In математика, теорема о размерности для векторных пространств состояние s, что все базы векторного пространства имеют одинаковое количество элементов. Это количество элементов может быть конечным или бесконечным (в последнем случае это кардинальное число ) и определяет размерность векторного пространства.
Формально теорема размерности для векторных пространств гласит, что
В качестве основы порождающий набор, который является линейно независимым, теорема является следствием следующей теоремы, которая также полезна:
В частности, если V конечно порожден, то все его базы конечны и имеют одинаковое количество элементов.
В то время как доказательство существования базиса для любого векторного пространства в общем случае требует леммы Цорна и фактически эквивалентно аксиоме выбора, для единственности мощности базиса требуется только лемма об ультрафильтре, которая является строго более слабой (однако приведенное ниже доказательство предполагает трихотомию, т. е. что все кардинальные числа сопоставимы, что также эквивалентно аксиоме выбора). Теорема может быть обобщена на произвольные R-модули для колец R, имеющих инвариантный базисный номер.
. В конечно порожденном случае доказательство использует только элементарные аргументы алгебры, и не требует аксиомы выбора или ее более слабых вариантов.
Пусть V будет векторным пространством, {a i : i ∈ I} - линейно независимый набор элементов V, а {b j : j ∈ J} - порождающий набор. Необходимо доказать, что мощность у I не больше, чем у J.
Если J конечно, это следует из леммы об обмене Стейница. (Действительно, лемма об обмене Стейница подразумевает, что каждое конечное подмножество I имеет мощность не больше, чем мощность J, следовательно, I конечно с мощностью не больше, чем у J.) Если J конечно, доказательство основано по теории матриц также возможно.
Предположим, что J бесконечно. Если я конечно, то доказывать нечего. Таким образом, мы можем считать, что I также бесконечно. Предположим, что мощность I больше, чем мощность J. Мы должны доказать, что это приводит к противоречию.
Согласно лемме Цорна, каждое линейно независимое множество содержится в максимальном линейно независимом множестве K. Из этой максимальности следует, что K охватывает V и, следовательно, является базисом (максимальность подразумевает, что каждый элемент из V линейно зависит от элементов K и, следовательно, является линейной комбинацией элементов K). Поскольку мощность K больше или равна мощности I, можно заменить {a i : i ∈ I} на K, то есть без ограничения общности можно предположить, что { a i : i ∈ I} - базис.
Таким образом, каждое b j может быть записано как конечная сумма
где - конечное подмножество Поскольку J бесконечно, имеет ту же мощность, что и J. Поэтому имеет мощность меньше, чем у I. Итак есть , который не встречается ни в каком . Соответствующий может быть выражен как конечная линейная комбинация s, что, в свою очередь, может быть выражено как конечная линейная комбинация s, не включая . Следовательно, линейно зависит от других s, которые дает желаемое противоречие.
Это приложение теоремы о размерности иногда само называют теоремой о размерности. Пусть
будет линейным преобразованием. Тогда
, то есть размер U равен размеру диапазона преобразования плюс размер ядра. См. теорему о рангах и недействительности для более полного обсуждения.