Распределение приподнятого косинуса

Приведенный косинус

Функция плотности вероятности .
Кумулятивная функция распределения .
Параметры	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$(реальный ). $s>0\; \{\backslash \; displaystyle\; s>0\; \backslash ,\}$(реальный )
Поддержка	$x\; \in \; [\mu \; -\; s,\; \mu \; +\; s]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [\backslash \; mu\; -s,\; \backslash \; mu\; +\; s]\; \backslash ,\}$
PDF	$1\; 2\; s\; [1\; +\; cos\; \; (x\; -\; \mu \; s\; \pi )]\; =\; 1\; s\; hvc\; \; (x\; -\; \mu \; s\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2s\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{hvc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$
CDF	$1\; 2\; [1\; +\; Икс\; -\; \mu \; s\; +\; 1\; \pi \; грех\; \; (Икс\; -\; \mu \; s\; \pi )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$
Среднее	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$
медиана	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$
Режим	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$
Дисперсия	$s\; 2\; (1\; 3\; -\; 2\; \pi \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$
Асимметрия	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash ,\}$
Пример. эксцесс	$6\; (90\; -\; \pi \; 4)\; 5\; (\pi \; 2-6)\; 2\; =\; -\; 0,59376\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{6\; (90-\; \backslash \; pi\; ^\; \{4\})\}\; \{5\; (\backslash \; pi\; ^\; \{2\; \}\; -6)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; 0,59376\; \backslash \; ldots\; \backslash ,\}$
MGF	$\pi \; 2\; sinh\; \; (st)\; st\; (\pi \; 2\; +\; s\; 2\; t\; 2)\; e\; \mu \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sinh\; (st)\}\; \{st\; (\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; +\; s\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{\backslash \; mu\; t\}\}$
CF	$\pi \; 2\; грех\; \; (st)\; st\; (\pi \; 2\; -\; s\; 2\; t\; 2)\; ei\; \mu \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; (st)\}\; \{st\; (\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; -s\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mu\; t\}\}$

В теории вероятностей и статистике приподнятый косинус распределение - это непрерывное распределение вероятностей , поддерживаемое на интервале $[\mu \; -\; s,\; \mu \; +\; s]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mu\; -s,\; \backslash \; mu\; +\; s\; ]\}$. Функция плотности вероятности (PDF) равна

$f\; (x;\; \mu ,\; s)\; =\; 1\; 2\; s\; [1\; +\; cos\; \; (x\; -\; \mu \; s\; \pi )]\; =\; 1\; s\; hvc\; \; (x\; -\; \mu \; s\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x;\; \backslash \; mu,\; s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2s\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\})\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{hvc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

для $\mu \; -\; s\; \le \; x\; \le \; \mu \; +\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; -s\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; +\; s\}$и ноль в противном случае. Кумулятивная функция распределения (CDF):

$F\; (x;\; \mu ,\; s)\; =\; 1\; 2\; [1\; +\; x\; -\; \mu \; s\; +\; 1\; \pi \; sin\; \; (x\; -\; \mu \; s\; \pi )]\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x;\; \backslash \; mu,\; s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{s\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

для $\mu \; -\; s\; \le \; x\; \le \; \mu \; +\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; -s\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; +\; s\}$и ноль для и единица для $x>\mu \; +\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; x>\backslash \; mu\; +\; s\}$.

моменты распределения приподнятого косинуса несколько сложны в общем случае, но значительно упрощены для стандартного распределения приподнятого косинуса. Стандартное распределение приподнятого косинуса - это просто распределение приподнятого косинуса с $\mu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; 0\}$и $s\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; 1\}$. Поскольку стандартное распределение приподнятого косинуса является четной функцией, т Странные моменты равны нулю. Четные моменты задаются следующим образом:

$E\; \; (x\; 2\; n)\; =\; 1\; 2\; \int \; -\; 1\; 1\; [1\; +\; cos\; \; (x\; \pi )]\; x\; 2\; ndx\; =\; \int \; -\; 1\; 1\; x\; 2\; n\; hvc\; \; (x\; \pi )\; dx\; знак\; равно\; 1\; n\; +\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; 2\; n\; 1\; F\; 2\; (n\; +\; 1\; 2;\; 1\; 2,\; n\; +\; 3\; 2;\; -\; \pi \; 2\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (\; x\; ^\; \{2n\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{1\}\; [1+\; \backslash \; cos\; (x\; \backslash \; pi)]\; x\; ^\; \{2n\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{1\}\; x\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; operatorname\; \{hvc\}\; (x\; \backslash \; pi)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; 2n\}\}\; \backslash ,\; \_\; \{1\}\; F\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\};\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\};\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $1\; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \_\; \{1\}\; F\_\; \{2\}\}$- обобщенная гипергеометрическая функция.

• функция Ханна
• Гаверкозин (hvc)

• Хорст Ринне (2010). «Распределения в масштабе местоположения - линейная оценка и построение графиков вероятностей с использованием MATLAB» (PDF). п. 116. Проверено 16 ноября 2012 г.