Профиль Voigt

(Центрированный) Voigt

Функция плотности вероятности . Построение центрированного профиля Voigt для четырех случаев. Каждый корпус имеет полную ширину на полувысоте почти 3,6. Черный и красный профили - это предельные случаи гауссова (γ = 0) и лоренцевского (σ = 0) профилей соответственно.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\gamma ,\; \sigma >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma,\; \backslash \; sigma>0\}$
Поддержка	$x\; \in \; (-\; \infty ,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; (-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)\}$
PDF	$\Re \; [w\; (z)]\; \sigma \; 2\; \pi ,\; z\; =\; x\; +\; i\; \gamma \; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Re\; [w\; (z)]\}\; \{\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\},\; ~~~\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; +\; i\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}$
CDF	( сложный - см. текст)
Среднее	(не определено)
Медиана	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$
Режим	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$
Дисперсия	( не определено)
Асимметрия	(не определено)
Пример. эксцесс	(не определено)
MGF	(не определено)
CF	$e\; -\; \gamma \; |\; t\; |\; -\; \sigma \; 2\; t\; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; gamma\; |\; t\; |\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}$

Профиль Voigt (назван в честь Woldemar Voigt ) - это распределение вероятностей, полученное посредством свертки распределения Коши-Лоренца. ion и распределение Гаусса. Он часто используется при анализе данных спектроскопии или дифракции.

• 1 Определение
• 2 История и приложения
• 3 Свойства
  • 3.1 Кумулятивная функция распределения
  • 3.2 Нецентрированный профиль Фойгта
  • 3.3 Производный профиль
• 4 Функции Фойгта
  • 4.1 Связь с профилем Фойгта
• 5 Числовые приближения
  • 5.1 Аппроксимация псевдо-Фойгта
  • 5.2 Ширина профиля Фойгта
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Без ограничения общности мы можем рассматривать только центрированные профили, пик которых равен нулю. Тогда профиль Фойгта имеет вид

$V\; (x;\; \sigma ,\; \gamma )\; \equiv \; \int \; -\; \infty \; \infty \; G\; (x\; \prime ;\; \sigma )\; L\; (x\; -\; x\; \prime ;\; \gamma )\; dx\; \prime ,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; G\; (x\; \text{'};\; \backslash \; sigma)\; L\; (x-x\text{'};\; \backslash \; gamma)\; \backslash ,\; dx\; \text{'},\}$

где x - сдвиг от центра линии $G\; (x;\; \sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x;\; \backslash \; sigma)\}$- это центрированный гауссовский профиль:

$G\; (x;\; \sigma )\; \equiv \; e\; -\; x\; 2\; /\; (2\; \sigma \; 2)\; \sigma \; 2\; \pi ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; (x;\; \backslash \; sigma)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\},\}$

и $L\; (x;\; \gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (x;\; \backslash \; gamma)\}$- это центрированный лоренцевский профиль:

$L\; (x;\; \gamma )\; \equiv \; \gamma \; \pi \; (x\; 2\; +\; \gamma \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (x;\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; pi\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\})\}\}.\}$

Определяющий интеграл можно вычислить как :

$В\; (Икс;\; \sigma ,\; \gamma )\; знак\; равно\; Re\; \; [вес\; (z)]\; \sigma \; 2\; \pi ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Re\}\; [w\; (z)]\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\},\}$

где Re [w (z)] - действительная часть функции Фаддеева, вычисленная для

$г\; =\; х\; +\; я\; \gamma \; \sigma \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; +\; i\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}.\}$

В предельных случаях $\sigma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; 0\; \}$и $\gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 0\}$, затем $V\; (x;\; \sigma ,\; \gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\}$упрощается до $L\; (x;\; \gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (x;\; \backslash \; gamma)\}$и $G\; (x;\; \sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x;\; \backslash \; sigma)\}$соответственно.

В спектроскопии профиль Фойгта является результатом свертки двух механизмов уширения, один из которых сам по себе дает гауссов профиль (обычно в результате Доплеровское уширение ), а другое даст лоренцевский профиль. Профили Фойгта распространены во многих областях спектроскопии и дифракции. Из-за высокой стоимости вычисления функции Фаддеева профиль Фойгта часто аппроксимируется с использованием профиля псевдо-Фойгта.

Профиль Фойгта нормализован:

$\int \; -\; \infty \; \infty \; V\; (x;\; \sigma ,\; \gamma )\; dx\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; \backslash ,\; dx\; =\; 1,\}$

, поскольку это свертка нормализованных профилей. Лоренцевский профиль не имеет моментов (кроме нуля), поэтому функция , генерирующая моменты для распределения Коши не определена. Отсюда следует, что профиль Фойгта также не будет иметь функции, генерирующей момент, но характеристическая функция для распределения Коши хорошо определена, как и характеристическая функция для нормальное распределение. Тогда характеристическая функция для (центрированного) профиля Фойгта будет произведением двух:

$\phi \; f\; (t;\; \sigma ,\; \gamma )\; =\; E\; (eixt)\; =\; e\; -\; \sigma \; 2\; t\; 2\; /\; 2\; -\; \gamma \; |\; т\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{f\}\; (t;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; E\; (e\; ^\; \{ixt\})\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2-\; \backslash \; gamma\; |\; t\; |\}.\}$

Поскольку нормальные распределения и распределения Коши являются стабильными распределениями, каждое из них закрыто сверткой (с точностью до изменения масштаба), и из этого следует, что распределения Фойгта также закрыты на свертку.

Кумулятивная функция распределения

Используя приведенное выше определение для z, кумулятивная функция распределения (CDF) может быть найдена следующим образом:

$F\; (x\; 0;\; \mu ,\; \sigma )\; =\; \int \; -\; \infty \; x\; 0\; Re\; \; (w\; (z))\; \sigma \; 2\; \pi \; dx\; =\; Re\; \; (1\; \pi \; \int \; z\; (-\; \infty )\; z\; (x\; 0)\; w\; (z)\; dz).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x\_\; \{0\};\; \backslash \; mu,\; \backslash \; sigma)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Re\}\; (w\; (z))\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{z\; (-\; \backslash \; infty)\}\; ^\; \{z\; (x\_\; \{0\})\}\; w\; (z)\; \backslash ,\; dz\; \backslash \; right).\}$

Подстановка определения функции Фаддеева (масштабированная комплексная функция ошибок ) дает неопределенный интеграл:

$1\; \pi \; \int \; w\; (z)\; dz\; =\; 1\; \pi \; \int \; e\; -\; z\; 2\; [1\; -\; erf\; \; (-\; iz)]\; dz,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; w\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{-\; z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; operatorname\; \{\; erf\}\; (-iz)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; dz,\}$

которое может быть решено, чтобы дать

$1\; \pi \; \int \; w\; (z)\; dz\; =\; erf\; \; (z)\; 2\; +\; iz\; 2\; \pi \; 2\; F\; 2\; (1,\; 1;\; 3\; 2,\; 2;\; -\; z\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; w\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; (z)\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{iz\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ,\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1,1;\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\; \},\; 2;\; -z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

где $2\; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{2\}\}$- это гипергеометрическая функция. Чтобы функция приближалась к нулю, когда x приближается к отрицательной бесконечности (как и должна поступать функция CDF), необходимо добавить константу интегрирования 1/2. Это дает для CDF Фойгта:

$F\; (x;\; \mu ,\; \sigma )\; =\; Re\; \; [1\; 2\; +\; erf\; \; (z)\; 2\; +\; iz\; 2\; \pi \; 2\; F\; 2\; (1,\; 1;\; 3\; 2,\; 2;\; -\; z\; 2)].\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; sigma)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; (z)\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{iz\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ,\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1,1;\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\},\; 2;\; -z\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right].\}$

Нецентрированный профиль Фойгта

Если гауссовский профиль центрирован на $\mu \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{G\}\}$и лоренцевский профиль центрируется на $\mu \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\}$, центр свертки - на $\mu \; G\; +\; \mu \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\; G\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\}$и характеристическая функция равна

