число Эйлера

Полиномиальная последовательность

В комбинаторике число Эйлера A (n, m) - количество перестановок чисел от 1 до n, в которых ровно m элементов больше, чем предыдущий элемент (перестановки с m «восходящими»). Они являются коэффициентами полиномов Эйлера :

$A\; n\; (t)\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; n\; A\; (n,\; m)\; t\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; A\; (n,\; m)\; \backslash \; t\; ^\; \{m\}.\}$

Многочлены Эйлера определяются экспоненциальной производящей функцией

$\sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; A\; n\; (t)\; \cdot \; xnn!\; =\; т\; -\; 1\; т\; -\; е\; (т\; -\; 1)\; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; A\_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t-1\}\; \{\; t-\; \backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^\; \{(t-1)\; x\}\}\}.\}$

Многочлены Эйлера могут быть вычислены с помощью повторения

$A\; 0\; (t)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\}\; (t)\; =\; 1,\}$

$A\; n\; (t)\; =\; t\; (1\; -\; t)\; \cdot \; A\; n\; -\; 1\; \prime \; (t)\; +\; A\; n\; -\; 1\; (t)\; \cdot \; (1\; +\; (n\; -\; 1)\; t),\; N\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\_\; \{n\}\; (t)\; =\; t\; (1-t)\; \backslash \; cdot\; A\_\; \{n-1\}\; \text{'}(t)\; +\; A\_\; \{n-1\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; (1+\; (\; n-1)\; t),\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; geq\; 1.\}$

Эквивалентный способ записать это определение - задать полиномы Эйлера индуктивно с помощью

$A\; 0\; (t)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\; \}\; (t)\; =\; 1,\}$

$A\; n\; (t)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (nk)\; A\; k\; (t)\; \cdot \; (t\; -\; 1)\; n\; -\; 1\; -\; k,\; n\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{N\}\; (T)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; A\_\; \{k\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; (t-1)\; ^\; \{n\; -1-k\},\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; geq\; 1.\}$

Другие обозначения для A (n, m): E (n, m) и $⟨nm⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{\; n\; \backslash \; atop\; m\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$.

Содержание

• 1 История
• 2 Основные свойства
• 3 Явная формула
• 4 Свойства суммирования
• 5 Тождества
• 6 Эйлеров n элементы второго типа
• 7 Ссылки
• 8 Цитаты
• 9 Внешние ссылки

История

Показывает многочлены, известные в настоящее время как многочлены Эйлера в работе Эйлера 1755 года, Institutiones Calculi Differenceis, часть 2, стр.. 485/6. Коэффициенты этих многочленов известны как числа Эйлера.

В 1755 году Леонард Эйлер исследовал в своей книге Institutiones Calculi Differentialis полиномы α 1 (x) = 1, α 2 (x) = x + 1, α 3 (x) = x + 4x + 1 и т. Д. (См. Факсимильное сообщение). Эти многочлены представляют собой сдвинутую форму того, что сейчас называется многочленами Эйлера A n (x).

Основные свойства

Для заданного значения n>0 индекс m в A (n, m) может принимать значения от 0 до n - 1. Для фиксированного n существует единственный перестановка, которая имеет 0 восхождений: (n, n - 1, n - 2,..., 1). Также существует единственная перестановка, которая имеет n - 1 восхождение; это восходящая перестановка (1, 2, 3,..., n). Следовательно, A (n, 0) и A (n, n - 1) равны 1 для всех значений n.

Обращение перестановки с m восхождениями создает другую перестановку, в которой есть n - m - 1 подъемов. Следовательно, A (n, m) = A (n, n - m - 1).

Значения A (n, m) могут быть вычислены «вручную» для малых значений n и m. Например,

n	m	Перестановки	A (n, m)
1	0	(1)	A (1,0) = 1
2	0	(2, 1)	A (2,0) = 1
	1	(1, 2)	A (2,1) = 1
3	0	(3, 2, 1)	A (3,0) = 1
	1	(1, 3, 2) (2, 1, 3 ) (2, 3, 1) (3, 1, 2)	A (3,1) = 4
	2	(1, 2, 3)	A (3,2) = 1

Для больших значений n, A (n, m) может быть вычислено с использованием рекурсивного формула

$A\; (n,\; m)\; =\; (n\; -\; m)\; A\; (n\; -\; 1,\; m\; -\; 1)\; +\; (m\; +\; 1)\; A\; (n\; -\; 1,\; m).\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\; (n,\; m)\; =\; (нм)\; A\; (n-1,\; m-1)\; +\; (m\; +\; 1)\; A\; (n-1,\; m).\}$

Например,

$A\; (4,\; 1)\; =\; (4\; -\; 1)\; A\; (3,\; 0)\; +\; (1\; +\; 1)\; A\; (3,\; 1)\; =\; 3\; \times \; 1\; +\; 2\; \times \; 4\; =\; 11.\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\; (4,1)\; =\; (4-1)\; A\; (3,\; 0)\; +\; (1\; +\; 1)\; A\; (3,1)\; =\; 3\; \backslash \; times\; 1\; +\; 2\; \backslash \; times\; 4\; =\; 11.\}$

Значения A (n, m) (последовательность A008292 в OEIS ) для 0 ≤ n ≤ 9:

mn	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1
2	1	1
3	1	4	1
4	1	11	11	1
5	1	26	66	26	1
6	1	57	302	302	57	1
7	1	120	1191	2416	1191	120	1
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1

Вышеупомянутый треугольный массив называется треугольником Эйлера или треугольником Эйлера, и он имеет некоторые общие характеристики с Треугольник Паскаля. Сумма строки n - это факториал n !.

Явная формула

Явная формула для A (n, m):

$A\; (n,\; m)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; m\; +\; 1\; (-\; 1)\; k\; (n\; +\; 1\; к)\; (м\; +\; 1\; -\; к)\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (n,\; m)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{m\; +\; 1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{k\}\}\; (m\; +\; 1-k)\; ^\; \{n\}.\}$

(L. Comtet 1974, стр. 243) Из этой формулы, а также из комбинаторной интерпретации видно, что $A\; (n,\; n)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (n,\; n)\; =\; 0\}$для $n>0\; \{\backslash \; displaystyle\; n>0\}$, так что $A\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; (t)\}$- полином степени $n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1\}$для $n>0\; \{\backslash \; displaystyle\; n>0\}$.

Свойства суммирования

Из комбинаторного определения ясно, что сумма чисел Эйлера для фиксированного значения n - это общее количество перестановок чисел от 1 до n, поэтому

$\sum \; м\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; A\; (N,\; т)\; =\; п!\; для\; n\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; A\; (n,\; m)\; =\; n!\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 1.\}$

The переменная сумма чисел Эйлера для фиксированного значения n связана с числом Бернулли B n + 1

$\sum \; m\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (-\; 1)\; m\; A\; (n,\; m)\; знак\; равно\; 2\; n\; +\; 1\; (2\; n\; +\; 1\; -\; 1)\; B\; n\; +\; 1\; n\; +\; 1\; для\; n\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{m\}\; A\; (n,\; m)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; (2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; -1)\; B\_\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 1.\}$

Другие свойства суммирования чисел Эйлера:

$\sum \; m\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (-\; 1)\; m\; A\; (n,\; m)\; (n\; -\; 1\; m)\; Знак\; равно\; 0\; для\; n\; \ge \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; (n,\; m)\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; \}\; \{m\}\}\}\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 2,\}$

$\sum \; m\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (-\; 1)\; m\; A\; (n,\; m)\; (nm)\; =\; (n\; +\; 1)\; В\; N\; для\; n\; \ge \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; (n,\; m)\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{m\}\}\}\; =\; (n\; +\; 1)\; B\_\; \{n\}\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 2,\}$

где B n - n-е число Бернулли.

Тождества

Числа Эйлера участвуют в производящей функции для последовательности из n степеней:

$\sum \; k\; =\; 0\; \infty \; knxk\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; n\; -\; 1\; A\; (N,\; м)\; Иксм\; +\; 1\; (1\; -\; Икс)\; N\; +\; 1\; знак\; равно\; Икс\; \cdot \; A\; N\; (Икс)\; (1\; -\; Икс)\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; k\; ^\; \{n\}\; x\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; A\; (n,\; m)\; x\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}\; \{(1-x)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; \backslash \; cdot\; A\_\; \{n\}\; (x)\}\; \{(1-x)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\}$

для $n\; \ge \; 0\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; п\; \backslash \; geq\; 0\}$. Это предполагает, что 0 = 0 и A (0,0) = 1 (так как есть одна перестановка без элементов, и она не имеет восходов).

