Преобразование генерирующей функции

В математике преобразование генерирующей функции выполнить обеспечивает метод преобразования производящей функции для одной производящей функции, перечисляющую другую. Эти преобразования обычно включают интегральные формулы, применяемые к производящей функции следовать (см. интегральные преобразования ), или взвешенные суммы по производным более высокого порядка этих функций (см. преобразования производных ).

Для данной следовать $\{fn\}\; n\; =\; 0\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$, обычная производящая функция (OGF) выполняет, обозначенную $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$, и экспоненциальная производящая функция (EGF) выполняет, обозначенной $F\; ^\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (z)\}$, жест формальным степенным рядом

$F\; (z)\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; fnzn\; знак\; равно\; f\; 0\; +\; f\; 1\; z\; +\; f\; 2\; z\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; f\_\; \{0\}\; +\; f\_\; \{1\}\; z\; +\; f\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

$F\; ^\; (z)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; fnn!\; Z\; N\; знак\; равно\; F\; 0\; 0!\; +\; f\; 1\; 1!\; z\; +\; f\; 2\; 2!\; z\; 2\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{0\}\}\; \{0!\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{1\}\}\; \{1!\}\}\; z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; z\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots.\; \}$

В статье мы используем используемую в этой статье используемую обычную (экспоненциальную) производящую функцию для использования $\{fn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$обозначается функция верхнего регистра $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$/ $F\; ^\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (z)\}$для некоторых фиксированных или формальных $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, когда контекст этой нотации ясен. Кроме того, мы используем скобки для извлечения коэффициентов из справочника по конкретной математике, который задается следующим образом: $[zn]\; F\; (z):\; =\; fn\; \{\backslash \; displaystyle\; [z\; ^\; \{n\}]\; F\; (z):\; =\; f\_\; \{n\}\}$. В статье приведены примеры генерирующих функций для многих последовательностей. Другие примеры вариантов производящей функции включают производящие функции Дирихле (DGF), ряд Ламберта и ряд Ньютона. В этой статье мы формуимся на преобразования производящих функций в математике и ведем текущий список полезных преобразований ил преобразований.

• 1 Извлечение арифметических прогрессий исходий
• 2 Степени OGF и композиции с функциями
  • 2.1 Взаимные значения OGF (частный случай формулы степеней)
  • 2.2 Полномочия OGF
  • 2.3 Логарифмы OGF
  • 2.4 Формула Фаа ди Бруно
• 3 Интегральные преобразования
  • 3.1 OGF $⟷\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; longleftrightarrow\}$Формулы преобразования EGF
    • 3.1.1 Пример: двойной факториальный интеграл для EGF чисел Стирлинга второго рода
    • 3.1.2 Пример: формула EGF для производных высшего порядка геометрического ряда
  • 3.2 Дробные интегралы и производные
  • 3.3 Преобразования полилогарифмических рядов
  • 3.4 Преобразования производящих функций квадратного ряда
• 4 произведения Адамара и диагональные производные функции
  • 4.1 Пример: произведения Адамарающие рациональных производящих функций
  • 4.2 Пример: факторные (приближенные Лапласа) преобразования
• 5 Производные преобразования
  • 5.1 Положительные и Преобразования дзета-рядов отрицательного порядка
    • 5.1.1 Примеры преобразований дзета-рядов отрицательного порядка
  • 5.2 Обобщенные преобразования дзета-рядов отрицательного порядка
    • 5.2.1 Примеры преобразований обобщенных дзета-рядов отрицательного порядка
• 6 Отношения инверсии и тождества производящих функций
  • 6.1 Отношения инверсии
  • 6.2 Биномиальное преобразование
  • 6.3 Преобразование Стирлинга
  • 6.4 Таблицы пар инверсии из книги Риордана
    • 6.4.1 Несколько форм простейших обратных отношений
    • 6.4.2 Классы Гулда обратных отношений
    • 6.4.3 Более простые обратные отношения Чебышева
    • 6.4.4 Чебышёвские классы обратных отношений
    • 6.4.5 Более простые обратные отношения Лежандра
    • 6.4.6 Классы Лежандра - Чебышева обратных отношений
    • 6.4.7 Обратные отношения Абеля
    • 6.4.8 Обратные отношения, полученные из обычных производящих функций
    • 6.4.9 Обратные отношения, полученные из экспоненциальных производящих функций
    • 6.4.10 Полиномиальные обратные
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

В этом разделе приведены формулы для генерации функций, перечисляющих последовательность $\{fan\; +\; b\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{an\; +\; b\}\; \backslash \}\}$с учетом обычной производящей функции $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$где $a,\; b\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, $a\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; geq\; 2\}$и . В первых двух случаях, когда $(a,\; b):\; =\; (2,\; 0),\; (2,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b):\; =\; (2,0),\; (2,1)\}$, мы можем расширить эти производящие функции непосредственно арифметической прогрессии в терминах $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$:

$\sum \; n\; \ge \; 0\; f\; 2\; nz\; 2\; n\; =\; 1\; 2\; (F\; (\; z)\; +\; F\; (-\; z))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; f\_\; \{2n\}\; z\; ^\; \{2n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (F\; (z)\; +\; F\; (-z)\; \backslash \; right)\}$

$\sum \; n\; \ge \; 0\; f\; 2\; n\; +\; 1\; z\; 2\; n\; +\; 1\; =\; 1\; 2\; (F\; (z)\; -\; F\; (-\; z)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; f\_\; \{2n\; +\; 1\}\; z\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (F\; (z)\; -F\; (-z)\; \backslash \; справа).\}$

В более общем смысле, предположим, что $a\; \ge \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; geq\; 3\}$и что $\omega \; a\; \equiv \; exp\; \; (2\; \pi \; ı\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{a\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; imath\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\}$обозначает $ath\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{th\}\}$примитивный корень из единицы. Тогда у нас есть формула

$\sum \; n\; \ge \; 0\; f\; a\; n\; +\; b\; z\; a\; n\; +\; b\; =\; 1\; a\; \times \; \sum \; m\; =\; 0\; a\; -\; 1\; \omega \; a\; -\; m\; b\; F\; (\omega \; a\; m\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; f\_\; \{an\; +\; b\}\; z\; ^\; \{an\; +\; b\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{a-\; 1\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{a\}\; ^\; \{-\; mb\}\; F\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; \_\; \{a\}\; ^\; \{m\}\; z\; \backslash \; right).\}$

Для целых чисел $m\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; 1\}$, другая полезная формула, обеспечивающая несколько перевернутую арифметическую прогрессию, генерирует тождество

$\sum \; n\; \ge \; 0\; f\; \lfloor \; nm\; \rfloor \; zn\; =\; 1\; -\; zm\; 1\; -\; z\; F\; (zm)\; =\; (1\; +\; z\; +\; \cdots \; +\; zm\; -\; 2\; +\; zm\; -\; 1)\; F\; (zm).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; f\; \_\; \{\backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{m\}\}\; \backslash \; rfloor\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-z\; ^\; \{m\}\}\; \{1\; -\; z\}\}\; F\; (z\; ^\; \{m\})\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; z\; +\; \backslash \; cdots\; +\; z\; ^\; \{m-2\}\; +\; z\; ^\; \{m-1\}\; \backslash \; right)\; F\; (z\; ^\; \{m\}).\; \}$

экспоненциальные полиномы Белла, $B\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; xn):\; =\; n!\; \cdot \; [tnuk]\; \Phi \; (t,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}):\; =\; п!\; \backslash \; Cdot\; [t\; ^\; \{n\}\; u\; ^\; \{k\}]\; \backslash \; Phi\; (t,\; u)\}$, определяется экспоненциальной производственной функцией

$\Phi \; (t,\; u)\; =\; exp\; \; (u\; \times \; \sum \; m\; \ge \; 1\; xmtmm!)\; =\; 1\; +\; \sum \; n\; \ge \; 1\; \{\sum \; k\; =\; 1\; n\; B\; n,\; k\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots )\; uk\}\; tnn!.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (т,\; и)\; =\; \backslash \; ехр\; \backslash \; влево\; (и\; \backslash \; раз\; \backslash \; сумма\; \_\; \{м\; \backslash \; geq\; 1\}\; x\_\; \{m\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{т\; ^\; \{м\}\}\; \{м!\}\}\; \backslash \; Вправо)\; =\; 1\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots)\; u\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

Следующие формулы для степеней, логарифмов и композиций формальных степенных рядов расширяются этими полиномами с переменными в коэффициенты исходных производящих функций. Формула экспоненты производящей функции задается неявно через многочлены Белла EGF для этих многочленов, определенные в предыдущей формуле для некоторой придерживающейся $\{xi\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$.

Обратные значения OGF (частный случай формулы степеней)

Ряд степеней для обратного значения производящей функции, $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$, расширяется на

$1\; F\; (z)\; =\; 1\; f\; 0\; -\; f\; 1\; f\; 0\; 2\; z\; +\; (f\; 1\; 2\; -\; f\; 0\; f\; 2)\; f\; 0\; 3\; z\; 2\; -\; f\; 1\; 3\; -\; 2\; е\; 0\; е\; 1\; е\; 2\; +\; е\; 0\; 2\; е\; 3\; е\; 0\; 4\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{F\; (z)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\_\; \{0\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{1\}\}\; \{f\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\; \}\; z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (f\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -f\_\; \{0\}\; f\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\; \{f\_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\}\}\; z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{f\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; -2f\_\; \{0\}\; f\_\; \{1\}\; f\_\; \{2\}\; +\; f\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; f\_\; \{3\}\}\; \{f\_\; \{0\}\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Если мы допустимы $bn:\; =\; [zn]\; 1\; /\; F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}:\; =\; [z\; ^\; \{n\}]\; 1\; /\; F\; (z)\}$обозначают коэффициенты в разложении обратной производящей функции, тогда имеем следующее рекуррентное соотношение:

$bn\; =\; -\; 1\; f\; 0\; (f\; 1\; bn\; -\; 1\; +\; f\; 2\; bn\; -\; 2\; +\; \cdots \; +\; fnb\; 0),\; n\; \ge \; 1.\; \{\; \backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (f\_\; \{1\}\; b\_\; \{n-1\}\; +\; f\_\; \{2\}\; b\_\; \{n-2\})\; +\; \backslash \; cdots\; +\; f\_\; \{n\}\; b\_\; \{0\}\; \backslash \; right),\; n\; \backslash \; geq\; 1.\}$

Степени OGF

Пусть $m\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$быть фиксированным, предположим, что $f\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; =\; 1\}$, и обозначим $bn\; (m):\; =\; [zn]\; F\; (\; z)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; ^\; \{(m)\}:\; =\; [z\; ^\; \{n\}]\; F\; (z)\; ^\; \{m\}\}$. Тогда у нас есть расширение ряда для $F\; (z)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\; ^\; \{m\}\}$, заданного как

$F\; (z)\; m\; =\; 1\; +\; mf\; 1\; z\; +\; m\; ((m\; -\; 1)\; f\; 1\; 2\; +\; 2\; f\; 2)\; z\; 2\; 2\; +\; (m\; (m\; -\; 1)\; (m\; -\; 2)\; f\; 1\; 3\; +\; 6\; m\; (m\; -\; 1)\; f\; 2\; +\; 6\; mf\; 3)\; z\; 3\; 6\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (z)\; ^\; \{m\}\; =\; 1\; +\; mf\_\; \{1\}\; z\; +\; m\; \backslash \; left\; ((m-1)\; f\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; 2f\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; left\; (m\; (m-1)\; (m-2)\; f\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; +\; 6m\; (m-1)\; f\_\; \{2\}\; +\; 6mf\_)\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{3\}\}\; \{6\}\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

и коэффициенты $bn\; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; ^\; \{(m)\}\}$удовлетворяют рекуррентному использованию вида

$n\; \cdot \; bn\; (m)\; =\; (m\; -\; n\; +\; 1)\; f\; 1\; bn\; -\; 1\; (m)\; +\; (2\; m\; -\; n\; +\; 2)\; f\; 2\; bn\; -\; 2\; (м)\; +\; \cdots \; +\; ((n\; -\; 1)\; m\; -\; 1)\; fn\; -\; 1\; b\; 1\; (m)\; +\; nmfn,\; n\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{n\}\; ^\; \{(m)\}\; =\; (mn\; +\; 1)\; f\_\; \{1\}\; b\_\; \{n-1\}\; ^\; \{(m)\}\; +\; (2m-n\; +\; 2)\; f\_\; \{2\}\; b\_\; \{n-2\}\; ^\; \{(m)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (\; (n-1)\; m-1)\; f\_\; \{n-1\}\; b\_\; \{1\}\; ^\; \{(m)\}\; +\; nmf\_\; \{n\},\; n\; \backslash \; geq\; 1.\}$

Другая формула для коэффициентов, $bn\; (\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; ^\; \{(m)\}\}$, расширяе тся с помощью полиномов Белла как

$F\; (z)\; m\; =\; ж\; 0\; м\; +\; \sum \; N\; \ge \; 1\; (\sum \; 1\; \le \; K\; \le \; N\; (м)\; К\; е\; 0\; м\; -\; К\; BN,\; К\; (е\; 1\; \cdot \; 1!,\; f\; 2\; \cdot \; 2!,\dots ))\; Z\; n\; n!,\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (z)\; ^\; \{m\}\; =\; f\_\; \{0\}\; ^\; \{m\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; n\}\; (m)\; \_\; \{k\}\; f\_\; \{0\}\; ^\; \{mk\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (f\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; 1\; !,\; f\_\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 2\; !,\; \backslash \; ldots)\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{n\; \}\}\; \{n!\}\},\}$

где $(r)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (r)\; \_\; \{n\}\}$обозначает символ Поххаммера.

