Войти
Подсчет - это процесс определения числа из элементов из конечного набора объектов. Традиционный способ подсчета состоит в непрерывном увеличении (мысленного или устного) счетчика на единицу для каждого элемента набора в определенном порядке, при этом отмечая (или смещая) эти элементы, чтобы избежать посещения одного и того же элемента более одного раза, пока немаркированные элементы остаются; если счетчик был установлен на единицу после первого объекта, значение после посещения последнего объекта дает желаемое количество элементов. Связанный термин перечисление относится к уникальной идентификации элементов конечного (комбинаторного) набора или бесконечного набора путем присвоения номера каждому элементу.
Иногда при подсчете используются числа, отличные от единицы; например, при счете денег, отсчете сдачи, «счете по два» (2, 4, 6, 8, 10, 12,...) или «счете по пять» (5, 10, 15, 20, 25,...).
Существуют археологические данные, свидетельствующие о том, что люди вели подсчет как минимум 50 000 лет. Подсчет в основном использовался в древних культурах для отслеживания социальных и экономических данных, таких как количество членов группы, хищных животных, имущества или долгов (то есть бухгалтерский учет ). Зубчатые кости были также найдены в Пограничных пещерах в Южной Африке, что может свидетельствовать о том, что концепция счета была известна людям еще в 44000 году до нашей эры. Развитие счета привело к развитию математической записи, системы счисления и письма.
Счет с использованием счетных меток на пляже Ханакапяй Подсчет может происходить в самых разных формах.
Счет может быть словесным; то есть произносить каждое число вслух (или мысленно), чтобы отслеживать прогресс. Это часто используется для подсчета уже имеющихся объектов, вместо того, чтобы подсчитывать различные вещи с течением времени.
Подсчет также может осуществляться в виде меток подсчета, когда делается отметка для каждого числа, а затем подсчитываются все отметки после подсчета. Это полезно при подсчете объектов с течением времени, например, количества раз, когда что-то происходит в течение дня. Подсчет ведется по основанию 1; нормальный подсчет выполняется по основанию 10. Компьютеры используют подсчет с основанием 2 (нули и единицы).
Подсчет также может осуществляться в форме подсчета пальцев, особенно при подсчете небольших чисел. Это часто используется детьми для облегчения счета и выполнения простых математических операций. Для подсчета пальцев используется унарная запись (один палец = одна единица), поэтому он ограничен счетом до 10 (если вы не начинаете с пальцев ног). В старых методах подсчета пальцев использовались четыре пальца и три кости на каждом пальце (фаланги ), чтобы считать до числа двенадцать. Также используются другие системы жестов руками, например китайская система, по которой можно считать до 10, используя только жесты одной руки. Используя двоичный код пальца (счет по основанию 2), можно поддерживать счетчик пальцев до 1023 = 2-1.
Для облегчения счета также могут использоваться различные устройства, такие как ручные счетчики и счеты.
Инклюзивный счет обычно встречается при работе со временем в романских языках. В исключительных языках подсчета, таких как английский, при отсчете «8» дней от воскресенья понедельник будет днем 1, вторник - днем 2, а следующий понедельник будет восьмым днем. При подсчете «включительно» воскресенье (день начала) будет днем 1, и, следовательно, следующее воскресенье будет восьмым днем. Например, французское выражение «две недели » - quinzaine (15 [дней]), и похожие слова присутствуют в греческом (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero), испанском (quincena) и португальском (quinzena). Напротив, само английское слово «две недели» происходит от «четырнадцати ночей», а архаичное «sennight » происходит от «семи ночей»; английские слова не являются примерами инклюзивного счета.
Имена, основанные на инклюзивном подсчете, появляются и в других календарях: в римском календаре нон (означает «девять») на 8 дней раньше ид; а в христианском календаре Quinquagesima (то есть 50) - это 49 дней до пасхального воскресенья.
В музыкальной терминологии также используется инклюзивный подсчет интервалов между нотами стандартной шкалы: подъем на одну ноту - это второй интервал, подъем на две ноты - это третий интервал и т. Д. семь нот - это октава.
Обучение счету - важная веха в образовании и развитии в большинстве культур мира. Обучение счету - это самый первый шаг ребенка к математике и составляет самую фундаментальную идею этой дисциплины. Однако некоторые культуры в Амазонии и австралийской глубинке не считаются, и в их языках нет числовых слов.