Тождество Ворпицки выражает x как линейную комбинацию чисел Эйлера с биномиальными коэффициентами :

$xn\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; n\; -\; 1\; A\; (n,\; m)\; (x\; +\; мин).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; A\; (n,\; m)\; \{\backslash \; binom\; \{x\; +\; m\}\; \{n\}\}.\}$

Это следует из формулы Ворпицки тождество, что

$\sum \; k\; =\; 1\; N\; kn\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; n\; -\; 1\; A\; (n,\; m)\; (N\; +\; 1\; +\; mn\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; k\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; A\; (n,\; m)\; \{\backslash \; binom\; \{N\; +\; 1\; +\; m\; \}\; \{n\; +\; 1\}\}.\}$

Еще одно интересное тождество:

$e\; 1\; -\; ex\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; A\; n\; (x)\; n!\; (1\; -\; х)\; п\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{1-ex\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{n\}\; (x)\}\; \{n!\; (1-x)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}.\}$

Числитель в правой части - многочлен Эйлера.

Для фиксированной функции $f:\; R\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, которая интегрируется на $(\; 0,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,\; n)\}$имеем интегральную формулу

$\int \; 0\; 1\; \cdots \; \int \; 0\; 1\; f\; (\lfloor \; x\; 1\; +\; \cdots \; +\; xn\; \rfloor )\; dx\; 1\; \cdots \; dxn\; =\; \sum \; К\; А\; (П,\; К)\; е\; (К)\; п!.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; f\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; справа)\; dx\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; dx\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; A\; (n,\; k)\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (k)\}\; \{n!\}\}.\}$

Числа Эйлера второго рода

Перестановки мультимножества {1, 1, 2, 2,..., n, n}, которые обладают тем свойством, что для каждого k все числа, встречающиеся между двумя вхождения k в перестановке больше, чем k, подсчитываются с помощью двойного факториала числа (2n-1) !!. Число Эйлера второго рода, обозначаемое $⟨⟨nm⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash !\; \backslash \; Left\; \backslash \; langle\; \{n\; \backslash \; atop\; m\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash !\; \backslash \; Right\; \backslash \; rangle\}$, подсчитывает количество всех таких перестановок, имеющих ровно m подъемов. Например, для n = 3 таких перестановок 15, 1 без восхождений, 8 с одним восхождением и 6 с двумя восхождениями:

332211,

221133, 221331, 223311, 233211, 113322, 133221, 331122, 331221,

112233, 122133, 112332, 123321, 133122, 122331.

Числа Эйлера второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое непосредственно следует из приведенного выше определения:

$⟨⟨Нм⟩⟩\; знак\; равно\; (2\; n\; -\; m\; -\; 1)\; ⟨⟨n\; -\; 1\; m\; -\; 1⟩⟩\; +\; (m\; +\; 1)\; ⟨⟨n\; -\; 1\; m⟩⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash !\; \backslash \; !\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{n\; \backslash \; на\; вершине\; m\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; (2n-m-1)\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{n-1\; \backslash \; на\; вершине\; m\; -1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; Right\; \backslash \; rangle\; +\; (m\; +\; 1)\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; Left\; \backslash \; langle\; \{n-1\; \backslash \; на\; вершине\; m\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle,\}$

с начальным условием для n = 0, выраженным в обозначении скобок Айверсона :

$⟨⟨0\; m⟩⟩\; =\; [m\; =\; 0].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{0\; \backslash \; atop\; m\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; [m\; =\; 0].\}$

Соответственно, многочлен Эйлера второй вид, здесь обозначенный P n (для них не существует стандартной записи), равны

$P\; n\; (x):\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; n\; ⟨⟨nm⟩⟩\; xm\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (x):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \{n\; \backslash \; atop\; m\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; x\; ^\; \{\; m\}\}$

и указанные выше рекуррентные соотношения переводятся в рекуррентное соотношение для последовательности P n (x):

$P\; n\; +\; 1\; (x)\; =\; (2\; nx\; +\; 1)\; P\; N\; (Икс)\; -\; Икс\; (Икс\; -\; 1)\; P\; N\; \text{'}(Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{N\; +\; 1\}\; (x)\; =\; (2nx\; +\; 1)\; P\_\; \{n\}\; (x)\; -x\; (x-1)\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (x)\}$

с начальным условием

$P\; 0\; (x)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 1.\}$

Последнее повторение может можно записать в более компактной форме с помощью интегрирующего множителя:

$(x\; -\; 1)\; -\; 2\; n\; -\; 2\; P\; n\; +\; 1\; (x)\; =\; (x\; (1\; -\; x)\; -\; 2\; n\; -\; 1\; P\; n\; (x))\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; ^\; \{-\; 2n-2\}\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; =\; \backslash \; left\; (x\; (1-x)\; ^\; \{-\; 2n-1\}\; P\_\; \{n\})\; (x)\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$

так что что рациональная функция

$un\; (x):\; =\; (x\; -\; 1)\; -\; 2\; n\; P\; n\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\; (x):\; =\; (x-1)\; ^\; \{-\; 2n\}\; P\_\; \{\; n\}\; (x)\}$

удовлетворяет простому автономному повторению:

$un\; +\; 1\; =\; (x\; 1\; -\; xun)\; \prime ,\; u\; 0\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1-x\}\}\; u\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; \backslash \; quad\; u\_\; \{0\}\; =\; 1,\}$

откуда можно получить многочлены Эйлера как P n (x) = (1 − x) u n (x), а числа Эйлера второго рода в качестве их коэффициентов.

Вот некоторые значения чисел Эйлера второго порядка (последовательность A008517 в OEIS ):

mn	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1
2	1	2
3	1	8	6
4	1	22	58	24
5	1	52	328	444	120
6	1	114	1452	4400	3708	720
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880

Сумма n-й строки, которая также является значением P n ( 1), равно (2n - 1) !!.

Ссылки

• Эйлер, Леонард [Леонард Эйлер] (1755). Учреждения дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам [Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам]. Academia imperialis scientiarum Petropolitana; Беролини: Officina Michaelis.
• Карлитц, Л. (1959). «Числа Эйлера и многочлены». Математика. Mag. 32 (5): 247–260. doi : 10.2307 / 3029225. JSTOR 3029225.
• Гулд, Х. У. (1978). «Оценка сумм свернутых степеней с использованием чисел Стирлинга и Эйлера». Фиб. Кварта. 16 (6): 488–497.
• Desarmenien, Jacques; Фоата, Доминик (1992). «Знаковые числа Эйлера». Дискретная математика. 99 (1–3): 49–58. doi : 10.1016 / 0012-365X (92) 90364-L.
• Lesieur, Leonce; Николя, Жан-Луи (1992). «О числах Эйлера M = max (A (n, k))». Europ. J. Combinat. 13 (5): 379–399. doi : 10.1016 / S0195-6698 (05) 80018-6.
• Butzer, P.L.; Хаус, М. (1993). «Числа Эйлера с дробными параметрами порядка». Aequationes Mathematicae. 46(1–2): 119–142. doi : 10.1007 / bf01834003. S2CID 121868847.
• Котрас, М.В. (1994). «Числа Эйлера, ассоциированные с последовательностями многочленов». Фиб. Кварта. 32 (1): 44.
• Грэм; Кнут; Паташник (1994). Конкретная математика : Фонд компьютерных наук (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. стр. 267–272.
• Hsu, Leetsch C. ; Джау-Шионг Шиуэ, Питер (1999). «О некоторых задачах суммирования и обобщениях многочленов и чисел Эйлера». Дискретная математика. 204 (1–3): 237–247. doi : 10.1016 / S0012-365X (98) 00379-3.
• Бояджиев, Христо Н. (2007). «Функции Апостола-Бернулли, производные многочлены и многочлены Эйлера». arXiv : 0710.1124 [math.CA ].
• Петерсен, Т. Кайл (2015). «Числа Эйлера». Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher. Birkhäuser. С. 3–18. DOI : 10.1007 / 978-1-4939-3091-3_1. ISBN 978-1-4939-3090-6. Отсутствует или пусто | title =()

Цитаты

1. ^Worpitzky, J. (1883). «Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen». Journal für die reine und angewandte Mathematik. 94 : 203–232.
2. ^Упражнение 6,65 дюйма Конкретная математика Грэма, Кнута и Паташника.

Внешние ссылки

• Многочлены Эйлера на OEIS Wiki.
• «Числа Эйлера». MathPages.com.
• Вайстейн, Эрик У. «Число Эйлера». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Числовой треугольник Эйлера». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Личность Ворпицки». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Эйлеров треугольник второго порядка». MathWorld.
• матрица Эйлера (обобщенные индексы строк, дивергентное суммирование)