Логарифмы OGF

Если мы допустимы $f\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; =\; 1\}$и определим $qn:\; =\; [zn]\; log\; \; F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{n\}:\; =\; [z\; ^\; \{n\}]\; \backslash \; log\; F\; (z)\}$, тогда у нас есть разложение в степенной ряду для составной производящей функции, заданной как

$log\; \; F\; (Z)\; знак\; равно\; е\; 1\; +\; (2\; е\; 2\; -\; е\; 1\; 2)\; z\; 2\; +\; (3\; е\; 3\; -\; 3\; е\; 1\; е\; 2\; +\; f\; 1\; 3)\; z\; 2\; 3\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; журнал\; F\; (z)\; =\; f\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; left\; (2f\_\; \{2\}\; -f\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; left\; (3f\_\; \{3\}\; -3f\_\; \{1\}\; f\_\; \{2\}\; +\; f\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

где коэффициенты, $qn\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{n\}\}$, в предыдущем разложении удовлетворяют ре куррентному введению, заданному как

$n\; \cdot \; qn\; =\; nfn\; -\; (n\; -\; 1)\; f\; 1\; qn\; -\; 1\; -\; (n\; -\; 2)\; f\; 2\; qn\; -\; 2\; -\; \cdots \; -\; fn\; -\; 1\; q\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; cdot\; q\_\; \{n\}\; =\; nf\_\; \{n\}\; -\; (n-1)\; f\_\; \{1\}\; q\_\; \{n-1\}\; -\; (n-2)\; f\_\; \{2\}\; q\_\; \{n-2\}\; -\; \backslash \; cdots\; -f\_\; \{n-1\; \}\; q\_\; \{1\},\}$

и соответствующая формула, расширенная полиномами Белла в виде коэффициентов степенного ряда следующей производной функции:

$log\; \; F\; (z)\; =\; \sum \; n\; \ge \; 1\; (\sum \; 1\; \le \; k\; \le \; n\; (-\; 1)\; к\; -\; 1\; (к\; -\; 1)!\; B\; n,\; k\; (f\; 1\; \cdot \; 1\; !,\; F\; 2\; \cdot \; 2!,\dots ))\; Z\; n\; n!.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; журнал\; F\; (Z)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; \backslash \; GEQ\; 1\}\; \backslash \; влево\; (\backslash \; сумма\; \_\; \{1\; \backslash \; Leq\; к\; \backslash \; Leq\; п\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k-1\}\; (k-1)!\; B\_\; \{n,\; k\}\; (f\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; 1\; !,\; F\_\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 2\; !,\; \backslash \; Ldots)\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

Формула Фаа ди Бруно

Пусть $F\; ^\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (z)\}$обозначает EGF указанное, $\{fn\}\; n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\}$, и предположим, что $G\; ^\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{G\}\; \}\; (z)\}$- EGF устанавливает, $\{gn\}\; n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{g\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\}$. Последовательность, $\{hn\}\; n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{h\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\}$, сгенерированная экспоненциальной производственной функции для композиции, $ЧАС\; ^\; (\; z):\; =\; F\; ^\; (G\; ^\; (z))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{H\}\}\; (z):\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; widehat\; \{G\}\}\; (z))\}$, задается в терминах экспоненциальных многочленов Белла следующим образом:

$hn\; =\; \sum \; 1\; \le \; k\; \le \; nfk\; \cdot \; B\; n,\; k\; (g\; 1,\; g\; 2,\; \cdots ,\; gn\; -\; k\; +\; 1)\; +\; f\; 0\; \cdot \; \delta \; n,\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; n\}\; f\_\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; B\_\; \{n,\; k\}\; (g\_\; \{1\},\; g\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; g\_\; \{n-\; k\; +\; 1\})\; +\; f\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; 0\}.\}$

Мы сравниваем утверждение этого результата с другим известным утверждением формулы Фаа ди Бруно, которое обеспечивает аналогичное разложение $nth\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{th\}\}$производных сложных функций в терминах производных двух функций от $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, как указано выше.

OGF $⟷\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; longleftrightarrow\}$Формулы преобразования EGF

У нас есть следующие интегральные формулы для $a,\; b\; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$, который может правильно почленно по отношению к $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$когда $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$принимается как любая переменная формального степенного ряда:

$\sum \; n\; \ge \; 0\; fnzn\; =\; \int \; 0\; \infty \; F\; ^\; (tz)\; e\; -\; tdt\; =\; z\; -\; 1\; L\; [F\; ^]\; (z\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; f\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\; \}\; (tz)\; e\; ^\; \{-\; t\}\; dt\; =\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [\{\backslash \; widehat\; \{F\}\}]\; (z\; ^\; \{-\; 1\})\}$

$\sum \; п\; \ge \; 0\; \Gamma \; (an\; +\; b)\; \cdot \; fnzn\; =\; \int \; 0\; \infty \; tb\; -\; 1\; e\; -\; t\; F\; (taz)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; Gamma\; (an\; +\; b)\; \backslash \; cdot\; f\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{b-1\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; F\; (t\; ^\; \{a\}\; z)\; dt.\}$

$\sum \; n\; \ge \; 0\; fnn!\; z\; n\; знак\; равно\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \pi \; \pi \; F\; (z\; e\; -\; ı\; \vartheta )\; e\; e\; ı\; d\; \vartheta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; F\; \backslash \; left\; (ze\; ^\; \{-\; \backslash \; imath\; \backslash \; vartheta\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{e\; ^\; \{\backslash \; imath\; \backslash \; vartheta\}\}\; d\; \backslash \; vartheta.\}$

Обратите внимание, что первая и последняя из эти интегральные формулы используются для преобразования между EGF в OGF, когда эти интегралы сходятся.

Первая интегральная формула соответствует преобразованию Лапласа (или иногда формальному преобразованию Лапласа - Бореля) производящих функций, обозначенному $L\; [F]\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \}\; [F]\; (z)\}$, в конкретном. Разумеется, можно также использовать другие интегральные преобразования для гамма-функции во второй из предыдущих формул построить аналогичные интегральные преобразования. Одна конкретная формула приводит к примеру функции двойного факториала, непосредственно ниже в этом разделе. Последняя интегральная формула сравнивается с петлев интегымралом Ханкеля для обратной гамма-функции, почленно применяемой к степенному ряду для $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$.

Пример: двойной факториальный интеграл для EGF одного числа Стирлинга второго рода

функция факториала, $(2\; n)!\; \{\backslash \; displaystyle\; (2n)!\}$выражается как произведение двух двойных факториальных функций вида

$(2\; n)!\; =\; (2\; п)!\; !\; \times \; (2\; п\; -\; 1)!\; !\; =\; 4\; п\; п!\; \pi \; \times \; \Gamma \; (N\; +\; 1\; 2),\; \{\backslash \; Displaystyle\; (2n)!\; =\; (2n)\; !!\; \backslash \; раз\; (2n-1)\; !!\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; n!\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right),\}$

где интеграл для двойной факториальной функции или рациональная гамма-функция, определяется как

$1\; 2\; \cdot \; (2\; n\; -\; 1)!\; !\; Знак\; равно\; 2\; N\; 4\; \pi \; \Gamma \; (N\; +\; 1\; 2)\; знак\; равно\; 1\; 2\; \pi \; \times \; \int \; 0\; \infty \; е\; -\; t\; 2/2\; t\; 2\; ndt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; (2n-\; 1)\; !!\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; t\; ^\; \{2n\}\; \backslash ,\; dt,\}$

для натуральных чисел $n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 0\}$. Это интегральное представление $(2\; n\; -\; 1)!\; !\; \{\backslash \; displaystyle\; (2n-1)\; !!\}$тогда подразумевает, что для фиксированного ненулевого $q\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$и любые целые степени $k\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; geq\; 0\}$, мы имеем формулу

$log\; \; (q)\; kk!\; =\; 1\; (2\; k)!\; \times \; [\int \; 0\; \infty \; 2\; е\; -\; т\; 2/2\; 2\; \pi \; (2\; журнал\; \; (д)\; \cdot \; т)\; 2\; к\; д\; т].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; (q)\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2k)!\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{2e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; log\; (q)\}\}\; \backslash \; cdot\; t\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right].\}$

Таким образом, для любого заданного целого числа $j\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; geq\; 0\}$мы можем использовать предыдущее интегральное представление вместе с формулу для извлечения арифметических прогрессий из следовать OGF, приведенной выше, чтобы указать следующее интегральное представление для так называемого модифицированного числа Стирлинга EGF как

$\sum \; n\; \ge \; 0\; \{2\; nj\}\; log\; \; (q)\; нн!\; Знак\; равно\; \int \; 0\; \infty \; е\; -\; т\; 2/2\; 2\; \pi \; \cdot \; J!\; [\sum \; b\; =\; \pm \; 1\; (eb\; 2\; log\; \; (q)\; \cdot \; t\; -\; 1)\; j]\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 2n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; (q)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; cdot\; j!\}\}\; \backslash \; Left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{b\; =\; \backslash \; pm\; 1\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{b\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; log\; (q)\}\}\; \backslash \; cdot\; t\}\; -1\; \backslash \; right)\; ^\; \{j\}\; \backslash \; right]\; dt,\}$

который сходится при подходящих условиях на параметр .

Пример: формула EGF для производных высшего порядка геометрического ряда

Для фиксированного ненулевого значения $c,\; z\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; c,\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$определено так, что , пусть геометрический ряд по неотрицательным целым степеням $(cz)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (cz)\; ^\; \{n\}\}$будет обозначается $G\; (z):\; знак\; равно\; 1\; /\; (1\; -\; cz)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z):\; =\; 1\; /\; (1-cz)\}$. Соответствующие более высокие производные $jth\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{th\}\}$геометрического ряда по $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$обозначаются последовательности функций

$G\; j\; (\; z):\; знак\; равно\; (cz)\; j\; 1\; -\; cz\; \times \; (ddz)\; (j)\; [G\; (z)],\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{j\}\; (z):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(cz)\; ^\; \{j\}\}\; \{\; 1-cz\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{(j)\}\; \backslash \; left\; [G\; (z)\; \backslash \; right],\}$

для неотрицательных целых чисел $J\; \ge \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; \backslash \; GEQ\; 0\}$. Эти $jth\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{th\}\}$производные обычного геометрического ряда могут быть показаны, например, по индукции, чтобы удовлетворить явную формулу замкнутой, заданной как

$G\; j\; (г)\; знак\; равно\; (cz)\; jj!\; (1\; -\; cz)\; j\; +\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{j\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(cz)\; ^\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; j!\}\; \{(1-cz)\; ^\; \{j\; +\; 2\}\}\},\}$

для любого $j\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; geq\; 0\}$всякий раз, когда . В качестве примера третьей формулы преобразования OGF $⟼\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; longmapsto\}$, мы можем вычислить следующие соответствующие экспоненциальные производящие функции $G\; j\; (z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\_\; \{j\; \}\; (z)\}$:

$G\; ^\; j\; (z)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \pi \; +\; \pi \; G\; j\; (ze\; -\; ı\; t)\; ee\; ı\; tdt\; =\; (cz)\; jecz\; (j\; +\; 1)\; (j\; +\; 1\; +\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{G\}\}\; \_\; \{j\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{+\; \backslash \; pi\}\; G\_\; \{j\}\; \backslash \; left\; (ze\; ^\; \{-\; \backslash \; imath\; t\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{e\; ^\; \{\backslash \; imath\; t\}\}\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(cz)\; ^\; \{j\}\; e\; ^\; \{cz\}\}\; \{(j\; +\; 1)\}\}\; \backslash \; left\; (j\; +\; 1\; +\; z\; \backslash \; right).\}$

Дробные интегралы и производные

Дробные интегралы и дробные производные (см. основную статью ) образуют еще один обобщенный класс интегрирования и операции дифференцирования, которые могут быть применены к OGF, чтобы сформировать соответствующий OGF введенной. Для $\Re \; (\alpha )>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; (\backslash \; alpha)>0\}$мы обозначем оператор дробного интеграла (порядок $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$) интегралом преобразование <13>я α F (z) знак равно 1 Γ (α) ∫ 0 z (z - t) α - 1 F (t) dt, {\ displaystyle I ^ {\ alpha} F (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ {0} ^ {z} (zt) ^ {\ alpha -1} F (t) dt,}

что соответствует ( формальной) степени ряд, заданный формулой

$я\; \alpha \; F\; (z)\; знак\; равно\; \sum \; N\; \ge \; 0\; N!\; \Gamma \; (n\; +\; \alpha \; +\; 1)\; fnzn\; +\; \alpha .\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; F\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; \backslash \; alpha\; +1)\}\}\; f\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\}.\}$

Для фиксированного $\alpha ,\; \beta \; \in \; C\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа,\; \backslash \; бета\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$означает так, что $\Re \; (\alpha ),\; \Re \; (\beta )>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; (\backslash \; alpha),\; \backslash \; Re\; (\backslash \; beta)>0\}$, у нас есть операторы $I\; \alpha \; I\; \beta \; =\; I\; \alpha \; +\; \beta \; \{\backslash \; стиль\; отображения\; I\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; I\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; I\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\}\}$. Кроме того, для фиксированного $\alpha \; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$и целых чисел $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, удовлетворяющих мы определяем понятие дробной производной, удовлетворяющей следующим свойствам:

$D\; \alpha \; F\; (z)\; =\; d\; (n)\; dz\; (n)\; I\; n\; -\; \alpha \; F\; (z),\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; F\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{(n)\}\}\; \{dz\; ^\; \{(n)\}\}\}\; I\; ^\; \{n-\; \backslash \; alpha\}\; F\; (z),\}$

и

$D\; k\; I\; \alpha \; =\; DNI\; \alpha \; +\; N\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{k\}\; I\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; D\; ^\; \{n\}\; I\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; nk\}\}$для $k\; Знак\; равно\; 1,\; 2,\dots ,\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1,2,\; \backslash \; ldots,\; n,\}$

где у нас есть свойство полугруппы: $D\; \alpha \; D\; \beta \; =\; D\; \alpha \; +\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; D\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; D\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\}\}$, только когда ни один из $\alpha ,\; \beta ,\; \alpha \; +\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\}$является целочисленным.

Преобразования рядов полилогарифмов

Для фиксированного $s\; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$имеем (сравните со специальным случаем интегральной формулы для обобщенной полилогарифмической функции Нильсена, воспроизведения в)

$\sum \; n\; \ge \; 0\; fn\; (n\; +\; 1)\; szn\; =\; (-\; 1)\; s\; -\; 1\; (s\; -\; 1)!\; \int \; 0\; 1\; журнал\; с\; -\; 1\; \; (t)\; F\; (t\; z)\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{n\}\}\; \{(n\; +\; 1)\; ^\; \{s\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{s\; -1\}\}\; \{(s-1)!\}\}\; \backslash \; Int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; log\; ^\; \{s-1\}\; (t)\; F\; (tz)\; dt.\}$

Обратите внимание, что если мы установим $gn\; \equiv \; fn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; f\_\; \{n\; +\; 1\}\}$, интеграл относительно производящей функции, $G\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\}$в последнем уравнении, когда $z\; \equiv \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; Equiv\; 1\}$соответствует производящей функции Дирихле, или DGF, $F\; ~\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{F\}\}\; (s)\}$, следуем $\{fn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$при условии, что интеграл сходится. Этот класс связан с полилогарифмом интегральных преобразований связан с основанными на производных преобразованиях дзета-ряда, определенными в следующих разделах.

