = 1 2 π ∑ n = - ∞ ∞ qn 2/2 zn {\ displaystyle f_ { WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2} / 2 } \, z ^ {n}}

{\ displaystyle f_ {WN} (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2} / 2} \, z ^ {n}}

энтропия может быть записана:

H = - ln ⁡ (ϕ (q) 2 π) + 1 2 π ∫ Γ (∑ n = - ∞ ∞ ∑ k = 1 ∞ (- 1) kkq (n 2 + к) / 2 1 - qk (zn + k + zn - k)) d θ {\ displaystyle H = - \ ln \ left ({\ frac {\ phi (q) } {2 \ pi}} \ right) + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ Gamma} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} {\ frac {q ^ {(n ^ {2} + k) / 2}} {1 -q ^ ​​{k}}} \ left (z ^ {n + k} + z ^ {nk} \ right) \ right) \, d \ theta}

{\ displaystyle H = - \ ln \ left ({\ frac {\ phi (q)} {2 \ pi}} \ right) + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ Gamma} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} {\ frac {q ^ {(n ^ {2} + k) / 2}} {1-q ^ {k}}} \ left (z ^ {n + k} + z ^ {nk} \ right) \ right) \, d \ theta}

, которые могут быть интегрированы для получения:

H Знак равно - пер ⁡ (ϕ (q) 2 π) + 2 ∑ k = 1 ∞ (- 1) kkq (k 2 + k) / 2 1 - qk {\ displaystyle H = - \ ln \ left ({\ frac { \ phi (q)} {2 \ pi}} \ right) +2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \, { \ frac {q ^ {(k ^ {2} + k) / 2}} {1-q ^ {k}}}}

{\ displaystyle H = - \ ln \ left ( {\ frac {\ phi (q)} {2 \ pi}} \ right) +2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k} } \, {\ frac {q ^ {(k ^ {2} + k) / 2}} {1-q ^ {k}}}}

См. также

Ссылки

^Collett, D.; Льюис, Т. (1981). «Различение между распределениями фон Мизеса и обернутыми нормальными распределениями». Австралийский статистический журнал. 23 (1): 73–79. doi : 10.1111 / j.1467-842X.1981.tb00763.x.
^ Мардиа, Кантилал ; Джапп, Питер Э. (1999). Направленная статистика. Вайли. ISBN 978-0-471-95333-3. Проверено 19 июля 2011 г.
^Whittaker, E.T. ; Уотсон, Г. Н. (2009). Курс современного анализа. Книга Джунгли. ISBN 978-1-4385-2815-1.

Borradaile, Graham (2003). Статистика данных наук о Земле. Springer. ISBN 978-3-540-43603-4. Проверено 31 декабря 2009 г.
Фишер Н. И. (1996). Статистический анализ циркулярных данных. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-56890-6. Проверено 9 февраля 2010 г.
Брайтенбергер, Эрнст (1963). «Аналоги нормального распределения на окружности и сфере». Биометрика. 50 : 81. doi : 10.2307 / 2333749.

Внешние ссылки

Математика и статистика круговых значений с помощью C ++ 11, A C ++ 11 инфраструктура для круговых значений (углы, время суток и т. Д.), Математика и статистика