Многие дети в возрасте всего 2 лет имеют определенные навыки в чтении списка подсчета (то есть, говоря «один, два, три,...»). Они также могут ответить на вопросы об обычности для небольших чисел, например, «Что будет после трех?». Они могут даже научиться указывать на каждый объект в наборе и произносить слова одно за другим. Это приводит многих родителей и педагогов к выводу, что ребенок умеет использовать счет для определения размера набора. Исследования показывают, что после изучения этих навыков ребенку требуется около года, чтобы понять, что они означают и почему выполняются процедуры. А пока дети учатся называть мощности, которые они могут субитизировать.
В математике суть подсчета множества и нахождения результата n заключается в том, что он устанавливает взаимно однозначное соответствие (или биекция) множества с множеством чисел {1, 2,..., n}. Фундаментальный факт, который может быть доказан с помощью математической индукции, заключается в том, что не может существовать взаимно однозначного соответствия между {1, 2,..., n} и {1, 2,..., m}, если только n = м; этот факт (вместе с тем фактом, что два взаимно однозначных соответствия могут быть составлены, чтобы дать другое взаимное соответствие) гарантирует, что подсчет одного и того же набора разными способами никогда не может привести к разным числам (если не будет сделана ошибка). Это основная математическая теорема, объясняющая его цель; как бы вы ни считали (конечное) множество, ответ тот же. В более широком контексте теорема представляет собой пример теоремы из математической области (конечной) комбинаторики, поэтому (конечную) комбинаторику иногда называют «математикой счета».
Многие множества, возникающие в математике, не позволяют установить биекцию с {1, 2,..., n} для любого натурального числа n; они называются бесконечными множествами, тогда как те множества, для которых существует такая биекция (для некоторого n), называются конечными множествами. Бесконечные множества нельзя считать в обычном смысле; во-первых, математические теоремы, лежащие в основе этого обычного смысла для конечных множеств, неверны для бесконечных множеств. Кроме того, различные определения понятий, в терминах которых сформулированы эти теоремы, хотя и эквивалентны для конечных множеств, не эквивалентны в контексте бесконечных множеств.
Понятие подсчета может быть распространено на них в смысле установления (существования) взаимно однозначности с некоторым хорошо понятным набором. Например, если набор может быть приведен в соответствие с множеством всех натуральных чисел, то он называется «счетно бесконечным ». Этот вид подсчета принципиально отличается от подсчета конечных множеств тем, что добавление новых элементов к набору не обязательно увеличивает его размер, поскольку не исключена возможность взаимного соответствия с исходным множеством. Например, набор всех целых чисел (включая отрицательные числа) может быть приведен в соответствие с набором натуральных чисел, и даже, казалось бы, гораздо большие наборы, такие как все конечные последовательности рациональных чисел, все еще (только) счетно бесконечно. Тем не менее, есть наборы, такие как набор действительных чисел, которые могут быть показаны как «слишком большие», чтобы допускать взаимное соответствие с натуральными числами, и эти множества называются «несчетными. " Говорят, что множества, для которых существует взаимное соответствие между ними, имеют одинаковую мощность, и в самом общем смысле подсчет множества может означать определение его мощности. Помимо мощностей, задаваемых каждым из натуральных чисел, существует бесконечная иерархия бесконечных мощностей, хотя в обычной математике встречается очень мало таких мощностей (то есть за пределами теории множеств, которая явно изучает возможные мощности).
Счет, в основном состоящий из конечных множеств, имеет различные приложения в математике. Один важный принцип заключается в том, что если два множества X и Y имеют одинаковое конечное число элементов, а функция f: X → Y известна как инъективная, то она также сюръективна, наоборот. Связанный с этим факт известен как принцип, который гласит, что если два множества X и Y имеют конечное число элементов n и m с n>m, то любое отображение f: X → Y не является инъективным ( так что существуют два различных элемента X, которые f отправляет одному и тому же элементу Y); это следует из первого принципа, поскольку если бы f был инъективным, то его ограничение на строгое подмножество S в X с m элементами было бы таким же, что ограничение было бы сюръективным, что противоречит тому факту, что для x в X вне S функция f (x) не может находиться в образе ограничения. Подобные аргументы подсчета могут доказать существование определенных объектов без явного указания примера. В случае бесконечных множеств это может применяться даже в ситуациях, когда невозможно привести пример.
Область перечислительной комбинаторики имеет дело с вычислением количества элементов конечных множеств без собственно их подсчет; последнее обычно невозможно, потому что сразу рассматриваются бесконечные семейства конечных множеств, такие как набор перестановок числа {1, 2,..., n} для любого натурального числа n.
.
