Голоморфное функциональное исчисление

В математике, голоморфное функциональное исчисление равно функциональное исчисление с голоморфными функциями. Другими словами, для голоморфной функции f с комплексным аргументом z и с оператором T цель состоит в том, чтобы построить оператор f (T), который естественным образом расширяет функцию f от сложного аргумента к аргументу оператора. Точнее, функциональное исчисление определяет непрерывный гомоморфизм алгебр от голоморфных функций в окрестности спектра оператора T к ограниченным операторам.

В этой статье обсуждается случай, когда T является ограниченным линейным оператором в некотором банаховом пространстве. В частности, T может быть квадратной матрицей со сложными элементами, случай, который будет использоваться для иллюстрации функционального исчисления и предоставления некоторых эвристических выводов для предположений, включенных в общую конструкцию.

• 1 Мотивация
  • 1.1 Потребность в общем функциональном исчислении
  • 1.2 Функциональное исчисление и спектр
• 2 Функциональное исчисление для ограниченного оператора
  • 2.1 Банаховый пространственнозначный интеграл
  • 2.2 Отображение резольвенты
    • 2.2.1 Формула 1-й резольвенты
    • 2.2.2 Аналитичность
    • 2.2.3 Ряд Неймана
    • 2.2.4 Компактность σ (T)
  • 2.3 Четкость
    • 2.3.1 Предварительный факт
    • 2.3.2 Основной аргумент
  • 2.4 В предположении, что f голоморфна над открытой окрестностью σ (T)
• 3 Свойства
  • 3.1 Полиномиальный случай
  • 3.2 Свойство гомоморфизма
  • 3.3 Непрерывность относительно компактной сходимости
  • 3.4 Единственность
• 4 Спектральные соображения
  • 4.1 Теорема о спектральном отображении
  • 4.2 Спектральные проекции
  • 4.3 Разложение инвариантных подпространств
• 5 Связанные результаты
  • 5.1 Неограниченные операторы
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Потребность в общем функциональном исчислении

В этом разделе T будет предполагаться как × n ma трикс со сложными записями.

Если данная функция f относится к определенному специальному типу, существуют естественные способы определения f (T). Например, если

$p\; (z)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; maizi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; a\_\; \{i\}\; z\; ^\; \{i\}\}$

является сложным многочленом, можно просто заменить T на z и определить

$p\; (T)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; mai\; T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (T)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\; \}\; ^\; \{m\}\; a\_\; \{i\}\; T\; ^\; \{i\}\}$

где T = I, единичная матрица. Это полиномиальное функциональное исчисление . Это гомоморфизм кольца многочленов в кольцо матриц размера n × n.

Немного расширяясь от многочленов, если f: C→ Cголоморфна всюду, то есть целая функция, с рядом Маклаурина

$f\; (z)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; aizi,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; z\; ^\; \{i\},\}$

, имитируя полиномиальный случай, предлагает определить

$f\; (T)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; ai\; T\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (T)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; T\; ^\; \{i\}.\}$

Так как ряд Маклаурина сходится везде, указанный ряд будет сходиться в выбрал оператор norm. Примером этого является экспонента матрицы. Замена z на T в ряду Маклаурина f (z) = e дает

$f\; (T)\; =\; e\; T\; =\; I\; +\; T\; +\; T\; 2\; 2!\; +\; Т\; 3\; 3!\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (T)\; =\; e\; ^\; \{T\}\; =\; I\; +\; T\; +\; \{\backslash \; frac\; \{T\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{T\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Требование, чтобы ряд Маклаурина f везде сходился, можно несколько ослабить. Из вышесказанного очевидно, что все, что действительно нужно, - это радиус сходимости ряда МакЛорина, превышающий ǁTǁ, операторную норму T. Это несколько расширяет семейство f, для которого f (T) может быть определено с помощью приведенного выше подход. Однако это не совсем удовлетворительно. Например, из теории матриц является факт, что каждое невырожденное T имеет логарифм S в том смысле, что e = T. Желательно иметь функциональное исчисление, позволяющее определить для неособого T, ln (T) такой, что он совпадает с S. Этого нельзя сделать с помощью степенного ряда, например логарифмического ряда

$ln\; \; (z\; +\; 1)\; =\; z\; -\; z\; 2\; 2\; +\; z\; 3\; 3\; -\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (z\; +\; 1)\; =\; z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; -\; \backslash \; cdots,\}$

сходится только на открытый единичный диск. Подстановка T вместо z в ряд не дает четко определенного выражения для ln (T + I) для обратимого T + I с ǁTǁ ≥ 1. Таким образом, требуется более общее функциональное исчисление.

Функциональное исчисление и спектр

Ожидается, что необходимое условие для того, чтобы f (T) имело смысл, - это определение f на спектре T. Например, спектральная теорема для нормальных матриц утверждает, что каждая нормальная матрица унитарно диагонализуема. Это приводит к определению f (T), когда T нормален. Возникают трудности, если f (λ) не определена для некоторого собственного значения λ оператора T.

Другие указания также подтверждают идею о том, что f (T) может быть определена, только если f определена на спектре T. Если T необратима, тогда (вспоминая, что T - матрица размера nxn) 0 - собственное значение. Поскольку натуральный логарифм не определен в 0, можно ожидать, что ln (T) не может быть определено естественным образом. Это действительно так. В качестве другого примера для

$f\; (z)\; =\; 1\; (z\; -\; 2)\; (z\; -\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(z-2)\; (z-5)\}\; \}\}$

разумным способом вычисления f (T) может быть

$f\; (T)\; =\; (T\; -\; 2\; I)\; -\; 1\; (T\; -\; 5\; I)\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (T)\; =\; (T-2I)\; ^\; \{-\; 1\}\; (T-5I)\; ^\; \{-\; 1\}.\; \backslash ,\}$

Однако это выражение не определено, если инвертирует в правой части не существуют, то есть если 2 или 5 являются собственными значениями T.

Для данной матрицы T собственные значения T определяют, в какой степени f (T) можно определить; т.е. f (λ) должен быть определен для всех собственных значений λ оператора T. Для общего ограниченного оператора это условие переводится как «f должно быть определено на спектре оператора T». Это предположение оказывается разрешающим условием, так что отображение функционального исчисления, f → f (T), имеет определенные желаемые свойства.

Спектр σ (T) голубым цветом и путь γ красным. Случай, когда спектр имеет несколько связанных компонентов и соответствующий путь γ. Случай, когда спектр не является односвязным.

Пусть X - комплексное банахово пространство, а L (X) обозначает семейство ограниченных операторов на X.

Вспомните интегральную формулу Коши из классической теории функций. Пусть f: C→ Cголоморфна на некотором открытом множестве D ⊂ C, а Γ - спрямляемая жорданова кривая в D, то есть замкнутая кривая конечной длины без самопересечений. Предположим, что множество U точек, лежащих внутри Γ, т. Е. Таких, что число вращения Γ вокруг z равно 1, содержится в D. Интегральная формула Коши утверждает, что

$f\; (z)\; Знак\; равно\; 1\; 2\; \pi \; я\; \int \; \Gamma \; е\; (\zeta )\; \zeta \; -\; zd\; \zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -z\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\}$

для любого z в U.

Идея состоит в том, чтобы распространить эту формулу на функции, принимающие значения в банаховом пространстве L ( ИКС). Интегральная формула Коши предлагает следующее определение (пока чисто формальное):

$f\; (T)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta,\}$

где (ζ − T) - резольвента оператора T в точке ζ.

Предполагая, что этот банахов пространственнозначный интеграл определен надлежащим образом, предлагаемое функциональное исчисление подразумевает следующие необходимые условия:

1. Поскольку скалярная версия интегральной формулы Коши применима к голоморфному f, мы ожидаем, что это также будет так. для случая банахова пространства, где должно существовать подходящее понятие голоморфности для функций, принимающих значения в банаховом пространстве L (X).
2. Поскольку резольвентное отображение ζ → (ζ − T) не определено на спектре кривой T, σ (T) жорданова кривая Γ не должна пересекать σ (T). Теперь резольвентное отображение будет голоморфным на дополнении к σ (T). Итак, чтобы получить нетривиальное функциональное исчисление, Γ должно включать (по крайней мере, часть) σ (T).
3. Функциональное исчисление должно быть четко определено в том смысле, что f (T) должна быть независимой функции Γ.

Полное определение функционального исчисления выглядит следующим образом: для T ∈ L (X) положим

$f\; (T)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta,\}$

где f - голоморфная функция, определенная на открытом множестве D ⊂ C, содержащем σ (T), и Γ = {γ 1,..., γ m } - это набор непересекающихся жордановых кривых в D, ограничивающих «внутреннее» множество U, таких, что σ (T) лежит в U, и каждое γ i ориентирован в граничном смысле.

Открытый набор D может изменяться в зависимости от f и не обязательно должен быть связан или односвязным, как показано на рисунках справа.

В следующих подразделах уточняются понятия, использованные в определении, и показано, что f (T) действительно хорошо определена при данных предположениях.

