Полиномы Белла

В комбинаторной математике полиномы Белла, названные в честь Эрика Темпл Белла, используются при изучении разделов множеств. Они связаны с Стирлингом и числами Белла. Они также встречаются во многих приложениях, например, в формуле Фаа ди Бруно.

• 1 Многочлены Белла
  • 1.1 Экспоненциальные многочлены Белла
  • 1.2 Обычные многочлены Белла
• 2 Комбинаторное значение
  • 2.1 Примеры
• 3 Свойства
  • 3.1 Производящая функция
  • 3.2 Повторяющиеся отношения
  • 3.3 Детерминантные
  • 3.4 Числа формы Стирлинга и числа Белла
  • 3.5 Обратные отношения
  • 3.6 Полиномы Тушара
  • 3.7 Тождество свертки
• 4 Другие тождества
• 5 Примеры
• 6 Приложения
  • 6.1 Формула Фаа ди Бруно
  • 6.2 Обращение ряда
  • 6.3 Асимптотическое разложение интегралов типа Лапласа
  • 6.4 Симметричный полиномы
  • 6.5 Индекс цикла симметрических групп
  • 6.6 Моменты и кумулянты
  • 6.7 Полиномы Эрмита
  • 6.8 Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа
• 7 Программное обеспечение
• 8 См. также
• 9 Примечания
• 10 источников

Экспоненциальные многочлены Белла

Частичный или неполный экспоненциальный многочлен Белла mials - это треугольный массив многочленов, заданных как

$B\; n,\; k\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn\; -\; k\; +\; 1)\; =\; \sum \; n!\; j\; 1!\; j\; 2!\; \cdots \; j\; n\; -\; k\; +\; 1!\; (Икс\; 1\; 1!)\; J\; 1\; (Икс\; 2\; 2!)\; J\; 2\; \cdots \; (Xn\; -\; K\; +\; 1\; (N\; -\; K\; +\; 1)!)\; JN\; -\; K\; +\; 1,\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{\; 1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\})\; =\; \backslash \; sum\; \{n!\; \backslash \; over\; j\_\; \{1\}!\; j\_\; \{2\}!\; \backslash \; cdots\; j\_\; \{nk\; +\; 1\}!\}\; \backslash \; left\; (\{x\_\; \{1\}\; \backslash \; over\; 1!\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{j\_\; \{1\}\}\; \backslash \; left\; (\{x\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2!\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{j\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; left\; (\{x\_\; \{nk\; +\; 1\}\; \backslash \; over\; (nk\; +\; 1)!\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{j\_\; \{nk\; +\; 1\}\},\}$

где сумма берется по всем последовательностям j 1, j 2, j 3,..., j n - k + 1 неотрицательных целых чисел таких, что выполняются эти два условия:

$j\; 1\; +\; j\; 2\; +\; \cdots \; +\; jn\; -\; k\; +\; 1\; =\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{\; 1\}\; +\; j\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; j\_\; \{nk\; +\; 1\}\; =\; k,\}$

$j\; 1\; +\; 2\; j\; 2\; +\; 3\; j\; 3\; +\; \cdots \; +\; (n\; -\; k\; +\; 1)\; jn\; -\; к\; +\; 1\; =\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{1\}\; +\; 2j\_\; \{2\}\; +\; 3j\_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (nk\; +\; 1)\; j\_\; \{nk\; +\; 1\}\; =\; n.\}$

Сумма

$B\; n\; (Икс\; 1,\dots ,\; Xn)\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; NBN,\; K\; (Икс\; 1,\; Икс\; 2,\dots ,\; XN\; -\; K\; +\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; точки,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\})\}$

называется n-м полным экспоненциальным многочленом Белла .

Обычными многочленами Белла

Аналогичным образом частичный обычный многочлен Белла, в отличие от обычного экспоненциального многочлена Белла, определенного выше, задается как

$B\; ^\; n,\; k\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; Xn\; -\; k\; +\; 1)\; =\; \sum \; k!\; j\; 1!\; j\; 2!\; \cdots \; j\; n\; -\; k\; +\; 1!\; Икс\; 1\; J\; 1\; Икс\; 2\; J\; 2\; \cdots \; Иксn\; -\; К\; +\; 1\; JN\; -\; К\; +\; 1,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; Hat\; \{B\}\}\; \_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\})\; =\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; frac\; \{k!\}\; \{j\_\; \{1\}!\; j\_\; \{2\}!\; \backslash \; cdots\; j\_\; \{nk\; +\; 1\}!\}\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{j\_\; \{1\}\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{j\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{nk\; +\; 1\}\; ^\; \{j\_\; \{nk\; +\; 1\}\},\}$

