Четыре тока

В специальной и общей теории относительности четырехтоковый (технически четырехтактный плотность тока ) является четырехмерным аналогом плотности электрического тока. Также известный как векторный ток, он используется в геометрическом контексте четырехмерного пространства-времени, а не в трехмерном пространстве и времени отдельно. Математически это четырехвектор и ковариант Лоренца.

. Аналогично, можно иметь любую форму «плотности тока», означающую поток величины в единицу времени на единицу площадь. см. плотность тока для получения дополнительной информации об этой величине.

В этой статье используется соглашение о суммировании для индексов. См. Раздел ковариация и контравариантность векторов для получения информации о повышенных и пониженных индексах и повышение и понижение индексов о том, как переключаться между ними.

• 1 Определение
  • 1.1 Движение зарядов в пространстве-времени
  • 1.2 Физическая интерпретация
• 2 Уравнение неразрывности
• 3 Уравнения Максвелла
• 4 Общая теория относительности
• 5 Квантовая теория поля
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Использование метрики Минковского $\eta \; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$из сигнатуры метрики (+ - - -), четырехтоковые компоненты задаются следующим образом:

$J\; \alpha \; =\; (c\; \rho ,\; j\; 1,\; j\; 2,\; j\; 3)\; =\; (c\; \rho ,\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; left\; (c\; \backslash \; rho,\; j\; ^\; \{1\},\; j\; ^\; \{2\},\; j\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (c\; \backslash \; rho,\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; right)\}$

где c - скорость света, ρ - плотность заряда, а j обычное плотность тока. фиктивный индекс α обозначает пространство-время измерения.

Движение зарядов в пространстве-времени

Это также может быть выражено в терминах четырех -скорость по уравнению:

$J\; \alpha \; =\; \rho \; 0\; U\; \alpha \; =\; \rho \; u\; 1\; -\; u\; 2\; c\; 2\; U\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; U\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{u\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{u\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; U\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

где:

- $\rho \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{u\}\}$- это плотность заряда, измеренная инерционным наблюдателем O, который видит электрический ток, движущийся со скоростью u ( величина 3-скорости );

- $\rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}$- «плотность заряда покоя», то есть плотность заряда для сопутствующего наблюдателя (наблюдателя, движущегося со скоростью u - относительно инерционный наблюдатель О - вместе с зарядами).

Качественно изменение плотности заряда (заряда на единицу объема) связано с сокращенным объемом заряда из-за лоренцевского сжатия.

Физическая интерпретация

Заряды (бесплатные или как распределение) в состоянии покоя будет казаться оставаться в одном и том же пространственном положении в течение некоторого интервала времени (пока они неподвижны). Когда они действительно движутся, это соответствует изменению положения, поэтому заряды имеют скорость, а движение заряда составляет электрический ток. Это означает, что плотность заряда связана со временем, а плотность тока связана с пространством.

Четыре тока объединяют плотность заряда (связанную с электричеством) и плотность тока (связанную с магнетизмом) в одном электромагнитном объекте.

В специальной теории относительности утверждение сохранения заряда состоит в том, что инвариант лоренца дивергенция J равна нулю:

$\partial \; J\; \alpha \; \partial \; Икс\; \alpha \; знак\; равно\; \partial \; \rho \; \partial \; T\; +\; \nabla \; \cdot \; J\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; J\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичный\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; =\; 0\; \backslash ,,\}$

где $\partial \; /\; \partial \; x\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$- это четырехградиентный. Это уравнение неразрывности.

В общей теории относительности уравнение неразрывности записывается как:

$J\; \alpha ;\; \alpha \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\}\; \_\; \{;\; \backslash \; alpha\}\; =\; 0\; \backslash ,,\}$

где точка с запятой представляет ковариантную производную.

Четыре-ток появляется в двух эквивалентных формулировках уравнений Максвелла в терминах четырехпотенциала :

$◻\; A\; \alpha \; =\; \mu \; 0\; J\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; A\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; J\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

где $◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\}$- это оператор Даламбера, или тензор электромагнитного поля :

$\nabla \; \beta \; F\; \alpha \; \beta \; =\; \mu \; 0\; J\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; F\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; J\; ^\; \{\; \backslash \; alpha\}\}$

где μ 0 - проницаемость свободного пространства, а ∇ β - ковариантная производная.

В общей теории относительности четырехпоток определяется как дивергенция электромагнитного смещения, определяемая как

$D\; \mu \; \nu \; =\; 1\; \mu \; 0\; g\; \mu \; \alpha \; F\; \alpha \; \beta \; g\; \beta \; \nu \; -\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; F\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash ,\; g\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; nu\}\; \backslash ,\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; \backslash ,\}$

, затем

$J\; \mu \; =\; \partial \; \nu \; D\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$

Плотность заряда с четырьмя токами является важным компонентом плотности лагранжиана, используемой в квантовой электродинамике. В 1956 году Герштейн и Зельдович рассмотрели гипотезу сохраняющегося векторного тока (ВАХ) для электрослабых взаимодействий.

• Четырехвекторная
• теорема Нётер
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Исчисление Риччи

1. ^Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 103–107. ISBN 978-0-19-853952-0.
2. ^Роальд К. Вангснесс, Электромагнитные поля, 2-е издание (1986), стр. 518, 519
3. ^Мелвин Шварц, Принципы электродинамики, Дуврское издание (1987), стр. 122, 123
4. ^Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика, 3-е издание (1999), с. 554
5. ^как [исх. 1, p519]
6. ^Cottingham, W. Noel; Гринвуд, Дерек А. (2003). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц. Издательство Кембриджского университета. п. 67. ISBN 9780521588324.
7. ^Маршак, Роберт Э. (1993). Концептуальные основы современной физики элементарных частиц. Всемирная научная издательская компания. п. 20. ISBN 9789813103368.
8. ^Gershtein, S.S.; Зельдович Ю. Б. (1956). ЖЭТФ, 2 576.
9. ^Томас, Энтони В. (1996). «ВАХ в физике элементарных частиц». arXiv :nucl-th/9609052.