Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция
Равнобедренная трапеция с осью симметрии
Тип	четырехугольник, трапеция
Ребра и вершины	4
Группа симметрии	Dih 2, [], (*), порядок 2
Двойной многоугольник	летающий змей
Характеристики	выпуклый, циклический

В евклидовой геометрии, равнобедренной трапеции ( равнобедренной трапеции в британском английском ) является выпуклым четырехугольником с линией симметрии рассекает одну пару противоположных сторон. Это частный случай трапеции. В качестве альтернативы его можно определить как трапецию, в которой обе опоры и оба базовых угла имеют одинаковую меру. Обратите внимание, что непрямоугольный параллелограмм не является равнобедренной трапецией из-за второго условия или из-за отсутствия линии симметрии. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (ноги) имеют равную длину (свойства, общие с параллелограммом ). Диагонали тоже одинаковой длины. Базовые углы равнобедренной трапеции равны в меру (на самом деле есть две пары равных базовых углов, где один базовый угол является дополнительным углом базового угла у другого базового угла).

• 1 Особые случаи
  • 1.1 Самопересечения
• 2 Характеристики
• 3 угла
• 4 Диагонали и высота
• 5 Площадь
• 6 Циркумрадиус
• 7 См. Также
• 8 ссылки
• 9 Внешние ссылки

Частные случаи равнобедренных трапеций

Прямоугольники и квадраты обычно считаются частными случаями равнобедренных трапеций, хотя некоторые источники исключают их.

Другой частный случай - это трапеция с 3 равными сторонами, иногда известная как трехсторонняя трапеция или трехобедренная трапеция. Их также можно рассматривать как разрезанные от правильных многоугольников с 5 или более сторонами как усечение 4 последовательных вершин.

Самопересечения

Любой четырехугольник без самопересечения с ровно одной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо воздушным змеем. Однако, если пересечения разрешены, набор симметричных четырехугольников необходимо расширить, включив в него также скрещенные равнобедренные трапеции, скрещенные четырехугольники, у которых скрещенные стороны имеют равную длину, а другие стороны параллельны, а также антипараллелограммы, скрещенные четырехугольники, в которых противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Каждый антипараллелограмм имеет равнобедренную трапецию в качестве выпуклой оболочки и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон равнобедренной трапеции.

Выпуклая равнобедренная трапеция	Скрещенная равнобедренная трапеция	антипараллелограмм

Если четырехугольник, как известно, на трапецию, это не достаточно просто проверить, что ноги имеют одинаковую длину для того, чтобы знать, что это равнобедренной трапеции, так как ромб является частным случаем трапеции с ноги одинаковой длины, но не является равнобедренной трапецией, поскольку в ней отсутствует линия симметрии, проходящая через середины противоположных сторон.

Любое из следующих свойств отличает равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали одинаковой длины.
• Базовые углы имеют такую ​​же меру.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Противоположные углы являются дополнительными, что, в свою очередь, означает, что равнобедренные трапеции являются циклическими четырехугольниками.
• Диагонали делят друг друга на отрезки попарно равной длины; в терминах рисунка ниже AE = DE, BE = CE (и AE ≠ CE, если нужно исключить прямоугольники).

В равнобедренной трапеции базовые углы попарно имеют одинаковую меру. На рисунке ниже углы ∠ ABC и ∠ DCB - тупые углы одной и той же меры, а углы ∠ BAD и ∠ CDA - острые углы, также одинаковой меры.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, примыкающие к противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть углы ∠ ABC + ∠ BAD = 180 °.

Еще одна равнобедренная трапеция.

В диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину; то есть каждая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырехугольником. Причем диагонали делят друг друга в одинаковых пропорциях. Как показано на рисунке, диагонали AC и BD имеют одинаковую длину ( AC = BD) и делят друг друга на сегменты одинаковой длины ( AE = DE и BE = CE).

Соотношение, в котором каждая диагональ делится равно отношению длин параллельных сторон, что они пересекаются, то есть,

${\ displaystyle {\ frac {AE} {EC}} = {\ frac {DE} {EB}} = {\ frac {AD} {BC}}.}$

Длина каждой диагонали, согласно теореме Птолемея, задаваемый

${\ displaystyle p = {\ sqrt {ab + c ^ {2}}}}$

где a и b - длины параллельных сторон AD и BC, а c - длина каждой стороны AB и CD.

Высота, согласно теореме Пифагора, определяется как

${\ displaystyle h = {\ sqrt {p ^ {2} - \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {4c ^ {2} - (ab) ^ {2}}}.}$

Расстояние от точки E до основания AD определяется выражением

${\ displaystyle d = {\ frac {ah} {a + b}}}$

где a и b - длины параллельных сторон AD и BC, а h - высота трапеции.

Площадь равнобедренной (или любой) трапеции равна среднему значению длины основания и вершины ( параллельных сторон), умноженному на высоту. На соседней диаграмме, если мы пишем AD = a и BC = b, а высота h - это длина отрезка прямой между AD и BC, который перпендикулярен им, тогда площадь K задается следующим образом:

${\ displaystyle K = {\ frac {h} {2}} \ left (a + b \ right).}$

Если вместо высоты трапеции известна общая длина ветвей AB = CD = c, то площадь можно вычислить, используя формулу Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, который с двумя равными сторонами упрощается до

${\ Displaystyle К = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) ^ {2}}},}$

-где полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона для вычисления площади треугольника. Предыдущая формула для площади также может быть записана как ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (а + b + 2c)}$

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b) ^ {2} (a-b + 2c) (b-a + 2c)}}.}$

Радиус описанной окружности равен

${\ displaystyle R = c {\ sqrt {\ frac {ab + c ^ {2}} {4c ^ {2} - (ab) ^ {2}}}}.}.$

В прямоугольнике, где a = b, это упрощается до. ${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}}}$

• Равнобедренная тангенциальная трапеция

• Некоторые инженерные формулы с участием равнобедренных трапеций