где сумма проходит по всем последовательностям j 1, j 2, j 3,..., j n - k + 1 неотрицательных целых чисел, таких что

$j\; 1\; +\; j\; 2\; +\; \cdots \; +\; jn\; -\; k\; +\; 1\; =\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{1\}\; +\; j\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; j\_\; \{nk\; +\; 1\; \}\; =\; k,\}$

$j\; 1\; +\; 2\; J\; 2\; +\; \cdots \; +\; (N\; -\; K\; +\; 1)\; JN\; -\; K\; +\; 1\; знак\; равно\; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{1\}\; +\; 2j\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (\; nk\; +\; 1)\; j\_\; \{nk\; +\; 1\}\; =\; n.\}$

Обычные многочлены Белла могут быть выражены в терминах экспоненциальных Полиномы Белла:

$B\; ^\; n,\; k\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn\; -\; k\; +\; 1)\; =\; k!\; п!\; B\; n,\; k\; (1!\; \cdot \; x\; 1,\; 2!\; \cdot \; x\; 2,\dots ,\; (n\; -\; k\; +\; 1)!\; \cdot \; x\; n\; -\; k\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{B\}\}\; \_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n-k\; +\; 1\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k!\}\; \{n!\; \}\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (1!\; \backslash \; Cdot\; x\_\; \{1\},\; 2!\; \backslash \; Cdot\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; (n-k\; +\; 1)!\; \backslash \; Cdot\; x\_\; \{n-k\; +\; 1\}).\; \}$

В общем, полином Белла относится к экспоненциальному полиному Белла, если указано не указано.

Экспоненциальный многочлен Белла кодирует информацию, относящуюся к способам разделения. Например, если мы рассмотрим набор {A, B, C}, его можно разделить на два непустых, неперекрывающихся подмножества, которые также называются частями или блоками, тремя разными способами:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Таким образом, мы можем кодировать информацию об этих разделах как

$B\; 3,\; 2\; (x\; 1,\; x\; 2)\; =\; 3\; x\; 1\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{3,2\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\; =\; 3x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}.\}$

Здесь индексы B 3,2 говорят нам, что мы рассматриваем разбиение набора с 3 элементами на 2 блока. Нижний индекс каждого x i указывает на присутствие блока с i элементами (или блока размера i) в данном разделе. Итак, здесь x 2 указывает на наличие блока с двумя элементами. Аналогично, x 1 указывает на наличие блока с одним элементом. Показатель степени x i указывает, что существует j таких блоков размера i в одном разделе. Здесь, поскольку и x 1, и x 2 имеют показатель степени 1, это указывает на то, что в данном разделе есть только один такой блок. Коэффициент при мономе показывает, сколько существует таких разделов. В нашем случае есть 3 раздела набора с 3 элементами на 2 блока, где в каждом случае элементы разделены на два блока размером 1 и 2.

Так как любой набор можно разделить на один блокировать только одним способом, приведенная выше интерпретация будет означать, что B n, 1 = x n. Аналогично, поскольку существует только один способ разделить набор из n элементов на n отдельных элементов, B n, n = x 1.

В качестве более сложного примера рассмотрим

$B\; 6,\; 2\; (х\; 1,\; х\; 2,\; х\; 3,\; х\; 4,\; х\; 5)\; =\; 6\; х\; 5\; х\; 1\; +\; 15\; х\; 4\; х\; 2\; +\; 10\; х\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{6,2\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{4\},\; x\_\; \{5\})\; =\; 6x\_\; \{5\}\; x\_\; \{1\}\; +\; 15x\_\; \{4\}\; x\_\; \{2\}\; +\; 10x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}.\}$

Это говорит нам, что если набор из 6 элементов разделен на 2 блока, то у нас может быть 6 разделов с блоками размером 1 и 5, 15 разделов с блоками размером 4 и 2, и 10 разделов с 2 блоками размера 3.

