Сток Стокса

На объект, движущийся в газе или жидкости, действует сила, противоположная его движению. Конечная скорость достигается, когда сила сопротивления равна по величине, но противоположна по направлению силе, толкающей объект. Показана сфера в потоке Стокса при очень низком числе Рейнольдса.

Стоксово течение (названное в честь Джорджа Габриэля Стокса ), также называемое ползущим потоком или ползущим движением, представляет собой тип потока жидкости, в котором адвективные силы инерции малы по сравнению с силами вязкости. Число Рейнольдса является низким, то есть. Это типичная ситуация в потоках, где скорости жидкости очень малы, вязкость очень велика или масштабы потока очень малы. Ползучий поток был впервые изучен для понимания смазки. В природе этот тип течения встречается при плавании микроорганизмов, сперматозоидов и потоке лавы. В технике это происходит в красках, устройствах MEMS и вообще в потоках вязких полимеров. ${\ Displaystyle \ mathrm {Re} \ ll 1}$

Уравнения движения для Стокса поток, называются уравнениями Стокса, являются линеаризацией из уравнений Навьего-Стокса, и таким образом могут быть решены с помощью ряда хорошо известных методов для линейных дифференциальных уравнений. Первичных функции Грина потока Стокса является стокслетом, который связан с особой точкой силы, погруженной в Стоксе потока. Из его производных можно получить другие фундаментальные решения. Стокслет был впервые выведен Озеином в 1927 году, хотя Хэнкок не называл его до 1953 года. Фундаментальные решения в замкнутой форме для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновской и микрополярной жидкости.

• 1 Уравнения Стокса
  • 1.1 Свойства
  • 1.2 Демонстрация обратимости времени
• 2 Несжимаемый поток ньютоновских жидкостей
  • 2.1 Декартовы координаты
  • 2.2 Методы решения
    • 2.2.1 По функции потока
    • 2.2.2 По функции Грина: Стокслет
    • 2.2.3 По решению Папковича – Нейбера.
    • 2.2.4 Методом граничных элементов
• 3 Некоторые геометрические формы
  • 3.1 поток Хеле-Шоу
  • 3.2 Теория тонкого тела
  • 3.3 Сферические координаты
• 4 теоремы
  • 4.1 Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца
  • 4.2 Теорема взаимности Лоренца
  • 4.3 Законы Факсена
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Уравнение движения для потока Стокса может быть получено путем линеаризации стационарных уравнений Навье-Стокса. Предполагается, что силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости, и устранение инерционных членов баланса импульса в уравнениях Навье – Стокса сводит его к балансу импульса в уравнениях Стокса:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ sigma + \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {0}}}$

где - напряжение (сумма вязких напряжений и напряжений давления) и приложенная объемная сила. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы, обычно записываемое в форме: ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

где - плотность жидкости и скорость жидкости. Чтобы получить уравнения движения для потока несжимаемой жидкости, предполагается, что плотность является постоянной величиной. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ rho}$

Кроме того, иногда можно рассматривать нестационарные уравнения Стокса, в которых член добавляется к левой части уравнения баланса импульса. ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}}}$

Характеристики

Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полных уравнений Навье – Стокса, особенно в несжимаемом ньютоновском случае. Они представляют собой упрощение в первом порядке полных уравнений Навье – Стокса, справедливых в выделенном пределе. ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ до 0.}$

Мгновенность

Поток Стокса не зависит от времени, кроме как через зависящие от времени граничные условия. Это означает, что, учитывая граничные условия потока Стокса, поток можно найти без знания потока в любое другое время.

Обратимость во времени

Непосредственное следствие мгновенности, обратимости во времени означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией граничных условий) для получения результатов о потоке, не решая его полностью. Обратимость по времени означает, что смешивание двух жидкостей с помощью ползучего потока затруднительно. Обратимость во времени стоксовых потоков: краситель был введен в вязкую жидкость, зажатую между двумя концентрическими цилиндрами (верхняя панель). Затем стержневой цилиндр вращают, чтобы преобразовать краситель в спираль, если смотреть сверху. Краситель кажется смешанным с жидкостью, если смотреть сбоку (средняя панель). Затем вращение меняется на противоположное, приводя цилиндр в исходное положение. Краситель «размешивается» (нижняя панель). Реверс не идеален, потому что происходит некоторая диффузия красителя.

Хотя эти свойства верны для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновских жидкостей означает, что они не выполняются в более общем случае.

Парадокс Стокса

Интересное свойство потока Стокса известно как парадокс Стокса : не может быть стоксовского потока жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что нет нетривиального решения для уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра.

Демонстрация обратимости времени

Система Тейлора – Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по кажущейся спирали. Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, причем цветные области жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр. Цилиндры вращаются относительно друг друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью жидкости и тонкостью зазора дает низкое число Рейнольдса, так что кажущееся смешение цветов на самом деле является ламинарным, а затем может быть обращено приблизительно к исходное состояние. Это создает впечатляющую демонстрацию кажущегося смешивания жидкости с последующим ее размешиванием путем изменения направления миксера на противоположное.

В общем случае несжимаемой ньютоновской жидкости уравнения Стокса принимают (векторизованный) вид:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mathbf {f} amp; = {\ boldsymbol {0}} \\ {\ полужирный символ {\ набла}} \ cdot \ mathbf {u} amp; = 0 \ конец {выровнено}}}$

где - скорость жидкости, - градиент давления, - динамическая вязкость, и приложенная объемная сила. Результирующие уравнения линейны по скорости и давлению, и поэтому могут использоваться различные средства решения линейных дифференциальных уравнений. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} p}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

Декартовы координаты

Расширяя вектор скорости, как и вектор объемной силы, мы можем явно записать векторное уравнение: ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = (и, v, ш)}$${\ displaystyle \ mathbf {f} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} { \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} + f_ {x} amp; = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial y} } + f_ {y} amp; = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w } {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial z }} + f_ {z} amp; = 0 \\ {\ partial u \ over \ partial x} + {\ partial v \ over \ partial y} + {\ partial w \ over \ partial z} amp; = 0 \ end { выровнено}}}$

Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что и плотность постоянна. ${\ displaystyle \ mathbb {P} = \ mu \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {\ mathsf {T} } \ right) -p \ mathbb {I}}$${\ displaystyle \ rho}$

Методы решения

По функции потока

Уравнение несжимаемого ньютоновского течения Стокса может быть решено методом функции тока в плоском или трехмерном осесимметричном случаях.

Тип функции	Геометрия	Уравнение	Комментарии
Функция потока,${\ displaystyle \ psi}$	2-мерный плоский	${\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ psi = 0}$или ( бигармоническое уравнение ) ${\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ psi = 0}$	${\ displaystyle \ Delta}$является лапласовским оператором в двух измерениях
Функция тока Стокса,${\ displaystyle \ Psi}$	3-D сферический	${\ displaystyle E ^ {2} \ Psi = 0,}$ куда ${\ displaystyle E = {\ partial ^ {2} \ over \ partial r ^ {2}} + {\ sin {\ theta} \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left ({1 \ over \ sin {\ theta}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ right)}$	Для вывода оператора см. Функцию потока Стокса # Завихренность ${\ displaystyle E}$
	3-х мерный цилиндрический	${\ Displaystyle L _ {- 1} ^ {2} \ Psi = 0,}$ куда ${\ Displaystyle L _ {- 1} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ rho ^ {2 }}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}}$	Для просмотра ${\ displaystyle L _ {- 1}}$

По функции Грина: Стокслет

Линейность Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает, что функция Грина,, существует. Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена точечной силой, действующей в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности: ${\ Displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p amp; = - \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r}) \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} amp; = 0 \\ | \ mathbf {u} |, p amp; \ to 0 \ quad {\ t_dv {as}} \ quad r \ to \ infty \ end {выровнен}}}$

где - дельта-функция Дирака, а представляет точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u с | u | а p, равное нулю на бесконечности, задается формулой ${\ Displaystyle \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ delta (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r}), \ qquad p (\ mathbf {r}) = {\ гидроразрыва {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {r}} {4 \ pi | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}$

куда

${\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r}) = {1 \ более 8 \ pi \ mu} \ left ({\ frac {\ mathbb {I}} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {\ mathbf {r} \ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ right)}$- тензор второго ранга (или, точнее, тензорное поле ), известный как тензор Озеена (в честь Карла Вильгельма Озеена ).

Для описания используются термины Стокслета и решение с точечной силой. Подобно точечному заряду в электростатике, Стокслет лишен силы везде, кроме начала координат, где он содержит силу силы. ${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

Для непрерывного распределения силы (плотности) решение (снова исчезающее на бесконечности) может быть построено суперпозицией: ${\ Displaystyle \ mathbf {е} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ int \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r '} \ right) \ cdot \ mathbb {J} \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right) \ mathrm {d} \ mathbf {r'}, \ qquad p (\ mathbf {r}) = \ int {\ frac {\ mathbf {f} \ left (\ mathbf { r '} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r'} \ right)} {4 \ pi \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right | ^ {3}}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r '}}$

Это интегральное представление скорости можно рассматривать как уменьшение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей.

По решению Папковича – Нейбера.

Решение Папковича – Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского стоксова потока в терминах двух гармонических потенциалов.

Методом граничных элементов

Некоторые задачи, такие как эволюция формы пузырька в стоксовом потоке, позволяют численно решать методом граничных элементов. Этот метод может применяться как к 2-, так и к 3-мерным потокам.

Поток Хеле-Шоу

Течение Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции незначительны. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами занято частично жидкостью, а частично препятствиями в виде цилиндров с генераторами, перпендикулярными пластинам.

