Функциональная производная

В вариационном исчислении, области математического анализа, функциональная производная (или вариационная производная) связывает изменение функционала (в этом смысле функционал - это функция, которая действует на функции) с изменением функции, на которую функционал зависит от.

В вариационном исчислении функционалы обычно выражаются через интеграл от функций, их аргументов и их производных. В интеграле L от функционала, если функция f изменяется путем добавления к ней другой функции δf, которая является произвольно малой, и полученное подынтегральное выражение разлагается по степеням δf, коэффициент при δf в члене первого порядка называется функционалом производная.

Например, рассмотрим функционал

${\ displaystyle J [f] = \ int _ {a} ^ {b} L (\, x, f (x), f \, '(x) \,) \, dx \,}$

где f ′ ( x) ≡ df / dx. Если f изменить, добавив к нему функцию δf, и получившееся подынтегральное выражение L ( x, f + δf, f '+ δf ′) разложить по степеням δf, то изменение значения J до первого порядка по δf можно выразить следующим образом:

${\ displaystyle \ delta J = \ int _ {a} ^ {b} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial f}} \ delta f (x) + {\ frac {\ partial L} { \ partial f '}} {\ frac {d} {dx}} \ delta f (x) \ right) \, dx \, = \ int _ {a} ^ {b} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial f}} - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} \ right) \ delta f (x) \, dx \, + \, {\ frac {\ partial L} {\ partial f '}} (b) \ delta f (b) \, - \, {\ frac {\ partial L} {\ partial f'}} (a) \ delta f (а) \,}$

где вариация в производной, δf ′ была переписана как производная от вариации ( δf) ′, и использовалось интегрирование по частям.

• 1 Определение
  • 1.1 Функциональная производная
  • 1.2 Функциональный дифференциал
• 2 свойства
• 3 Определение функциональных производных
  • 3.1 Формула
  • 3.2 Примеры
    • 3.2.1 Функционал кинетической энергии Томаса – Ферми
    • 3.2.2 Функционал кулоновской потенциальной энергии
    • 3.2.3 Функционал кинетической энергии Вайцзеккера
    • 3.2.4 Энтропия
    • 3.2.5 Экспоненциальный
    • 3.2.6 Функциональная производная функции
    • 3.2.7 Функциональная производная повторяющейся функции
• 4 Использование дельта-функции в качестве тестовой функции
• 5 Примечания
• 6 Сноски
• 7 ссылки
• 8 Внешние ссылки

В этом разделе определяется функциональная производная. Затем функциональный дифференциал определяется в терминах функциональной производной.

Функциональная производная

Для многообразия M, представляющего ( непрерывные / гладкие ) функции ρ (с некоторыми граничными условиями и т. Д.), И функционал F, определенный как

${\ Displaystyle F \ двоеточие M \ rightarrow \ mathbb {R} \ quad {\ t_dv {или}} \ quad F \ двоеточие M \ rightarrow \ mathbb {C} \,,}$

функциональное производное от F [ ρ ], обозначаемый ; F / δρ, определяется через

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho}} (x) \ phi (x) \; dx amp; = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ гидроразрыв {F [\ rho + \ varepsilon \ phi] -F [\ rho]} {\ varepsilon}} \\ amp; = \ left [{\ frac {d} {d \ varepsilon}} F [\ rho + \ varepsilon \ phi] \ right] _ {\ varepsilon = 0}, \ end {align}}}$

где - произвольная функция. Величина называется вариацией ρ. ${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ phi}$

Другими словами,

${\ displaystyle \ phi \ mapsto \ left [{\ frac {d} {d \ varepsilon}} F [\ rho + \ varepsilon \ phi] \ right] _ {\ varepsilon = 0}}$

является линейным функционалом, поэтому можно применить теорему Рисса – Маркова – Какутани о представлении, чтобы представить этот функционал как интегрирование по некоторой мере. Тогда δF / δρ определяется как производная Радона – Никодима этой меры.

Можно представить себе функцию δF / δρ как градиент F в точке ρ и

${\ displaystyle \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho}} (x) \ phi (x) \; dx}$

как производную по направлению в точке ρ в направлении ϕ. Затем, аналогично векторному исчислению, внутренний продукт с градиентом дает производную по направлению.

Функциональный дифференциал

Дифференциал (или вариация, или первая вариация) функционала равен ${\ Displaystyle F \ влево [\ ро \ вправо]}$

${\ displaystyle \ delta F [\ rho; \ phi] = \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho}} (x) \ \ phi (x) \ dx \.}$

Эвристически это изменение в, так что мы `` формально '' имеем, и тогда это похоже по форме на полный дифференциал функции, ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ phi = \ delta \ rho}$ ${\ Displaystyle F (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}, \ dots, \ rho _ {n})}$

${\ displaystyle dF = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F} {\ partial \ rho _ {i}}} \ d \ rho _ {i} \,}$

где - независимые переменные. Сравнивая последние два уравнения, функциональная производная играет роль, аналогичную роли частной производной, где переменная интегрирования подобна непрерывной версии индекса суммирования. ${\ displaystyle \ rho _ {1}, \ rho _ {2}, \ dots, \ rho _ {n}}$${\ Displaystyle \ дельта F / \ дельта \ ро (х)}$${\ displaystyle \ partial F / \ partial \ rho _ {я}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle i}$

Как и производная функции, функциональная производная удовлетворяет следующим свойствам, где F [ ρ ] и G [ ρ ] - функционалы:

• Линейность:

${\ displaystyle {\ frac {\ delta (\ lambda F + \ mu G) [\ rho]} {\ delta \ rho (x)}} = \ lambda {\ frac {\ delta F [\ rho]} {\ delta \ rho (x)}} + \ mu {\ frac {\ delta G [\ rho]} {\ delta \ rho (x)}},}$

где λ, μ - постоянные.

• Правило продукта:

${\ displaystyle {\ frac {\ delta (FG) [\ rho]} {\ delta \ rho (x)}} = {\ frac {\ delta F [\ rho]} {\ delta \ rho (x)}} G [\ rho] + F [\ rho] {\ frac {\ delta G [\ rho]} {\ delta \ rho (x)}} \,,}$

• Правила цепочки:

Если F - функционал, а G - другой функционал, то

${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {\ delta F [G [\ rho]]} {\ delta \ rho (y)}} = \ int dx {\ frac {\ delta F [G]} {\ delta G ( x)}} _ {G = G [\ rho]} \ cdot {\ frac {\ delta G [\ rho] (x)} {\ delta \ rho (y)}} \.}$

Если G - обычная дифференцируемая функция (локальный функционал) g, то это сводится к

${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {\ delta F [g (\ rho)]} {\ delta \ rho (y)}} = {\ frac {\ delta F [g (\ rho)]} {\ delta g [\ rho (y)]}} \ {\ frac {dg (\ rho)} {d \ rho (y)}} \.}$

Формулу для определения функциональных производных для общего класса функционалов можно записать как интеграл от функции и ее производных. Это обобщение уравнения Эйлера – Лагранжа : действительно, функциональная производная была введена в физику при выводе уравнения Лагранжа второго рода из принципа наименьшего действия в лагранжевой механике (18 век). Первые три нижеприведенных примера взяты из теории функционала плотности (20 век), четвертый - из статистической механики (19 век).

