Неабелевское соответствие Ходжа

редактировать

В алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии неабелевское соответствие Ходжа или соответствие Корлетта - Симпсона (названное в честь и Карлос Симпсон ) - это соответствие между пучками Хиггса и представлениями фундаментальной группы гладкого проекционного комплексного алгебраического разнообразия или компактного кэлерова многообразия.

Эту теорему можно рассматривать как обширное обобщение Теорема Нарасимхана - Сешадри, которая соответствует соответствие между стабильными векторными расслоениями и унитарными представлениями фундаментальной группы компактной римановой поверхности. На самом деле теорема Нарасимхана - Сешадри может быть получена как частный случай неабелевого совпадения, установив поле Хиггса равным нулю.

Содержание

1 История
2 Определения
- 2.1 Расслоения Хиггса
- 2.2 Эрмитовы связности Янга - Миллса и уравнения Хитчина
- 2.3 Представления фундаментальной группы и гармонических метрик
- 2.4 Пространства модулей
3 Утверждение
- 3.1 В терминах пространств модулей
- 3.2 Связь с соответствием Хитчина - Кобаяши и унитарными представлениями
4 Примеры
- 4.1 Расслоения Хиггса первого ранга на компактных римановых поверхностях
5 Обобщения
6 Неабелева теория Ходжа
- 6.1 Разложение Ходжа
- 6.2 Неабелева когомология
- 6.3 Неабелева теорема Ходжа
- 6.4 Структура Ходжа
7 Ссылки

История

Это было доказано М. С. Нарасимхан и К. С. Сешадри в 1965 г., что стабильные условия расслоения на компактной римановой поверхности соответствуют неприводимым проективным унитарным представлениям фундаментальной группы. Эта теорема была сформулирована в новом свете в работе Саймона Дональдсона в 1983 году, который показал, что стабильные наши расслоения соответствуют связям Янга - Миллса, голономия которые дает представление о фундаментальной группе Нарасимхана и Сешадри. Теорема Нарасимхана - Сешадри была обобщена со случаями компактных римановых поверхностей на компактные кэлеровы многообразия Дональдсоном в случае алгебраических поверхностей и в целом Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу.. Это соответствие между стабильными векторными расслоениями и эрмитовыми связностями Янга - Миллса как соответствие Кобаяши - Хитчина.

Теорема Нарасимхана - Сешадри касается унитарных представлений фундаментальной группы. Найджел Хитчин ввел расслоения Хиггса как расслоения алгебраического объекта, который должен соответствовать сложным представлениям фундаментальной группы (фактически, термин «термин« Хиггса »введен Карлосом Симпсоном после работы Хитчина). Первый неабелевой теоремы Ходжа был доказан Хитчином, который рассмотрел случай расслоения Хиггса ранга два над компактной римановой поверхностью. Хитчин показал, что полистабильное расслоение Хиггса соответствует решению системы дифференциальных уравнений, полученной как размерное сокращение уравнения Янга - Миллса до размерности два. В этом случае Дональдсон показал, что решения Хитчина находятся в соответствии с представлениями фундаментальной группы.

Результаты Хитчина и Дональдсона для расслоений Хиггса ранга два на компактной римановой поверхности были обобщены Карлос Симпсон и Кевин Корлетт. Утверждение, что полистабильные расслоения Хиггса соответствуют решениям доказательств Хитчина, что былоано Симпсоном. Соответствие между решениями Хитчина и представлениями фундаментальной группы было показано Корлеттом.

Определения

В этом разделе мы напоминаем объекты, представляющие интерес в неабелевой теореме Ходжа.

Расслоения Хиггса

A Расслоение Хиггса над компактным кэлеровым многообразием $(X, ω) {\ displaystyle (X, \ omega)}$ $(X,\omega)$ парой $( E, Φ) {\ displaystyle (E, \ Phi)}$ $(E,\Phi)$ где $E → X {\ displaystyle E \ to X}$ $E\to X$ - голоморфное векторное расслоение и $Φ: E → E ⊗ Ω 1 {\ displaystyle \ Phi: E \ to E \ otimes {\ boldsymbol {\ Omega}} ^ {1}}$ $\Phi :E\to E\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}$ является $концом ⁡ (E) {\ displaystyle \ operatorname {End} (E)}$ $\operatorname {End} (E)$ -значная голоморфная $(1, 0) {\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ -форма на $X {\ displaystyle X}$ $X$ , называется полем Хиггса . Кроме того, поле Хиггса должно удовлетворять $Φ ∧ Φ = 0 {\ displaystyle \ Phi \ wedge \ Phi = 0}$ $\Phi \wedge \Phi =0$ .

Связка Хиггса (полу) стабильна, если для каждого собственного, ненулевой когерентный подпучок $F ⊂ E {\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subset E}$ ${\mathcal {F}}\subset E$ , который остается полем Хиггса, так что $Φ (F) ⊂ F {\ displaystyle \ Phi ({\ mathcal {F}}) \ subset {\ mathcal {F}}}$ $\Phi ({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {F}}$ , один имеет ранг

deg ⁡ (F) ⁡ (F) < deg ⁡ ( E) rank ⁡ ( E) (resp. ≤). {\displaystyle {\frac {\operatorname {deg} ({\mathcal {F}})}{\operatorname {rank} ({\mathcal {F}})}}<{\frac {\operatorname {deg} (E)}{\operatorname {rank} (E)}}\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}

{\frac {\operatorname {deg} ({\mathcal {F}})}{\operatorname {rank} ({\mathcal {F}})}}<{\frac {\operatorname {deg} (E)}{\operatorname {rank} (E)}}\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.

Это рациональное число называется наклон, обозначается $μ (E) {\ displaystyle \ mu (E)}$ $\mu (E)$ , и приведенное выше определение соответствует этому стабильному соответствию расслоения . Связка Хиггса полистабильна, если она представляет собой прямую качественную стабильную связку Хиггса одного и того же наклона, и поэтому является полустабильной.

Эрмитовы связи Янга - Миллса и уравнения Хитчина

Обобщение уравнения Хитчина на более высокие измерения можно сформулировать как аналог эрмитовых уравнений Янга - Миллса для определенного соединения, построенного из пары $(Е, Φ) {\ displaystyle (E, \ Phi)}$ $(E,\Phi)$ . A Эрмитова метрика $h {\ displaystyle h}$ $h$ на пучке Хиггса $(E, Φ) {\ displaystyle (E, \ Phi)}$ $(E,\Phi)$ вызывает соединение Черна $∇ A {\ displaystyle \ nabla _ {A}}$ $\nabla _{A}$ и кривизну $FA {\ displaystyle F_ {A}}$ $F_{A}$ . Условие, что $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\Phi$ голоморфно, можно сформулировать как $∂ ¯ A Φ = 0 {\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {A} \ Фи = 0}$ ${\bar {\partial }}_{A}\Phi =0$ . Уравнения Хитчина на компактной римановой поверхности утверждают, что

{FA + [Φ, Φ ∗] = λ Id E ∂ ¯ A Φ = 0 {\ displaystyle {\ begin {cases} F_ {A} + [\ Phi, \ Phi ^ {*}] = \ lambda \ operatorname {Id} _ {E} \\ {\ bar {\ partial}} _ {A} \ Phi = 0 \ end {cases}}}

{\begin{cases}F_{A}+[\Phi,\Phi ^{*}]=\lambda \operatorname {Id} _{E}\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}

для константа $λ = - 2 π я μ (E) {\ displaystyle \ lambda = -2 \ pi i \ mu (E)}$ $\lambda =-2\pi i\mu (E)$ . В более высоком исполнении. Определите соединение $D {\ displaystyle D}$ $D$ на $E {\ displaystyle E}$ $E$ с помощью $D = ∇ A + Φ + Φ ∗ {\ displaystyle D = \ nabla _ {A} + \ Phi + \ Phi ^ {*}}$ $D=\nabla _{A}+\Phi +\Phi ^{*}$ . Эта связь называется эрмитовой связью Янга - Миллса (и метрикой a эрмитовой метрикой Янга - Миллса, если

Λ ω FD = λ Id E. {\ Displaystyle \ Lambda _ {\ omega} F_ {D} = \ lambda \ operatorname {Id} _ {E}.}

\Lambda _{\omega }F_{D}=\lambda \operatorname {Id} _{E}.

Это сводится к уравнениям Хитчина для компактной римановой поверхности.