Преобразования производящей функции квадратного ряда

Для фиксированного ненулевого значения $q,\; c,\; z\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; q,\; c,\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$такой, что и , у нас есть следующие интегральные представления для так называемой производящей функции квадратного ряда, состоящей из последовательностей $\{fn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, которые можно почленно проинтегрировать относительно $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$:

$\sum \; n\; \ge \; 0\; qn\; 2\; fn\; \cdot \; (cz)\; n\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; t\; 2/2\; [F\; (et\; 2\; журнал\; \; (q)\; \cdot \; cz)\; +\; F\; (e\; -\; t\; 2\; журнал\; \; (q)\; \cdot \; cz)]\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; f\_\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; (cz)\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \backslash \; left\; [F\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{t\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; log\; (q)\}\}\}\; \backslash \; cdot\; cz\; \backslash \; right)\; +\; F\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; t\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; log\; (q)\}\}\}\; \backslash \; cdot\; cz\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; dt.\}$

Этот результат, доказанный в ссылке, следует из варианта интеграла преобразования двойной факториальной функции для чисел Стирлинга второго рода, приведенного в примере выше. В частности, поскольку

$q\; n\; 2\; =\; exp\; \; (n\; 2\; \cdot \; log\; \; (q))\; =\; 1\; +\; n\; 2\; log\; \; (q)\; +\; n\; 4\; log\; \; (q)\; 2\; 2!\; +\; п\; 6\; журнал\; \; (д)\; 3\; 3!\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; д\; ^\; \{п\; ^\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; ехр\; (п\; ^\; \{2\}\; \backslash \; CDOT\; \backslash \; журнал\; (д))\; =\; 1\; +\; п\; ^\; \{2\}\; \backslash \; журнал\; (д)\; +\; п\; ^\; \{4\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; (q)\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; +\; n\; ^\; \{6\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; (q)\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

мы можем использовать вариант преобразования OGF на основе следующих разделов, с использованием чисел Стирлинга второго рода, чтобы получить интегральную формулу для производящей функции последовательности, $\{S\; (2\; n,\; j)\; /\; n!\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{S\; (2n,\; j)\; /\; n!\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$, а затем вычислить сумму по $jth\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{th\}\}$производные от формального OGF, $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$, чтобы получить результат в уравнении, где обозначена производящая функция арифметической прогрессии на

$\sum \; n\; \ge \; 0\; \{2\; nj\}\; z\; 2\; n\; (2\; n)!\; =\; 1\; 2\; Дж!\; ((ez\; -\; 1)\; j\; +\; (e\; -\; z\; -\; 1)\; j),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 2n\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2n\}\}\; \{(2n)!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2j!\}\}\; \backslash \; left\; ((e\; ^\; \{z\}\; -1)\; ^\; \{j\}\; +\; (e\; ^\; \{-\; z\}\; -1)\; ^\; \{j\}\; \backslash \; right),\}$

для каждого фиксированного $j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$.

У нас есть интегральное представление для произведений Адамара двух производящих функций, $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$и $G\; (z)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; G\; (z)\}$, представленный в следующей форме:

$(F\; \odot \; G)\; (z):\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; fngnzn\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; 0\; 2\; \pi \; F\; (ze\; ı\; t)\; G\; (ze\; -\; ı\; t)\; dt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (F\; \backslash \; odot\; G)\; (z):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; f\_\; \{n\}\; g\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; F\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; imath\; t\}\; \backslash \; right)\; G\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; imath\; t\; \}\; \backslash \; right)\; dt.\}$

Дополнительная информация о диагональных производящих функциях многомерных последовательностей и / или производящих функций, а также найти классах производящих функций, принадлежащих этим диагональным OGF, можно в книге Стэнли. В справочнике также представлены формулы извлечения вложенных коэффициентов вида

$diag\; \; (F\; 1\; \cdots \; F\; k):\; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; f\; 1,\; n\; \cdots \; fk,\; nzn\; =\; [xk\; -\; 1\; 0\; \cdots \; x\; 2\; 0\; x\; 1\; 0]\; F\; К\; (zxk\; -\; 1)\; FK\; -\; 1\; (xk\; -\; 1\; xk\; -\; 2)\; \cdots \; F\; 2\; (x\; 2\; x\; 1)\; F\; 1\; (x\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; \backslash \; left\; (F\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; F\_\; \{k\}\; \backslash \; right):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; f\_\; \{1,\; n\}\; \backslash \; cdots\; f\_\; \{k,\; n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; [x\_\; \{k-1\}\; ^\; \{0\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{0\}]\; F\_\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{x\_\; \{k-1\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; F\_\; \{k-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{k-1\}\}\; \{x\_\; \{k-2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdots\; F\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{x\_\; \{1\}\}\; \}\; \backslash \; right)\; F\_\; \{1\}\; (x\_\; \{1\}),\}$

, которые особенно полезны в случаях, когда функции генерации поставляют компоненты, $F\; i\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{i\}\; (z)\; \}$, можно развернуть в ряд Лорана или дробный ряд в $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, например, в частном случае, когда все составляющие производящие функции рациональны, что приводит к алгебраической форме диагонально й производящей функции.

Пример: произведения Адамара рациональных производящих функций

В общем, произведение Адамара двух рациональных производящих функций само по себе является рациональным. Это можно увидеть, что коэффициенты рациональной производящей функции вида образуют квазиполиномиальные члены

$fn\; =\; p\; 1\; (n)\; \rho \; 1\; n\; +\; \cdots \; +\; p\; \ell \; (n)\; \rho \; \ell \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; =\; p\_\; \{1\}\; (n)\; \backslash \; rho\; \_\; \{1\}\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; (n)\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; ^\; \{n\},\}$

где обратные корни, $\rho \; i\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, являются фиксированными скалярами, а где $pi\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; (n)\}$- многочлен от $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$для всех $1\; \le \; i\; \le \; \ell \; \{\backslash \; Displaystyle\; 1\; \backslash \; Leq\; я\; \backslash \; Leq\; \backslash \; ell\}$. Например, произведение Адамара двух производящих функций

$F\; (z):\; =\; 1\; 1\; +\; a\; 1\; z\; +\; a\; 2\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; a\_\; \{1\}\; z\; +\; a\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\}\}\}$

и

$G\; (z):\; =\; 1\; 1\; +\; b\; 1\; z\; +\; b\; 2\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{1\; +\; b\_\; \{1\}\; z\; +\; b\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\}\}\}$

задается формулой рациональной производящей функции

$(F\; \odot \; G)\; (z)\; =\; 1\; -\; a\; 2\; b\; 2\; z\; 2\; 1\; -\; a\; 1\; b\; 1\; z\; +\; (a\; 2\; b\; 1\; 2\; +\; a\; 1\; 2\; b\; 2\; -\; a\; 2\; b\; 2)\; z\; 2\; -\; a\; 1\; a\; 2\; b\; 1\; b\; 2\; z\; 3\; +\; a\; 2\; 2\; á\; 2\; 2\; À\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; (F\; \backslash \; odot\; G)\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\}\; \{1-a\_\; \{1\}\; b\_\; \{1\}\; z\; +\; \backslash \; left\; (a\_\; \{2\}\; b\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; -a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; z\; ^\; \{2\}\; -a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{3\}\; +\; a\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{4\}\}\}.\}$

Пример: факторные (приближенные) преобразования Лапласа

Обычные производящие функции для обобщенных факториальных функций, образованных как частные обобщенные факторные функции произведений, или k-символ Поххаммера, определяемый как

$пn\; (\alpha ,\; R):\; знак\; равно\; R\; (R\; +\; \alpha )\; \cdots \; (R\; +\; (N\; -\; 1)\; \alpha )\; знак\; равно\; \alpha \; N\; \cdot \; (R\; \alpha )\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (\backslash \; alpha,\; R):\; =\; R\; (R\; +\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; cdots\; (R\; +\; (n-1)\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{n\},\}$

где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$фиксировано, $\alpha \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; neq\; 0\}$и $(x)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\; \_\; \{n\}\}$обозначает символ Поххаммера, генерируемый (по крайней мере формально) J -ями типа Якоби (или специальными формами продолжение дроби ) установлено в референт NCE. Если мы допустимы $Conv\; h\; \; (\alpha ,\; R;\; z):\; =\; FP\; h\; \; (\alpha ,\; R;\; z)\; /\; FQ\; h\; \; (\alpha ,\; R;\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Conv\}\; \_\; \{h\; \}\; (\backslash \; alpha,\; R;\; z):\; =\; \backslash \; operatorname\; \{FP\}\; \_\; \{h\}\; (\backslash \; alpha,\; R;\; z)\; /\; \backslash \; operatorname\; \{FQ\}\; \_\; \{h\}\; (\backslash \; alpha,\; R;\; z)\}$обозначают $h\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$, сходящуюся к этим бесконечным непрерывным дробям, где составляющие сходящиеся функции для всех целых чисел $h\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; geq\; 2\}$по

$FP\; h\; \; (\alpha ,\; R;\; z)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; h\; -\; 1\; [\sum \; k\; =\; 0\; n\; (hk)\; (1\; -\; h\; -\; р\; \alpha )\; К\; (р\; \alpha )\; N\; -\; К]\; (\alpha \; Z)\; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{FP\}\; \_\; \{h\}\; (\backslash \; alpha,\; R;\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\; h-1\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{h\}\; \{k\}\}\; \backslash \; left\; (1-h\; -\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{nk\}\; \backslash \; right]\; (\backslash \; alpha\; z)\; ^\; \{n\},\}$

и

$FQ\; h\; \; (\; \alpha ,\; R;\; z)\; =\; (-\; \alpha \; z)\; чч!\; \times \; L\; h\; (R\; /\; \alpha \; -\; 1)\; ((\alpha \; z)\; -\; 1)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; h\; (hk)\; [\prod \; j\; =\; 0\; k\; -\; 1\; (R\; +\; (j\; -\; 1\; -\; j)\; \alpha )]\; (-\; z)\; К,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{FQ\}\; \_\; \{h\}\; (\backslash \; alpha,\; R;\; z)\; =\; (-\; \backslash \; alpha\; z)\; ^\; \{h\}\; \backslash \; cdot\; h!\; \backslash \; times\; L\_\; \{h\}\; ^\; \{\backslash \; left\; (R\; /\; \backslash \; alpha\; -1\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; left\; ((\backslash \; alpha\; z)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{h\}\; \{\backslash \; binom\; \{h\}\; \{k\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{k-1\}\; (R\; +\; (j-1-j)\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; right]\; (-\; z)\; ^\; \{k\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $L\; n\; (\beta )\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; beta)\}\; (x)\}$обозначает связанный многочлен Лагерра, то мы имеем, что $hth\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{th\}\}$сходящаяся функция, $Conv\; h\; \; (\alpha ,\; R;\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Conv\}\; \_\; \{h\}\; (\backslash \; alpha,\; R;\; z)\}$, точно перечисляет продукты, $pn\; (\alpha ,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\; \}\; (\backslash \; альфа,\; R)\}$для всех . Для каждого $h\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; geq\; 2\}$, $hth\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{th\}\}$сходящаяся функция расширяется как конечная, состоящая только из парных обратных полиномов Лагерра в виде

$Conv\; h\; \; (\alpha ,\; R;\; z)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; h\; -\; 1\; (R\; \alpha \; +\; i\; -\; 1\; i)\; \times \; (-\; \alpha \; z)\; -\; 1\; (я\; +\; 1)\; \cdot \; L\; я\; (R\; /\; \alpha \; -\; 1)\; ((\alpha \; z)\; -\; 1)\; L\; я\; +\; 1\; (R\; /\; \alpha \; -\; 1)\; ((\alpha \; z)\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Conv\}\; \_\; \{h\}\; (\backslash \; alpha,\; R;\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{h-1\}\; \{\backslash \; binom\; \{\{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; +\; i-1\}\; \{i\}\}\; \backslash \; times\; \{\; \backslash \; frac\; \{(-\; \backslash \; alpha\; z)\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{(i\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; left\; (R\; /\; \backslash \; alpha\; -1\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; left\; ((\backslash \; alpha\; z)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; L\_\; \{i\; +\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; left\; (R\; /\; \backslash \; alpha\; -1\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; left\; ((\backslash \; alpha\; z)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

Более того, поскольку единственная факториальная функция задается как $n!\; знак\; равно\; п\; N\; (1,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; p\_\; \{n\}\; (1,1)\}$и $n!\; =\; pn\; (-\; 1,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; p\_\; \{n\}\; (-\; 1,\; n)\}$, мы можем сгенерировать члены единственной факториальной функции, используя приближенные рациональные сходящиеся производящие функции до порядка $2\; ч\; \{\backslash \; displaystyle\; 2h\}$. Это наблюдение предлагает подход к аппроксимации точного (формального) преобразования Лапласа – Бореля, обычно задаваемого в терминах интегрального представления из предыдущего раздела, производящей функцией Адамара или диагональным коэффициентом. В частности, для любого OGF $G\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\}$мы можем сформировать приблизительное преобразование Лапласа, которое составляет $2\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; 2h\}$- точный порядок, по формуле извлечения диагонального коэффициента, указанной выше, заданной как

$L\; ~\; h\; [G]\; (z):\; =\; [x\; 0]\; Conv\; h\; \; (1,\; 1;\; zx)\; G\; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; 0\; 2\; \pi \; Conv\; h\; \; (1,\; 1;\; ze\; ı\; t)\; G\; (-\; ze\; ı\; t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; widetilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \_\; \{h\}\; [G]\; (z)\; :\; =\; [x\; ^\; \{0\}]\; \backslash \; operatorname\; \{Conv\}\; \_\; \{h\}\; \backslash \; left\; (1,1;\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; G\; (x)\; \backslash \backslash \; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; operatorname\; \{Conv\}\; \_\; \{h\}\; \backslash \; left\; (1,1;\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; imath\; t\}\; \backslash \; right)\; G\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; e\; ^\; \{\; \backslash \; imath\; t\}\; \backslash \; right)\; dt.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Примеры последовательностей, перечисленных через эти диагональные производящие функции коэффициентов, возникающие из множителя функции факториала последовательности, обеспечиваемого рациональными сходящимися функциями, включают

$n! 2 = [zn] [x 0] Conv h ⁡ (- 1, n; zx) Conv h ⁡ (- 1, n; x), h ≥ n (2 nn) = [x 1 0 x 2 0 zn] Conv h ⁡ (- 2, 2 n; zx 2) Conv h ⁡ (- 2, 2 n - 1; x 2 x 1) I 0 (2 x 1) (3 nn) (2 nn) = [x 1 0 x 2 0 zn] Conv h ⁡ (- 3, 3 n - 1; 3 zx 2) Conv h ⁡ (- 3, 3 n - 2; x 2 x 1) I 0 (2 x 1)! п = п! × ∑ я знак равно 0 N (- 1) я я! = [z n x 0] (e - x (1 - x) Conv n ⁡ (- 1, n; z x)) af ⁡ (n) = ∑ k = 1 n (- 1) n - k k! = [zn] (Conv n ⁡ (1, 1; z) - 1 1 + z) (t - 1) n P n (t + 1 t - 1) = ∑ k = 0 n (nk) 2 tk = [ x 1 0 x 2 0] [zn] (Conv n ⁡ (1, 1; zx 1) Conv n ⁡ (1, 1; x 1 x 2) I 0 (2 t ⋅ x 2) I 0 (2 x 2)), n ≥ 1 (2 n - 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 1 N (N - 1)! (к - 1)! к ⋅ (2 к - 3)! ! = [x 1 0 x 2 0 x 3 n - 1] (Conv n ⁡ (1, 1; x 3 x 2) Conv n ⁡ (2, 1; x 2 x 1) (x 1 + 1) ex 1 ( 1 - х 2)), {\ displaystyle {\ begin {align} n! ^ {2} = [z ^ {n}] [x ^ {0}] \ operatorname {Conv} _ {h} \ left (-1, n; {\ frac {z} {x}} \ right) \ operatorname {Conv} _ {h} \ left (-1, n; x \ right), h \ geq n \ \ {\ binom {2n} {n}} = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} z ^ {n}] \ operatorname {Conv} _ {h} \ left (-2, 2n; {\ frac {z} {x_ {2}}} \ right) \ operatorname {Conv } _ {h} \ left (-2,2n-1; {\ frac {x_ {2}} {x_ {1}}} \ right) I_ {0} (2 {\ sqrt {x_ {1}}}) \\ {\ binom {3n} {n}} {\ binom {2n} {n}} = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} z ^ {n}] \ operatorname {Conv} _ {h} \ left (-3,3n-1; {\ frac {3z} {x_ {2}}} \ right) \ operatorname {Conv} _ {h} \ left (-3,3n- 2; {\ frac {x_ {2}} {x_ {1}}} \ right) I_ {0} (2 {\ sqrt {x_ {1}}}) \\! п = п! \ times \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {i!}} = [z ^ {n} x ^ {0}] \ left ({\ frac {e ^ {- x}} {(1-x)}} \ operatorname {Conv} _ {n} \ left (-1, n; {\ frac {z} {x}} \ right) \ right) \\\ имя оператора {af} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {nk} k! = [z ^ {n}] \ left ({\ frac {\ operatorname {Conv} _ {n} (1,1; z) -1} {1 + z}} \ right) \\ (t- 1) ^ {n} P_ {n} \ lef t ({\ frac {t + 1} {t-1}} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} { k}} ^ {2} t ^ {k} \\ = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0}] [z ^ {n}] \ left (\ operatorname {Conv} _ {n} \ left (1,1; {\ frac {z} {x_ {1}}} \ right) \ operatorname {Conv} _ {n} \ left (1,1; {\ frac {x_ {1}) } {x_ {2}}} \ right) I_ {0} (2 {\ sqrt {t \ cdot x_ {2}}}) I_ {0} (2 {\ sqrt {x_ {2}}}) \ right), п \ geq 1 \\ (2n-1) !! = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(n-1)!} {(k-1)!}} k \ cdot (2k-3) !! \\ = [x_ {1} ^ {0} x_ {2} ^ {0} x_ {3} ^ {n -1}] \ left (\ operatorname {Conv} _ {n} \ left (1,1 ; {\ frac {x_ {3}} {x_ {2}}}} \ right) \ operatorname {Conv} _ {n} \ left (2,1; {\ frac {x_ {2}} {x_ {1 }}} \ right) {\ frac {(x_ {1} +1) e ^ {x_ {1}}} {(1-x_ {2})}} \ right), \ end {align}}}$

где $I\; 0\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{0\}\; (z)\}$обозначает модифицированная функция Бесселя, $!\; п\; \{\backslash \; displaystyle!\; n\}$обозначает субфакторную функцию, $af\; \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{af\}\; (n)\}$обозначает функцию переменного факториала, а $P\; n\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (x)\}$является полиномом Лежандра. Другие примеры последовательностей, перечисленных посредством применения этих рациональных функций генерирования произведений Адамара, приведенных в статье, включают G-функцию Барнса, комбинаторные суммы с участием функций двойного факториала, сумм степеней, последовательностей и последовательностей биномов.

Преобразования положительных и отрицательных рядов дзета

Для фиксированного $k\; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\; \}$, мы имеем, что если последовательность OGF $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$имеет $jth\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{th\}\}$производные всех требуемых порядков для $1\; \le \; j\; \le \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; j\; \backslash \; leq\; k\}$, что дано преобразование дзета-ряда положительного порядка по

$\sum \; N\; \ge \; 0\; nkfnzn\; =\; \sum \; J\; знак\; равно\; 0\; к\; \{kj\}\; zj\; F\; (j)\; (z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; n\; ^\; \{k\}\; f\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; k\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; z\; ^\; \{j\}\; F\; ^\; \{(j)\}\; (z),\}$

где $\{nk\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}\}$обозначает число Стирлинга второго рода. В частности, у нас есть следующий тождественный особый случай, когда $fn\; \forall \; 1\; \backslash \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \backslash \; forall\; n\}$when $⟨nm⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; m\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\}$обозначает треугольник чисел Эйлера первого порядка :

Мы также можем расширить приведенные выше процедуры отрицательного порядка с помощью приведенных выше разложений, приведенных в терминах $jth\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{th\}\}$-порядковые производные $F\; (z)\; \in \; C\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\; \backslash \; in\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$и бесконечный, нетреугольный набор обобщенных чисел Стирлинга в обратном порядке или обобщенных чисел Стирлинга второго типа, определенных в этом контексте.

В частности, для целых чисел $k,\; j\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; k,\; j\; \backslash \; geq\; 0\}$, определите эти обобщенные классы чисел Стирлинга второго рода по формуле

$\{k\; +\; 2\; j\}\; \ast :\; =\; 1\; j!\; \times \; \sum \; м\; знак\; равно\; 1\; Дж\; (Дж\; м)\; (-\; 1)\; Дж\; -\; м\; м\; К.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; k\; +\; 2\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{\backslash \; ast\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; binom\; \{j\}\; \{m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{jm\}\}\; \{m\; ^\; \{k\}\}\}.\}$

Тогда для $К\; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; Displaystyle\; к\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$и некоторые предписанные OGF, $F\; (z)\; \in \; C\; \infty \; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (z)\; \backslash \; in\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$, т. е. так, чтобы $jth\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{th\}\}$более высокого порядка производные от $F\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (z)\}$существует для всех $j\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; j\; \backslash \; geq\; 0\}$, мы имеем, что

$\sum \; n\; \ge \; 1\; fnnkzn\; =\; \sum \; j\; \ge \; 1\; \{k\; +\; 2\; j\}\; \ast \; zj\; F\; (j)\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{n\}\}\; \{n\; ^\; \{k\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; k\; +\; 2\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{\backslash \; ast\}\; z\; ^\; \{j\}\; F\; ^\; \{(j)\}\; (z).\}$

Таблица первых нескольких коэффициентов преобразования серии дзета, $\{kj\}\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; k\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{\backslash \; ast\}\}\}$, отображается ниже. Эти разложения взвешенных гармонических чисел почти идентичны известному формулам для чисел Стирлинга первого рода с точностью до главного знака взвешенных гармонических чисел членов в разложениях.

k	$\{k\; j\}\; \ast \; \times \; (-\; 1)\; j\; -\; 1\; j!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; k\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{\backslash \; ast\}\; \backslash \; times\; (-1)\; ^\; \{j-1\}\; j!\}$
2	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$
3	$H\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{j\}\}$
4	$1\; 2\; (H\; j\; 2\; +\; H\; j\; (2))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (H\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; +\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \; right)\}$
5	$1\; 6\; (H\; j\; 3\; +\; 3\; H\; j\; H\; j\; (2)\; +\; 2\; H\; j\; (3))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash \; left\; (H\_\; \{j\}\; ^\; \{3\}\; +\; 3H\_\; \{j\}\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\; +\; 2H\_\; \{j\}\; ^\; \{(3)\}\; \backslash \; right)\}$
6	$1\; 24\; (H\; j\; 4\; +\; 6\; H\; j\; 2\; H\; j\; (2)\; +\; 3\; (H\; j\; (2))\; 2\; +\; 8\; H\; j\; H\; j\; (3)\; +\; 6\; H\; j\; (4))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\}\; \backslash \; left\; (H\_\; \{j\}\; ^\; \{4\}\; +\; 6H\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\; +\; 3\; \backslash \; left\; (H\_\; \{\; j\}\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 8H\_\; \{j\}\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(3)\}\; +\; 6H\_\; \{j\}\; ^\; \{(4)\}\; \backslash \; right)\}$

Примеры преобразования дзета-рядов отрицательного порядка

Следующая серия, относящаяся к функциям полилогарифма (функции дилогарифма и трилогарифма, соответственно), чередующаяся дзета -функция и дзета-функция Римана сформулированы на на основе результатов предыдущих отрицательного порядка, найденных в ссылках. В частности, когда $s:\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s:\; =\; 2\}$(или эквивалентно, когда $k:\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; k:\; =\; 4\}$в таблице выше), у нас есть следующий особый ряд для дилогарифма и соответствующие стандартные значения дзета-функции:

$Li\; 2\; (z)\; =\; \sum \; j\; \ge \; 1\; (-\; 1)\; j\; -\; 1\; 2\; (H\; j\; 2\; +\; H\; j\; (2))\; zj\; (1\; -\; z)\; j\; +\; 1\; \zeta \; \ast \; (2)\; =\; \pi \; 2\; 12\; =\; \sum \; j\; \ge \; 1\; (H\; j\; 2\; +\; H\; j\; (2))\; 4\; \cdot \; 2\; Дж.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; text\; \{Li\}\}\; \_\; \{2\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{j-1\}\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; left\; (H\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; +\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{j\}\}\; \{(1-z)\; ^\; \{j\; +\; 1\}\; \}\}\; \backslash \backslash \backslash \; zeta\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; (2)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{12\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (H\_\; \{\; j\}\; ^\; \{2\}\; +\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\; \backslash \; right)\}\; \{4\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{j\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Когда $s:\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; s:\; =\; 3\}$(или когда $k:\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; k:\; =\; 5\}$получить ряд частных случаев для этих функций, заданных как

$Li\; 3\; (z)\; =\; \sum \; j\; \ge \; 1\; (-\; 1)\; j\; -\; 1\; 6\; (\; H\; j\; 3\; +\; 3\; H\; j\; H\; j\; (2)\; +\; 2\; H\; j\; (3))\; zj\; (1\; -\; z)\; j\; +\; 1\; \zeta \; \ast \; (3)\; =\; 3\; 4\; \zeta \; (3)\; =\; \sum \; j\; \ge \; 1\; (H\; j\; 3\; +\; 3\; ЧАС\; J\; ЧАС\; J\; (2)\; +\; 2\; ЧАС\; J\; (3))\; 12\; \cdot \; 2\; j\; =\; 1\; 6\; журнал\; \; (2)\; 3\; +\; \sum \; j\; \ge \; 0\; H\; j\; H\; j\; (2)\; 2\; j\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; text\; \{Li\}\}\; \_\; \{3\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{j-1\}\}\; \{6\}\}\; \backslash \; left\; (H\_\; \{j\}\; ^\; \{3\}\; +\; 3H\_\; \{j\}\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\; +\; 2H\_\; \{j\}\; ^\; \{(3)\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{j\}\}\; \{(1-z)\; ^\; \{j\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; zeta\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; (3)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; zeta\; (3)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (H\_\; \{j\}\; ^\; \{3\}\; +\; 3H\_\; \{j\}\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\; +\; 2H\_\; \{j\}\; ^\; \{(3)\}\; \backslash \; right)\}\; \{12\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{j\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash \; log\; (2)\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{H\_\; \{j\}\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\}\; \{2\; ^\; \{j\; +\; 1\}\; \}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Известно, что гармонические числа первого порядка имеют экспоненциальную производственную функцию замкнутой, расширенную с помощью натурального логарифма , неполной гамма-функции и экспоненциального интеграла, заданного как

$\sum \; n\; \ge \; 0\; H\; nn!\; z\; n\; =\; e\; z\; (E\; 1\; (z)\; +\; \gamma \; +\; log\; \; z)\; =\; e\; z\; (\Gamma \; (0,\; z)\; +\; \gamma \; +\; log\; \; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{H\_\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; e\; ^\; \{z\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; t\_dv\; \{E\}\}\; \_\; \{1\; \}\; (z)\; +\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; log\; z\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{z\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; (0,\; z)\; +\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; log\; z\; \backslash \; right).\}$

Дополнительные представления серий для номер гармоники r-го порядка экспоненциальные производящие функции для целых чисел $r\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; geq\; 2\}$формируются как частные случаи этих основанных на производных трансформациях отрицательного порядка результатов преобразования.. Например, номера гармоник второго порядка имеют соответствующую экспоненциальную производящую функцию, разложенную на ряд

$\sum \; n\; \ge \; 0\; H\; n\; (2)\; n!\; Z\; N\; знак\; равно\; \sum \; J\; \ge \; 1\; H\; J\; 2\; +\; H\; J\; (2)\; 2\; \cdot \; (J\; +\; 1)!\; z\; j\; e\; z\; (j\; +\; 1\; +\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{H\_\; \{n\}\; ^\; \{(2)\}\}\; \{n!\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{H\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; +\; H\_\; \{j\}\; ^\; \{(2)\}\}\; \{2\; \backslash \; cdot\; (j\; +\; 1)!\}\}\; Z\; ^\; \{j\}\; e\; ^\; \{z\}\; \backslash \; left\; (j\; +\; 1\; +\; z\; \backslash \; right).\}$

Обобщенные преобразования дзета-рядов отрицательных порядков

Дальнейшее обобщение определенного выше преобразований рядов отрицательного порядка связано с более гурвиц-дзета-подобными, или трансцендентно -подобный Лерху, производящие функции. В частности, если мы определим еще более общие параметры числа Стирлинга второго как

$\{k\; +\; 2\; j\}\; (\alpha ,\; \beta )\; \ast :\; =\; 1\; j!\; \times \; \sum \; 0\; \le \; м\; \le \; J\; (JM)\; (-\; 1)\; J\; -\; м\; (\alpha \; м\; +\; \beta )\; к\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; к\; +\; 2\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\; ^\; \{\backslash \; ast\}\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; sum\; \_\; \{0\; \backslash \; leq\; m\; \backslash \; leq\; j\}\; \{\backslash \; binom\; \{j\; \}\; \{m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{jm\}\}\; \{(\backslash \; alpha\; m\; +\; \backslash \; beta)\; ^\; \{k\}\}\}\}$,

для ненулевых $\alpha ,\; \beta \; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; альфа,\; \backslash \; бета\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$так, что $-\; \beta \; \alpha \; \notin \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; notin\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$и некоторые фиксированные $k\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; geq\; 1\}$, мы имеем, что

$\sum \; n\; \ge \; 1\; fn\; (\alpha n\; +\; \beta )\; kzn\; =\; j\; \ge \; 1\; \{k\; +\; 2\; j\}\; (\alpha ,\; \beta )\; \ast \; zj\; F\; (j)\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{n\}\}\; \{(\backslash \; alpha\; n\; +\; \backslash \; beta)\; ^\; \{k\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 1\; \}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; k\; +\; 2\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\; ^\; \{\backslash \; ast\}\}\; z\; ^\; \{j\}\; F\; ^\; \{\; (j)\}\; (z).\}$

Более того, для любых целых чисел $u,\; u\; 0\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u,\; u\_\; \{0\}\; \backslash \; geq\; 0\}$, у нас есть частичный ряд приближения к полному бесконечному ряду в уравнении, заданном как

$\sum \; n\; =\; 1\; ufn\; (\alpha \; n\; +\; \beta )\; kzn\; =\; [wu]\; (\sum \; j\; =\; 1\; u\; +\; u\; 0\; \{k\; +\; 2\; j\}\; (\alpha ,\; \beta )\; \ast \; (wz)\; j\; F\; (j)\; (wz)\; 1\; -\; w).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{u\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{n\}\}\; \{(\backslash \; alpha\; n\; +\; \backslash \; beta)\; ^\; \{k\}\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; [w\; ^\; \{u\; \}]\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{u\; +\; u\_\; \{0\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; k\; +\; 2\; \backslash \backslash \; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\; ^\; \{\backslash \; ast\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(wz)\; ^\; \{j\}\; F\; ^\; \{(j)\}\; (wz)\}\; \{1-w\}\}\; \backslash \; right).\}$

Примеры преобразование обобщенных дзета-рядов отрицательного порядка

рядов для специальных констант и дзета-функций, получаемых в результате этих преобразований обобщенных дзета-рядов, обычно включающих обобщенные числа гармоник-порядка, определяемые как 859>ЧАС N (г) (α, β): знак равно ∑ 1 ≤ К ≤ N (α К + β) - r {\ Displaystyle H_ {n} ^ {(г)} (\ альфа, \ бета): = \ сумма _ {1 \ Leq к \ Leq n} (\ альфа к + \ бета) ^ {- r}}для целых чисел $r\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; geq\; 1\}$. Пара изменяет ряд расширений для следующих констант, когда $n\; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$фиксируется, следует из частных случаев Тождества типа BBP как

$4\; 3\; \pi \; 9\; =\; \sum \; j\; \ge \; 0\; 8\; 9\; j\; +\; 1\; (2\; (j\; +\; 1\; 3\; 1\; 3)\; -\; 1\; +\; 1\; 2\; (j\; +\; 2\; 3\; 2\; 3)\; -\; 1)\; журнал\; \; (\; n\; 2\; -\; n\; +\; 1\; n\; 2)\; =\; \sum \; j\; \ge \; 0\; 1\; (n\; 2\; +\; 1)\; j\; +\; 1\; (2\; 3\; \cdot \; (j\; +\; 1)\; -\; n\; 2\; (j\; +\; 1\; 3\; 1\; 3)\; -\; 1\; +\; п\; 2\; (\; j\; +\; 2\; 3\; 2\; 3)\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\}\; \{9\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{9\; ^\; \{j\; +1\}\}\}\; \backslash \; left\; (2\; \{\backslash \; binom\; \{j\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{j\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; n\; ^\; \{2\}\; -n\; +\; 1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(n\; ^\; \{2\}\; +1)\; ^\; \{\; j\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\; \backslash \; cdot\; (j\; +\; 1)\}\}\; -\; n\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; binom\; \{j\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{j\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\; 3\}\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Несколько других серий для связанных с дзета-функциями случаев функции ци Лежандра, функции полигаммы и дзета-функции Римана включают

$χ 1 (z) = ∑ j ≥ 0 (j + 1 2 1 2) - 1 z ⋅ (- z 2) j (1 - z 2) j + 1 χ 2 (z) = ∑ j ≥ 0 (j + 1 2 1 2) - 1 (1 + H j (1) (2, 1)) z ⋅ (- z 2) j (1 - z 2) j + 1 ∑ k ≥ 0 (- 1) k (z + k) 2 = ∑ j ≥ 0 (j + zz) - 1 (1 z 2 + 1 z H j (1) (2, z)) 1 2 j + 1 13 18 ζ (3) = ∑ i = 1, 2 ∑ j ≥ 0 (j + i 3 i 3) - 1 (1 i 3 + 1 i 2 H j (1) (3, i) + 1 2 i (H j (1) (3, i) 2 + ЧАС J (2) (3, я))) (- 1) я + 1 2 J + 1. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ chi _ {1} (z) = \ sum _ {j \ geq 0} {\ binom {j + {\ frac {1} {2}}} {\ frac {1} {2}}} ^ {- 1} {\ frac {z \ cdot (-z ^ {2}) ^ {j}} {(1-z ^ {2}) ^ {j + 1}}} \ \\ chi _ {2} (z) = \ sum _ {j \ geq 0} { \ binom {j + {\ frac {1} {2}}} {\ frac {1} {2}}} ^ {-1} \ left (1 + H_ {j} ^ {(1)} (2, 1) \ right) {\ frac {z \ cdot (-z ^ {2}) ^ {j}} {(1- z ^ {2}) ^ {j + 1}}} \\\ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(z + k) ^ {2}}} = \ sum _ {j \ geq 0} {\ binom {j + z} {z}} ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {z ^ {2}}} + {\ frac {1} {z}} H_ {j} ^ {(1)} (2, z) \ right) {\ frac {1} {2 ^ {j + 1}}} \\ {\ frac {13} {18}} \ zeta (3) = \ sum _ {i = 1,2} \ sum _ { j \ geq 0} {\ binom {j + {\ frac {i} {3}}} {\ frac {i} {3}}} ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {i ^ {3}}} + {\ frac {1} {i ^ {2}}} H_ {j} ^ {(1)} (3, i) + {\ frac {1} {2i}} \ left (H_ {j} ^ {(1)} (3, i) ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)} (3, i) \ right) \ right) {\ frac {(-1) ^ { я + 1}} {2 ^ {j + 1}}}. \ End {align}}}$

Кроме того, мы можем дать другое новое явное последовательное представление функций арктангенса через ее связь с числами Фибоначчи, расширенными, как в ссылках, на

$tan\; -\; 1\; \; (x)\; =\; 5\; 2\; ı\; \times \; \sum \; b\; =\; \pm \; 1\; \sum \; j\; \ge \; 0\; b\; 5\; (j\; +\; 1\; 2\; j)\; -\; 1\; [(b\; ı\; \phi \; t\; /\; 5)\; j\; (1\; -\; b\; ı\; \phi \; T\; 5)\; J\; +\; 1\; -\; (б\; ı\; \Phi \; t\; /\; 5)\; j\; (1\; +\; б\; ı\; \Phi \; T\; 5)\; J\; +\; 1],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \{2\; \backslash \; imath\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; sum\; \_\; \{b\; =\; \backslash \; pm\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{j\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \{j\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (b\; \backslash \; imath\; \backslash \; varphi\; t\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; j\}\}\; \{\backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; imath\; \backslash \; varphi\; t\})\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{j\; +\; 1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (b\; \backslash \; imath\; \backslash \; Phi\; t\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; imath\; \backslash \; Phi\; t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; j\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right],\}$

для $t\; \equiv \; 2\; Икс\; /\; (1\; +\; 1\; +\; 4\; 5\; Икс\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; т\; \backslash \; экв\; 2x\; /\; \backslash \; влево\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{5\}\}\; х\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; вправо)\}$и где золотое сечение (и его обратная величина) соответственно определяется как $\phi ,\; \Phi :\; =\; 1\; 2\; (1\; \pm \; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; Phi:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}$.

Инверсия отношений

Отношение инверсии - это пара уравнений вида

$gn\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; NAN,\; К\; \cdot \; FK\; ⟷\; Fn\; =\; \sum \; К\; =\; 0\; NBN,\; K\; \cdot \; GK,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; f\_\; \{k\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; f\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; g\_\; \{k\},\}$

, что эквивалентно использованию ортогональности

$\sum \; k\; =\; jn\; A\; n,\; k\; \cdot \; B\; k,\; j\; =\; \delta \; n,\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; j\}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; B\_\; \{k,\; j\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; j\}.\}$

Учитывая две последовательности, $\{fn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$и $\{gn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{g\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, связанный с Обратное к предыдущей форме, мы иногда пытаемся связать пары последовательностей OGF и EGF с уравнениями, подразумеваемыми используемым инверсией. Эта цель в некотором отношении отражает более теоретико-числовое (ряд Ламберта ) отношение производящей функции, гарантированное формулой обращения Мёбиуса, которая обеспечивает, что всякий раз, когда

$an\; =\; \sum \; d\; |\; n\; b\; d\; ⟷\; b\; n\; =\; \sum \; d\; |\; n\; \mu \; (nd)\; объявление,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; b\_\; \{d\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\; a\_\; \{d\},\}$

производящие функции для последовательностей, $\{an\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\_\; \{n\}\; \backslash \; \}\}$и $\{bn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, связаны преобразованием Мёбиуса, задаваемым

$\sum \; n\; \ge \; 1\; anzn\; =\; \sum \; n\; \ge \; 1\; млрд\; злотых\; 1\; -\; злотый.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; a\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\}\; \{1-z\; ^\; \{n\}\}\}.\}$

Аналогичным образом преобразование Эйлера производящих функций для двух последовательностей, $\{an\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$и $\{bn\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, удовлетворяющее действие

$1\; +\; \sum \; n\; \ge \; 1\; bnzn\; =\; \prod \; i\; \ge \; 1\; 1\; (1\; -\; zi)\; ai,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; b\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-z\; ^\; \{i\})\; ^\; \{a\_\; \{i\}\; \}\}\},\}$

задается в виде

$1\; +\; B\; (z)\; =\; exp\; \; (\sum \; k\; \ge \; 1\; A\; (zk)\; k),\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; B\; (z)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; (z\; ^\; \{k\})\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right),\}$

где соответствующие формулы обращения между двумя последовательностями приведено в ссылке.

В предыдущих результатах и ​​примерах, приведенных в этом разделе, показаны некоторые из наиболее известных преобразователей производственной функции, используемые последовательности, связанные формулами инверсии (биномиальное преобразование и Преобразование Стирлинга ) и используется несколько таблиц известных инверсионных отношений различных типов, цитируемых в книге Риордана «Комбинаторные тождества». Во многих случаях мы опускаем соответствующие функциональные уравнения, подразумеваемые отношения инверсии между двумя последовательностями (эта часть статьи требует дополнительной работы).

Биномиальное преобразование

Первое отношение инверсии, представленное ниже неявно для биномиального преобразования, возможно, является самым первым из всех отношений инверсии, которые мы рассмотрим в этом разделе. Для любых двух последовательностей $\{fn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$и $\{gn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{g\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, связанные с обращением

$gn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; (-\; 1)\; kfk\; ⟷\; fn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; (-\; 1)\; kgk,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; f\_\; \{k\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; f\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; g\_\; \{k\},\}$

у нас есть функциональные уравнения между OGF и EGF этих последовательностей при условии посредством биномиального преобразования в форме

$G\; (z)\; =\; 1\; 1\; -\; z\; F\; (-\; z\; 1\; -\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; -z\}\}\; F\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-z\}\; \{1-z\}\}\; \backslash \; right)\}$

и

$G\; ^\; (z)\; =\; ez\; F\; ^\; (-\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{G\}\}\; (z)\; =\; e\; ^\; \{z\}\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (-\; z).\}$

Преобразование Стирлинга

Для любых пар последовательностей $\{fn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$и $\{gn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{g\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, связаны с помощью формулы обращения числа Стирлинга

$gn\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; \{nk\}\; fk\; ⟷\; fn\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; [nk]\; (-\; 1)\; n\; -\; kgk,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; f\_\; \{k\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; f\_\; \{n\; \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; g\_\; \{k\},\}$

эти отношения инверсии между двумя последовательностями преобразуются в функциональные уравнения между EGF, следуют заданными преобразованием Стирлинга как

$G\; ^\; (z)\; =\; F\; ^\; (ez\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\; G\}\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{z\}\; -1\; \backslash \; right)\}$

и

$F\; ^\; (z)\; =\; G\; ^\; (журнал\; \; (1\; +\; z)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{G\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; log\; (1\; +\; z)\; \backslash \; right).\}$

Таблицы пар инверсии из книги Риордана

Эти таблицы появляются в главех 2 и 3 книги Риордана, предоставляя введение в обратные отношения со многими примерами, хотя и подчеркивая функциональные уравнения между производственными функциями последовательностей, связанныхми отношениями инверсии. Заинтересованным читателям рекомендуется взять копию оригинальной книги для получения более подробной информации.

Несколько форм простейших обратных отношений

Отношение	Формула	Обратная формула	Генерация функций (OGF)	Генерация Функции ( EGF)	Примечания / Ссылки
1	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; \}\; \{k\}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; (-\; 1)\; n\; -\; kak\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$	$B\; (z)\; =\; 1\; 1\; -\; z\; A\; (-\; z\; 1\; -\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-z\}\}\; A\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1-z\}\}\; \backslash \; right)\}$	$B\; ^\; (z)\; =\; ez\; A\; ^\; (-\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{B\}\}\; (z)\; =\; e\; ^\; \{z\}\; \{\backslash \; widehat\; \{A\}\}\; (-\; z)\}$	См. биномиальное преобразование
2	$an\; =\; \sum \; k\; Знак\; равно\; 0\; n\; (p\; -\; kp\; -\; n)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{pk\}\; \{pn\}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (п\; -\; кп\; -\; п)\; (-\; 1)\; n\; -\; как\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\; \}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{pk\}\; \{pn\}\}\; (-1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$
3	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (n\; +\; pk\; +\; p)\; bk\; \{\backslash \; dis\; стиль\; игры\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\}\; \{k\; +\; p\; \}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (n\; +\; pk\; +\; p)\; (-\; 1)\; n\; -\; kak\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\; \}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\}\; \{k\; +\; p\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$	$B\; (z)\; =\; 1\; (1\; +\; z)\; p\; +\; 1\; A\; (z\; 1\; +\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1+\; z)\; ^\; \{p\; +\; 1\}\}\}\; A\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1\; +\; z\}\}\; \backslash \; right)\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$
4	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (К\; +\; пн\; +\; р)\; Ък\; \{\backslash \; Displaystyle\; а\_\; \{п\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{п\}\; \{\backslash \; binom\; \{к\; +\; р\}\; \{п\; +\; р\}\}\; Ь\_\; \{к\}\}$	$bn\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (к\; +\; pn\; +\; p)\; (-\; 1)\; n\; -\; kak\; \{\backslash \; displaysty\; le\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{k\; +\; p\}\; \{n\; +\; p\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$	$\ast \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$
5	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; nn!\; к!\; (n\; -\; 1\; к\; -\; 1)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{k!\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\}\; \{\; k-1\}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; nn!\; к!\; (n\; -\; 1\; к\; -\; 1)\; (-\; 1)\; n\; -\; kak\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{k!\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{п-1\}\; \{к-1\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$B\; ^\; (z)\; =\; A\; ^\; (z\; 1\; +\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{B\}\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{A\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1\; +\; z\}\}\; \backslash \; right)\}$
6	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; п\; (нк)\; 2\; к!\; bn\; -\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; ^\; \{2\}\; k!\; b\_\; \{nk\}\}$	$bn\; =\; \sum \; к\; знак\; равно\; 0\; N\; (NK)\; 2\; (-\; 1)\; кк!\; ан\; -\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; ^\; \{2\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; k!\; a\_\; \{nk\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$B\; ^\; (z)\; =\; 1\; 1\; +\; z\; A\; ^\; (z\; 1\; +\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{B\}\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; z\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{A\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1\; +\; z\}\}\; \backslash \; right)\}$
7	$n!\; а\; п\; (п\; +\; р)!\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (Н\; К)\; К!\; б\; к\; (к\; +\; р)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{п!\; a\_\; \{n\}\}\; \{(n\; +\; p)!\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{k!\; b\_\; \{k\}\}\; \{(k\; +\; p)!\}\}\}$	$п!\; б\; п\; (п\; +\; р)!\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (N\; К)\; (-\; 1)\; N\; -\; К\; К!\; а\; к\; (к\; +\; р)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{п!\; b\_\; \{n\}\}\; \{(n\; +\; p)!\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; (-1)\; ^\; \{nk\}\; k!\; A\_\; \{k\}\}\; \{(k\; +\; p)!\}\}\}$	$B\; (z)\; =\; 1\; (1\; +\; z)\; p\; +\; 1\; A\; (z\; 1\; +\; z)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; B\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; z)\; ^\; \{p\; +\; 1\}\}\}\; A\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{1\; +\; z\}\}\; \backslash \; right)\}$	$*\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Ast\}$
8	$sn\; =\; \sum \; К\; \ge \; 0\; (n\; +\; км\; +\; 2\; к)\; ak\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k\}\; \{m\; +\; 2k\}\}\; a\_\; \{k\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$S\; (z)\; =\; zm\; (1\; -\; z)\; m\; +\; 1\; A\; (z\; (1\; -\; z)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (z)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{z\; ^\; \{m\}\}\{(1-z)\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\}\; A\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{(1-z)\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \; right)\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	См.
9	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; ak\; (-\; c)\; n\; -\; kbk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; a\; ^\; \{k\}\; (-\; c)\; ^\; \{nk\}\; b\_\; \{k\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$A\; (z)\; =\; 1\; 1\; +\; cx\; B\; (ax\; 1\; +\; cx)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; cx\}\}\; B\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{ax\}\; \{\; 1\; +\; cx\}\}\; \backslash \; right)\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	Обобщение биномиального преобразования для $a,\; b,\; c\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$такой, что .
10	$вес\; N\; =\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; (NI)\; Knai,\; К\; \ne \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\_\; \{N\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{i\}\}\; к\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\},\; \backslash \; k\; \backslash \; neq\; 0\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$W\; ^\; (A,\; k;\; z)\; =\; ekz\; A\; ^\; (kz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{W\}\}\; (A,\; k;\; z)\; =\; e\; ^\; \{kz\}\; \{\backslash \; widehat\; \{A\}\}\; (kz)\}$	$k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-биномиальное преобразование (см.)
11	$fn\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; (ni)\; kn\; -\; iai,\; k\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; я\; знак\; равно\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{i\}\}\; k\; ^\; \{ni\}\; a\_\; \{i\},\; \backslash \; k\; \backslash \; neq\; 0\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$F\; ^\; (A,\; k;\; z)\; =\; ekz\; A\; ^\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; (A,\; k;\; z)\; =\; e\; ^\; \{kz\}\; \{\backslash \; widehat\; \{\; A\}\}\; (z)\}$	падающее $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-биномиальное преобразование (см. Статью Спайви в)
12	$rn\; =\; \sum \; i\; Знак\; равно\; 0\; N\; (ni)\; киай,\; к\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{i\}\}\; k\; ^\; \{i\}\; a\_\; \{i\},\; \backslash \; к\; \backslash \; neq\; 0\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$	$R\; ^\; (A,\; k;\; z)\; =\; ez\; A\; ^\; (kz)\; \{\backslash \; display\; style\; \{\backslash \; widehat\; \{R\}\}\; (A,\; k;\; z)\; =\; e\; ^\; \{z\}\; \{\backslash \; widehat\; \{A\}\}\; (kz)\}$	возрастающий $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-биномиальное преобразование (см. Статью Спайви в)

классы обратных отношений Гулда

Термины, $A\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n,\; k\; \}\}$и $B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$, в формулах обращения вида

$an\; =\; \sum \; k\; A\; n,\; К\; \cdot \; Bk\; ⟷\; Bn\; знак\; равно\; \sum \; К\; В\; N,\; К\; \cdot \; (-\; 1)\; n\; -\; как,\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; A\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; (-1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\},\}$

, образующие несколько частных случаев классов обратных отношений Гулда: приведено в следующей таблице.

Класс	$A\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n,\; k\}\}$	$B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$
1	$(p\; +\; qk\; -\; kn\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-k\}\; \{nk\}\}\}$	$(p\; +\; qn\; -\; kn\; -\; k)\; -\; q\; (p\; +\; qn\; -\; k\; -\; 1\; n\; -\; k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-k\}\; \{nk\}\}\; -\; q\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-k-1\}\; \{nk-1\}\}\}$
2	$(p\; +\; qk\; -\; kn\; -\; k)\; +\; q\; (p\; +\; qk\; -\; kn\; -\; 1\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-k\}\; \{nk\}\}\; +\; q\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-k\}\; \{n-1-k\}\}\}$	$(p\; +\; qn\; -\; kn\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-k\}\; \{nk\}\}\}$
3	$(p\; +\; qn\; -\; nk\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-\; n\}\; \{kn\}\}\}$	$(p\; +\; qk\; -\; nk\; -\; n)\; -\; q\; (p\; +\; qk\; -\; n\; -\; 1\; k\; -\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-n\}\; \{kn\; \}\}\; -\; q\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-n-1\}\; \{kn-1\}\}\}$
4	$(p\; +\; qn\; -\; nk\; -\; n)\; +\; q\; (p\; +\; qn\; -\; nk\; -\; 1\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-n\}\; \{kn\}\}\; +\; q\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-n\}\; \{k-1-n\}\}\}$	$(p\; +\; qk\; -\; nk\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-n\}\; \{kn\}\}\}$

Для классов 1 и 2 диапазон суммы удовлетворяет $k\; \in \; [0,\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; [0,\; n]\}$, а для кла ссов 3 и 4 т Границы суммирования задаются следующим образом: $k\; =\; n,\; n\; +\; 1,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; n,\; n\; +\; 1,\; \backslash \; ldots\}$. Эти члены также несколько упрощены по сравнению с их исходными формами в таблице тождествами

$(p\; +\; qn\; -\; kn\; -\; k)\; -\; q\; \times \; (p\; +\; qn\; -\; k\; -\; 1\; n\; -\; k\; -\; 1)\; =\; p\; +\; qk\; -\; кп\; +\; qn\; -\; к\; (п\; +\; qn\; -\; кн\; -\; к)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-k\}\; \{nk\}\}\; -\; q\; \backslash \; times\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-k-1\}\; \{nk-\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; +\; qk-k\}\; \{p\; +\; qn-k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qn-k\}\; \{nk\}\}\}$

$(p\; +\; qk\; -\; kn\; -\; k)\; +\; q\; \times \; (p\; +\; qk\; -\; kn\; -\; 1\; -\; k)\; =\; p\; +\; qn\; -\; n\; +\; 1\; p\; +\; qk\; -\; n\; +\; 1\; (p\; +\; qk\; -\; kn\; -\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-k\}\; \{nk\}\}\; +\; q\; \backslash \; times\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-k\}\; \{n-1-k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; +\; qn-n\; +\; 1\}\; \{p\; +\; qk-n\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; qk-k\}\; \{nk\}\}.\}$

Более простые обратные отношения Чебышева

Так называемые более простые случаи Чебышёвские классы обратных отношений из нижеследующего пункта приведены в следующей таблице.

Отношение	Формула для $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	Обратная формула для $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$
1	$an\; =\; \sum \; k\; (\; nk)\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; [(n\; -\; kk)\; +\; (N\; -\; К\; -\; 1\; К\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; Кан\; -\; 2\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{nk\}\; \{k\}\}\; +\; \{\backslash \; binom\; \{nk-1\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
2	$an\; =\; \sum \; k\; [(nk)\; -\; (nk\; -\; 1)]\; bn\; -\; 2\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; b\_\; \{n-2k\; \}\}$	$bn\; =\; \sum \; К\; (n\; -\; kk)\; (-\; 1)\; kan\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{nk\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
3	$an\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; 2\; kk)\; bn\; +\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{n\; +\; 2k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; [(n\; +\; kk)\; +\; (n\; +\; k\; -\; 1\; k\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; kan\; +\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\; \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k\}\; \{k\}\}\; +\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k-1\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{k\; \}\; a\_\; \{n\; +\; 2k\}\}$
4	$an\; =\; \sum \; k\; [(n\; +\; 2\; kk)\; -\; (n\; +\; 2\; kk\; -\; 1)]\; bn\; +\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{k\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; b\_\; \{n\; +\; 2k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; к\; (п\; +\; 2\; кк)\; (-\; 1)\; кан\; +\; 2\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n\; +\; 2k\}\}$
5	$an\; =\; \sum \; K\; (n\; -\; kk)\; bn\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{nk\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{nk\}\}$	$бн\; знак\; равно\; \sum \; К\; [(п\; +\; к\; -\; 1\; к)\; -\; (п\; +\; к\; -\; 1\; к\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; кан\; -\; к\; \{\backslash \; Displaystyle\; b\_\; \{п\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k-1\}\; \{k\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k-1\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{nk\}\}$
6	$ан\; =\; \sum \; К\; [(n\; +\; 1\; -\; kk)\; +\; (n\; -\; kk\; -\; 1)]\; bn\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\; -k\}\; \{k\}\}\; +\; \{\backslash \; binom\; \{nk\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; b\_\; \{nk\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; kk)\; (-\; 1)\; kan\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{nk\}\}$
7	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; bn\; +\; ck\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{n\; +\; ck\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; ck\; +\; kk)\; n\; (-\; 1)\; kn\; +\; ck\; +\; kan\; +\; ck\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\; +\; k\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\}\; \{n\; +\; ck\; +\; k\}\}\; a\_\; \{n\; +\; ck\}\}$

Формулы в табл. e несколько упрощаются следующими тождествами:

$(n\; -\; kk)\; +\; (n\; -\; k\; -\; 1\; k\; -\; 1)\; =\; nn\; -\; k\; (n\; -\; kk)\; (nk)\; -\; (nk\; -\; 1)\; =\; n\; +\; 1\; -\; kn\; +\; 1-2\; k\; (nk)\; (n\; +\; 2\; kk)\; -\; (n\; +\; 2\; kk\; -\; 1)\; =\; n\; +\; 1\; n\; +\; 1\; +\; k\; (n\; +\; 2\; kk)\; (n\; +\; k\; -\; 1\; k)\; -\; (\; п\; +\; к\; -\; 1\; к\; -\; 1)\; =\; п\; -\; кн\; +\; к\; (п\; +\; кк).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; binom\; \{nk\}\; \{k\}\}\; +\; \{\backslash \; binom\; \{nk-1\}\; \{k-1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{nk\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{\; nk\}\; \{k\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k-1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1-k\}\; \{n\; +\; 1-2k\}\; \}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{k\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{k-1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{n\; +\; 1\; +\; k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{k\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k-1\}\; \{k\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k-1\}\; \{k-\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{nk\}\; \{n\; +\; k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k\}\; \{k\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Кроме того, соотношения инверсии, приведенные в таблице, также сохраняются когда $n\; ⟼\; n\; +\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; longmapsto\; n\; +\; p\}$в любом заданном отношении.

Чебышевские классы обратных отношений

Термы, $A\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n,\; k\}\}$и $B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$в формулах обращения вида

$an\; =\; \sum \; k\; A\; n,\; k\; \cdot \; bn\; +\; ck\; ⟷\; bn\; =\; \sum \; k\; B\; n,\; k\; \cdot \; (-\; 1)\; кан\; +\; ck,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; A\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{n\; +\; ck\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; (-1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n\; +\; ck\},\}$

для ненулевых целых чисел $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$формирующие несколько частных случаев чебышевских классов обратных отношений, приведены в следующей таблице.

Класс	$A\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n,\; k\}\}$	$B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$
1	$(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\}$	$(n\; +\; ck\; +\; kk)\; -\; (c\; +\; 1)\; (n\; +\; ck\; +\; k\; -\; 1\; k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\; +\; k\}\; \{\; к\}\}\; -\; (с\; +\; 1)\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\; +\; k-1\}\; \{k-1\}\}\}$
2	$(nk)\; +\; (c\; +\; 1)\; (nk\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; +\; (c\; +\; 1)\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k-1\}\}\}$	$(n\; +\; ck\; +\; kk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\; +\; k\})\; \{k\}\}\}$
3	$(n\; +\; ckk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\}\; \{k\}\}\}$	$(n\; -\; 1\; +\; kk)\; +\; c\; (n\; -\; 1\; +\; kk\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; +\; k\}\; \{k\}\}\; +\; c\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; +\; k\}\; \{k-1\}\}\}$
4	$(n\; +\; ckk)\; -\; (c\; -\; 1)\; (п\; +\; ckk\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\}\; \{k\}\}\; -\; (c-1)\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\}\; \{k-1\}\}\}$	$(n\; +\; kk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k\}\; \{k\}\}\}$

Кроме того, эти отношения инверсии также сохраняются, когда $n\; ⟼\; n\; +\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; longmapsto\; n\; +\; p\}$для некоторого $p\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots,\}$или когда коэффи циент знака $(-\; 1)\; к\; \{\backslash \; Displaystyle\; (-1)\; ^\; \{к\}\; \}$заменяется с членов $B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$на термины $A\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{\; n,\; k\}\}$. Формулы, приведенные в предыдущей таблице, несколько упрощены тождествами

$(n\; +\; ck\; +\; kk)\; -\; (c\; +\; 1)\; (n\; +\; ck\; +\; k\; -\; 1\; k\; -\; 1)\; =\; nn\; +\; ck\; +\; k\; (n\; +\; ck\; +\; kk)\; (nk)\; +\; (c\; +\; 1)\; (nk\; -\; 1)\; =\; n\; +\; 1\; +\; ckn\; +\; 1\; -\; k\; (nk)\; (n\; -\; 1\; +\; kk)\; +\; c\; (n\; -\; 1\; +\; kk\; -\; 1)\; =\; n\; +\; ckn\; (n\; -\; 1\; +\; kk)\; (n\; +\; ckk)\; -\; (c\; -\; 1)\; (n\; +\; ckk\; -\; 1)\; =\; n\; +\; 1\; n\; +\; 1\; +\; ck\; -\; k\; (n\; +\; ckk).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\; +\; k\}\; \{k\}\}\; -\; (c\; +\; 1)\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\; +\; k-1\}\; \{k-1\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{n\}\; \{n\; +\; ck\; +\; k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\; +\; k\}\; \{k\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; +\; (c\; +\; 1)\; \{\backslash \; binom\; \{n\; \}\; \{k-1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\; +\; ck\}\; \{n\; +\; 1-k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; +\; k\}\; \{\; k\}\}\; +\; c\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; +\; k\}\; \{k-1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; ck\}\; \{n\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; +\; k\}\; \{k\}\}\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\}\; \{k\}\}\; -\; (c-1)\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\}\; \{k-1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{n\; +\; 1\; +\; ck-\; k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; ck\}\; \{k\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Более простые обратные отношения Лежандра