Пространственнозначный банаховый интеграл

См. Интеграл Бохнера

Для непрерывной функции g, определенной в открытой окрестности Γ и принимающей значения в L (X), контурный интеграл ∫ Γ g определяется так же, как и для скалярный случай. Каждый γ i ∈ Γ можно параметризовать действительным интервалом [a, b], а интеграл является пределом сумм Римана, полученных из все более мелких разбиений [a, б]. Суммы Римана сходятся в однородной операторной топологии . Определим

$\int \; \Gamma \; g\; =\; \sum \; i\; \int \; \gamma \; i\; g.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; g\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{i\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{i\}\}\; g.\}$

В определении функционального исчисления предполагается, что f голоморфна в открытой окрестности Γ. Ниже будет показано, что резольвентное отображение голоморфно на резольвентном множестве. Следовательно, интеграл

$1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\}$

имеет смысл.

Резольвентное отображение

Отображение ζ → (ζ − T) называется резольвентным отображением отображения T. Оно определено на дополнении к σ (T), называется резольвентным множеством матрицы T и будет обозначаться через ρ (T).

Большая часть классической теории функций зависит от свойств интеграла

$1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; d\; \zeta \; \zeta \; -\; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; zeta\}\; \{\backslash \; zeta\; -z\}\}.\}$

Голоморфное функциональное исчисление аналогично что отображение резольвенты играет решающую роль в получении свойств, требуемых от хорошего функционального исчисления. В этом подразделе описаны свойства карты резольвенты, существенные в этом контексте.

Формула 1-й резольвенты

Прямой расчет показывает, что для z 1, z 2 ∈ ρ (T),

$(z\; 1\; -\; Т)\; -\; 1\; -\; (z\; 2\; -\; T)\; -\; 1\; =\; (z\; 1\; -\; T)\; -\; 1\; (z\; 2\; -\; z\; 1)\; (z\; 2\; -\; T)\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (z\_\; \{1\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; -\; (z\_\; \{2\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; (z\_\; \{1\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; (z\_\; \{2\}\; -\; z\_\; \{1\})\; (z\_\; \{2\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}.\; \backslash ,\}$

Следовательно,

$(z\; 1\; -\; T)\; -\; 1\; (z\; 2\; -\; T)\; -\; 1\; =\; (z\; 1\; -\; Т)\; -\; 1\; -\; (z\; 2\; -\; T)\; -\; 1\; (z\; 2\; -\; z\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; (z\_\; \{1\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; (z\_\; \{2\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(z\_\; \{1\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; -\; (z\_\; \{2\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{(z\_\; \{2\}\; -z\_\; \{1\})\}\}.\}$

Это уравнение называется формулой первой резольвенты . Формула показывает коммутируют (z 1 −T) и (z 2 −T), что намекает на тот факт, что образ функционального исчисления будет коммутативной алгеброй. Если положить z 2 → z 1, значит, резольвентное отображение (комплексно) дифференцируемо в каждом z 1 ∈ ρ (T); поэтому интеграл в выражении функционального исчисления сходится в L (X).

Аналитичность

Более сильное утверждение, чем дифференцируемость, можно сделать в отношении карты резольвенты. Резольвентное множество ρ (T) на самом деле является открытым множеством, на котором резольвентное отображение аналитично. Это свойство будет использоваться в последующих рассуждениях функционального исчисления. Чтобы проверить это утверждение, пусть z 1 ∈ ρ (T) и обратите внимание на формальное выражение

$1\; z\; 2\; -\; T\; =\; 1\; z\; 1\; -\; T\; \cdot \; 1\; 1\; -\; z\; 1\; -\; z\; 2\; z\; 1\; -\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\_\; \{2\}\; -T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\_\; \{1\}\; -T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; z\_\; \{1\}\; -z\_\; \{2\}\}\; \{z\_\; \{1\}\; -T\}\}\}\}\}$

предлагает рассмотреть

$(z\; 1\; -\; T)\; -\; 1\; \sum \; n\; \ge \; 0\; ((z\; 1\; -\; z\; 2)\; (z\; 1\; -\; T)\; -\; 1)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (z\_\; \{1\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; left\; ((z\_\; \{1\}\; -z\_\; \{2\})\; (z\_\; \{1\}\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}$

для (z 2 -T). Приведенный выше ряд сходится в L (X), что означает существование (z 2 −T), если

Следовательно, резольвентное множество ρ (T) открыто, и выражение степенного ряда на открытом диске с центром в точке z 1 ∈ ρ (T) показывает, что резольвентное отображение аналитично на ρ (T).

