Поток Тейлора – Куэтта

редактировать

Настройка системы Тейлора – Куэтта

В гидродинамике Тейлор –Ток Куэтта состоит из вязкой жидкости, заключенной в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами. Для малых угловых скоростей, измеренных с помощью числа Рейнольдса Re, поток является устойчивым и чисто азимутальным. Это базовое состояние известно как круговое течение Куэтта, в честь Мориса Мари Альфреда Куэтта, который использовал это экспериментальное устройство как средство измерения вязкости <112.>. Сэр Джеффри Ингрэм Тейлор исследовал стабильность течения Куэтта в новаторской работе. Работа Тейлора стала краеугольным камнем в развитии теории гидродинамической устойчивости и продемонстрировала, что условие прилипания, которое в то время оспаривалось научным сообществом, было правильным граничным условием. для вязких течений на твердой границе.

Тейлор показал, что когда угловая скорость внутреннего цилиндра увеличивается выше определенного порога, поток Куэтта становится нестабильным и возникает вторичное установившееся состояние, характеризующееся осесимметричными тороидальными вихрями, известное как вихрь Тейлора поток., появляется. Впоследствии, при увеличении угловой скорости цилиндра система претерпевает прогрессию нестабильности, которая приводит к состояниям с большей пространственно-временной сложностью, при этом следующее состояние называется волнообразным вихревым потоком . Если два цилиндра вращаются в противоположных направлениях, то возникает спиральный вихревой поток . За пределами определенного числа Рейнольдса начинается турбулентность..

Круговой поток Куэтта имеет широкое применение, начиная от опреснения до магнитогидродинамики, а также в вискозиметрическом анализе. Различные режимы потока были классифицированы на протяжении многих лет, включая закрученные вихри Тейлора и волнистые границы истечения. Это хорошо изученный и задокументированный поток в гидродинамике.

Содержание

1 Описание потока
2 Критерий Рэлея
3 Вихрь Тейлора
4 Круговой эксперимент Голлуба – Суинни
5 Ссылки
6 Дополнительная литература

Описание потока

Простое течение Тейлора – Куэтта - это устойчивый поток, создаваемый между двумя вращающимися бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами. Поскольку цилиндры имеют бесконечно большую длину, в установившемся режиме поток по существу является однонаправленным. Если внутренний цилиндр с радиусом $R 1 {\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ вращается с постоянной угловой скоростью $Ω 1 {\ displaystyle \ Omega _ {1}}$ $\ Omega _ {1 }$ , а внешний цилиндр с радиусом $R 2 {\ displaystyle R_ {2}}$ $R_ { 2}$ вращается с постоянной угловой скоростью $Ω 2 {\ displaystyle \ Omega _ {2}}$ $\ Omega _ {2}$ , как показано на рисунке, тогда составляющая азимутальной скорости определяется как

v θ = A r + B r, A = Ω 1 μ - η 2 1 - η 2, B = Ω 1 R 1 2 1 - μ 1 - η 2 {\ Displaystyle v _ {\ theta} = Ar + {\ frac {B} {r}}, \ quad A = \ Omega _ {1} {\ frac {\ mu - \ eta ^ {2} } {1- \ eta ^ {2}}}, \ quad B = \ Omega _ {1} R_ {1} ^ {2} {\ frac {1- \ mu} {1- \ eta ^ {2}} }}

{\ displaystyle v _ {\ theta} = Ar + {\ frac {B} {r}}, \ quad A = \ Omega _ {1} {\ frac {\ mu - \ eta ^ {2}} {1- \ eta ^ {2}}}, \ quad B = \ Omega _ {1 } R_ {1} ^ {2} {\ frac {1- \ mu} {1- \ eta ^ {2}}}}

где

μ = Ω 2 Ω 1, η = R 1 R 2 {\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ Omega _ {2}} {\ Omega _ {1}}}, \ quad \ eta = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ Omega _ {2}} {\ Omega _ {1}}}, \ quad \ eta = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}}}

Критерий Рэлея

Лорд Рэлей изучал устойчивость задачи с помощью невязкого предположения, т. е. возмущающего Эйлера уравнения. Критерий утверждает, что при отсутствии вязкости необходимое и достаточное условие для устойчивости распределения азимутальной скорости $v θ (r) {\ displaystyle v _ {\ theta} (r)}$ ${\ displaystyle v _ {\ theta} (r)}$ , является

ddr (rv θ) 2 ≥ 0 {\ displaystyle {\ frac {d} {dr}} (rv _ {\ theta}) ^ {2} \ geq 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dr}} (rv _ {\ theta}) ^ {2} \ geq 0}

везде в интервале; и, кроме того, что распределение нестабильно, если $(r v θ) 2 {\ displaystyle (rv _ {\ theta}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (rv _ {\ theta}) ^ {2}}$ должно уменьшиться в любом месте интервала. С $| r v θ | {\ displaystyle | rv _ {\ theta} |}$ ${\ displaystyle | rv _ {\ theta} |}$ представляет угловой момент на единицу массы жидкого элемента вокруг оси вращения. Альтернативный способ формулировки критерия: стратификация углового момента относительно оси вращения. ось устойчива тогда и только тогда, когда она монотонно увеличивается наружу.

Вихрь Тейлора

Линии тока, показывающие вихри Тейлора – Куэтта в радиально-вертикальной плоскости, при Re = 950

вихри Тейлора (также названные в честь сэра Джеффри Ингрэма Тейлора ) - это вихри, образующиеся во вращающемся потоке Тейлора – Куэтта, когда число Тейлора ( $T a {\ displaystyle \ mathrm {Ta}}$ ${\ mathrm {Ta}}$ ) потока превышает критическое значение $T ac {\ displaystyle \ mathrm {Ta_ {c}}}$ ${\ mathrm {Ta_ {c}}}$ .

Для потока, в котором

T a < T a c, {\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}},}

{\ mathrm {Ta}} <{\ mathrm {Ta_ {c}}},

нестабильности в потоке отсутствуют, т. е. возмущения потока гасятся вязкими силами, и течение становится устойчивым. Но поскольку $T a {\ displaystyle \ mathrm {Ta}}$ ${\ mathrm {Ta}}$ превышает $T ac {\ displaystyle \ mathrm {Ta_ {c}}}$ ${\ mathrm {Ta_ {c}}}$ , осесимметричный появляются нестабильности. Природа этих нестабильностей - это обмен устойчивости (а не сверхстабильность), и в результате возникает не турбулентность, а, скорее, стабильная вторичная структура потока, при которой в потоке образуются большие тороидальные вихри, накладываемые друг на друга.. Это вихри Тейлора. В то время как механика жидкости исходного потока неустойчива, когда $T a>T ac {\ displaystyle \ mathrm {Ta}>\ mathrm {Ta_ {c}}}$ ${\mathrm {Ta}}>{ \ mathrm {Ta_ {c}}}$ f6, новый поток, называемый потоком Тейлора – Куэтта, с присутствующими вихрями Тейлора, фактически является устойчивым до тех пор, пока поток не достигнет большого числа Рейнольдса, после чего поток переходит в нестационарный "волнистый вихрь", предположительно указывает на наличие неосесимметричной неустойчивости.

Идеализированная математическая задача ставится путем выбора конкретного значения $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ и $T a {\ displaystyle \ mathrm {Ta}}$ ${\ mathrm {Ta}}$ . Поскольку $η → 1 {\ displaystyle \ eta \ rightarrow 1}$ $\ eta \ rightarrow 1$ и $μ → 1 {\ displaystyle \ mu \ rightarrow 1}$ $\ mu \ rightarrow 1$ снизу, критическое число Тейлора равно $T ac ≃ 1708 {\ displaystyle \ mathrm {Ta_ {c}} \ simeq 1708}$ ${\ mathrm {Ta_ {c}}} \ simeq 1708$ ⁠⁠

Круговой эксперимент Голлуба – Суинни Куэтта

В 1975 году Дж. П. Голлуб и Х. Л. Суинни опубликовал статью о возникновении турбулентности во вращающейся жидкости. В системе потока Тейлора – Куэтта они заметили, что по мере увеличения скорости вращения жидкость расслаивается и образует кучу «жидких пончиков». При дальнейшем увеличении скорости вращения пончики колеблются и скручиваются и, наконец, становятся турбулентными. Их исследование помогло установить турбулентность, что является важным вкладом Флориса Такенса и Дэвида Рюэлля в понимание того, как гидродинамические системы переходят от стабильного режима потока к турбулентному. Хотя основным, определяющим фактором для этого перехода является число Рейнольдса, существуют и другие важные влияющие факторы: если поток открыт (имеется в виду, что поток идет вверх и вниз по бокам) или закрыт (поток ограничен в боковом направлении). ; например, вращающийся), а также ограниченный (зависит от эффектов стены) или неограниченный (не зависит от эффектов стены). Согласно этой классификации течение Тейлора – Куэтта является примером структуры потока, формирующейся в замкнутой системе с ограниченными потоками.

Ссылки

Дополнительная литература

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с потоком Тейлора – Куэтта.

Chossat, P.; Йосс, Г. (1992). Проблема Куэтта – Тейлора. Прикладные математические науки. 102 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4300-7. ISBN 978-0387941547.
Кошмидер, Э. Л. (1993). Ячейки Бенара и вихри Тейлора. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-40204-0.