Представления фундаментальной группы и гармонические метрики

Представление фундаментальной группы $ρ: π 1 (X) → GL ⁡ (r, C) {\ displaystyle \ rho \ двоеточие \ pi _ {1} (X) \ to \ operatorname {GL} (r, \ mathbb {C})}$ $\rho \colon \pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C})$ дает начало вектор пучку соединительным следующим образом. универсальная крышка $X ^ {\ displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\hat {X}}$ из $X {\ displaystyle X}$ $X$ является основным пакетом над $X {\ displaystyle X}$ $X$ со структурной группой $π 1 (X) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ $\pi _{1}(X)$ . Таким образом существует связанный набор для $X ^ {\ displaystyle {\ hat {X} }}$ ${\hat {X}}$ , заданное как

E = X ^ × ρ C r. {\ D isplaystyle E = {\ hat {X}} \ times _ {\ rho} \ mathbb {C} ^ {r}.}

E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}.

Этот набор правил снабжен здоровым соединением $D {\ displaystyle D}$ $D$ . Если $h {\ displaystyle h}$ $h$ является эрмитовой метрикой на $E {\ displaystyle E}$ $E$ , определите оператор $D h ″ {\ displaystyle D_ {h } ''}$ $D_{h}''$ следующим образом. Разложите $D = ∂ + ∂ ¯ {\ displaystyle D = \ partial + {\ bar {\ partial}}}$ $D=\partial +{\bar {\partial }}$ на операторы типа $(1, 0) {\ displaystyle (1, 0)}$ $(1,0)$ и $(0, 1) {\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ соответственно. Пусть $A ′ {\ displaystyle A '}$ $A'$ будет уникальным оператором типа $(1, 0) {\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ таким, что $(1, 0) {\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ -соединение $A ′ + ∂ ¯ {\ displaystyle A '+ {\ bar {\ partial}}}$ $A'+{\bar {\partial }}$ сохраняет метрику $h {\ displaystyle h}$ $h$ . Определите $Φ = (∂ - A ′) / 2 {\ displaystyle \ Phi = (\ partial -A ') / 2}$ $\Phi =(\partial -A')/2$ и установите $D h ″ = ∂ ¯ + Φ. {\ displaystyle D_ {h} '' = {\ bar {\ partial}} + \ Phi}$ $D_{h}''={\bar {\partial }}+\Phi$ . Определите псевдокривизну для $h {\ displaystyle h}$ $h$ как $G h = (D h ″) 2 {\ displaystyle G_ {h} = (D_ {h} '') ^ {2}}$ $G_{h}=(D_{h}'')^{2}$ .

Метрика $h {\ displaystyle h}$ $h$ называется гармонической, если

Λ ω G h = 0. {\ displaystyle \ Lambda _ {\ omega} G_ {h} = 0.}

\Lambda _{\omega }G_{h}=0.

Обратите внимание, что условие $G h = 0 {\ displaystyle G_ {h} = 0}$ $G_{h}=0$ эквивалентно трем условиям: $∂ ¯ 2 знак равно 0, ∂ ¯ Φ = 0, Φ ∧ Φ = 0 {\ displaystyle {\ bar {\ partial}} ^ {2} = 0, {\ bar {\ partial}} \ Phi = 0, \ Phi \ wedge \ Phi = 0}$ ${\bar {\partial }}^{2}=0,{\bar {\partial }}\Phi =0,\Phi \wedge \Phi =0$ , поэтому, если $G h = 0 {\ displaystyle G_ {h} = 0}$ $G_{h}=0$ , то пара $( E, Φ) {\ displaystyle (E, \ Phi)}$ $(E,\Phi)$ определить пучок Хиггса с голоморфной структурой на $E {\ displaystyle E}$ $E$ , заданный оператор Дольбо $∂ ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ partial}}}$ ${\bar \partial }$ .

Это результат Корлетта, что если $h {\ displaystyle h}$ $h$ является гармоническим, тогда он автоматически удовлетворительно ряет $G h = 0 {\ displaystyle G_ {h} = 0}$ $G_{h}=0$ an d, поэтому возникает расслоение Хиггса.

Пространства модулей

Для каждого из трех понятий: расслоения Хиггса, плоских связностей и представлений фундаментальной группы можно определить пространство модулей. Это требует понятия изоморфизма между этими объектами. Далее исправьте гладкое комплексное векторное расслоение $E {\ displaystyle E}$ $E$ . Считается, что каждое расслоение Хиггса имеет лежащее в основе гладкое векторное расслоение $E {\ displaystyle E}$ $E$ .

(связки Хиггса) Группа сложных калибровочных преобразователей $GC {\ displaystyle {\ mathcal { G}} ^ {\ mathbb {C}}}$ ${\mathcal {G}}^{\mathbb {C} }$ создано множество $H {\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\mathcal {H}}$ пучков Хиггса формула $г ⋅ (E, Φ) знак равно (г ⋅ E, г Φ g - 1) {\ displaystyle g \ cdot (E, \ Phi) = (g \ cdot E, g \ Phi g ^ {- 1})}$ $g\cdot (E,\Phi)=(g\cdot E,g\Phi g^{-1})$ . Если $H ss {\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {ss}}$ ${\mathcal {H}}^{ss}$ и $H s {\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {s}}$ ${\mathcal {H}}^{s}$ обозначают подмножества полустабильных и стабильных расслоений Хиггса соответственно, тогда получают пространства модулей

MD olss: = H ss / / GC, MD ols: = H s / GC {\ displaystyle M_ {Dol} ^ {ss}: = {\ mathcal {H}} ^ {ss} // {\ mathcal {G}} ^ {\ mathcal {C}}, \ qquad M_ {Dol} ^ {s}: = {\ mathcal {H}} ^ {s} / {\ mathcal {G}} ^ {\ mathcal {C}}}

M_{Dol}^{ss}:={\mathcal {H}}^{ss}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{Dol}^{s}:={\mathcal {H}}^{s}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}}

где эти факторы взяты в смысле геометрической теории инвариантов, так что орбиты, совпадения которых пересекаются в соответствии с указанными модулями. Эти пространства модулей называются пространствами модулей Дольбо . Обратите внимание, что, задав

Φ = 0 {\ displaystyle \ Phi = 0}

\Phi =0

, можно получить как подмножества пространства модулей полустабильных и стабильных голоморфных векторных расслоений

ND olss ⊂ MD olss {\ displaystyle N_ {Dol} ^ {ss} \ subset M_ {Dol} ^ {ss}}

N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}

ND ols ⊂ MD ols {\ displaystyle N_ {Dol} ^ {s} \ subset M_ {Дол } ^ {s}}

N_{Dol}^{s}\subset M_{Dol}^{s}

. Также верно, что если определить пространство модулей

MD olps {\ displaystyle M_ {Dol} ^ {ps}}

M_{Dol}^{ps}

полистабильных расслоений Хиггса, то это пространство изоморфно пространству полустабильных расслоений Расслоения Хиггса, каждой калибровочной орбита полустабильных расслоений Хиггса содержит в своем замыкании уникальную орбиту полистабильных расслоений Хиггса.

(Плоские связности) Групповые комплексные калибровочные преобразования также на множестве $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\mathcal {A}}$ плоских соединений $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\nabla$ на гладком векторном пучке $E {\ displaystyle E}$ $E$ . Определите пространства модулей

M d R: = A / / GC, M d R ∗: = A ∗ / GC, {\ displaystyle M_ {dR}: = {\ mathcal {A}} // {\ mathcal {G }} ^ {\ mathcal {C}}, \ qquad M_ {dR} ^ {*}: = {\ mathcal {A}} ^ {*} / {\ mathcal {G}} ^ {\ mathcal {C}},}

M_{dR}:={\mathcal {A}}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{dR}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},

где

A ∗ {\ displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {*}}

{\mathcal {A}}^{*}

обозначает подмножество, состоящее из неприводимых плоских соединений

∇ {\ displaystyle \ nabla}

\nabla

которые не делятся на прямую сумму

∇ = ∇ 1 ⊕ ∇ 2 {\ displaystyle \ nabla = \ nabla _ {1} \ oplus \ nabla _ {2}}

\nabla =\nabla _{1}\oplus \nabla _{2}

на некотором расщеплении

E = E 1 ⊕ E 2 {\ displaystyle E = E_ {1} \ oplus E_ {2}}

E=E_{1}\oplus E_{2}

гладкого пучка пучка

E {\ displaystyle E}

E

. Эти пространства модулей называются пространствами модулей деформации Рама .

(Представления). Набор представлений $Hom ⁡ (π 1 (X), GL ⁡ (r, C)) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} (\ pi _ {1} (X), \ operatorname {GL} (r, \ mathbb {C}))}$ $\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C}))$ фундаментальной группы $X {\ displaystyle X}$ $X$ действует в общей линейной группе путем сопряжения представлений. Обозначим надстрочными индексами $+ {\ displaystyle +}$ $+$ и $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ подмножества, состоящие из полупростых представлений и <205.>неприводимые представления неприводимые соответственно. Другие определенные пространства модулей

MB + = Hom + ⁡ (π 1 (X), GL ⁡ (r, C)) / / G, MB ∗ = Hom ∗ ⁡ (π 1 (X), GL ⁡ (r, C)) / G {\ displaystyle M_ {B} ^ {+} = \ operatorname {Hom} ^ {+} (\ pi _ {1} (X), \ operatorname {GL} (r, \ mathbb {C})) // G, \ qquad M_ {B} ^ {*} = \ operatorname {Hom} ^ {*} (\ pi _ {1} (X), \ operatorname {GL} (r, \ mathbb {C})) / G}

M_{B}^{+}=\operatorname {Hom} ^{+}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C}))//G,\qquad M_{B}^{*}=\operatorname {Hom} ^{*}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C}))/G

полупростых и неприводимых представлений соответственно. Эти факторы взяты в смысле геометрических инвариантов, где две орбиты идентифицируются, если их замыкания пересекаются. Эти пространственные модули называются пространствами модулей Бетти .

Утверждение

Неабелеву теорему Ходжа можно разделить на две части. Первая часть была доказана Дональдсоном в случае расслоения Хиггса ранга два над компактной римановой поверхностью и в целом Корлеттом. В общем неабелева теорема Ходжа верна гладкого комплексного проективного разнообразия $X {\ displaystyle X}$ $X$ , но некоторые части соответствуют место в более общем виде для компактных кэлеровых многообразий.

Неабелева теорема Ходжа (часть 1): Представление $ρ: π 1 (X) → GL ⁡ (r, C) {\ displaystyle \ rho: \ pi _ {1} (X) \ to \ operatorname {GL} (r, \ mathbb {C})}$ $\rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C})$ фундаментальной группы полупросто тогда и только тогда, когда плоское векторное расслоение $E = X ^ × ρ C r {\ displaystyle E = { \ hat {X}} \ times _ {\ rho} \ mathbb {C} ^ {r}}$ $E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}$ допускает гармоническую метрику. Плоское домашнее животное неприводимо.

Вторая часть теоремы была доказана Хитчином в случае расслоений Хиггса ранга два на компактной римановой поверхности и в целом Симпсоном.

Неабелева теорема Ходжа (часть 2): Расслоение Хиггса $(E, Φ) {\ displaystyle (E, \ Phi)}$ $(E,\Phi)$ имеет эрмитову метрику Янга - Миллса тогда и только тогда если он полистабильный. Эта метрика является гармонической и, следовательно, возникает из полупростого представления фундаментальной группы тогда и только тогда, когда классы Черна $c 1 (E) {\ displaystyle c_ {1} (E)}$ $c_{1}(E)$ и $c 2 (E) {\ displaystyle c_ {2} (E)}$ $c_{2}(E)$ исчезают. Кроме того, расслоение Хиггса стабильно тогда и только тогда, когда оно допускает неприводимую эрмитову связность Янга - Миллса и, следовательно, происходит из неприводимого представления фундаментальной группы.

В совокупности это соответствие можно сформулировать следующим образом:

Неабелева теорема Ходжа: Расслоение Хиггса (которое топологически тривиально) возникает из полупростого представления фундаментальной группы тогда и только тогда, когда оно полистабильно. Более того, оно возникает из неприводимого представления тогда и только тогда, когда оно стабильно.

В терминах пространств модулей

Неабелево соответствие Ходжа дает не только биекцию множеств, но и гомеоморфизмы пространств модулей. В самом деле, если два расслоения Хиггса изоморфны в том смысле, что они могут быть связаны калибровочным преобразованием и, следовательно, соответствуют одной и той же точке в пространственных модулях, то соответствующие представления также будут изоморфны и предоставить одну и ту же точку в пространстве модули Дольбо. Пространство модулей Бетти. В терминах пространств модулей неабелеву теорему Ходжа можно сформулировать следующим образом.

Неабелева теорема Ходжа (версия с пространством модулей): Существуют гомеоморфизмы $MD olss ≅ M d R ≅ MB + {\ displaystyle M_ {Dol} ^ {ss} \ cong M_ {dR} \ cong M_ {B} ^ {+}}$ $M_{Dol}^{ss}\cong M_{dR}\cong M_{B}^{+}$ пространств модулей, которые ограничиваются гомеоморфизмами $MD ols ≅ M d R ∗ ≅ MB ∗ {\ displaystyle M_ {Dol} ^ {s} \ cong M_ {dR} ^ {*} \ cong M_ {B} ^ {*}}$ $M_{Dol}^{s}\cong M_{dR}^{*}\cong M_{B}^{*}$ .

