Эллиптическое распределение

редактировать

В статистике вероятностей и , эллиптическим распределением является любой член широкого семейства распределений вероятностей, которые обобщают многомерное нормальное распределение. Интуитивно понятно, что в В упрощенном двух- и трехмерном случае совместное распределение образует эллипс и эллипсоид, соответственно, на графиках изоплотности.

В статистике нормальное распределение используется в классическом многомерном анализе, а эллиптические распределения используются в обобщенном многомерном анализе для изучения симметричных распределений с тяжелыми, например, многомерное t-распределение, или свет (по сравнению с нормальным распределением). Некоторые статистические методы, которые изначально были мотивированы изучением нормального распределения, имеют хорошую производительность для общих эллиптических распределений (с конечной дисперсией), особенно для сферических распределений (которые определены ниже). Эллиптические распределения также используются в устойчивой статистике для оценки предлагаемых многомерных статистических процедур.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Примеры
2 Свойства
3 Приложения
- 3.1 Статистика: Обобщенный многомерный анализ
  - 3.1.1 Сферическое распределение
  - 3.1.2 Надежная статистика: Асимптотика
- 3.2 Экономика и финансы
4 Ссылки
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Определение

Эллиптические распределения определяются в терминах характеристической функции теории вероятностей. Случайный вектор $X {\ displaystyle X}$ $X$ в евклидовом пространстве имеет эллиптическое распределение, если его характеристическая функция $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ удовлетворяет следующему функциональному уравнению (для каждого вектора-столбца $t {\ displaystyle t}$ $t$ )

ϕ X - μ (t) = ψ (t ′ Σ t) {\ displaystyle \ phi _ {X- \ mu} (t) = \ psi (t '\ Sigma t)}

\phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)

для некоторого параметра местоположения $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , некоторая неотрицательно-определенная матрица $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ и некоторая скалярная функция $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ . Определение эллиптических распределений для реальных случайных векторов было расширено для размещения случайных векторов в евклидовых пространствах в поле из комплексных чисел, что упрощает приложения в анализе временных рядов. Доступны вычислительные методы для генерации псевдослучайных векторов из эллиптических распределений для использования в моделировании Монте-Карло . например.

Некоторые эллиптические распределения альтернативно определяются в терминах их функций плотности . Эллиптическое распределение с функцией плотности f имеет вид:

f (x) = k ⋅ g ((x - μ) ′ Σ - 1 (x - μ)) {\ displaystyle f (x) = k \ cdot g ((x- \ mu) '\ Sigma ^ {- 1} (x- \ mu))}

f(x)=k\cdot g((x-\mu)'\Sigma ^{{-1}}(x-\mu))

где $k {\ displaystyle k}$ $k$ - нормализующая константа, $x {\ displaystyle x}$ $x$ - это $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерный случайный вектор с медианный вектор $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ (который также является средним вектором, если последний существует), и $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ - это положительно определенная матрица, которая пропорциональна ковариационной матрице, если последняя существует.

Примеры

Примеры включают следующие многомерные распределения вероятностей :

Свойства

В двумерном случае, если плотность существует, каждый локус изоплотности (набор пар x 1,x2, все дающие конкретное значение $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ) представляет собой эллипс или объединение эллипсов (отсюда и название эллиптического распределения). В более общем смысле, для произвольного n локусы изоплотности являются объединениями эллипсоидов. Все эти эллипсоиды или эллипсы имеют общий центр μ и являются масштабированными копиями (гомотетами) друг друга.

Многомерное нормальное распределение - это особый случай, когда $g (z) = e - z / 2 {\ displaystyle g (z) = e ^ {- z / 2 }}$ $g(z)=e^{-z/2}$ . Хотя многомерная норма не ограничена (каждый элемент $x {\ displaystyle x}$ $x$ может принимать сколь угодно большие положительные или отрицательные значения с ненулевой вероятностью, потому что $e - z / 2>0 {\ displaystyle e ^ {- z / 2}>0}$ $e^{{-z/2}}>0$ для всех неотрицательных $z {\ displaystyle z}$ $z$ ), в общем эллиптические распределения могут быть ограниченными или неограниченными - такое распределение является ограниченным если $g (z) = 0 {\ displaystyle g (z) = 0}$ $g (z) = 0$ для всех $z {\ displaystyle z}$ $z$ больше некоторого значения.

Существуют эллиптические распределения, которые имеют неопределенное среднее, например, распределение Коши (даже в одномерном случае). Поскольку переменная x входит в функцию плотности квадратично, все эллиптические распределения симметричны относительно $μ. {\ displaystyle \ mu.}$ $\ mu.$

Если два подмножества совместно el липтические случайные векторы некоррелированы, тогда, если их средние существуют, они средне независимы друг от друга (среднее значение каждого подвектора, обусловленное значением другого подвектора, равно безусловному среднему).

Если случайный вектор X распределен эллиптически, то DX будет таким же для любой матрицы D с полным рангом строки. Таким образом, любая линейная комбинация компонентов X является эллиптической (хотя и не обязательно с одним и тем же эллиптическим распределением), а любое подмножество X является эллиптическим.

Приложения

Эллиптические распределения используются в статистике и по экономике.

В математической экономике эллиптические распределения использовались для описания портфелей в математических финансах.

Статистика: обобщенный многомерный анализ

В статистике многомерный нормальный распределение (Гаусса) используется в классическом многомерном анализе, в котором большинство методов оценки и проверки гипотез основаны на нормальном распределении. В отличие от классического многомерного анализа, обобщенный многомерный анализ относится к исследованиям эллиптических распределений без ограничения нормальности.

Для подходящих эллиптических распределений некоторые классические методы продолжают иметь хорошие свойства. При предположении конечной дисперсии справедливо расширение теоремы Кохрана (о распределении квадратичных форм).

Сферическое распределение

Эллиптическое распределение с нулевым средним и дисперсией в форме $α I {\ displaystyle \ alpha I}$ ${\ displaystyle \ alpha I}$ , где $I {\ displaystyle I}$ $I$ - единичная матрица, называется сферическим распределением. Для сферических распределений были расширены классические результаты по оценке параметров и проверке гипотез. Подобные результаты имеют место для линейных моделей, а также для сложных моделей (особенно для модели кривой роста ). При анализе многомерных моделей используется полилинейная алгебра (в частности, произведения Кронекера и векторизация ) и матричное исчисление.

Надежная статистика: асимптотика

Другое использование эллиптических распределений - в робастной статистике, в которой исследователи изучают, как статистические процедуры работают с классом эллиптических распределений, чтобы получить представление о производительности процедур для более общих проблем, например, с помощью используя предельную теорию статистики («асимптотика»).

Экономика и финансы

Эллиптические распределения важны в теории портфеля, потому что, если доходность всех активов, доступных для формирования портфеля, совместно распределяется эллиптически, тогда все портфели можно полностью охарактеризовать своим расположением и масштабом, то есть любые два портфеля с одинаковым расположением и масштабом доходности портфеля имеют идентичное распределение доходности портфеля. Различные функции анализа портфеля, включая теоремы разделения паевых инвестиционных фондов и модель ценообразования капитальных активов, применимы для всех эллиптических распределений.

Ссылки