$\phi \; f\; (t;\; \sigma ,\; \gamma ,\; \mu \; G,\; \mu \; L)\; =\; ei\; (\mu \; G\; +\; \mu \; L)\; t\; -\; \sigma \; 2\; t\; 2/2\; -\; \gamma \; |\; т\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{е\}\; (т;\; \backslash \; сигма,\; \backslash \; гамма,\; \backslash \; му\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{G\}\},\; \backslash \; му\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\})\; =\; е\; ^\; \{я\; (\backslash \; му\; \_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\})\; t-\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2-\; \backslash \; gamma\; |\; t\; |\}.\}$

Мода и медиана оба расположены в $\mu \; G\; +\; \mu \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{G\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\}$.

Профиль производной

Профили первой и второй производной могут быть выражены в терминах функции Фаддеева следующим образом:

$\partial \; \partial \; x\; V\; (x;\; \sigma ,\; \gamma )\; =\; -\; Re\; \; [zw\; (z)]\; \sigma \; 2\; \pi \; =\; -\; x\; \sigma \; 2\; Re\; \; [w\; (\; z)]\; \sigma \; 2\; \pi \; +\; \gamma \; \sigma \; 2\; Im\; \; [w\; (z)]\; \sigma \; 2\; \pi ;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Re\}\; [z\; ~\; w\; (z)]\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Re\}\; [w\; (z)]\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Im\}\; [w\; (z)]\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\; \backslash \; pi\}\}\}\};\}$

$\partial \; 2\; \partial \; x\; 2\; V\; (x;\; \sigma ,\; \gamma )\; =\; x\; 2\; -\; \gamma \; 2\; -\; \sigma \; 2\; \sigma \; 4\; Re\; \; [w\; (z)]\; \sigma \; 2\; \pi \; -\; 2\; x\; \gamma \; \sigma \; 4\; Им\; \; [вес\; (Z)]\; \sigma \; 2\; \pi \; +\; \gamma \; \sigma \; 4\; 1\; \pi ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Re\}\; [w\; (z)]\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2x\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Im\}\; [w\; (z)]\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\},\}$

используя приведенное выше определение для z.

Функции Фойгта U, V и H (иногда называемые функцией расширения строки ) определяются

$U\; (Икс,\; T)\; +\; я\; В\; (Икс,\; T)\; знак\; равно\; \pi \; 4\; tez\; 2\; erfc\; \; (z)\; =\; \pi \; 4\; tw\; (iz),\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (x,\; t)\; +\; iV\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4t\}\}\}\; e\; ^\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{erfc\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4t\}\}\}\; w\; (iz),\}$

$ЧАС\; (a,\; u)\; =\; U\; (u\; /\; a,\; 1/4\; a\; 2)\; a\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (a,\; u)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\; (u\; /\; a,\; 1\; /\; 4a\; ^\; \{2\})\}\; \{a\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\},\}$

где

$z\; =\; (1\; -\; ix)\; /\; 2\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; (1-ix)\; /\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\}\},\}$

erfc - это дополнительная функция ошибок, а w (z) - это функция Фаддеева.

Связь с профилем Voigt

$V\; (x\; ;\; \sigma ,\; \gamma )\; знак\; равно\; ЧАС\; (a,\; u)\; /\; (2\; \pi \; \sigma ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; H\; (a,\; u)\; /\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sigma),\}$

с

$a\; =\; \gamma \; /\; (2\; \sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \backslash \; gamma\; /\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma)\}$

и

$и\; =\; х\; /\; (2\; \sigma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; x\; /\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma).\}$

Приближение псевдо-Фойгта

Профиль псевдо-Фойгта (или функция псевдо-Фойгта ) представляет собой аппроксимацию профиля Фойгта V (x) с использованием линейной комбинации кривой Гаусса G (x) и кривая Лоренца L (x) вместо их свертки.

Функция псевдо-Фойгта часто используется для расчетов экспериментальных форм спектральных линий.

Математическое определение нормализованный профиль псевдо-Фойгта определяется как

$V\; p\; (x,\; f)\; =\; \eta \; \cdot \; L\; (x,\; f)\; +\; (1\; -\; \eta )\; \cdot \; G\; (x,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{p\}\; (x,\; е)\; =\; \backslash \; эта\; \backslash \; cdot\; L\; (x,\; f)\; +\; (1-\; \backslash \; eta)\; \backslash \; cdot\; G\; (x,\; f)\}$с .

$\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$- это функция полной ширины на половине максимального значения параметра (FWHM).

Существует несколько возможных вариантов выбора параметра $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$. Простая формула с точностью до 1%:

$\eta \; =\; 1,36603\; (f\; L\; /\; f)\; -\; 0,47719\; (f\; L\; /\; f)\; 2\; +\; 0,11116\; (f\; L\; /\; f)\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; 1,36603\; (f\_\; \{L\}\; /\; f)\; -0,47719\; (f\_\; \{L\}\; /\; f)\; ^\; \{2\}\; +0,11116\; (f\_\; \{L\}\; /\; f)\; ^\; \{3\},\}$

где теперь, $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$является функцией Лоренца ($f\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{L\}\}$), Gaussian ($f\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{G\}\}$) и всего ($f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$) Параметры полной ширины на половине максимума (FWHM). Общая ширина FWHM ($f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$) параметр описывается следующим образом:

$f\; =\; [f\; G\; 5\; +\; 2.69269\; f\; G\; 4\; f\; L\; +\; 2.42843\; f\; G\; 3\; f\; L\; 2\; +\; 4.47163\; f\; G\; 2\; f\; L\; 3\; +\; 0,07842\; f\; G\; f\; L\; 4\; +\; f\; L\; 5]\; 1/5.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; [f\_\; \{G\}\; ^\; \{5\}\; +\; 2.69269f\_\; \{G\}\; ^\; \{4\}\; f\_\; \{L\}\; +\; 2.42843f\_\; \{G\}\; ^\; \{3\}\; f\_\; \{L\}\; ^\; \{2\}\; +\; 4,47163f\_\; \{G\}\; ^\; \{2\}\; f\_\; \{L\}\; ^\; \{3\}\; +\; 0,07842f\_\; \{G\}\; f\_\; \{L\}\; ^\; \{4\}\; +\; f\_\; \{L\}\; ^\; \{5\}]\; ^\; \{1\; /\; 5\}.\}$

Ширина профиля Фойгта

Полная ширина на полувысоте (FWHM) профиля Фойгта может быть найдена по ширине связанных гауссовских и лоренцевых ширина. Полуширина гауссова профиля равна

$f\; G\; =\; 2\; \sigma \; 2\; ln\; \; (2).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{G\}\}\; =\; 2\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; ln\; (2)\}\}.\}$

FWHM лоренцевского профиля составляет

$f\; L\; =\; 2\; \gamma .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; =\; 2\; \backslash \; gamma.\}$

Грубое приближение для соотношения между ширинами профилей Фойгта, Гаусса и Лоренца:

$f\; V\; \approx \; f\; L\; /\; 2\; +\; f\; L\; 2/4\; +\; f\; G\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{V\}\}\; \backslash \; приблизительно\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; /\; 2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; ^\; \{2\}\; /\; 4\; +\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{G\}\; \}\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Это приближение в точности верно для чистого гауссовского.

Лучшее приближение с точностью 0,02% дает

$f\; V\; \approx \; 0,5346\; f\; L\; +\; 0,2166\; f\; L\; 2\; +\; f\; G\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{V\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,5346f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,2166f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{G\}\}\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Это приближение точно верно для чистого гауссовского профиля, но имеет ошибку около 0,000305% для чистого лоренцевского профиля.

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию voigt ( x, sigma, gamma) с точностью приблизительно 13–14 знаков.
• Оригинальная статья: Voigt, Woldemar, 1912, «Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums», Sitzungsbericht der Bayerisr der Bayerischen Akademie Wissenschaften, 25, 603 (см. Также: http://publikationen.badw.de/de/003395768)