Формула

Учитывая функционал

${\ displaystyle F [\ rho] = \ int f ({\ boldsymbol {r}}, \ rho ({\ boldsymbol {r}}), \ nabla \ rho ({\ boldsymbol {r}})) \, d {\ boldsymbol {r}},}$

и функция ϕ ( r), которая обращается в нуль на границе области интегрирования, из предыдущего раздела Определение,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} \, \ phi ({\ boldsymbol {r}}) \, d {\ boldsymbol {r}} amp; = \ left [{\ frac {d} {d \ varepsilon}} \ int f ({\ boldsymbol {r}}, \ rho + \ varepsilon \ phi, \ nabla \ rho + \ varepsilon \ nabla \ phi) \, d {\ boldsymbol {r}} \ right] _ {\ varepsilon = 0} \\ amp; = \ int \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho} } \, \ phi + {\ frac {\ partial f} {\ partial \ nabla \ rho}} \ cdot \ nabla \ phi \ right) d {\ boldsymbol {r}} \\ amp; = \ int \ left [{ \ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \, \ phi + \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ nabla \ rho}} \, \ phi \ right) - \ left (\ nabla \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ nabla \ rho}} \ right) \ phi \ right] d {\ boldsymbol {r}} \\ amp; = \ int \ left [ {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \, \ phi - \ left (\ nabla \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ nabla \ rho}} \ right) \ phi \ справа] d {\ boldsymbol {r}} \\ amp; = \ int \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ nabla \ rho}} \ right) \ phi ({\ boldsymbol {r}}) \ d {\ boldsymbol {r}} \,. \ e nd {выровнен}}}$

Вторая линия получена с использованием полной производной, где ∂f / ∂∇ ρ - производная скаляра по вектору.

Третья линия была получена с помощью правила произведения для расхождения. Четвертая линия получена с помощью теоремы о расходимости и условия ϕ = 0 на границе области интегрирования. Поскольку ϕ также является произвольной функцией, применяя основную лемму вариационного исчисления к последней строке, функциональная производная равна

${\ displaystyle {\ frac {\ delta F} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ гидроразрыв {\ partial f} {\ partial \ nabla \ rho}}}$

где ρ = ρ ( r) и f = f ( r, ρ, ∇ ρ). Эта формула предназначена для случая функциональной формы, заданной F [ ρ ] в начале этого раздела. Для других функциональных форм определение функциональной производной может использоваться в качестве отправной точки для ее определения. (См. Пример функционала кулоновской потенциальной энергии. )

Вышеприведенное уравнение для функциональной производной можно обобщить на случай, который включает в себя более высокие размерности и производные более высокого порядка. Функционал будет,

${\ displaystyle F [\ rho ({\ boldsymbol {r}})] = \ int f ({\ boldsymbol {r}}, \ rho ({\ boldsymbol {r}}), \ nabla \ rho ({\ boldsymbol {r}}), \ nabla ^ {(2)} \ rho ({\ boldsymbol {r}}), \ dots, \ nabla ^ {(N)} \ rho ({\ boldsymbol {r}})) \, d {\ boldsymbol {r}},}$

где вектор r ∈ ℝ ⁿ, а ∇ ^{( i)} - тензор, n ⁱ компонентов которого являются операторами частных производных порядка i,

${\ displaystyle \ left [\ nabla ^ {(i)} \ right] _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {i}} = {\ frac {\ partial ^ {\, i}} {\ partial r _ {\ alpha _ {1}} \ partial r _ {\ alpha _ {2}} \ cdots \ partial r _ {\ alpha _ {i}}}} \ qquad \ qquad {\ text { где}} \ quad \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ cdots, \ alpha _ {i} = 1,2, \ cdots, n \.}$

Аналогичное применение определения функциональной производной дает

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta F [\ rho]} {\ delta \ rho}} amp; {} = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial (\ nabla \ rho)}} + \ nabla ^ {(2)} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ left (\ nabla ^ { (2)} \ rho \ right)}} + \ dots + (- 1) ^ {N} \ nabla ^ {(N)} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ left (\ nabla ^ {(N)} \ rho \ right)}} \\ amp; {} = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} (- 1) ^ {i} \ nabla ^ {(i)} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ left (\ nabla ^ {(i)} \ rho \ right)}} \. \ end {выровнено} }}$