Отношение	Формула для $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	Формула, обратная для $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$
1	$an\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; p\; +\; kn\; -\; k)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\; +\; k\}\; \{nk\}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; [(2\; n\; +\; pn\; -\; k)\; -\; (2\; n\; +\; pn\; -\; k\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; n\; -\; kak\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p\}\; \{\; nk\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p\}\; \{nk-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$
2	$an\; =\; \sum \; k\; (2\; n\; +\; pn\; -\; k)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p\}\; \{nk\}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; [(n\; +\; p\; +\; kn\; -\; k)\; -\; (\; n\; +\; p\; +\; k\; -\; 1\; n\; -\; k\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; n\; -\; kak\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\; +\; k\}\; \{nk\; \}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\; +\; k-1\}\; \{nk-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$
3	$an\; =\; \sum \; k\; \ge \; n\; (n\; +\; p\; +\; kk\; -\; n)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\; +\; k\}\; \{kn\}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; \ge \; n\; [(2\; k\; +\; pk\; -\; n)\; -\; (2\; k\; +\; pk\; -\; n\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; n\; -\; kak\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; n\}\; \backslash \; left\; [\{\; \backslash \; binom\; \{2k\; +\; p\}\; \{kn\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{2k\; +\; p\}\; \{kn-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\}$
4	$an\; =\; \sum \; k\; \ge \; п\; (2\; к\; +\; pk\; -\; n)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2k\; +\; p\}\; \{kn\}\}\; b\_\; \{k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; \ge \; n\; [\; (п\; +\; п\; +\; кк\; -\; п)\; -\; (п\; +\; п\; +\; к\; -\; 1\; к\; -\; п\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; п\; -\; как\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; \backslash \; geq\; п\}\; \backslash \; слева\; [\{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\; +\; k\}\; \{kn\}\}\; -\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\; +\; k-1\}\; \{kn-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\}\; \}$
5	$an\; =\; \sum \; K\; (2\; n\; +\; pk)\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{n-2k\}\; \}$	$bn\; =\; \sum \; k\; [(2\; n\; +\; p\; -\; 3\; kk)\; +\; 3\; (2\; n\; +\; p\; -\; 3\; k\; -\; 1\; k\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; kan\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p-3k\}\; \{k\}\}\; +\; 3\; \{\backslash \; binom\; \{2\; n\; +\; p-3k-1\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
6	$an\; =\; \sum \; k\; [(2\; n\; +\; pk)\; -\; 3\; (2\; n\; +\; pk\; -\; 1)]\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p\}\; \{k\}\}\; -\; 3\; \{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$bn\; знак\; равно\; \sum \; К\; (2\; n\; +\; p\; -\; 3\; kk)\; (-\; 1)\; kan\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\; +\; p-3k\}\; \{k\}\}\; (\; -1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
7	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; [n\; /\; 2]\; (3\; nk)\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{[n\; /\; 2]\}\; \{\backslash \; binom\; \{3n\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; Знак\; равно\; 0\; [n\; /\; 2]\; [(3\; n\; -\; 5\; kk)\; +\; 5\; (3\; n\; -\; 5\; k\; -\; 1\; k\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; kan\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; k\; =\; 0\}\; ^\; \{[n\; /\; 2]\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{3n-5k\}\; \{k\}\}\; +\; 5\; \{\backslash \; binom\; \{3n-5k-1\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
8	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; [n\; /\; 3]\; (2\; nk)\; bn\; -\; 3\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\; \}\; ^\; \{[n\; /\; 3]\}\; \{\backslash \; binom\; \{2n\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{n-3k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; [n\; /\; 3]\; [(2\; n\; -\; 5\; kk)\; +\; 5\; (2\; n\; -\; 5\; к\; -\; 1\; к\; -\; 1)]\; (-\; 1)\; кан\; -\; 3\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{[n\; /\; 3]\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; binom\; \{2n-5k\}\; \{k\}\}\; +\; 5\; \{\backslash \; binom\; \{2n-5k-1\}\; \{k-1\}\}\; \backslash \; right]\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-3k\}\}$

Лежандр –Чебышевские классы обратных отношений

Классы Лежандра – Чебышева обратных отношений соответствуют отношениям обращения вида

$an\; =\; \sum \; k\; A\; n,\; k\; \cdot \; bk\; ⟷\; bn\; =\; \sum \; k\; B\; n,\; k\; \cdot \; (-\; 1)\; n\; -\; kak,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; A\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; k\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; (-1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\},\}$

где термины, $A\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n,\; k\}\}$и $B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$, неявно зависят от некоторого фиксированного ненулевого $c\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$. В общем, для класса обратных пар Чебышева вида

$an\; =\; \sum \; k\; A\; n,\; k\; \cdot \; bn\; -\; ck\; ⟷\; bn\; =\; \sum \; k\; B\; n,\; k\; \cdot \; (-\; 1)\; kan\; -\; ck,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; A\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{n-ck\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; cdot\; (\; -1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-ck\},\}$

если $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$простое число, замена $n\; ⟼\; cn\; +\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; longmapsto\; cn\; +\; p\}$, $acn\; +\; p\; ⟼\; A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{cn\; +\; p\}\; \backslash \; longmapsto\; A\_\; \{n\}\}$и $bcn\; +\; p\; ⟼\; B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{cn\; +\; p\}\; \backslash \; longmapsto\; B\_\; \{n\}\}$(возможно, замена $k\; ⟼\; n\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; longmapsto\; nk\}$) приводит к пара Лежандра – Чебышева вида

$A\; n\; =\; \sum \; k\; A\; cn\; +\; p,\; k\; B\; n\; -\; k\; ⟷\; B\; n\; =\; \sum \; k\; B\; cn\; +\; p,\; k\; (-\; 1)\; k\; A\; n\; -\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; A\_\; \{cn\; +\; p,\; k\}\; B\_\; \{nk\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; B\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; B\_\; \{cn\; +\; p,\; k\; \}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; A\_\; \{nk\}.\}$

Аналогично, если положительное целое число $c:\; =\; de\; \{\backslash \; displaystyle\; c:\; =\; de\}$составное, мы можем вывести пары инверсии вида

$A\; n\; =\; \sum \; k\; A\; dn\; +\; p,\; k\; B\; n\; -\; ek\; ⟷\; B\; n\; =\; \sum \; k\; B\; dn\; +\; p,\; k\; (-\; 1)\; k\; A\; n\; -\; ek.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; A\_\; \{dn\; +\; p,\; k\}\; B\_\; \{n-ek\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; B\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; B\_\; \{dn\; +\; p,\; k\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; A\_\; \{n-ek\}.\}$

В следующей таблице приведены несколько обобщенных классов обратных отношений Лежандра – Чебышева для некоторого ненулевого целого числа $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$.

Класс	$A\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n,\; k\}\}$	$B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$
1	$(cn\; +\; pn\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{cn\; +\; p\}\; \{nk\}\}\}$	$(n\; +\; p\; -\; 1\; +\; ck\; -\; kn\; -\; k)\; +\; c\; (n\; +\; p\; -\; 1\; +\; ck\; -\; kn\; -\; k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p-1\; +\; ck-k\}\; \{nk\}\}\; +\; c\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p-1\; +\; ck-k\}\; \{nk-1\}\}\}$
2	$(cn\; +\; pk\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{cn\; +\; p\}\; \{kn\}\}\}$	$(ck\; +\; k\; +\; p\; -\; n\; -\; 1\; k\; -\; n)\; -\; с\; (СК\; +\; К\; +\; п\; -\; N\; -\; 1\; К\; -\; N\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{СК\; +\; к\; +\; pn-1\}\; \{kn\}\}\; -\; с\; \{\backslash \; binom\; \{ck\; +\; k\; +\; pn-1\}\; \{kn-1\}\}\}$
3	$(ck\; +\; pn\; -\; п)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{ck\; +\; p\}\; \{np\}\}\}$	$(cn\; +\; n\; +\; p\; -\; k\; -\; 1\; n\; -\; k)\; -\; с\; (сп\; +\; п\; +\; п\; -\; к\; -\; 1\; п\; -\; к\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{сп\; +\; п\; +\; пк-1\}\; \{нк\}\}\; -\; с\; \{\backslash \; бином\; \{сп\; +\; п\; +\; пк-\; 1\}\; \{nk-1\}\}\}$
4	$(ck\; +\; pk\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{ck\; +\; p\}\; \{kn\}\}\}$	$(cn\; -\; n\; +\; p\; +\; k\; -\; 1\; k\; -\; п)\; +\; с\; (сп\; -\; п\; +\; п\; +\; к\; -\; 1\; к\; -\; п\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{сп-п\; +\; р\; +\; к-1\}\; \{kn\}\}\; +\; с\; \{\backslash \; binom\; \{сп-п\; +\; п\; +\; к-1\}\; \{kn-1\}\}\}$
5	$(cn\; +\; pn\; -\; k)\; -\; (c\; -\; 1)\; (cn\; +\; pn\; -\; k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{cn\; +\; p\}\; \{nk\}\}\; -\; (c-1)\; \{\backslash \; binom\; \{cn\; +\; p\}\; \{nk-1\}\}\}$	$(n\; +\; p\; +\; ck\; -\; kn\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\; +\; ck-k\}\; \{nk\}\}\}$
6	$(cn\; +\; pk\; -\; n)\; +\; (c\; +\; 1)\; (cn\; +\; pk\; -\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bi\; nom\; \{cn\; +\; p\}\; \{kn\}\}\; +\; (с\; +\; 1)\; \{\backslash \; binom\; \{cn\; +\; p\}\; \{kn-1\}\}\}$	$(ck\; +\; k\; +\; p\; -\; nk\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{ck\; +\; k\; +\; pn\}\; \{kn\; \}\}\}$
7	$(ck\; +\; pn\; -\; k)\; +\; (c\; +\; 1)\; (ck\; +\; pn\; -\; k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{ck\; +\; p\}\; \{nk\}\}\; +\; (c\; +\; 1)\; \{\; \backslash \; binom\; \{ck\; +\; p\}\; \{nk-1\}\}\}$	$(cn\; +\; n\; +\; p\; -\; kn\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{cn\; +\; n\; +\; pk)\}\; \{nk\}\}\}$
8	$(СК\; +\; пк\; -\; п)\; -\; (с\; -\; 1)\; (ск\; +\; пк\; -\; п\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{ck\; +\; p\}\; \{kn\}\}\; -\; (c-\; 1)\; \{\backslash \; binom\; \{ck\; +\; p\; \}\; \{kn-1\}\}\}$	$(cn\; -\; n\; +\; p\; +\; kk\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; b\; inom\; \{cn-n\; +\; p\; +\; k\}\; \{kn\}\}\}$

Обратные отношения Абеля

Обратные отношения Абеля соответствуют обратным парам Абеля вида

$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; A\; nkbk\; ⟷\; BN\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (NK)\; В\; NK\; (-\; 1)\; N\; -\; KAK,\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\; \}\; A\_\; \{nk\}\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; B\_\; \{nk\}\; (-\; 1)\; ^\; \{nk\}\; a\_\; \{k\},\}$

, где условия, $A\; nk\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{nk\}\}$и $B\; nk\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{nk\}\}$, может неявно различаться некоторыми неопределенными параметрами суммирования $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Эти отношения также сохраняются, если подстановка биномиальных коэффициентов $(nk)\; ⟼\; (n\; +\; pk\; +\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \backslash \; longmapsto\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; p\}\; \{k\; +\; p\; \}\}\}$выполняется для некоторого неотрицательного целого числа $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$. В следующей таблице приведены некоторые примечательные формы этих обратных отношений Абеля.

Число	$A\; nk\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{nk\}\}$	$B\; nk\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{nk\}\}$	Идентификатор генерирующей функции
1	$x\; (x\; +\; n\; -\; k)\; n\; -\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (x\; +\; nk)\; ^\; \{nk-1\}\}$	$x\; (x\; -\; n\; +\; k)\; n\; -\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (xn\; +\; k)\; ^\; \{nk-1\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$
2	$(x\; +\; n\; -\; k)\; n\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; nk)\; ^\; \{nk\}\}$	$(x\; 2\; -\; n\; +\; k)\; (Икс\; -\; N\; +\; К)\; N\; -\; К\; -\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; ^\; \{2\}\; -n\; +\; к)\; (х-п\; +\; к)\; ^\; \{nk-2\}\}$	$*\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Ast\}$
3	$(Икс\; +\; К)\; N\; -\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; +\; К)\; ^\; \{nk\}\}$	$(х\; +\; к)\; (х\; +\; п)\; п\; -\; к\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; +\; к)\; (х\; +\; п)\; ^\; \{nk-1\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$
3a	$(x\; +\; n)\; (x\; +\; k)\; n\; -\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; n)\; (x\; +\; k)\; ^\; \{nk-1\}\}$	$(x\; +\; n)\; n\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; n)\; ^\; \{nk\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$
4	$(x\; +\; 2\; п)\; (Икс\; +\; N\; +\; К)\; N\; -\; К\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; +\; 2n)\; (х\; +\; п\; +\; к)\; ^\; \{nk-1\}\}$	$(х\; +\; 2\; п)\; (х\; +\; п\; +\; к)\; N\; -\; К\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; (Икс\; +\; 2n)\; (Икс\; +\; N\; +\; К)\; ^\; \{NK-1\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; As\; t\}$
4a	$(х\; +\; 2\; к)\; (х\; +\; N\; +\; К)\; N\; -\; К\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; (Икс\; +\; 2к)\; (Икс\; +\; N\; +\; К)\; ^\; \{NK-1\}\}$	$(Икс\; +\; 2\; К)\; (Икс\; +\; N\; +\; К)\; п\; -\; К\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х\; +\; 2к)\; (х\; +\; n\; +\; k)\; ^\; \{nk-1\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$
5	$(N\; +\; К)\; N\; -\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; (п\; +\; К)\; ^\; \{nk\}\}$	$[п\; +\; К\; (4\; п\; -\; 1)]\; (п\; +\; к)\; п\; -\; к\; -\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; [п\; +\; к\; (4n-1)\; \backslash \; вправо]\; (п\; +\; к)\; ^\; \{nk-2\}\}$	$\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$

Обратные отношения, полученные из обычных производящих функций

Если мы допустимые числа Фибоначчи, $fk\; (\pm \; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{k\}\; ^\; \{(\backslash \; pm\; p)\}\}$, определяется как

$fn\; (p)\; =\; \sum \; j\; \ge \; 0\; (p\; +\; n\; -\; j\; -\; 1\; n\; -\; j)\; (n\; -\; jj)\; fn\; (-\; p)\; Знак\; равно\; \sum \; J\; \ge \; 0\; (pn\; +\; j)\; (n\; -\; jj)\; (-\; 1)\; n\; -\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\_\; \{n\}\; ^\; \{(p)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; nj-1\}\; \{nj\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{nj\}\; \{j\}\}\; \backslash \backslash \; f\_\; \{n\}\; ^\; \{(-\; p)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\}\; \{n\; +\; j\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{nj\}\; \{j\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{nj\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

у нас есть следующая таблица обратных с оотношения, которые получаются из обычных последовательностей производящих функций, доказанных, как в разделе 3.3 книги Риордана.