Ряд Неймана

Другое выражение для (z-T) также будет полезно. Формальное выражение

$1\; z\; -\; T\; =\; 1\; z\; \cdot \; 1\; 1\; -\; T\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{zT\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{z\}\}\}\}\}$

приводит к рассмотрению

$1\; z\; \sum \; n\; \ge \; 0\; (T\; z)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}.\}$

Эта серия, ряд Неймана сходится к (z − T), если

Компактность σ (T)

От Из последних двух свойств резольвенты можно вывести, что спектр σ (T) ограниченного оператора T является компактным подмножеством C . Следовательно, для любого открытого множества D такого, что σ (T) ⊂ D существует положительно ориентированная гладкая система жордановых кривых Γ = {γ 1,..., γ m } такая, что σ (T) находится внутри Γ и дополнение к D содержится вне Γ. Следовательно, для определения функционального исчисления действительно можно найти подходящее семейство жордановых кривых для каждой f, голоморфной на некотором D.

Хорошо. определенность

Предыдущее обсуждение показало, что интеграл имеет смысл, т. е. подходящий набор Γ жордановых кривых существует для каждого f и интеграл сходится в соответствующем смысле. Не было показано, что определение функционального исчисления однозначно, т.е.не зависит от выбора Γ. Этот вопрос мы сейчас пытаемся решить.

Предварительный факт

Для набора жордановых кривых Γ = {γ 1,..., γ m } и точка a ∈ C, число витков Γ относительно a равно сумме номеров витков его элементов. Если мы определим:

$n\; (\Gamma ,\; a)\; =\; \sum \; in\; (\gamma \; i,\; a),\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (\backslash \; Gamma,\; a)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{i\}\; n\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{i\},\; a),\}$

следующая теорема принадлежит Коши:

Теорема. Пусть G ⊂ C - открытое множество и Γ ⊂ G. Если g: G → C голоморфно, и для всех a в дополнении к G, n (Γ, a) = 0, то контурный интеграл g на Γ равен нулю.

Нам понадобится векторнозначный аналог этого результат, когда g принимает значения в L (X). Для этого пусть g: G → L (X) голоморфен с теми же предположениями относительно Γ. Идея состоит в том, чтобы использовать двойное пространство L (X) * к L (X) и перейти к теореме Коши для скалярного случая.

Рассмотрим интеграл

$\int \; \Gamma \; g\; \in \; L\; (X),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; g\; \backslash \; in\; L\; (X),\}$

, если мы сможем показать, что все φ ∈ L (X) * обращается в нуль на этом интеграле, то сам интеграл должен быть равен нулю. Поскольку φ ограничен и интеграл сходится по норме, имеем:

$\varphi \; (\int \; \Gamma \; g)\; =\; \int \; \Gamma \; \varphi \; (g).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; g\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; phi\; (g).\}$

Но g голоморфен, поэтому композиция φ (g): G ⊂ C→ Cголоморфен, и поэтому по теореме Коши

$\int \; \Gamma \; \varphi \; (g)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; phi\; (g)\; =\; 0.\}$

Главный аргумент

Правильная определенность функционального исчисления теперь следует из простого следствия. Пусть D - открытое множество, содержащее σ (T). Предположим, что Γ = {γ i } и Ω = {ω j } - два (конечных) набора жордановых кривых, удовлетворяющих предположению, данному для функционального исчисления. Мы хотим показать

$\int \; \Gamma \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; =\; \int \; \Omega \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta.\}$

Пусть Ω ′ получается из Ω изменением ориентации каждого ω j, тогда

$\int \; \Omega \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; =\; -\; \int \; \Omega \; \prime \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\; \text{'}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta.\}$

Рассмотрим объединение двух наборов Γ ∪ Ω ′. И Γ ∪ Ω ′, и σ (T) компактны. Итак, существует некоторое открытое множество U, содержащее Γ ∪ Ω ′ такое, что σ (T) лежит в дополнении к U. Любое a в дополнении к U имеет номер поворота n (Γ ∪ Ω ′, a) = 0 и функция

$\zeta \; \to \; е\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\}$

голоморфен на U. Таким образом, вектор-версия теоремы Коши дает

$\int \; \Gamma \; \cup \; \Omega \; \prime \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; cup\; \backslash \; Omega\; \text{'}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; =\; 0\}$

т.е.

$\int \; \Gamma \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; +\; \int \; \Omega \; \prime \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; =\; \int \; \Gamma \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; -\; \int \; \Omega \; f\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\; \text{'}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; =\; 0.\}$

Следовательно, функциональное исчисление хорошо определено.