В последних двух уравнениях n ⁱ компонентов тензора являются частными производными от f по частным производным от ρ, ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ left (\ nabla ^ {(i)} \ rho \ right)}}}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial \ left (\ nabla ^ {(i)} \ rho \ right)}} \ right] _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ { 2} \ cdots \ alpha _ {i}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {i}}}} \ qquad \ qquad {\ text {where}} \ quad \ rho _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {i}} \ Equiv {\ frac {\ partial ^ {\, i} \ rho} {\ partial r _ {\ alpha _ {1}} \, \ partial r _ {\ alpha _ {2}} \ cdots \ partial r _ {\ alpha _ {i}}}} \,}$

а тензорное скалярное произведение есть,

${\ displaystyle \ nabla ^ {(i)} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial \ left (\ nabla ^ {(i)} \ rho \ right)}} = \ sum _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ cdots, \ alpha _ {i} = 1} ^ {n} \ {\ frac {\ partial ^ {\, i}} {\ partial r _ {\ alpha _ { 1}} \, \ partial r _ {\ alpha _ {2}} \ cdots \ partial r _ {\ alpha _ {i}}}} \ {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {i}}}} \.}$

Примеры

Функционал кинетической энергии Томаса – Ферми

Модель Томаса – Ферми 1927 года использовала функционал кинетической энергии для невзаимодействующего однородного электронного газа в первой попытке теории функционала плотности электронной структуры:

${\ Displaystyle T _ {\ mathrm {TF}} [\ rho] = C _ {\ mathrm {F}} \ int \ rho ^ {5/3} (\ mathbf {r}) \, d \ mathbf {r} \,.}$

Поскольку подынтегральное выражение от T TF [ ρ ] не включает производных от ρ ( r), функциональная производная от T TF [ ρ ] равна

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta T _ {\ mathrm {TF}}} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} amp; = C _ {\ mathrm {F}} {\ frac {\ partial \ rho ^ {5/3} (\ mathbf {r})} {\ partial \ rho (\ mathbf {r})}} \\ amp; = {\ frac {5} {3}} C _ {\ mathrm {F}} \ rho ^ {2/3} (\ mathbf {r}) \,. \ End {выравнивается}}}$

Функционал кулоновской потенциальной энергии

Для электронно-ядерного потенциала Томас и Ферми использовали функционал кулоновской потенциальной энергии

${\ displaystyle V [\ rho] = \ int {\ frac {\ rho ({\ boldsymbol {r}})} {| {\ boldsymbol {r}} |}} \ d {\ boldsymbol {r}}.}$

Применяя определение функциональной производной,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {\ delta V} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} \ \ phi ({\ boldsymbol {r}}) \ d { \ boldsymbol {r}} amp; {} = \ left [{\ frac {d} {d \ varepsilon}} \ int {\ frac {\ rho ({\ boldsymbol {r}}) + \ varepsilon \ phi ({\ boldsymbol {r}})} {| {\ boldsymbol {r}} |}} \ d {\ boldsymbol {r}} \ right] _ {\ varepsilon = 0} \\ amp; {} = \ int {\ frac { 1} {| {\ boldsymbol {r}} |}} \, \ phi ({\ boldsymbol {r}}) \ d {\ boldsymbol {r}} \,. \ End {align}}}$

Так,

${\ displaystyle {\ frac {\ delta V} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} = {\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} |}} \.}$

Для классической части электрон-электронного взаимодействия Томас и Ферми использовали функционал кулоновской потенциальной энергии

${\ Displaystyle J [\ rho] = {\ frac {1} {2}} \ iint {\ frac {\ rho (\ mathbf {r}) \ rho (\ mathbf {r} ')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ vert}} \, d \ mathbf {r} d \ mathbf {r}' \,.}$

