Особая трасса

В математике сингулярная трасса - это трасса на промежутке линейные операторы сепарабельного гильбертова пространства, исчезающие на операторах конечного ранга. Особые следы - это особенность бесконечномерных гильбертовых пространств, таких как пространство суммируемых с квадратом последовательностей и пространства суммируемых с квадратом функций. Линейные операторы в конечномерном гильбертовом пространстве имеют только нулевой функционал в качестве сингулярного следа, поскольку все операторы имеют конечный ранг. Например, матричные алгебры не имеют нетривиальных сингулярных трасс, а матричная трасса является уникальной трассой вплоть до масштабирования.

Американский математик Гэри Вейсс, а затем британский математик Найджел Калтон в бесконечномерном случае обнаружили нетривиальные сингулярные следы на идеале операторов класса следов. Следовательно, в отличие от конечномерного случая, в бесконечных измерениях канонический оператор trace не является единственным следом вплоть до масштабирования. След оператора - это непрерывное продолжение следа матрицы от операторов конечного ранга ко всем операторам класса следа, а термин сингулярный происходит из того факта, что особый след исчезает там, где след матрицы поддерживается, аналогично сингулярной мере исчезает там, где поддерживается мера Лебега.

Сингулярные следы измеряют асимптотическое спектральное поведение операторов и нашли применение в некоммутативной геометрии французского математика Алена Конна. С точки зрения эвристики, особый след соответствует способу суммирования чисел a 1, a 2, a 3,... который полностью ортогонален или ' сингулярное 'относительно обычной суммы a 1 + a 2 + a 3 +.... Это позволяет математикам суммировать последовательности, такие как гармоническая последовательность (и операторы с аналогичным спектральным поведением), которые расходятся для обычной суммы. Аналогичным образом (некоммутативная) теория меры или теория вероятности может быть построена для распределений, подобных распределению Коши (и операторов с аналогичным спектральным поведением), которые не имеют конечное ожидание в обычном смысле.

• 1 Происхождение
• 2 Определение
• 3 Существование и характеристика
  • 3.1 Существование
  • 3.2 Формулировка Лидского
  • 3.3 Формулировка Фредгольма
• 4 Использование в некоммутативной геометрии
• 5 Примеры
  • 5.1 Идеалы без следов
  • 5.2 Идеалы со следами
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 См. Также

К 1950 году французский математик Жак Диксмье, основатель полуконечной теории алгебр фон Неймана, считал, что след на ограниченных операторах сепарабельного гильбертова пространства автоматически будет нормальным с точностью до некоторых тривиальных контрпримеров. В течение 15 лет Диксмье, опираясь на предложение Нахмана Ароншайна и неравенства, доказанные Джозефом Хершем, разработал пример нетривиального, но ненормального следа на слабых операторах класса следов, опровергнув его более ранний вид. Особые следы, основанные на конструкции Диксмье, называются следами Диксмье.

Независимо и разными методами немецкий математик Альбрехт Пич (де) исследовал следы на идеалах операторов в банаховых пространствах. В 1987 году Найджел Калтон ответил на вопрос Питча, показав, что след оператора не является единственным следом на квазинормированных собственных субидеалах операторов класса следа в гильбертовом пространстве. Йожеф Варга самостоятельно изучил аналогичный вопрос. Чтобы решить вопрос о единственности следа на полном идеале операторов класса следа, Калтон разработал спектральное условие для коммутаторного подпространства операторов класса следа, следуя результатам Гэри Вейсса. Следствием результатов Вейсса и спектрального условия Калтона стало существование нетривиальных особых следов на операторах класса следов.

Также независимо и с другого направления Мариуш Водзицки исследовал некоммутативный остаток, след на классических псевдодифференциальных операторах на компактном многообразии, который исчезает на псевдодифференциальных операторах класса следа порядка меньше, чем отрицательная размерность многообразия.

След φ на двустороннем идеале J ограниченных линейных операторов B (H) в сепарабельном гильбертовом пространстве H - это линейный функционал φ: J → ℂ такой, что φ (AB) = φ (BA) для всех операторов A от J и B от B (H). То есть след - это линейный функционал на J, который обращается в нуль на коммутаторе Com (J) пространства J.

След φ сингулярен, если φ (A) = 0 для любого A из субидеала операторов конечного ранга F (H) в пределах J.

Особые следы характеризуются спектральным соответствием Калкина между двусторонними идеалами ограниченных операторов в гильбертовом пространстве и перестановочно-инвариантных пространствах последовательностей. Используя спектральную характеристику коммутаторного подпространства , полученную Кеном Дайкемой, Тадеушем Фигилом, Гэри Вейссом и Мариушем Водзицким, каждому следу φ на двустороннем идеале J соответствует единственное f на соответствующем пространстве последовательностей Калкина. j такое, что

$\phi \; (A)\; =\; f\; (\mu \; (A))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (A)\; =\; \{\backslash \; rm\; \{f\}\}\; (\backslash \; mu\; (A))\}$

(1)

для любого положительного оператора A, принадлежащего J. Здесь μ: J + → j + - отображение положительного оператора в его особые значения. Особый след φ соответствует симметричному функционалу f на пространстве последовательностей j, который обращается в нуль на c 00, последовательностях с конечным числом ненулевых членов.

Характеристика параллельна построению обычного следа оператора, где

$T\; r\; (A)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \mu \; (n,\; A)\; =\; \sum \; \mu \; (A)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; (n,\; A)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; mu\; (A)\}$

для положительного следа оператор класса. Операторы класса трассировки и пространство последовательностей суммируемых последовательностей находятся в соответствии Калкина. (Сумма является симметричным функционалом на пространстве суммируемых последовательностей.)

Существование

Ненулевой след φ существует на двустороннем идеале J операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. если размерность его коммутаторного подпространства не равна нулю. Существуют идеалы, допускающие бесконечно много линейно независимых ненулевых особых следов. Например, коммутаторное подпространство идеала слабых операторов класса следа содержит идеал операторов класса следа, а каждый положительный оператор в коммутаторе подпространства слабого класса следа является классом следа. Следовательно, каждый след на идеале слабого класса следа является сингулярным, а размерность коммутаторного подпространства идеалов слабого класса следа бесконечна. Не все сингулярные следы на идеале класса слабых следов являются следами Диксмье.

Формулировка Лидского

След квадратной матрицы - это сумма ее собственных значений. Формула Лидского расширяет этот результат на функциональный анализ и утверждает, что след оператора класса следов A задается суммой его собственных значений,

$T\; r\; (A)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \lambda \; (\; n,\; A)\; =\; \sum \; (\lambda \; (A)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; lambda\; (n,\; A)\; =\; \backslash \; sum\; (\backslash \; lambda\; (A)).\}$

характеризацию (1) следа φ на положительных операторах двухидеала J как симметричного функционала, примененного к сингулярным значениям, можно улучшить до утверждения, что след φ на любом операторе в J задается тем же симметричным функционалом, применяемым к последовательностям собственных значений при условии, что собственные значения всех операторов в J принадлежат пространству j последовательностей Калкина. В частности, если ограниченный оператор A принадлежит J, если в J существует такой ограниченный оператор B, что

$\prod \; k\; =\; 0\; n\; \mu \; (k,\; A)\; \le \; \prod \; k\; =\; 0\; n\; \mu \; (k,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mu\; (k,\; A)\; \backslash \; leq\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mu\; (k,\; B)\}$

(2)

для каждого натурального числа n, то для каждого следа φ на J существует уникальный симметричный функционал f в пространстве Калкина j с

$\phi \; (A)\; =\; f\; (\lambda \; (A))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (A)\; =\; \{\backslash \; rm\; \{f\}\}\; (\backslash \; lambda\; (A))\}$

(3)

где λ (A) - последовательность собственных значений оператора A в J, переставленная так, чтобы абсолютное значение собственных значений уменьшается. Если A квазинильпотентно, то λ (A) - нулевая последовательность. Большинство двусторонних идеалов удовлетворяют свойству (2), включая все банаховы идеалы и квазибанаховы идеалы.

Уравнение (3) является точным утверждением, что особые следы измеряют асимптотическое спектральное поведение операторов.

Формулировка Фредгольма

След квадратной матрицы - это сумма ее диагональных элементов. В функциональном анализе соответствующая формула для операторов класса трассировки:

$T\; r\; (A)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; ⟨A\; en,\; en⟩\; =\; \sum \; (\{⟨A\; en,\; en⟩\}\; n\; =\; 0\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; langle\; Ae\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; (\backslash \; \{\backslash \; langle\; Ae\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\})\}$

где {e n}n = 0 - произвольный ортонормированный базис разделяемого Гильбертово пространство H. Особые следы не имеют эквивалентной формулировки для произвольных базисов. Только когда φ (A) = 0, оператор A обычно удовлетворяет условию

$\phi \; (A)\; =\; f\; (\{⟨A\; en,\; en⟩\}\; n\; =\; 0\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (A)\; =\; \{\backslash \; rm\; \{\; f\}\}\; (\backslash \; \{\backslash \; langle\; Ae\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\})\}$

для особого следа φ и произвольного ортонормированного базиса {e n}n = 0.

Диагональная формулировка часто используется вместо формулировки Лидского для расчета следа продуктов, поскольку собственные значения продуктов трудно определить. Например, в квантовой статистической механике математическое ожидание наблюдаемой S вычисляется относительно фиксированного оператора плотности энергии T следового класса по формуле

$⟨S⟩\; =\; T\; r\; (ST)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; ⟨S\; en,\; en⟩\; \lambda \; (N,\; T)\; знак\; равно\; v\; T\; (\{⟨S\; en,\; en⟩\}\; n\; =\; 0\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; S\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; (ST)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; langle\; Se\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; lambda\; (n,\; T)\; =\; v\_\; \{T\}\; (\backslash \; \{\backslash \; langle\; Se\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\})\}$

где v T принадлежит (l ∞)*≅ l 1. математическое ожидание вычисляется из значений ожидания ⟨Se n, e n ⟩ и вероятности ⟨P n ⟩ = λ (n, T) того, что система в связанном квантовом состоянии e n. Здесь P n - оператор проекции на одномерное подпространство, охватываемое энергетическим собственным состоянием en. Собственные значения произведения, λ (n, ST), не имеют эквивалентной интерпретации.

Имеются результаты для особых следов продуктов. Для продукта ST, где S ограничено, а T самосопряжено int и принадлежит двустороннему идеалу J, то

$\phi \; (ST)\; =\; f\; (\{⟨S\; en,\; en⟩\; \lambda \; (n,\; T)\}\; n\; =\; 0\; \infty )\; =\; v\; \phi ,\; T\; (\{\; ⟨S\; en,\; en⟩\}\; n\; знак\; равно\; 0\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (ST)\; =\; \{\backslash \; rm\; \{f\}\}\; (\backslash \; \{\backslash \; langle\; Se\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; lambda\; (n,\; T)\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\})\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; varphi,\; T\}\; (\backslash \; \{\backslash \; langle\; Se\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\})\}$

для любого следа φ на J. Ортонормированный базис {e n}n = 0 должен быть упорядочен так, чтобы Te n = μ (n, T) e n, n = 0,1,2.... Когда φ сингулярно и φ (T) = 1, то v φ, T - линейный функционал на l ∞, который расширяет предел на бесконечности на сходящейся последовательности c. Математическое ожидание S⟩ = φ (ST) в этом случае обладает тем свойством, что ⟨P n ⟩ = 0 для каждого n, или что вероятность нахождения в связанном квантовом состоянии отсутствует. Это

