След Диксмье

редактировать

В математике след Диксмье, введенный Жаком Диксмье (1966), является ненормальным следом на пространстве линейных операторов на гильбертовом пространстве большего размера чем пространство операторов класса трассировки. Трассы Диксмье являются примерами сингулярных трасс.

Некоторые применения трасс Диксмье к некоммутативной геометрии описаны в (Connes 1994).

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Свойства
  • 3 Примеры
  • 4 Ссылки
  • 5 См. Также

Определение

Если H - гильбертово пространство, то L ( H) - это пространство компактных линейных операторов T на H таких, что норма

‖ T ‖ 1, ∞ = sup N ∑ i = 1 N μ i (T) log ⁡ (N) {\ displaystyle \ | T \ | _ {1, \ infty} = \ sup _ {N} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mu _ {i} (T)} {\ log (N)}}}{\ displaystyle \ | T \ | _ {1, \ infty} = \ sup _ {N} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mu _ {i} (T)} {\ log (N)}}}

конечно, где числа μ i (T) являются собственными значениями | T | расположены в порядке убывания. Пусть

a N = ∑ i = 1 N μ i (T) log ⁡ (N) {\ displaystyle a_ {N} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mu _ { i} (T)} {\ log (N)}}}{\ displaystyle a_ {N} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mu _ {i} (T)} {\ log (N)}}} .

След Диксмье Tr ω (T) оператора T определен для положительных операторов T оператора L (H) как

Tr ω ⁡ (T) = lim ω a N {\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {\ omega} (T) = \ lim _ {\ omega} a_ {N}}{\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {\ omega} (T) = \ lim _ {\ omega} a_ {N} }

где lim ω является масштабно-инвариантным положительным «расширением» обычного предела на все ограниченные последовательности. Другими словами, он имеет следующие свойства:

  • lim ω(αn) ≥ 0, если все α n ≥ 0 (положительность)
  • lim ω(αn) = lim (α n), если существует обычный предел
  • lim ω(α1, α 1, α 2, α 2, α 3,...) = lim ω(αn) (масштабная инвариантность)

Существует много таких расширений (например, предел Банаха для α 1, α 2, α 4, α 8,...), поэтому существует множество различных следов Диксмье. Поскольку след Диксмье линейен, он распространяется по линейности на все операторы L (H). Если след Диксмье оператора не зависит от выбора lim ω, тогда оператор называется измеримым .

Свойства

  • Trω(T) линейны по T.
  • Если T ≥ 0, то Tr ω (T) ≥ 0
  • Если S ограничено, то Tr ω (ST) = Tr ω (TS)
  • Trω(T) не зависит от выбора скалярного произведения на H.
  • Trω(T) = 0 для всех операторов класса трассировки T, но есть компактные операторы, для которых он равен 1.

След φ называется нормальным, если φ (sup x α) = sup φ (x α) для любого ограниченного возрастающего направленного семейства положительных операторов. Любой нормальный след на L 1, ∞ (H) {\ displaystyle L ^ {1, \ infty} (H)}{\ displaysty ле L ^ {1, \ infty} (H)} равен обычному следу, поэтому след Диксмье является примером ненормальный след.

Примеры

Компактный самосопряженный оператор с собственными значениями 1, 1/2, 1/3,... имеет след Диксмье, равный 1.

Если собственные значения μ я положительного оператора T обладает тем свойством, что

ζ T (s) = Tr ⁡ (T s) = ∑ μ is {\ displaystyle \ zeta _ {T} (s) = \ operatorname {Tr} (T ^ {s}) = \ sum {\ mu _ {i} ^ {s}}}{\ displaystyle \ zeta _ {T} (s) = \ operatorname {Tr} (T ^ {s}) = \ sum {\ mu _ {i} ^ {s}}}

сходится при Re (s)>1 и продолжается до мероморфной функции около s = 1 с at наиболее простой полюс при s = 1, то след Диксмье оператора T является вычетом при s = 1 (и, в частности, не зависит от выбора ω).

Connes (1988) показал, что некоммутативный остаток (Wodzicki 1984) Водзицки псевдодифференциального оператора на многообразии равна его следу Диксмье.

Ссылки

См. Также

Последняя правка сделана 2021-05-17 09:56:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте