В оболочке и вне оболочки

редактировать

В физике, особенно в квантовой теории поля, конфигурации физические системы, удовлетворяющие классическим уравнениям движения, называются «на массовой оболочке» или просто чаще на оболочке ; в то время как те, которые этого не делают, называются "вне массовой оболочки" или вне оболочки .

В квантовой теории поля виртуальные частицы называются вне оболочки, поскольку они не удовлетворяют энергии –Импульсное отношение ; реальные обменные частицы удовлетворяют этому соотношению и называются на оболочке (массовой оболочке). В классической механике, например, в формулировке действие экстремальные решения вариационного принципа лежат на оболочке, а уравнения Эйлера – Лагранжа дают уравнения на оболочке. Теорема Нётер о дифференцируемых симметриях физического действия и законы сохранения - это еще одна теорема о оболочке.

Массовая оболочка

Точки на поверхности гиперболоида («оболочка») являются решениями уравнения.

Массовая оболочка является синонимом массового гиперболоида, что означает гиперболоид в пространстве энергия - импульс, описывающий решения уравнения:

E 2 - | p → | 2 с 2 знак равно м 0 2 с 4 {\ Displaystyle E ^ {2} - | {\ vec {p}} \, | ^ {2} c ^ {2} = m_ {0} ^ {2} c ^ { 4}}

{\ displaystyle E ^ {2} - | {\ vec {p}} \, | ^ {2} c ^ {2} = m_ {0} ^ {2} c ^ {4}}

формула эквивалентности массы и энергии, которая дает энергию $E {\ displaystyle E}$ $E$ через импульс $p → {\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ vec {p}}$ и масса покоя $m 0 {\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ частицы. Уравнение для массовой оболочки также часто записывается в терминах четырехимпульса ; в нотации Эйнштейна с метрической сигнатурой (+, -, -, -) и единицами измерения, где скорость света $c = 1 {\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ , поскольку $p μ p μ ≡ p 2 = m 2 {\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ Equiv p ^ {2} = m ^ {2 }}$ $p ^ {\ mu } p _ {\ mu} \ Equiv p ^ {2} = m ^ {2}$ . В литературе также можно встретить $p μ p μ = - m 2 {\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = - m ^ {2}}$ $p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = - m ^ {2}$ , если метрика Используемая подпись - (-, +, +, +).

Четыре импульса обмениваемой виртуальной частицы $X {\ displaystyle X}$ $X$ равно $q μ {\ displaystyle q _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q_ { \ mu}}$ с массой $q 2 = m X 2 {\ displaystyle q ^ {2} = m_ {X} ^ {2}}$ ${\ displaystyle q ^ {2} = m_ {X} ^ {2}}$ . Четыре импульса $q μ {\ displaystyle q _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q_ { \ mu}}$ виртуальной частицы - это разница между четырьмя импульсами входящих и исходящих частиц.

Виртуальным частицам, соответствующим внутренним пропагаторам на диаграмме Фейнмана, в общем случае разрешено находиться вне оболочки, но амплитуда процесса будет уменьшаться в зависимости от того, насколько далеко оболочка они есть. Это происходит потому, что $q 2 {\ displaystyle q ^ {2}}$ $q ^ {2}$ -зависимость пропагатора определяется четырьмя импульсами входящих и исходящих частиц. Пропагатор обычно имеет сингулярности на массовой оболочке.

Говоря о пропагаторе, отрицательные значения для $E {\ displaystyle E}$ $E$ , которые удовлетворяют уравнению считаются находящимися на оболочке, хотя классическая теория не допускает отрицательных значений энергии частицы. Это связано с тем, что пропагатор включает в одно выражение случаи, когда частица переносит энергию в одном направлении, а ее античастица переносит энергию в другом направлении; отрицательный и положительный на оболочке $E {\ displaystyle E}$ $E$ тогда просто представляют противоположные потоки положительной энергии.

Скалярное поле

Пример взят из рассмотрения скалярного поля в D-мерном пространстве Минковского. Рассмотрим плотность лагранжиана, заданную как $L (ϕ, ∂ μ ϕ) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)}$ ${\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)$ . действие

S = ∫ d D x L (ϕ, ∂ μ ϕ) {\ displaystyle S = \ int d ^ {D} x {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ { \ mu} \ phi)}

S = \ int d ^ {D} x {\ mathcal {L} } (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)

Уравнение Эйлера-Лагранжа для этого действия можно найти, изменив поле и его производную и установив нулевое значение, и оно выглядит следующим образом:

∂ μ ∂ L ∂ (∂ μ ϕ) знак равно ∂ L ∂ ϕ {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi) }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}}}

\ partial _ {\ mu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}}

Теперь рассмотрим бесконечно малое пространство-время перевод $x μ → x μ + α μ {\ Displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow x ^ {\ mu} + \ alpha ^ {\ mu}}$ $x ^ {\ mu} \ rightarrow x ^ {\ mu } + \ alpha ^ {\ mu}$ . Плотность лагранжиана $L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal {L}}$ является скаляром, и поэтому будет бесконечно малым образом преобразовываться как $δ L = α μ ∂ μ L {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}}}$ $\ delta {\ mathcal {L}} = \ alpha ^ {\ m u} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}}$ при инфинитезимальном преобразовании. С другой стороны, согласно разложению Тейлора, в общем случае

δ L = ∂ L ∂ ϕ δ ϕ + ∂ L ∂ (∂ μ ϕ) δ (∂ μ ϕ) {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi)}

\ delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi)

Замена на $δ L {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L} }}$ $\ delta {\ mathcal {L}}$ и отмечая, что $δ (∂ μ ϕ) = ∂ μ (δ ϕ) {\ displaystyle \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi) = \ partial _ {\ mu } (\ delta \ phi)}$ $\ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi) = \ partial _ {\ mu} ( \ delta \ phi)$ (поскольку вариации независимы в каждой точке пространства-времени):

α μ ∂ μ L = ∂ L ∂ ϕ α μ ∂ μ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ) α μ ∂ μ ∂ ν ϕ {\ Displaystyle \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

\ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} } {\ partial \ phi}} \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi

Поскольку это должно выполняться для независимых переводов $α μ = (ϵ, 0,..., 0), (0, ϵ,..., 0),... {\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} = (\ epsilon, 0,..., 0), (0, \ epsilon,..., 0),...}$ $\ alpha ^ {\ mu} = (\ epsilon, 0,..., 0), (0, \ epsilon,..., 0),...$ , мы можем «разделить» на $α μ {\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu}}$ $\ alpha ^ {\ mu}$ и написать:

∂ μ L = ∂ L ∂ ϕ ∂ μ ϕ + ∂ L ∂ (∂ ν ϕ) ∂ μ ∂ ν ϕ {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ partial _ { \ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

\ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi

Это пример уравнения, которое не влияет на оболочку, поскольку оно верно для любой конфигурации полей, независимо от того, соблюдает ли оно уравнения движения (в данном случае уравнение Эйлера-Лагранжа, приведенное выше). Однако мы можем вывести уравнение на оболочке, просто подставив уравнение Эйлера-Лагранжа:

∂ μ L = ∂ ν ∂ L ∂ (∂ ν ϕ) ∂ μ ϕ + ∂ L ∂ (∂ ν ϕ) ∂ μ ∂ ν ϕ {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ nu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

\ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ nu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ гидроразрыв {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi

Мы можем записать это как:

∂ ν (∂ L ∂ (∂ ν ϕ) ∂ μ ϕ - δ μ ν L) = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi - \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} \ right) = 0}

\ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi - \ delta _ {\ mu} ^ { \ nu} {\ mathcal {L}} \ right) = 0

И если мы определим количество в скобках как $T ν μ {\ displaystyle T ^ { \ nu} {} _ {\ mu}}$ $T ^ {\ nu} {} _ {\ mu}$ , мы имеем:

∂ ν T ν μ = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ nu} T ^ {\ nu} {} _ {\ mu} = 0}

\ partial _ {\ nu} T ^ {\ nu} {} _ {\ mu} = 0

Это пример теоремы Нётер. Здесь сохраняющейся величиной является тензор энергии-импульса , который сохраняется только на оболочке, то есть если выполняются уравнения движения.

Список литературы