Следовательно, если f 1 и f 2 - две голоморфные функции, определенные в окрестностях D 1 и D 2 σ (T) и они равны на открытом множестве, содержащем σ (T), то f 1 (T) = f 2 (T). Более того, даже если D 1 может не быть D 2, оператор (f 1 + f 2) (T) является четко определенный. То же верно и для определения (f 1·f2) (T).

В предположении, что f голоморфна над открытой окрестностью σ (T)

До сих пор это предположение не использовалось в полной мере. Для сходимости интеграла использовалась только непрерывность. Для корректности нам нужно только, чтобы f была голоморфна на открытом множестве U, содержащем контуры Γ ∪ Ω ′, но не обязательно σ (T). Предположение будет применяться в целом для демонстрации свойства гомоморфизма функционального исчисления.

Полиномиальный случай

Линейность отображения f ↦ f (T) следует из сходимости интеграла и непрерывности линейных операций в банаховом пространстве.

Мы восстанавливаем полиномиальное функциональное исчисление, когда f (z) = ∑ 0 ≤ i ≤ m aiz - многочлен. Чтобы доказать это, достаточно показать, что для k ≥ 0 и f (z) = z верно, что f (T) = T, т.е.

$1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; \zeta \; k\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; =\; T\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\; =\; T\; ^\; \{k\}\}$

для любого подходящего Γ, охватывающего σ ( Т). Выберем Γ как окружность радиуса, превышающего операторную норму T. Как указано выше, на таком Γ резольвентное разрешение допускает представление степенного ряда

$(z\; -\; T)\; -\; 1\; =\; 1\; z\; \sum \; n\; \ge \; 0\; (Т\; з)\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; (zT)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\; \}.\}$

Подстановка дает

$f\; (T)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; (\sum \; n\; \ge \; 0\; T\; n\; \zeta \; n\; +\; 1\; -\; k)\; d\; \zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{T\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{n\; +\; 1-k\}\}\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zeta\}$

что равно

$\sum \; n\; \ge \; 0\; T\; n\; \cdot \; 1\; 2\; \pi \; i\; (\int \; \Gamma \; d\; \zeta \; \zeta \; n\; +\; 1\; -\; k)\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; T\; n\; \cdot \; \delta \; пк\; =\; Т\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; T\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; zeta\}\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{n\; +\; 1-k\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; T\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; delta\; \_\; \{nk\}\; =\; T\; ^\; \{k\}.\}$

Δ - символ Кронекера.

Свойство гомоморфизма

Для любых f 1 и f 2, удовлетворяющих f предположения, свойство гомоморфизма утверждает

$f\; 1\; (T)\; 2\; (T)\; =\; (f\; 1\; \cdot \; f\; 2)\; (T).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (T)\; f\_\; \{2\}\; (T)\; =\; (f\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; f\_\; \{2\})\; (T).\; \backslash ,\}$

Мы набросаем аргумент, который вызывает первую формулу резольвенты и предположения, сделанные на f. Сначала выберем жордановы кривые так, чтобы Γ 1 лежало внутри Γ 2. Причина этого станет ясна ниже. Начните с прямых вычислений

$f 1 (T) f 2 (T) = (1 2 π i ∫ Γ 1 f 1 (ζ) ζ - T d ζ) (1 2 π i ∫ Γ 2 f 2 (ω) ω - T d ω) = 1 (2 π i) 2 ∫ Γ 1 ∫ Γ 2 f 1 (ζ) f 2 (ω) (ζ - T) (ω - T) d ω d ζ = 1 (2 π i) 2 ∫ Γ 1 ∫ Γ 2 f 1 (ζ) f 2 (ω) ((ζ - T) - 1 - (ω - T) - 1 ω - ζ) d ω d ζ Формула первой резольвенты = 1 (2 π i) 2 {(Γ 1 f 1 (ζ) ζ - T [∫ Γ 2 f 2 (ω) ω - ζ d ω] d ζ) - (∫ Γ 2 f 2 (ω) ω - T [∫ Γ 1 f 1 (ζ) ω - ζ d ζ] d ω)} = 1 (2 π i) 2 ∫ Γ 1 f 1 (ζ) ζ - T [∫ Γ 2 f 2 (ω) ω - ζ d ω] d ζ {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {1} (T) f_ {2} (T) = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ { 1}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ zeta -T}} d \ zeta \ right) \ left ({\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Гамма _ {2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega -T}} \, d \ omega \ right) \\ = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} \ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta) f_ {2} (\ omega)} {(\ zeta -T) (\ omega -T)}} \; d \ omega \, d \ zeta \\ = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} \ int _ {\ Gamma _ { 2}} f_ {1} (\ z eta) f_ {2} (\ omega) \ left ({\ frac {(\ zeta -T) ^ {- 1} - (\ omega -T) ^ {- 1} } {\ omega - \ zeta}} \ справа) d \ omega \, d \ zeta {\ text {Формула первого резольвента}} \\ = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2 }}} \ left \ {\ left (\ int _ {\ Gamma _ {1}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ zeta -T}} \ left [\ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega - \ zeta}} d \ omega \ right] d \ zeta \ right) - \ left (\ int _ {\ Gamma _ { 2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega -T}} \ left [\ int _ {\ Gamma _ {1}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ omega - \ zeta}} d \ zeta \ right] d \ omega \ right) \ right \} \\ = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {\ Gamma _ {1}} {\ frac {f_ {1} (\ zeta)} {\ zeta -T}} \ left [\ int _ {\ Gamma _ {2}} {\ frac {f_ {2} (\ omega)} {\ omega - \ zeta}} d \ omega \ right] d \ zeta \ end {align}}}$

Последняя строка следует из того факта, что ω ∈ Γ 2 лежит вне Γ 1 и f 1 голоморфно в некоторой открытой окрестности σ (T), поэтому второе слагаемое обращение в нуль. Следовательно, имеем:

$f\; 1\; (T)\; f\; 2\; (T)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; 1\; f\; 1\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; [1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; 2\; f\; 2\; (\omega )\; \omega \; -\; \zeta \; d\; \omega ]\; d\; \zeta \; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; 1\; f\; 1\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; [f\; 2\; (\zeta )]\; d\; \zeta \; Интегральная\; формула\; Коши\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; 1\; f\; 1\; (\zeta )\; f\; 2\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; знак\; равно\; (е\; 1\; \cdot \; е\; 2)\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\_\; \{1\}\; (T)\; f\_\; \{2\}\; (T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{1\}\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\}\; \{\backslash \; omega\; -\; \backslash \; zeta\}\}\; d\; \backslash \; omega\; \backslash \; right]\; d\; \backslash \; zeta\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{1\}\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; \backslash \; left\; [f\_\; \{2\}\; (\backslash \; zeta)\; \backslash \; right]\; d\; \backslash \; zeta\; \{\backslash \; text\; \{Интегральная\; формула\; Коши\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; f\_\; \{1\}\; (\backslash \; zeta)\; f\_\; \{2\}\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; d\; \backslash \; zeta\; \backslash \backslash \; =\; (f\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; f\_\; \{2\})\; (T)\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Непрерывность относительно компактной сходимости

Пусть G ⊂ C открыто с σ (T) ⊂ G. Предположим, что последовательность {f k } голоморфных функций на G сходится равномерно на компактных подмножествах G (иногда это называется компактной сходимостью). Тогда {f k (T)}:

Предположим для простоты, что состоит только из одной жордановой кривой. Оценим

$\Vert \; f\; k\; (T)\; -\; f\; l\; (T)\; \Vert \; =\; 1\; 2\; \pi \; \Vert \; \int \; \Gamma \; (f\; k\; -\; f\; l)\; (\zeta )\; \zeta \; -\; T\; d\; \zeta \; \le \; 1\; 2\; \pi \; \int \; \Gamma \; |\; (f\; k\; -\; f\; l)\; (\zeta )\; |\; \cdot \; \Vert \; (\zeta \; -\; T)\; -\; 1\; \Vert \; d\; \zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; |\; f\_\; \{k\}\; (T)\; -f\_\; \{l\}\; (T)\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{(f\_\; \{k\}\; -f\_\; \{l\})\; (\backslash \; zeta)\}\; \{\backslash \; zeta\; -T\}\}\; d\; \backslash \; zeta\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \backslash \; left\; |\; (f\_\; \{k\}\; -f\_\; \{l\})\; (\backslash \; zeta)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; (\backslash \; zeta\; -T)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; d\; \backslash \; zeta\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Комбинируя предположение о равномерной сходимости и различные соображения непрерывности, мы видим, что сказанное выше стремится к 0 при k, l → ∞. Итак, {f k (T)} является Коши, следовательно, сходится.

Уникальность

Подводя итог, мы показали, что голоморфное функциональное исчисление, f → f (T), обладает такими свойствами:

1. Оно расширяет полиномиальное функциональное исчисление.
2. Это гомоморфизм алгебры алгебры голоморфных функций, определенные в окрестностях σ (T), в L (X)
3. Он гибкую сходимость на компактах.

Можно доказать, что исчисление, удовлетворяющее указанным выше свойствам, уникально.

Отметим, что все, что обсуждалось до сих пор, остается дословно, если семейство ограниченных операторов L (X) заменяется банаховой алгеброй A. Функциональное исчисление может быть определено точно таким же образом для элемента A.