$⟨S⟩\; =\; ``\; предел\; в\; бесконечности\; \text{'}\text{'}\; ⟨S\; en,\; en⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; S\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; text\; \{``\; предел\; в\; бесконечности\; \text{'}\text{'}\}\}\; \backslash \; langle\; Se\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\}$

привел к связи между сингулярными трассами, принципом соответствия и классическими пределами,

Первым применением сингулярных следов был некоммутативный вычет , след на классических псевдодифференциальных операторах на компактном многообразии, который исчезает на псевдодифференциальных операторах класса следов порядка, меньшего, чем отрицательный размер размерности многообразия., независимо друг от друга представил Мариуша Водзицки и Виктора Гиймена. Ален Конн охарактеризовал некоммутативный остаток в некоммутативной геометрии, обобщении Конна дифференциальной геометрии, используя следы Диксмье.

В некоммутативная геометрия,

$\int \; S\; =\; T\; r\; \omega \; (S\; |\; D\; |\; -\; d).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; S\; =\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; (S\; |\; D\; |\; ^\; \{-\; d\}).\}$

(4)

Здесь S - ограниченный линейный оператор на Гильбертово пространство L 2 (X) квадратично интегрируемых функций на d-мерном замкнутом многообразии X, Tr ω является следом Диксмье на классе слабых следов идеал, а плотность | D | в слабом классе следов идеалом является d-я степень «линейного элемента» | D | где D - оператор типа Дирака, нормированный подходящим образом, так что Tr ω (| D |) = 1.

Математическое ожидание (4) является расширением интеграла Лебега на коммутативной алгебре существенно ограниченных функций, действующих умножением на L 2 (X), на полную некоммутативную алгебру ограниченных операторов на L 2 (Х). То есть

$\int \; M\; f\; =\; \int \; X\; f\; (x)\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; M\_\; \{f\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

где dx - это форма объема на X, f - существенно ограниченная функция, и M f - ограниченный оператор M f h (x) = (fh) (x) для любой интегрируемой с квадратом функции h в L 2 (X). Одновременно математическое ожидание (4) является пределом на бесконечности квантовых ожиданий S → ⟨Se n,en⟩, определяемых собственными векторами лапласиана на X. Точнее, для многих ограниченных операторов на L 2 (X), включая все классические псевдодифференциальные операторы нулевого порядка и операторы вида M f, где f - существенно ограниченная функция, последовательность ⟨ Se n, e n ⟩ логарифмически сходится и

$\int \; S\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; \sum \; k\; =\; 0\; n\; 1\; 1\; +\; k\; ⟨S\; ek,\; ek⟩\; \sum \; k\; =\; 0\; п\; 1\; 1\; +\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; S\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; k\}\}\; \backslash \; langle\; Se\_\; \{k\},\; e\_\; \{k\}\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; k\}\}\}\}\}$

Эти свойства связаны с спектр операторов типа Дирака, а не следам Диксмье; они остаются в силе, если след Диксмье в (4) заменить любым следом на операторах класса слабых следов.

Предположим, что H - сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство.

Идеалы без следов

• Ограниченные операторы. Пол Халмош показал в 1954 году, что любой ограниченный оператор в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве является суммой двух коммутаторов. То есть Com (B (H)) = B (H) и когерентность коммутаторного подпространства B (H) равна нулю. Ограниченные линейные операторы не имеют всюду определенных следов. Квалификация актуальна; поскольку алгебра фон Неймана B (H) допускает полуконечные (сильно-плотно определенные) следы.

Современное исследование коммутаторного подпространства включает проверку его спектральной характеристики. Следующие ниже идеалы не имеют следов, поскольку Чезаро означает, что положительных последовательностей из соответствующего пространства последовательностей Калкина принадлежат обратно в пространство последовательностей, указывая, что идеал и его коммутаторное подпространство равны.

• Компактные операторы. Коммутаторное подпространство Com (K (H)) = K (H), где K (H) обозначает компактные линейные операторы. Идеал компактных операторов не имеет следов.
• p-идеалы Шаттена. Коммутаторное подпространство Com (L p) = L p, p>1, где L p обозначает p-идеал Шаттена,

и μ (A) обозначает последовательность сингулярных значений компактного оператора A. Идеалы Шаттена при p>1 не оставляют следов.

• p-идеалы Лоренца или слабо-L p идеалы . Коммутаторное подпространство Com (L p, ∞) = L p, ∞, p>1, где

$L\; p,\; \infty \; =\; \{A\; \in \; K\; (H):\; \mu \; (N,\; A)\; знак\; равно\; O\; (N\; -\; 1\; p)\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{p,\; \backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; K\; (H):\; \backslash \; mu\; (n,\; A)\; =\; O\; (n\; ^\; \{-\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\}\}\})\; \backslash \}\}$

- идеал со слабым L p. Идеалы слабого L p, p>1, не оставляют следов. Идеалы слабого L p равны идеалам Лоренца (ниже) с вогнутой функцией ψ (n) = n.

Идеалы со следами

• Операторы конечного ранга. Проверено из спектрального условия равенства ядра оператора trace Tr и коммутаторного подпространства операторов конечного ранга ker Tr = Com (F (H)). Отсюда следует, что коммутаторное подпространство Com (F (H)) имеет размерность 1 в F (H). До масштабирования Tr - это уникальная трассировка на F (H).
• Операторы класса трассировки. Операторы класса трассировки L 1 строго содержат Com (L 1) in ker Tr. Таким образом, размерность коммутаторного подпространства больше единицы, и показано, что она бесконечна. Хотя Tr, с точностью до масштабирования, является единственным непрерывным следом на L 1 для нормы || A || 1 = Tr (| A |), идеалом операторов класса следа допускает бесконечно много линейно независимых и нетривиальных особых следов.

• Операторы класса слабых следов . Поскольку Com (L 1, ∞)+= (L 1)+), когерентность коммутаторного подпространства слабого L 1 идеала бесконечна. Каждый след на операторах класса слабого следа обращается в нуль на операторах класса следов и, следовательно, является сингулярным. Операторы класса слабого следа образуют наименьший идеал, в котором каждый след на идеале должен быть сингулярным. Следы Диксмье обеспечивают явное построение следов на операторах класса слабого следа

$T\; р\; \omega \; (A)\; знак\; равно\; \omega \; (\{1\; журнал\; \; (1\; +\; n)\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \lambda \; (k,\; A)\}\; n\; =\; 0\; \infty ),\; A\; \in \; L\; 1,\; \infty .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; (A)\; =\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; log\; (1\; +\; n)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; (k,\; A)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; A\; \backslash \; in\; L\_\; \{1,\; \backslash \; infty\}.\}$

Эта формула верна для каждого слабого оператора класса следов A и включает собственные значения, упорядоченные по убыванию модуля.Также ω может быть любым расширением до l ∞ обычного предела, он не обязательно должен быть инвариантным к растяжению, как в исходной формулировке Диксмье. Не все особые следы на Идеалы ak-класса трассировки - это следы Диксмье.

• k-тензорные слабые идеалы класса трассировки . Идеалы weak-L p, p>1, не оставляют следов, как объяснялось выше. Они не подходят для факторизации следов высших порядков на идеале класса слабых следов L 1, ∞. Для натурального числа k ≥ 1 идеалы

$E\; \otimes \; k\; =\; \{A\; \in \; K\; (H):\; \mu \; (n,\; A)\; =\; O\; (log\; k\; -\; 1\; \; (n)\; /\; n)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{\; \backslash \; otimes\; k\}\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; K\; (H):\; \backslash \; mu\; (n,\; A)\; =\; O\; (\backslash \; log\; ^\; \{k-1\}\; (n)\; /\; n)\; \backslash \}\}$