Из определения функциональной производной,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {\ delta J} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} \ phi ({\ boldsymbol {r}}) d {\ boldsymbol {r}} amp; {} = \ left [{\ frac {d \} {d \ epsilon}} \, J [\ rho + \ epsilon \ phi] \ right] _ {\ epsilon = 0} \\ amp; { } = \ left [{\ frac {d \} {d \ epsilon}} \, \ left ({\ frac {1} {2}} \ iint {\ frac {[\ rho ({\ boldsymbol {r}}) + \ epsilon \ phi ({\ boldsymbol {r}})] \, [\ rho ({\ boldsymbol {r}} ') + \ epsilon \ phi ({\ boldsymbol {r}}')]} {\ vert {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '\ vert}} \, d {\ boldsymbol {r}} d {\ boldsymbol {r}}' \ right) \ right] _ {\ epsilon = 0} \\ amp; {} = {\ frac {1} {2}} \ iint {\ frac {\ rho ({\ boldsymbol {r}} ') \ phi ({\ boldsymbol {r}})} { \ vert {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '\ vert}} \, d {\ boldsymbol {r}} d {\ boldsymbol {r}}' + {\ frac {1} {2 }} \ iint {\ frac {\ rho ({\ boldsymbol {r}}) \ phi ({\ boldsymbol {r}} ')} {\ vert {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '\ vert}} \, d {\ boldsymbol {r}} d {\ boldsymbol {r}}' \\\ конец {выровнено}}}$

Первый и второй члены в правой части последнего уравнения равны, поскольку r и r ' во втором члене можно поменять местами без изменения значения интеграла. Следовательно,

${\ displaystyle \ int {\ frac {\ delta J} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} \ phi ({\ boldsymbol {r}}) d {\ boldsymbol {r}} = \ int \ left (\ int {\ frac {\ rho ({\ boldsymbol {r}} ')} {\ vert {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}' \ vert}} d {\ boldsymbol {r}} '\ right) \ phi ({\ boldsymbol {r}}) d {\ boldsymbol {r}}}$

а функциональная производная функционала электрон-электронного кулоновского функционала потенциальной энергии J [ ρ ] равна,

${\ displaystyle {\ frac {\ delta J} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} = \ int {\ frac {\ rho ({\ boldsymbol {r}} ')} {\ vert {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '\ vert}} d {\ boldsymbol {r}}' \,.}$

Вторая функциональная производная

${\ displaystyle {\ frac {\ delta ^ {2} J [\ rho]} {\ delta \ rho (\ mathbf {r} ') \ delta \ rho (\ mathbf {r})}} = {\ frac { \ partial} {\ partial \ rho (\ mathbf {r} ')}} \ left ({\ frac {\ rho (\ mathbf {r}')} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ vert}} \ right) = {\ frac {1} {\ vert \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ vert}}.}$

Функционал кинетической энергии Вайцзеккера

В 1935 году фон Вайцзеккер предложил добавить градиентную поправку к функционалу кинетической энергии Томаса-Ферми, чтобы он лучше подходил для молекулярного электронного облака:

${\ displaystyle T _ {\ mathrm {W}} [\ rho] = {\ frac {1} {8}} \ int {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho ( \ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}} d \ mathbf {r} = \ int t _ {\ mathrm {W}} \ d \ mathbf {r} \,,}$

где

${\ displaystyle t _ {\ mathrm {W}} \ Equiv {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho \ cdot \ nabla \ rho} {\ rho}} \ qquad {\ text {и }} \ \ \ rho = \ rho ({\ boldsymbol {r}}) \.}$

Используя ранее выведенную формулу для функциональной производной,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta T _ {\ mathrm {W}}} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} amp; = {\ frac {\ partial t_ { \ mathrm {W}}} {\ partial \ rho}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ partial t _ {\ mathrm {W}}} {\ partial \ nabla \ rho}} \\ amp; = - {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho \ cdot \ nabla \ rho} {\ rho ^ {2}}} - \ left ({\ frac {1} {4}} {\ frac { \ nabla ^ {2} \ rho} {\ rho}} - {\ frac {1} {4}} {\ frac {\ nabla \ rho \ cdot \ nabla \ rho} {\ rho ^ {2}}} \ справа) \ qquad {\ text {where}} \ \ \ nabla ^ {2} = \ nabla \ cdot \ nabla \, \ end {align}}}$

и результат,

${\ displaystyle {\ frac {\ delta T _ {\ mathrm {W}}} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})}} = \ \ \, {\ frac {1} {8}} { \ frac {\ nabla \ rho \ cdot \ nabla \ rho} {\ rho ^ {2}}} - {\ frac {1} {4}} {\ frac {\ nabla ^ {2} \ rho} {\ rho }} \.}$

Энтропия

Энтропии дискретной случайной величины является функционалом функции вероятности массовой.

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} Н [п (х)] = - \ сумма _ {х} р (х) \ журнал р (х) \ конец {выровнено}}}$

Таким образом,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {x} {\ frac {\ delta H} {\ delta p (x)}} \, \ phi (x) amp; {} = \ left [{\ frac { d} {d \ epsilon}} H [p (x) + \ epsilon \ phi (x)] \ right] _ {\ epsilon = 0} \\ amp; {} = \ left [- \, {\ frac {d } {d \ varepsilon}} \ sum _ {x} \, [p (x) + \ varepsilon \ phi (x)] \ \ log [p (x) + \ varepsilon \ phi (x)] \ right] _ {\ varepsilon = 0} \\ amp; {} = \ displaystyle - \ sum _ {x} \, [1+ \ log p (x)] \ \ phi (x) \,. \ end {align}}}$

Таким образом,

${\ displaystyle {\ frac {\ delta H} {\ delta p (x)}} = - 1- \ log p (x).}$

Экспоненциальный

Позволять

${\ Displaystyle F [\ varphi (x)] = e ^ {\ int \ varphi (x) g (x) dx}.}$

Используя дельта-функцию в качестве тестовой функции,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta F [\ varphi (x)]} {\ delta \ varphi (y)}} amp; {} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ гидроразрыв {F [\ varphi (x) + \ varepsilon \ delta (xy)] - F [\ varphi (x)]} {\ varepsilon}} \\ amp; {} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} { \ frac {e ^ {\ int (\ varphi (x) + \ varepsilon \ delta (xy)) g (x) dx} -e ^ {\ int \ varphi (x) g (x) dx}} {\ varepsilon }} \\ amp; {} = e ^ {\ int \ varphi (x) g (x) dx} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {e ^ {\ varepsilon \ int \ delta (xy) g (x) dx} -1} {\ varepsilon}} \\ amp; {} = e ^ {\ int \ varphi (x) g (x) dx} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac { e ^ {\ varepsilon g (y)} - 1} {\ varepsilon}} \\ amp; {} = e ^ {\ int \ varphi (x) g (x) dx} g (y). \ end {выравнивается} }}$

Таким образом,

${\ displaystyle {\ frac {\ delta F [\ varphi (x)]} {\ delta \ varphi (y)}} = g (y) F [\ varphi (x)].}$

Это особенно полезно при вычислении корреляционных функций из статистической суммы в квантовой теории поля.

Функциональная производная функции

Функцию можно записать в виде интеграла как функционал. Например,

${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {r}}) = F [\ rho] = \ int \ rho ({\ boldsymbol {r}} ') \ delta ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol { r}} ') \, d {\ boldsymbol {r}}'.}$

Поскольку подынтегральное выражение не зависит от производных ρ, функциональная производная ρ ( r) равна

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}})} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}} ')}} \ Equiv {\ frac { \ delta F} {\ delta \ rho ({\ boldsymbol {r}} ')}} amp; = {\ frac {\ partial \ \} {\ partial \ rho ({\ boldsymbol {r}}')}} \, [\ rho ({\ boldsymbol {r}} ') \ delta ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}}')] \\ amp; = \ delta ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} '). \ end {align}}}$

Функциональная производная повторяющейся функции

Функциональная производная повторяемой функции определяется выражением: ${\ Displaystyle f (е (х))}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta f (f (x))} {\ delta f (y)}} = f '(f (x)) \ delta (xy) + \ delta (f (x) -y)}$