Теорема о спектральном отображении

Известно, что спектральное отображение теорема верна для полиномиального функционального исчисления: для любого полинома p σ (p (T)) = p (σ (T)). Это можно распространить на голоморфное исчисление. Чтобы показать, что f (σ (T)) ⊂ σ (f (T)), пусть μ - любое комплексное число. По результату комплексного анализа существует функция g, голоморфная в окрестности σ (T), такая, что

$f\; (z)\; -\; f\; (\mu )\; =\; (z\; -\; \mu )\; g\; (z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (г)\; -f\; (\backslash \; му)\; =\; (г-\; \backslash \; му)\; г\; (г).\; \backslash ,\}$

Согласно своему гомоморфизму, f (T) - f (μ) = (T - μ) g (T). Следовательно, из μ ∈ σ (T) следует f (μ) ∈ σ (f (T)).

Для другого включения, если μ не входит в f (σ (T)), то функциональное исчисление применимо к

$g\; (z)\; =\; 1\; f\; (z)\; -\; \mu .\; \{\backslash \; Displaystyle\; g\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (z)\; -\; \backslash \; mu\}\}.\}$

Итак, g (T) (f (T) - μ) = I. Следовательно, μ не лежат в σ (f (T)).

Спектральные проекции

Основная идея заключается в следующем. Предположим, что K - подмножество σ (T), а U, V - непересекающиеся окрестности K и σ (T) \ K соответственно. Определим e (z) = 1, если z ∈ U, и e (z) = 0, если z ∈ V. Тогда e - голоморфная функция с [e (z)] = e (z) и, значит, для подходящего контура Γ, который лежит в U ∪ V и охватывает σ (T), линейный оператор

$e\; (T)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; e\; (z)\; z\; -\; T\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; (z)\}\; \{zT\}\}\; \backslash ,\; dz\}$

будет ограниченной проекцией, которая коммутирует с T и обеспечивает много полезной информации.

Выясняется, что этот сценарий возможен тогда и только тогда, когда K одновременно открыт и закрыт в топологии подпространства на σ (T). Более того, множество V можно игнорировать, поскольку e на нем равно нулю и, следовательно, не дает вклада в интеграл. Проекция e (T) называется спектральной проекцией T в K и обозначается P (K; T). Таким образом, каждый подмножество K в σ (T) одновременно открыто и закрыто в топологии подпространства, имеет связанную спектральную проекцию, заданную формулой

$P\; (K;\; T)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; \Gamma \; dzz\; -\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (K;\; T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{zT\}\}\}$

где Γ - контур, охватывающий K, но других точек σ (T) нет.

P = P (K; T) ограничен и коммутирует с T, это позволяет выразить T в форме U ⊕ V, где U = T | PX и V = T | (1-P) X. И PX, и (1 - P) X являются инвариантными подпространствами в T, причем σ (U) = K и σ (V) = σ (T) \ K. Ключевым свойством является взаимная ортогональность. Если L - другое открытое и замкнутое множество топологий подпространств на σ (T), то P (K; T) P (L; T) = P (L; T) P (K; T) = P (K ∩ L; T), который равен нулю, если K и L не пересекаются.

Спектральные проекции имеют множество приложений. Любая изолированная точка σ (T) одновременно открыта и замкнута в топологии подпространства и, следовательно, имеет ассоциированную спектральную проекцию. Когда X имеет конечную размерность, σ (T) состоит из полученных точек и результирующие спектральные проекции приводят к варианту жордановой нормальной формы, в которой все жордановые блоки, соответствующие одному и тому же собственному значению, объединяются. Другими словами, каждое собственное значение приходится ровно один блок. В следующем разделе разложение более подробно.

Иногда спектральные проекции наследуют свойства своих родительских владельцев. Например, если T - положительная матрица со спектральным радиусом r, то утверждает теорема Перрона - Фробениуса, что r ∈ σ (T). Соответствующая спектральная проекция P = P (r; T) также положительна, и из-за взаимной ортогональности никакая другая спектральная проекция не может положительной строки или столбца. Фактически TP = rP и (T / r) → P при n → ∞, поэтому эта проекция P (которая называется проекцией Перрона) аппроксимирует (T / r) при увеличении n, и каждый из ее столбцов является собственным вектором T.