В общем, эти пространства модули будут не просто топологическими пространствами, но будут иметь некоторую дополнительную устойчивость. Например, пространство модулей Дольбо и пространство модулей Бетти $MD olss, MB + {\ displaystyle M_ {Dol} ^ {ss}, M_ {B} ^ {+}}$ $M_{Dol}^{ss},M_{B}^{+}$ естественно комплексные алгебраические множество, а там, где оно гладкое, пространство модулей де Рама $M d R {\ displaystyle M_ {dR}}$ $M_{dR}$ является римановым многообразием. В общем месте, где эти пространства модулей гладкие, отобразите $M d R → MB + {\ displaystyle M_ {dR} \ to M_ {B} ^ {+}}$ $M_{dR}\to M_{B}^{+}$ является диффеоморфизмом, и име $МБ + {\ displaystyle M_ {B} ^ {+}}$ $M_{B}^{+}$ - сложное многообразие на гладком геометрическом месте, $M d R {\ displaystyle M_ {dR}}$ $M_{dR}$ получает совместимую риманову и комплексную структуру и, следовательно, является кэлеровым многообразием.

Аналогично, на гладком геометрическом месте карта $MB + → MD olss {\ displaystyle M_ {B} ^ {+} \ to M_ {Dol} ^ {ss}}$ $M_{B}^{+}\to M_{Dol}^{ss}$ - диффеоморфизм. Однако, хотя оба пространства модулей Дольбо и Бетти имеют естественные комплексные структуры, они не изоморфны. Фактически, если они обозначены $I, J {\ displaystyle I, J}$ $I,J$ (для связанных интегрируемых почти сложных структур ), то $IJ = - JI {\ Displaystyle IJ = -JI}$ $IJ=-JI$ . В частности, если определить третью почти сложную структуру как $K = IJ {\ displaystyle K = IJ}$ $K=IJ$ , то $I 2 = J 2 = K 2 = IJK = - Id {\ displaystyle I ^ {2} = J ^ {2} = K ^ {2} = IJK = - \ operatorname {Id}}$ $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id}$ . Если объединить эти три комплексные структуры с римановой метрикой, происходящей из $M d R {\ displaystyle M_ {dR}}$ $M_{dR}$ , то на гладком модулях модулей пространства размером гиперкэлеровым множеством.

Связь с соответствием Хитчина - Кобаяши и унитарными представлениями

Если установить поле Хиггса $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\Phi$ равным нулю, тогда расслоение Хиггса будет просто голоморфным пучок. Это дает включение $ND olss ⊂ MD olss {\ displaystyle N_ {Dol} ^ {ss} \ subset M_ {Dol} ^ {ss}}$ $N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}$ пространства модулей полустабильного голоморфного вектора расслоения в пространстве модулей расслоений Хиггса. Соответствие Хитчина – Кобаяши дает соответствие между голоморфными векторными расслоениями и эрмитовыми связностями Янга – Миллса над компактными кэлеровыми многообразиями иk=0<94><95>(0,1)<95><96>{\displaystyle N_{Dol}^{ss}}<96><97>{\bar \partial }<97><98>{\displaystyle \operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C}))\cong {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C}))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}<98><99>{\displaystyle E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}.}<99><100>D<100><101>{\displaystyle {\mathcal {G}}^{\mathbb {C} }}<101><102>{\displaystyle (L,\Phi)}<102><103>{\mathcal {O}}_{X}<103><104>{\displaystyle {\mathcal {H}}^{ss}}<104><105>{\displaystyle D=\nabla _{A}+\Phi +\Phi ^{*}}<105><106>{\displaystyle M_{Dol}^{ss},M_{B}^{+}}<106><107>{\displaystyle E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}}<107><108>h<108><109>{\displaystyle IJ=-JI}<109><110>{\displaystyle \Phi =0}<110><111>2g<111><112>{\displaystyle H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}<112><113>r=1<113><114>{\displaystyle D=\partial +{\bar {\partial }}}<114><115>{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C})}<115><116>A<116><117>{\displaystyle M_{dR}:={\mathcal {A}}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{dR}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},}<117><118>{\displaystyle \rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C})}<118><119>{\mathcal {H}}<119><120>{\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}\Phi =0}<120><121>{\displaystyle \operatorname {End} (E)}<121><122>E<122>html