Сингулярная мера

редактировать

В математике два положительных (или подписанных или комплекс ) меры μ и ν, определенные на измеримом пространстве (Ω, Σ), называются сингулярными, если существуют два непересекающихся множества A и B в Σ, union которого есть такое Ω, что μ равен нулю на всех измеримых подмножествах B, а ν равен нулю на всех измеримых подмножествах A. Это обозначается $μ ⊥ ν. {\ displaystyle \ mu \ perp \ nu.}$ $\ mu \ perp \ nu.$

Уточненная форма теоремы разложения Лебега разлагает сингулярную меру на сингулярную непрерывную меру и дискретную меру. См. Примеры ниже.

Примеры на R

В качестве частного случая мера, определенная в евклидовом пространстве $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ называется особой, если она сингулярна по отношению к мере Лебега на этом пространстве. Например, дельта-функция Дирака является сингулярной мерой.

Пример. A дискретная мера.

ступенчатая функция Хевисайда на вещественной линии,

H (x) = def {0, x < 0 ; 1, x ≥ 0 ; {\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,x<0;\\1,x\geq 0;\end{cases}}}

H (x) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} {\ begin {cases} 0, x <0; \\ 1, x \ geq 0; \ end {cases}}

имеет дельта-распределение Дирака $δ 0 {\ displaystyle \ delta _ {0}}$ $\ delta _ {0}$ в качестве своей производной по распределению. Это мера на действительной прямой, «точечная масса » в 0. Однако мера Дирака $δ 0 {\ displaystyle \ delta _ {0}}$ $\ delta _ {0}$ не является абсолютно непрерывным по отношению к мере Лебега $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , а также не является абсолютно непрерывным по отношению к мере $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ непрерывно по отношению к $δ 0 {\ displaystyle \ delta _ {0}}$ $\ delta _ {0}$ : $λ ({0}) = 0 {\ displaystyle \ lambda (\ {0 \}) = 0}$ $\ lambda (\ {0 \ }) = 0$ но $δ 0 ({0}) = 1 {\ displaystyle \ delta _ {0} (\ {0 \}) = 1}$ $\ delta _ {0} (\ {0 \}) = 1$ ; если $U {\ displaystyle U}$ $U$ - любое открытое множество, не содержащее 0, то $λ (U)>0 {\ displaystyle \ lambda (U)>0 }$ $\lambda (U)>0$ но $δ 0 (U) = 0 {\ displaystyle \ delta _ {0} (U) = 0}$ $\ delta _ {0} (U) = 0$ .

Пример. Особая непрерывная мера.

Распределение Кантора имеет кумулятивную функцию распределения, которая является непрерывной, но не абсолютно непрерывной, и действительно ее абсолютно непрерывная часть равна нулю: она является сингулярной непрерывной.

Пример. Сингулярная непрерывная мера на R.

Верхняя и нижняя границы Фреше – Хёффдинга являются сингулярными распределениями в двух измерениях.

См. Также

Ссылки

Эрик Вайсштейн, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
J Taylor, An Introduction to Measure and Probability, Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.

Эта статья включает материал из единственной меры по PlanetMath, которая под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Последняя правка сделана 2021-06-08 02:48:37

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте