Размер набора цилиндров

редактировать

В математике, Измерение набора цилиндров (или измерение, или предварительная мера, или квази-мера, или CSM ) является своего рода прототипом для меры на бесконечномерном векторное пространство. Примером является гауссовский показатель множества цилиндров в гильбертовом пространстве.

Меры множества цилиндров, как правило, не (и, в частности, не должны быть счетно-аддитивными, но только конечно аддитивный ), но может использоваться для определения мер, таких как классическая мера Винера на множестве непрерывных путей, начинающихся в начале координат в евклидовом пространстве.

Содержание

1 Определение
2 Примечания
3 Меры набора цилиндров и меры
4 Меры множества цилиндров в гильбертовом пространстве
5 Ядерные пространства и меры множества цилиндров
6 См. Также
7 Ссылки

Определение

Пусть E будет разделимым, вещественным, топологическим векторным пространством. Пусть $A (E) {\ displaystyle {\ mathcal {A}} (E)}$ ${\ mathcal {A}} (E)$ обозначает совокупность всех сюръективных, непрерывных линейных отображений T: E → F T, определенный на E, образ которого представляет собой некоторое конечномерное вещественное векторное пространство F T:

A (E): = {T ∈ L in (E; FT) ∣ T сюръективно и dim R ⁡ FT < + ∞ }. {\displaystyle {\mathcal {A}}(E):=\{T\in \mathrm {Lin} (E;F_{T})\mid T{\t_dv{ surjective and }}\dim _{\mathbb {R} }F_{T}<+\infty \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (E): = \ { T \ in \ mathrm {Lin} (E; F_ {T}) \ mid T {\ t_dv {Surjective and}} \ dim _ {\ mathbb {R}} F_ {T} <+ \ infty \}.}

A мера множества цилиндров на E представляет собой набор вероятностных мер

{μ T ∣ T ∈ A (E)}. {\ displaystyle \ {\ mu _ {T} \ mid T \ in {\ mathcal {A}} (E) \}.}

{\ displaystyle \ {\ mu _ {T} \ mid T \ in {\ mathcal {A}} (E) \}.}

где μ T - вероятностная мера на F Т. Эти меры необходимы для удовлетворения следующего условия согласованности: если π ST : F S → F T является сюръективной проекцией, то продвижение вперед меры выглядит следующим образом:

μ T = (π ST) ∗ (μ S). {\ displaystyle \ mu _ {T} = \ left (\ pi _ {ST} \ right) _ {*} (\ mu _ {S}).}

\ mu _ {{T}} = \ left (\ pi _ {{ST}} \ right) _ {{*}} (\ mu _ {{S}}).

Примечания

Условие согласованности

μ T знак равно (π ST) * (μ S) {\ displaystyle \ mu _ {T} = \ left (\ pi _ {ST} \ right) _ {*} (\ mu _ {S})}

\ mu _ {{T}} = \ left (\ pi _ {{ST}} \ right) _ {{*}} ( \ mu _ {{S}})

моделируется на основе того, что истинные измерения продвигаются вперед (см. Раздел Сравнение наборов цилиндров и истинных измерений). Однако важно понимать, что в случае измерения набора цилиндров это требование, которое является частью определения, а не результатом.

Меру множества цилиндров можно интуитивно понять как определение конечно-аддитивной функции на множествах цилиндров топологического векторного пространства E. множества цилиндров - это прообразы в E измеримых множеств в F T : если $BT {\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {T}}$ ${\ mathcal {B}} _ {{T}}$ обозначает σ-алгебра на F T, на которой определено μ T, тогда

C yl (E): = {T - 1 (B) ∣ B ∈ BT, T ∈ A (E)}. {\ displaystyle \ mathrm {Cyl} (E): = \ {T ^ {- 1} (B) \ mid B \ in {\ mathcal {B}} _ {T}, T \ in {\ mathcal {A} } (E) \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {Cyl} (E): = \ {T ^ {- 1} (B) \ mid B \ in {\ mathcal {B}} _ {T}, T \ in {\ mathcal {A}} (E) \}.}

На практике часто принимают $BT {\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {T}}$ ${\ mathcal {B}} _ {{T}}$ как борелевское σ -алгебра на F T. В этом случае можно показать, что когда E является разделимым банаховым пространством, σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, в точности является борелевской σ-алгеброй пространства E:

B orel (E) = σ (C yl (E)). {\ displaystyle \ mathrm {Borel} (E) = \ sigma \ left (\ mathrm {Cyl} (E) \ right).}

{\ mathrm {Borel}} (E) = \ sigma \ left ({\ mathrm {Cyl}} (E) \ right).

Меры множества цилиндров в сравнении с мерами

Меры множества цилиндров на E на самом деле не является мерой на E: это набор мер, определенных на всех конечномерных образах E.Если E имеет вероятностную меру μ, уже определенную на нем, то μ порождает меру цилиндрического множества на E, используя push вперед: установить μ T = T ∗ (μ) на F T.

, когда есть мера μ на E, такая что μ T = T ∗ (μ) таким образом, обычно слегка злоупотребляют обозначением и говорят, что размер набора цилиндров ${μ T | T ∈ A (E)} {\ displaystyle \ {\ mu _ {T} | T \ in {\ mathcal {A}} (E) \}}$ $\ {\ mu _ {{T}} | T \ in {\ mathcal {A}} (E) \}$ "является" мерой μ.

Меры цилиндрического множества на гильбертовых пространствах

Когда банахово пространство E на самом деле является гильбертовым пространством H, существует каноническое гауссово мера набора цилиндров γ, возникающая из структуры внутреннего продукта на H. В частности, если ⟨,⟩ обозначает внутренний продукт на H, пусть ⟨,⟩ T обозначают на F Т. Затем определяется мера γ T на F T как каноническая гауссовская мера на F T:

γ TH: = i ∗ (γ dim ⁡ FT), {\ displaystyle \ gamma _ {T} ^ {H}: = i _ {*} \ left (\ gamma ^ {\ dim F_ {T}} \ right),}

\ gamma _ {{T}} ^ {{H}}: = i _ {{*}} \ left (\ gamma ^ {{\ dim F _ {{ T}}}} \ right),

где i: R → F T - это изометрия гильбертовых пространств, переводящая евклидово внутреннее произведение на R во внутреннее произведение ⟨,⟩ T на F T, а γ - стандартная гауссовская мера на R.

. Каноническая мера гауссовского цилиндрического множества на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве H не соответствуют истинной мере на H. Доказательство довольно просто: шар радиуса r (с центром 0) имеет меру, не более чем равную мере шара радиуса r в n-мерном гильбертовом пространстве, и это стремится к 0, когда n стремится к бесконечности. Таким образом, шар радиуса r имеет меру 0; поскольку гильбертово пространство представляет собой счетное объединение таких шаров, оно также имеет меру 0; противоречие.

Альтернативное доказательство того, что мера множества гауссовских цилиндров не является мерой, использует теорему Камерона – Мартина и результат о квазиинвариантности мер. Если бы γ = γ действительно было мерой, то функция идентичности на H радонизировала бы эту меру, таким образом превратив id: H → H в абстрактное винеровское пространство. По теореме Камерона – Мартина γ будет квазиинвариантным относительно сдвига любым элементом H, из чего следует, что либо H конечномерна, либо γ - нулевая мера. В любом случае получаем противоречие.

Теорема Сазонова дает условия, при которых продвижение канонической меры множества гауссовских цилиндров может быть превращено в истинную меру.

Ядерные пространства и меры множества цилиндров

Мера множества цилиндров на двойственном ядерном пространстве Фреше автоматически расширяется до меры, если ее преобразование Фурье непрерывно.

Пример : Пусть S будет пространством функций Шварца на конечномерном векторном пространстве; это ядерно. Он содержится в гильбертовом пространстве H L функций, которое, в свою очередь, содержится в пространстве умеренных распределений S ', двойственном ядерному Пространство Фреше S:

S ⊆ H ⊆ S ′. {\ displaystyle S \ substeq H \ substeq S '.}

S\subseteq H\subseteq S'.

Мера гауссовского цилиндрического множества на H дает меру цилиндрического множества в пространстве умеренных распределений, которая продолжается до меры в пространстве умеренных распределений S'.

Гильбертово пространство H имеет меру 0 в S ′, согласно первому аргументу, использованному выше, чтобы показать, что мера канонического гауссовского цилиндрического множества на H не распространяется на меру на H.

См. также

Цилиндрическая σ-алгебра

Литература

IM Гельфанд, Н.Я. Виленкин, Обобщенные функции. Приложения гармонического анализа, Том 4, Акад. Press (1968)
Р.А. Минлос (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
R.A. Минлос (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
L. Шварц, Радоновые меры.