Войти
В алгебре, учитывая кольцо R, категория левые модули над R - это категория, в которой объекты все левые модули над R, а морфизмы - все модульные гомоморфизмы между левыми R-модулями. Например, когда R - кольцо целых чисел Z, это то же самое, что и категория абелевых групп. Аналогичным образом определяется категория правых модулей .
Примечание: Некоторые авторы используют термин категория модуля для категории модулей. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку он может также относиться к категории с действием моноидальной категории.
Категории левого и правого модулей - это абелевы категории. Эти категории имеют достаточно проективных и достаточно инъективных. Теорема вложения Митчелла утверждает, что каждая абелева категория возникает как полная подкатегория категории модулей.
Проективные пределы и индуктивные пределы существуют в категориях левых и правых модулей.
Над коммутативным кольцом вместе с тензорное произведение модулей ⊗, категория модулей - это симметричная моноидальная категория.
Категория K- Vect (некоторые авторы используют Vect K) все векторные пространства над полем K как объекты, а K-линейные карты как морфизмы. Поскольку векторные пространства над K (как поле) - это то же самое, что и модули над кольцом K, K- Vect является частным случаем R- Mod, категория левых R-модулей.
Большая часть раздела линейной алгебры касается описания K- Vect . Например, теорема о размерности для векторных пространств говорит, что классы изоморфизма в K- Vect точно соответствуют кардинальным числам, и что K- Vect эквивалентен подкатегории в K- Vect, объектами которой являются векторные пространства K, где n равно любое кардинальное число.
Категория связок модулей над кольцевым пространством также имеет достаточно инъективных (хотя и не всегда достаточно проективных).
.