В более общем смысле, если T - компактный оператор, все ненулевые точки в σ (T) изолированы, и поэтому любое их конечное подмножество может быть разложения T. Соответствующая спектральная проекция всегда имеет конечный ранг. Те операторы в L (X) с аналогичными спектральными характеристиками известны как операторы Рисса. Многие классы операторов Рисса (включая компактные операторы) являются идеалами в L (X) и представляют собой обширное поле для исследований. Однако, если X - гильбертово пространство, существует ровно один замкнутый идеал, зажатый между операторами Рисса и оператора конечного ранга.

Большая часть предшествующего обсуждения может быть помещена в более широкий контекст сложной банаховой алгебры. Здесь спектральные проекции называются спектральными идемпотентами, поскольку для них больше не может быть места для проецирования.

Разложение инвариантного подпространства

Если спектр σ (T) не связан, X можно разложить на инвариантные подпространства T с использованием функционального исчисления. Пусть σ (T) - несвязное объединение

$\sigma \; (T)\; =\; \bigcup \; i\; =\; 1\; m\; F\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T)\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; F\_\; \{i\}.\}$

Определите e i как 1 в некоторой области, которая содержит только компонент F я и 0 в другом месте. По своему гомоморфизма e i (T) является проекцией для всех i. Фактически это просто спектральная проекция P (F i ; T), описанная выше. Отношение e i (T) T = T e i (T) означает диапазон каждого e i (T), обозначенный X i, является инвариантным подпространством T.

$iei\; (T)\; =\; I,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; e\_\; \{i\}\; (T)\; =\; I,\; \backslash ,\}$

X может быть выражено через эти дополнительные подпространства:

$X\; =\; \sum \; i\; X\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; X\_\; \{i\}.\; \backslash ,\}$

Аналогично, если T i ограничено T до X i, то

$Т\; =\; \sum \; я\; Т\; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; T\_\; \{i\}.\; \backslash ,\}$

Рассмотрим прямую сумму

$X\; \prime \; =\; ⨁\; i\; X\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}=\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\}\; X\_\; \{i\}.\}$

С нормой

$\Vert \; ⨁\; ixi\; \Vert \; =\; \sum \; я\; \Vert \; xi\; \Vert ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; \}\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; |\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; |,\}$

X 'является банаховым пространством. Отображение R: X '→ X определено как

$R\; (⨁\; ixi)\; =\; \sum \; ixi\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\}\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; x\_\; \{\; i\}\}$

- изоморфизм банаховых пространств, и мы видим, что

$RTR\; -\; 1\; =\; ⨁\; i\; T\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; RTR\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\}\; T\_\; \{i\}.\}$

Это можно рассматривать как блочную диагонализацию T.

Когда X конечномерно, σ (T) = {λ i } - конечный набор точек на комплексной плоскости. Выберите e i равным 1 на открытом диске, содержащем только λ i из спектра. Соответствующая блочно-диагональная матрица

$⨁\; i\; T\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\}\; T\_\; \{i\}\}$

является канонической формой Джордана из T.

При более сильных предположениях, когда T является нормальным оператором, действующим в гильбертовом пространстве, область функционального исчисления может быть расширена. При сравнении двух результатов можно провести грубую аналогию со связью между спектральной теоремой для нормальных матриц и жордановой канонической формой. Когда T является нормальным оператором, может быть получено непрерывное функциональное исчисление, то есть можно вычислить f (T), где f является непрерывной функцией, определенной на σ (T). Используя аппарат теории меры, это можно распространить на функции, которые только измеримы (см. функциональное исчисление Бореля ). В этом контексте, если E ⊂ σ (T) является борелевским множеством и E (x) является характеристической функцией E, оператор проекции E (T) является уточнением e i (T), обсуждаемого над.

Функциональное исчисление Бореля распространяется на неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.

Говоря немного более абстрактным языком, голоморфное функциональное исчисление может быть расширено до любого элемента банаховой алгебры, используя по существу те же аргументы, что и выше. Точно так же непрерывное функциональное исчисление справедливо для нормальных элементов в любой C * -алгебре и измеримое функциональное исчисление для нормальных элементов в любой алгебре фон Неймана.

Неограниченные операторы

A голоморфное функциональное исчисление может быть определено аналогичным образом для неограниченных замкнутых операторов с непустым резольвентным множеством.

• Резольвентный формализм
• каноническая форма Джордана, где конечномерный случай обсуждается довольно подробно.

• N. Данфорд и Дж. Шварц, Линейные операторы, Часть I: Общая теория, Междунаука, 1958.
• Стивен Кранц. Словарь по алгебре, арифметике и тригонометрии. CRC Press, 2000. ISBN 1-58488-052-X.
• Исраэль Гохберг, Сеймур Голдберг и Маринус А. Каашук, Классы линейных операторов: Том 1. Birkhauser, 1991. ISBN 978-0817625313.