формируют соответствующую настройку. У них есть коммутаторные подпространства бесконечной ко-размерности, которые образуют цепочку, такую ​​что E ⊗k-1 ⊂ Com (E ⊗k) (с условием, что E 0 = L 1). Следы Диксмье на E ⊗k имеют вид

$T\; r\; \omega \; k\; (A)\; =\; \omega \; (\{1\; log\; k\; \; (1\; +\; n)\; \sum \; j\; =\; 0\; n\; \lambda \; (j,\; A)\}\; n\; =\; 0\; \infty ),\; A\; \in \; E\; \otimes \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{k\}\; (A)\; =\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; log\; ^\; \{k\}\; (1\; +\; n)\; \}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; (j,\; A)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; A\; \backslash \; in\; E\; \_\; \{\backslash \; otimes\; k\; \}.\}$

• ψ-идеалы Лоренца. Естественная ситуация для следов Диксмье - ψ-идеал Лоренца для вогнутой возрастающей функции ψ: [0, ∞) → [0, ∞),

Существуют некоторые ω, расширяющие обычный предел до l ∞, такие

$T\; р\; \omega \; \psi \; (A)\; знак\; равно\; \omega \; (\{1\; \psi \; (1\; +\; n)\; \sum \; j\; =\; 0\; n\; \lambda \; (j,\; A)\}\; n\; =\; 0\; \infty ),\; A\; \in \; L\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{Tr\}\}\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{\backslash \; psi\}\; (A)\; =\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; psi\; (1\; +\; n)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\; \}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; (j,\; A)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; A\; \backslash \; in\; L\; \_\; \{\backslash \; psi\}\}$

является сингулярным следом, если и только если

$lim\; inf\; n\; \to \; \infty \; \psi \; (2\; n)\; \psi \; (n)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; liminf\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; psi\; (2n)\}\; \{\backslash \; psi\; (\; n)\}\}\; =\; 1.\}$

Главный идеал, порожденный любым компактным оператором A с μ (A) = ψ ', называется «малым идеалом» внутри L ψ. Идеал k-тензорного класса слабого следа - это малый идеал внутри идеала Лоренца с ψ = log.

• обобщающие идеалы Лоренца. Трассы Диксмье образуют все полностью симметричные трассы на идеале Лоренца с точностью до масштабирования и образуют слабое * плотное подмножество полностью симметричных трасс на общем полностью симметричном идеале. Известно, что полностью симметричные следы представляют собой строгое подмножество положительных следов на полностью симметричном идеале. Следовательно, следы Диксмье не являются полным набором положительных следов идеалов Лоренца.

• S. Лорд Ф. А. Сукочев. Д. Занин (2012). Особые следы: теория и приложения. Берлин: Де Грюйтер. DOI : 10.1515 / 9783110262551. ISBN 978-3-11-026255-1.

• B. Саймон (2005). Проследите идеалы и их приложения. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. ISBN 978-0-82-183581-4.

• А. Пич (1981). «Операторские идеалы со следом». Mathematische Nachrichten. 100 : 61–91. doi : 10.1002 / mana.19811000105.

• A. Пич (1987). Собственные значения и s-числа. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-52-132532-5.

• С. Альбеверио; Д. Гвидо; А. Поносов; С. Скарлатти (1996). «Сингулярные следы и компактные операторы» (PDF). Журнал функционального анализа. 137 (2): 281–302. doi : 10.1006 / jfan.1996.0047.

• M. Водзицки (2002). "Vestigiavestiganda" (PDF). Московский математический журнал. 2 (4): 769–798. DOI : 10.17323 / 1609-4514-2002-2-4-769-798.

• А. Конн (1994). Некоммутативная геометрия. Бостон, Массачусетс: Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5.

• Трассировка Диксмье