Теория стройного тела

Теория тонких тел в стоксовом потоке представляет собой простой приближенный метод определения безвихревого поля обтекания тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основа метода - выбрать такое распределение особенностей потока вдоль линии (поскольку тело тонкое) так, чтобы их безвихревое течение в сочетании с однородным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости.

Сферические координаты

Общее решение Лэмба вытекает из того факта, что давление удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть разложено на серию твердых сферических гармоник в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать: ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} amp; = \ sum _ {n = - \ infty, n \ neq 1} ^ {n = \ infty} \ left [{\ frac {(n + 3) r ^ {2} \ nabla p_ {n}} {2 \ mu (n + 1) (2n + 3)}} - {\ frac {n \ mathbf {x} p_ {n}} {\ mu (n + 1) (2n + 3)}} \ right] +... \\\ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} [\ nabla \ Phi _ {n} + \ nabla \ times ( \ mathbf {x} \ chi _ {n})] \\ p amp; = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} p_ {n} \ end {align}}}$

где и - твердые сферические гармоники порядка: ${\ displaystyle p_ {n}, \ Phi _ {n},}$${\ displaystyle \ chi _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {align} p_ {n} amp; = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (a_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {a}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ Phi _ {n} amp; = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (b_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {b}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ chi _ {n} amp; = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (c_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {c}} _ {mn} \ sin m \ phi) \ end {align}}}$

и - соответствующие полиномы Лежандра. Решение Лэмба можно использовать для описания движения жидкости внутри или вне сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого сквирмера, или для описания потока внутри сферической капли жидкости. Для внутренних потоков члены с опускаются, в то время как для внешних потоков члены с опускаются (часто для внешних потоков принято соглашение, чтобы избежать индексации по отрицательным числам). ${\ displaystyle P_ {n} ^ {m}}$ ${\ displaystyle n lt;0}$${\ displaystyle ngt; 0}$${\ Displaystyle п \ к -n-1}$

Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца

Смотрите также: закон Стокса

Здесь резюмируется сопротивление сопротивлению движущейся сфере, также известное как решение Стокса. Для сферы радиуса, движущейся со скоростью, в стоксовой жидкости с динамической вязкостью сила сопротивления определяется выражением: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle F_ {D}}$

${\ Displaystyle F_ {D} = 6 \ pi \ mu aU}$

Решение Стокса рассеивает меньше энергии, чем любое другое соленоидальное векторное поле с такими же граничными скоростями: это известно как теорема Гельмгольца о минимальной диссипации.

Теорема взаимности Лоренца

Теорема взаимности Лоренца устанавливает связь между двумя стоксовыми потоками в одной и той же области. Рассмотрим заполненную жидкостью область, ограниченную поверхностью. Пусть поля скоростей и решают уравнения Стокса в области, каждое с соответствующими полями напряжений и. Тогда имеет место следующее равенство: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ sigma} '}$

${\ Displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {u} \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} '\ cdot \ mathbf {n}) dS = \ int _ {S} \ mathbf {u}' \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {n}) dS}$

Где находится единица нормали на поверхности. Теорема взаимности Лоренца может использоваться, чтобы показать, что поток Стокса «передает» неизменными полную силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней окружающей поверхности. Теорема взаимности Лоренца также может использоваться, чтобы связать скорость плавания микроорганизма, такого как цианобактерии, с поверхностной скоростью, которая задается деформациями формы тела через реснички или жгутики. ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$${\ displaystyle S}$

Законы Факсена

Законы Факсена - это прямые отношения, которые выражают мультипольные моменты в терминах окружающего потока и его производных. Впервые разработанные Хильдингом Факсеном для расчета силы и крутящего момента на сфере, они имеют следующую форму: ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} amp; = 6 \ pi \ mu a \ left (1 + {\ frac {a ^ {2}} {6}} \ nabla ^ {2} \ right) \ mathbf {v} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) | _ {x = 0} -6 \ pi \ mu a \ mathbf {U} \\\ mathbf {T} amp; = 8 \ pi \ mu a ^ {3} (\ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {\ omega}) | _ {x = 0} \ end {выровнено}}}$

где - динамическая вязкость, - радиус частицы, - окружающий поток, - скорость частицы, - угловая скорость фонового потока, - угловая скорость частицы. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbf {U}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ omega}}$

Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли.

• Закон Стокса
• Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации
• Закон Дарси
• Поток Хеле-Шоу
• Соскабливающий поток Тейлора
• Ламинарный поток
• Теория смазки
• Уравнения Озеена
• Пуазейля
• Теория стройного тела
• Объемный расход
• Закон Факсена

• Окендон Х. и Окендон Дж. Р. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. ISBN   0-521-45881-1.

• Видеодемонстрация обратимости во времени потока Стокса от UNM Physics and Astronomy