Связь	Формула для $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	Обратная формула для $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$
1	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (p\; +\; kk)\; bn\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; k\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{nk\}\}$	$bn\; знак\; равно\; \sum \; Кзнак\; равно\; 0\; N\; (п\; +\; 1\; к)\; (-\; 1)\; кан\; -\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; 1\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{nk\}\}$
2	$an\; =\; \sum \; k\; \ge \; 0\; (p\; +\; kk)\; bn\; -\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; 0\; \}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; k\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{n-qk\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; (p\; +\; 1\; k)\; (-\; 1)\; kan\; -\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{к\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; 1\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{n-qk\}\}$
3	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; nfk\; (p)\; bn\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; f\_\; \{k\}\; ^\; \{(p)\}\; b\_\; \{nk\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; nfk\; (-\; p)\; an\; -\; k\; \{\; \backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; f\_\; \{k\}\; ^\; \{(-\; p)\}\; a\_\; \{nk\}\}$
4	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (2\; kk)\; bn\; -\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2k\}\; \{k\}\}\; b\_\; \{nk\}\}$	$\sum \; k\; =\; 0\; n\; (2\; kk)\; an\; -\; k\; (1-2\; к)\; \{\backslash \; dis\; playstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2k\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{nk\}\}\; \{(1-2k)\}\}\}$
5	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; N\; (2\; kk)\; bn\; -\; k\; (k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2k\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{nk)\; \}\}\; \{(k\; +\; 1)\}\}\}$	$bn\; =\; an\; -\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; (2\; kk)\; an\; -\; kk\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; a\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2k\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{nk\}\}\; \{k\}\}\}$
6	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (2\; p\; +\; 2\; kp\; +\; k)\; (p\; +\; kk)\; (2\; п.п.)\; -\; 1\; bn\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2p\; +\; 2k\}\; \{p\; +\; k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{\; p\; +\; k\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{2p\}\; \{p\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; b\_\; \{nk\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (2\; p\; +\; 1\; 2\; k)\; (p\; +\; kk)\; (п\; +\; к\; 2\; к)\; -\; 1\; (-\; 1)\; кан\; -\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{2p\; +\; 1\}\; \{2k\}\}\; \{\; \backslash \; binom\; \{p\; +\; k\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{p\; +\; k\}\; \{2k\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; a\_\; \{nk\}\}$
7	$an\; =\; \sum \; k\; (4\; k\; 2\; k)\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{4k\}\; \{2k\}\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; (4\; k\; 2\; к)\; (8\; к\; +\; 1)\; ан\; -\; 2\; к\; (2\; к\; +\; 1)\; (к\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{4k\}\; \{2k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(8k\; +\; 1)\; a\_\; \{n-2k\}\}\; \{(2k\; +\; 1)\; (k\; +\; 1)\}\}\}$
8	$an\; =\; \sum \; k\; (4\; k\; +\; 2\; 2\; k\; +\; 1)\; bn\; -\; 2\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{4k\; +\; 2\}\; \{2k\; +\; 1\}\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$bn\; =\; an\; 2\; -\; \sum \; k\; \ge \; 1\; (4\; к\; -\; 2\; 2\; к\; -\; 1)\; (8\; к\; -\; 3)\; ан\; -\; 2\; к\; 2\; к\; (4\; к\; -\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; binom\; \{4k-2\}\; \{2k-1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(8k-3)\; a\_\; \{n-2k\}\}\; \{2k\; (4k-3)\}\}\}$
9	$an\; =\; (4\; k\; 2\; k)\; bn\; -\; 2\; k\; (1–4\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{4k\}\; \{2k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{n-2k\}\}\; \{(1\; -4k)\}\}\}$	$bn\; =\; \sum \; K\; (4\; k\; 2\; k)\; an\; -\; 2\; k\; (2\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{4k\}\; \{\; 2k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n-2k\}\}\; \{(2k\; +\; 1)\}\}\}$

Обратите внимание, что отношения 3, 4, 5 и 6 в таблице могут быть преобразованы в соответствии с подстановки $an\; -\; k\; ⟼\; an\; -\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{nk\}\; \backslash \; longmapsto\; a\_\; \{n-qk\}\}$и $bn\; -\; k\; ⟼\; bn\; -\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{nk\}\; \backslash \; longmapsto\; b\_\; \{n-qk\}\}$для некоторого фиксированного ненулевого целого $q\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; geq\; 1\}$.

Обратные отношения, полученные из экспоненциальных производящих функций

Пусть $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\}$и $E\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\}$обозначает число Бернулли. и числа Эйлера соответственно, и предположим, что следовать, $\{d\; 2\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{d\_\; \{2n\}\; \backslash \}\}$, $\{e\; 2\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{2n\}\; \backslash \}\}$и $\{f\; 2\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{2n\}\; \backslash \}\}$использовали экспоненциальными производственными функциями:

$\sum \; n\; \ge \; 0\; d\; 2\; nz\; 2\; n\; (2\; п)!\; Знак\; равно\; 2\; Z\; е\; Z\; -\; е\; -\; Z\; \sum \; N\; \ge \; 0\; е\; 2\; N\; Z\; 2\; N\; (2\; N)!\; знак\; равно\; Z\; 2\; е\; Z\; +\; е\; -\; Z\; -\; 2\; \sum \; N\; \ge \; 0\; е\; 2\; N\; Z\; 2\; N\; (2\; N)!\; =\; z\; 3\; 3\; (е\; z\; -\; е\; -\; z\; -\; 2\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\_\; \{2n\}\; z\; ^\; \{2n\}\}\; \{(2n)!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2z\}\; \{e\; ^\; \{z\}\; -e\; ^\; \{-\; z\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\_\; \{2n\}\; z\; ^\; \{2n\}\}\; \{(2n)!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; z\; ^\; \{2\}\}\; \{e\; ^\; \{z\}\; +\; e\; ^\; \{-\; z\}\; -2\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{2n\}\; z\; ^\; \{2n\}\}\; \{(\; 2n)!\}\}\; =\; \{\backslash \; Frac\; \{z\; ^\; \{3\}\}\; \{3\; (e\; ^\; \{z\}\; -e\; ^\; \{-\; z\}\; -2z)\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Следующий В таблице представлены несколько примечательных случаев отношений инверсии, полученные из экспоненциальных производящих функций в разделе 3.4 книги Риордана.

Отношение	Формула для $\{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$	Обратная формула для $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$
1	$an\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; bk\; (k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{k\}\}\; \{\; (k\; +\; 1)\}\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; B\; kan\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{k\}\; a\_\; \{nk\}\; \}$
2	$an\; =\; \sum \; К\; (n\; +\; kk)\; bn\; +\; k\; (k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{n\; +\; k\}\}\; \{(k\; +\; 1)\}\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; kk)\; В\; кан\; +\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; k\}\; \{k\}\}\; B\_\; \{k\}\; a\_\; \{n\; +\; k\}\}$
3	$an\; =\; \sum \; k\; (N\; 2\; K)\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; k\; (n\; 2\; k)\; E\; 2\; kan\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\; \backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; E\_\; \{2k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
4	$an\; =\; \sum \; к\; (п\; +\; 2\; к\; 2\; к)\; bn\; +\; 2\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{2k\}\}\; b\_\; \{n\; +\; 2k\}\}$	$bn\; Знак\; равно\; \sum \; К\; (N\; +\; 2\; К\; 2\; К)\; Е\; 2\; Кан\; +\; 2\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\; \}\; =\; \backslash \; s\; um\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2k\}\; \{2k\}\}\; E\_\; \{2k\}\; a\_\; \{n\; +\; 2k\}\}$
5	$an\; =\; \sum \; K\; (n\; 2\; k)\; bn\; -\; 2\; k\; (2\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{n-2k\}\}\; \{(2k\; +\; 1)\}\}\}$	$bn\; =\; \sum \; к\; (n\; 2\; к)\; d\; 2\; кан\; -\; 2\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; d\_\; \{2k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
6	$ан\; знак\; равно\; \sum \; К\; (N\; +\; 1\; 2\; К\; +\; 1)\; bn\; -\; 2\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{2k\; +\; 1\}\}\; b\_\; \{n-2k\; \}\}$	$(n\; +\; 1)\; \cdot \; bn\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; 1\; 2\; k)\; d\; 2\; кан\; -\; 2\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; (п\; +\; 1)\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{п\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\}\; \{\; \backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{2k\}\}\; d\_\; \{2k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
7	$An\; =\; \sum \; К\; (N\; 2\; К)\; (2\; К\; +\; 2\; 2)\; -\; 1\; BN\; -\; 2\; K\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{2k\; +\; 2\}\; \{2\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$b\; N\; =\; \sum \; К\; (N\; 2\; К)\; е\; 2\; Кан\; -\; 2\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{п\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; e\_\; \{2k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
8	$ан\; =\; \sum \; К\; (N\; +\; 2\; 2\; К\; +\; 2)\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2\}\; \{2k\; +\; 2\}\}\; b\_\; \{n\; -2k\}\}$	$(n\; +\; 2\; 2)\; \cdot \; bn\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; 2\; 2\; k)\; e\; 2\; kan\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 2\}\; \{2k\}\}\; e\_\; \{2k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
9	$ан\; =\; \sum \; К\; (N\; 2\; К)\; (2\; К\; +\; 3\; 3)\; -\; 1\; BN\; -\; 2\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; \{\backslash \; бином\; \{2k\; +\; 3\}\; \{3\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$bn\; =\; \sum \; K\; (n\; 2\; k)\; f\; 2\; kan\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2k\}\}\; f\_\; \{2k\}\; a\_\; \{n-2k\}\}$
10	$an\; =\; \sum \; K\; (n\; +\; 3\; 2\; k\; +\; 3)\; bn\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{\; n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 3\}\; \{2k\; +\; 3\}\}\; b\_\; \{n-2k\}\}$	$(n\; +\; 3\; 3)\; \cdot \; bn\; =\; \sum \; k\; (n\; +\; 3\; 2\; k)\; е\; 2\; кан\; -\; 2\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 3\}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 3\}\; \{2k\}\}\; f\_\; \{2k\; \}\; a\_\; \{n-2k\}\}$

Многочлены обратные

Обратные отношения, использованные при формулировании биномиального преобразования , процитированного в предыдущем подразделе, обобщены на соответствующие двухиндексные обратные отношения для последовательностей из двух индексов и формулы полиномиального обращения для последовательностей $j\; \ge \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; geq\; 3\}$индексов, включающих биномиальные коэффициенты в Риордане. В частности, мы имеем форму двухиндексного обратного отношения, задаваемую оболочку

$amn\; =\; \sum \; j\; =\; 0\; m\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (mj)\; (nk)\; (-\; 1)\; j\; +\; kbjk\; ⟷\; bmn\; =\; \sum \; j\; =\; 0\; м\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (mj)\; (nk)\; (-\; 1)\; j\; +\; kajk,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{mn\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{m\}\; \{j\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\; +\; k\}\; b\_\; \{jk\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{mn\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{m\}\; \{j\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\; +\; k\}\; a\_\; \{jk\},\}$

и более общий вид полиномиальной пары формул обращения, заданной как

$an\; 1\; n\; 2\; \cdots \; nj\; =\; \sum \; k\; 1,\dots ,\; kj\; (n\; 1\; k\; 1)\; \cdots \; (njkj)\; (-\; 1)\; k\; 1\; +\; \cdots \; +\; kjbk\; 1\; k\; 2\; \cdots \; kj\; ⟷\; bn\; 1\; n\; 2\; \cdots \; nj\; =\; \sum \; k\; 1,\dots ,\; kj\; (n\; 1\; k\; 1)\; \cdots \; (njkj)\; (-\; 1)\; k\; 1\; +\; \cdots \; +\; кяк\; 1\; к\; 2\; \cdots \; кдж.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\_\; \{1\}\; n\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; n\_\; \{j\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; k\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\_\; \{1\}\}\; \{k\_\; \{\; 1\}\}\}\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; binom\; \{n\_\; \{j\}\}\; \{k\_\; \{j\}\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; k\_\; \{j\}\}\; b\_\; \{k\_\; \{1\}\; k\_\; \{2\; \}\; \backslash \; cdots\; k\_\; \{j\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; b\_\; \{n\_\; \{1\}\; n\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; n\_\; \{j\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; k\_\; \{j\}\}\; \{\; \backslash \; binom\; \{n\_\; \{1\}\}\; \{k\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; binom\; \{n\_\; \{j\}\}\; \{k\_\; \{j\}\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; k\_\; \{j\; \}\}\; a\_\; \{k\_\; \{1\}\; k\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; k\_\; \{j\}\}.\}$

• Контет, Л. (1974). Расширенная комбинаторика (PDF). Издательство Д. Рейдел. ISBN 9027703809.
• Флажолет и Седжвик (2010). Аналитическая комбинаторика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89806-5.
• Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: фонд компьютерных наук (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0201558025.
• Кнут, Д. Э. (1997). Искусство программирования: основные алгоритмы. 1 . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-89683-4.
• Ландо, С.К. (2002). Лекции по производящим функциям. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3481-9.
• Оливер, Лозье, Бойсверт и Кларк (2010). Справочник по математическим функциям NIST. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-14063-8. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Риордан, Дж. (1968). Комбинаторные идентичности. Wiley and Sons.
• Роман С. (1984). The Umbral Calculus. Dover Publications. ISBN 0-486-44139-3.
• Шмидт, Мэриленд (3 ноября 2016 г.). «Преобразования производящей функции в серии Зета, связанные с обобщенными числами». Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица ». arXiv : 1611.00957 [math.CO ].
• Шмидт, Мэриленд (30 октября 2016 г.)« Преобразования порождающих функций серии Zeta, связанные с функциями полилогарифма и гармоническими числами k-го порядка ». arXiv : 1610.09666 [math.CO ].
• Schmidt, MD (2017). «Непрерывные дроби типа Якоби для обыкновенных производных функций обобщенных функций». Journal of Integer Sequences. 20.
• Schmidt, MD (9 сентября 2016 г.). «Преобразование функций преобразования квадратной серии». arXiv : 1609.02803 [math.NT ].
• Стэнли Р. П. (1999). Перечислительная комбинаторика. 2 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78987-5.