а также

${\ displaystyle {\ frac {\ delta f (f (f (x)))} {\ delta f (y)}} = f '(f (f (x)) (f' (f (x)) \ дельта (ху) + \ дельта (f (x) -y)) + \ delta (f (f (x)) - y)}$

В общем:

${\ displaystyle {\ frac {\ delta f ^ {N} (x)} {\ delta f (y)}} = f '(f ^ {N-1} (x)) {\ frac {\ delta f ^ {N-1} (x)} {\ delta f (y)}} + \ delta (f ^ {N-1} (x) -y)}$

Ввод N = 0 дает:

${\ displaystyle {\ frac {\ delta f ^ {- 1} (x)} {\ delta f (y)}} = - {\ frac {\ delta (f ^ {- 1} (x) -y)} {f '(f ^ {- 1} (x))}}}$

В физике обычно используется дельта-функция Дирака вместо общей тестовой функции для получения функциональной производной в точке (это точка всей функциональной производной, поскольку частная производная является компонентом градиента): ${\ Displaystyle \ дельта (ху)}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta F [\ rho (x)]} {\ delta \ rho (y)}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {F [\ rho (x) + \ varepsilon \ delta (xy)] - F [\ rho (x)]} {\ varepsilon}}.}.$

Это работает в тех случаях, когда формально можно расширить как серию (или, по крайней мере, до первого порядка) в. Однако формула не является математически строгой, поскольку обычно даже не определяется. ${\ Displaystyle F [\ rho (x) + \ varepsilon f (x)]}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle F [\ rho (x) + \ varepsilon \ delta (xy)]}$

Определение, данное в предыдущем разделе, основано на соотношении, которое сохраняется для всех тестовых функций, поэтому можно подумать, что оно должно выполняться также, когда выбрана конкретная функция, такая как дельта-функция. Однако последняя не является допустимой тестовой функцией (это даже не правильная функция). ${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$

В определении функциональная производная описывает, как функционал изменяется в результате небольшого изменения всей функции. Конкретная форма изменения не указывается, но она должна распространяться на весь интервал, на котором определен. Использование особой формы возмущения, задаваемого дельта-функцией, имеет смысл, который изменяется только в точке. За исключением этого пункта, нет никаких изменений в. ${\ Displaystyle F [\ rho (x)]}$${\ Displaystyle \ rho (х)}$${\ Displaystyle \ rho (х)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ rho (х)}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle \ rho (х)}$

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953). "Глава IV. Вариационное исчисление". Методы математической физики. Vol. I (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., стр. 164–274. ISBN   978-0471504474. Руководство по ремонту   0065391. Zbl   0001.00501. |volume=имеет дополнительный текст ( справка ).
• Frigyik, Béla A.; Шривастава, Сантош; Гупта, Майя Р. (январь 2008 г.), Введение в функциональные производные (PDF), Технический отчет UWEE, UWEETR-2008-0001, Сиэтл, Вашингтон: Департамент электротехники Вашингтонского университета, стр. 7, архивировано из оригинального (PDF) 17 февраля 2017 г., получено 23 октября 2013 г..
• Гельфанд И.М. ; Фомин, С.В. (2000) [1963], Вариационное исчисление, переведено и отредактировано Ричардом А. Сильверманом (пересмотренное английское издание), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN   978-0486414485, Руководство по ремонту   0160139, Zbl   0127.05402.
• Джакинта, Мариано ; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление 1. Лагранжев формализм, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 310 (1-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN   3-540-50625-X, Руководство по ремонту   1368401, Zbl   0853.49001.
• Грейнер, Уолтер ; Рейнхардт, Иоахим (1996), «Раздел 2.3 - Функциональные производные», квантование поля, с предисловием Д.А. Бромли, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.  36–38, ISBN   3-540-59179-6, Руководство по ремонту   1383589, Zbl   0844.00006.
• Парр, Р.Г.; Ян, В. (1989). «Приложение А, Функционал». Плотно-функциональная теория атомов и молекул. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 246–254. ISBN   978-0195042795.

• «Функциональная производная», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]