Флаг (линейная алгебра)

редактировать

В математике, особенно в линейной алгебре a, флаг представляет собой возрастающую последовательность подпространств конечномерного векторного пространства V. Здесь «возрастающий» означает, что каждое является собственным подпространством следующего (см. фильтрация ):

{0} = V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ ⊂ ⊂ V k = V. {\ displaystyle \ {0 \} = V_ {0} \ subset V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset \ cdots \ subset V_ {k} = V.}

\ {0 \} = V_ {0} \ subset V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset \ cdots \ подмножество V_ {k} = V.

Если мы напишем dim V i = d i, тогда мы имеем

0 = d 0 < d 1 < d 2 < ⋯ < d k = n, {\displaystyle 0=d_{0}

0 = d_ {0} <d_ {1} <d_ {2} <\ cdots <d_ {k} = n,

, где n - размер V (предполагается, что он конечномерный). Следовательно, должно быть k ≤ n. Флаг называется полным флагом, если d i = i для всех i, в противном случае он называется частичным флагом .

Частичный флаг может быть получен из полного flag, удалив некоторые подпространства. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (многими различными способами) путем вставки подходящих подпространств.

подпись флага представляет собой последовательность (d 1,… d k).

При определенных условиях результирующая последовательность напоминает флаг с точкой, соединенной с линией, соединенной с поверхностью.

Содержание

1 Базы
2 Стабилизатор
3 Гнездо подпространств
4 Теоретико-множественные аналоги
5 См. Также
6 Ссылки

Базы

Упорядоченный базис для V называется адаптированным к флагу, если первые d i базисных векторов образуют базис для V i для каждого 0 ≤ i ≤ k. Стандартные аргументы линейной алгебры могут показать, что любой флаг имеет адаптированный базис.

Любой упорядоченный базис порождает флаг завершения, позволяя V i быть диапазоном первых i базисных векторов. Например, стандартный флаг в R индуцируется из стандартного базиса (e1,..., e n), где e i обозначает вектор с единицей в i-м слоте и нулями в другом месте. Конкретно, стандартный флаг - это подпространства:

0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1, e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1, …, e n ⟩ = K n. {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}

0 <\ left \ langle e_ {1} \ right \ rangle <\ left \ langle e_ {1}, e_ { 2} \ right \ rangle <\ cdots <\ left \ langle e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \ right \ rangle = K ^ {n}.

адаптированный базис почти никогда не бывает уникальным (тривиальные контрпримеры); увидеть ниже.

Полный флаг на внутреннем пространстве продукта имеет по существу уникальный ортонормированный базис : он уникален вплоть до умножения каждого вектора на единицу (скаляр единичной длины, как 1, -1, i). Это проще всего доказать индуктивно, заметив, что $v i ∈ V i - 1 ⊥ < V i {\displaystyle v_{i}\in V_{i-1}^{\perp }$ $v_ {i} \ in V_ {{i-1}} ^ {\ perp} <V_ {i}$ , что определяет его однозначно с точностью до единицы.

Более абстрактно, он уникален до действия максимального тора : флаг соответствует борелевской группе, а внутреннее произведение соответствует максимальная компактная подгруппа.

Стабилизатор

Подгруппа стабилизатора стандартного флага - это группа обратимых верхнетреугольных матриц.

В более общем смысле, стабилизатор флага (линейные операторы на V такие, что $T (V i) < V i {\displaystyle T(V_{i})$ $T (V_ {i}) <V_ {i}$ для всех i) в терминах матрицы является алгебра блоков верхнетреугольных матриц (относительно адаптированного базиса), где размеры блока $di - di - 1 {\ displaystyle d_ {i} -d_ {i -1}}$ $d_ {i} -d _ {{i-1}}$ . Подгруппа стабилизатора полного флага - это набор обратимых верхнетреугольных матриц по отношению к любому базису, адаптированному к флагу. Подгруппа нижнетреугольных матриц относительно такого базиса зависит от этого базиса и, следовательно, не может быть охарактеризована только в терминах флага.

Подгруппа стабилизатора любого полного флага - это подгруппа Бореля (из общей линейной группы ), а стабилизатор любых частичных флагов - параболическая subgroup.

Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированные основания для флага, и, таким образом, они не являются уникальными, если стабилизатор не является тривиальным. Это очень исключительное обстоятельство: это происходит только для векторного пространства размерности 0 или для векторного пространства над $F 2 {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {2}}$ $\ mathbf {F} _ {2}$ размерности 1 (именно в тех случаях, когда существует только один базис, независимо от любого флага).

Вложение подпространств

В бесконечномерном пространстве V, используемом в функциональном анализе, идея флага обобщается на гнездо подпространств, а именно набор подпространств V, который является полным порядком для включения и который далее замкнут относительно произвольных пересечений и замкнутых линейных промежутков. См. алгебра гнезд.

Теоретико-множественные аналоги

С точки зрения поля с одним элементом набор можно рассматривать как векторное пространство над полем с один элемент: это формализует различные аналогии между группами Кокстера и алгебраическими группами.

В соответствии с этим соответствием порядок на множестве соответствует максимальному флагу: порядок эквивалентен максимальной фильтрации задавать. Например, фильтрация (флаг) ${0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2} {\ displaystyle \ {0 \} \ subset \ {0,1 \} \ subset \ {0, 1,2 \}}$ $\ {0 \} \ subset \ {0,1 \} \ subset \ {0,1,2 \}$ соответствует порядку $(0, 1, 2) {\ displaystyle (0,1,2)}$ $(0,1,2)$ .

См. Также

Литература

Шафаревич, И.Р. ; Ремизов А.О. (2012). Линейная алгебра и геометрия. Спрингер. ISBN 978-3-642-30993-9.