Сумма индексов в одночленах равно общему количеству элементов. Таким образом, количество одночленов, которые входят в частичный многочлен Белла, равно количеству способов, одно целое число может быть выражено как сумма k натуральных чисел. Это то же самое, что целочисленное разделение числа n на k частей. Например, в приведенных выше примерах целое число 3 может быть разделено на две части только как 2 + 1. Таким образом, в B 3,2 есть только один одночлен. Однако целое число 6 можно разделить на две части: 5 + 1, 4 + 2 и 3 + 3. Таким образом, в B 6,2 три одночлена. Действительно, индексы числа в одночлене такие же, как и в целочисленном разбиении, используются размеры различных блоков. Таким образом, общее количество одночленов, входящих в полный многочлен Белла B n, равно общему количеству целых разбиений числа n.

Также степень каждого монома, которая представляет собой показатели каждой модели в мономе, количеству блоков, которые разделены набором. То есть j 1 + j 2 +... = k. Таким образом, для полного полинома Белла B n мы можем отделить частичный многочлен Белла B n, k, собрав все эти одночлены степени k.

Наконец, если мы не обращаем внимания на размеры блоков и положим все x i = x, то суммирование коэффициентов частичного полинома Белла B n, k даст общее количество способов, которым набор из n элементов может быть разделен на k блоков, что совпадает с числами Стирлинга второго рода. Кроме того, суммирование всех коэффициентов полного полинома Белла B n даст нам общее количество способов, которыми набор из n элементов может быть разбит на неперекрывающиеся подмножества, что совпадает с числом.

В общем, если целое число n разделено на сумму, в которой «1» встречается j 1 раз, появляется «2» j 2 раз и так далее, то количество разделов набора размера n, которые схлопываются до этого раздела целого числа n, когда элементы становятся неразличимыми, используемыми коэффициентами в полиноме.

Примеры

Например, у нас есть

$B\; 6,\; 2\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\; x\; 4,\; x\; 5)\; =\; 6\; x\; 5\; x\; 1\; +\; 15\; x\; 4\; x\; 2\; +\; 10\; x\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{6,2\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{4\},\; x\_\; \{5\})\; =\; 6x\_\; \{5\}\; x\_\; \{\; 1\}\; +\; 15x\_\; \{4\}\; x\_\; \{2\}\; +\; 10x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}$

, потому что существует

6 способов разделить набор из 6 как 5 + 1,

15 способов разбить набор из 6 на 4 + 2 и

10 способов разбить набор из 6 на 3 + 3.

Аналогично,

$B\; 6,\; 3\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\; x\; 4)\; =\; 15\; x\; 4\; x\; 1\; 2\; +\; 60\; x\; 3\; x\; 2\; x\; 1\; +\; 15\; x\; 2\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{6,3\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{4\})\; =\; 15x\_\; \{4\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; 60x\_\; \{3\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; +\; 15x\_\; \{2\}\; ^\; \{3\}\}$

, потому что есть

15 способов разбить набор из 6 на 4 + 1 + 1,

60 способов разбить набор из 6 на 3 + 2 + 1 и

15 способов разбить набор 6 как 2 + 2 + 2.

Производящая функция

Экспоненциальные частичные многочлены Белла могут быть использованы путем разложения его производящей функции в двойном ряду:

$\Phi \; (t,\; u)\; =\; exp\; \; (u\; \sum \; j\; =\; 1\; \infty \; xjtjj!)\; =\; \sum \; n\; \ge \; k\; \ge \; 0\; B\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; x\; n\; -\; k\; +\; 1)\; t\; n\; n!\; U\; К\; знак\; равно\; 1\; +\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; T\; N\; N!\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; u\; k\; B\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; x\; n\; -\; k\; +\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Phi\; (t,\; u)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (u\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{j\}))\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; k\; \backslash \; geq\; 0\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\})\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; u\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; 1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; сумма\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; u\; ^\; \{k\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\}).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Другими словами, чем то же самое, разложением в ряд k-й степени:

$1\; k!\; (\sum \; j\; =\; 1\; \infty \; x\; j\; t\; j\; j!)\; K\; =\; \sum \; n\; =\; k\; \infty \; B\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; x\; n\; -\; k\; +\; 1)\; t\; n\; n!,\; к\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{j\}\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; k\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{nk\; +1\; \})\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\},\; \backslash \; Qquad\; k\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$

Полный экспоненциальный многочлен Белла определяется как $\Phi \; (t,\; 1)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (t,\; 1)\}$, или другими словами:

$\Phi \; (t,\; 1)\; =\; exp\; \; (\sum \; j\; =\; 1\; \infty \; xjtjj!)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; B\; n\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; tnn!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (t,\; 1)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{j\}\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; B\_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

Таким образом, n-й полный многочлен Белла имеет вид

$B\; n\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; (\partial \; \partial \; t)\; n\; exp\; \; (\sum \; j\; =\; 1\; \infty \; xjtjj!)\; |\; т\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{j\}\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}.\}$

Точно так же обычный частичный полином Белла может быть определенной производящей функцией

$\Phi \; ^\; (t,\; u)\; =\; exp\; \; (u\; \sum \; j\; =\; 1\; \infty \; xjtj)\; =\; \sum \; n\; \ge \; k\; \ge \; 0\; B\; ^\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; k\; +\; 1)\; tnukk!.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; Phi\}\}\; (т,\; и)\; =\; \backslash \; ехр\; \backslash \; влево\; (и\; \backslash \; сумма\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{j\}\; t\; ^\; \{j\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; k\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; hat\; \{B\}\}\; \_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\})\; t\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{u\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}.\}$

Или, что то же самое, разложением в ряд k-й степени:

$(\sum \; j\; =\; 1\; \infty \; xjtj)\; k\; =\; \sum \; n\; =\; k\; \infty \; B\; ^\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; k\; +\; 1)\; tn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{j\}\; t\; ^\; \{j\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; k\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\; \backslash \; hat\; \{B\}\}\; \_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\})\; t\; ^\; \{n\}.\}$

См. также преобразование генерирующих функций для полиномиальной производящей функции Белла разложения композиций производящих функций и степеней, логарифмов и экспонент производящую функцию следовать. Каждая из этих формул цитируется в соответствующих разделах Comtet.

Отношения рекуррентности

Полные многочлены Белла могут быть рекуррентно устойчивые как

$B\; n\; +\; 1\; (Икс\; 1,\dots ,\; хn\; +\; 1)\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; (NI)\; В\; N\; -\; я\; (Икс\; 1,\dots ,\; хn\; -\; я)\; xi\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\; +\; 1\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; i\}\; B\_\; \{ni\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{ni\})\; x\_\; \{i\; +1\}\}$

с начальным размером $B\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\; =\; 1\}$.

Частичные полиномы Белла также могут быть эффективно вычислены с помощью рекуррентного соотношения:

$B\; n\; К\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; -\; К\; +\; 1\; (\; N\; -\; 1\; я\; -\; 1)\; Икси\; В\; N\; -\; я,\; К\; -\; 1,\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{п,\; к\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{nk\; +\; 1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\}\; \{\; i-1\}\}\; x\_\; \{i\}\; B\_\; \{ni,\; k-1\},\}$

где

$B\; 0,\; 0\; =\; 1;\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0,0\}\; =\; 1;\}$

$B\; n,\; 0\; =\; 0\; для\; n\; \ge \; 1;\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; 0\}\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 1;\}$

$B\; 0,\; k\; =\; 0\; для\; k\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0,\; k\}\; =\; 0\; \{\; \backslash \; text\; \{for\}\}\; k\; \backslash \; geq\; 1.\}$

Полные многочлены Белла также удовлетворяют следующей рекуррентной дифференциальной формуле:

$B\; n\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; 1\; n\; -\; 1\; [\sum \; i\; =\; 2\; n\; \sum \; j\; =\; 1\; i\; -\; 1\; (i\; -\; 1)\; (i\; -\; 2\; j\; -\; 1)\; xjxi\; -\; j\; \partial \; B\; n\; -\; 1\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; 1)\; \partial \; xi\; -\; 1\; +\; \sum \; i\; =\; 2\; n\; \sum \; j\; =\; 1\; i\; -\; 1\; xi\; +\; 1\; (ij)\; \partial \; 2\; B\; n\; -\; 1\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; 1)\; \partial \; xj\; \partial \; xi\; -\; j\; +\; \sum \; i\; =\; 2\; nxi\; \partial \; B\; n\; -\; 1\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; 1)\; \partial \; xi\; -\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; B\_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n-1\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 2\; \}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; правильно.\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{i-1\}\; (i-1)\; \{\backslash \; binom\; \{i-2\}\; \{j-1\}\}\; x\_\; \{j\}\; x\_\; \{ij\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; B\_\; \{\; n-1\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n-1\})\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i-1\}\}\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \backslash \; left.\; \{\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 2\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{i-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{i\}\; \{j\}\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; B\_\; \{n-1\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n-1\})\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; x\_\; \{ij\}\}\}\; \backslash \; верно.\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \backslash \; left.\; \{\}\; +\; \backslash \; Sum\; \_\; \{i\; =\; 2\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; B\_\; \{n-1\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n-1\})\}\; \{\backslash \; частичный\; x\_\; \{i-1\}\}\}\; \backslash \; right].\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Детерминантные формы

Полный многочлен Белла может быть выражен как определители :

$B\; n\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; det\; [x\; 1\; (n\; -\; 1\; 1)\; x\; 2\; (n\; -\; 1\; 2)\; x\; 3\; (n\; -\; 1\; 3)\; x\; 4\; \cdots \; \cdots \; xn\; -\; 1\; x\; 1\; (n\; -\; 2\; 1)\; x\; 2\; (n\; -\; 2\; 2)\; x\; 3\; \cdots \; \cdots \; xn\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; x\; 1\; (n\; -\; 3\; 1)\; x\; 2\; \cdots \; \cdots \; xn\; -\; 2\; 0\; 0\; -\; 1\; x\; 1\; \cdots \; \cdots \; xn\; -\; 3\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; \cdots \; \cdots \; xn\; -\; 4\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; \ddots \; ⋮\; 0\; 0\; 0\; 0\; \cdots \; -\; 1\; x\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{1\}\; \{n-1\; \backslash \; choose\; 1\}\; x\_\; \{\; 2\}\; \{n-1\; \backslash \; choose\; 2\}\; x\_\; \{3\}\; \{n-1\; \backslash \; select\; 3\}\; x\_\; \{4\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; -\; 1\; x\_\; \{1\}\; \{n-2\; \backslash \; выбрать\; 1\}\; x\_\; \{2\}\; \{n-2\; \backslash \; выбрать\; 2\}\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n-1\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; 0\; -1\; x\_\; \{\; 1\}\; \{n-3\; \backslash \; выберите\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n-2\}\; \backslash \; \backslash \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n-3\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; -1\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n-4\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; -1\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

и

$B\; n\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; det\; [x\; 1\; 0!\; х\; 2\; 1!\; х\; 3\; 2!\; х\; 4\; 3!\; \cdots \; \cdots \; х\; п\; (п\; -\; 1)!\; -\; 1\; х\; 1\; 0!\; х\; 2\; 1!\; х\; 3\; 2!\; \cdots \; \cdots \; х\; п\; -\; 1\; (п\; -\; 2)!\; 0-2\; х\; 1\; 0!\; х\; 2\; 1!\; \cdots \; \cdots \; х\; п\; -\; 2\; (п\; -\; 3)!\; 0\; 0\; -\; 3\; х\; 1\; 0!\; \cdots \; \cdots \; х\; п\; -\; 3\; (п\; -\; 4)!\; 0\; 0\; 0-4\; \cdots \; \cdots \; х\; п\; -\; 4\; (п\; -\; 5)!\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; \ddots \; ⋮\; 0\; 0\; 0\; 0\; \cdots \; -\; (п\; -\; 1)\; х\; 1\; 0!\; ].\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{0!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{1!\}\}\; \{\backslash \; Frac\; \{x\_\; \{3\}\}\; \{2!\}\}\; \{\backslash \; Frac\; \{x\_\; \{4\}\}\; \{3!\}\}\; \backslash \; Cdots\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{\; x\_\; \{n\}\}\; \{(n-1)!\}\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; -\; 1\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{0!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{1!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{3\}\}\; \{2!\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{n-1\}\}\; \{(n-2)!\}\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; 0\; -2\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{0!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{1!\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{n-2\}\}\; \{(\; п-3)!\}\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; 0\; 0\; -3\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{0!\}\}\; \backslash \; Cdots\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{n-3\}\}\; \{(п-4)!\; \}\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; -4\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{n-4\}\}\; \{(n-5)!\}\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; -\; (n-1)\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{0!\}\; \}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Стирлинг числа и числа Белла

Значение полинома Белла B n, k (x1,x2,...) в ниже факториалов равно беззнаковому Существование Стирлинга первого рода :

$B\; n,\; k\; (0\; !,\; 1!,\dots ,\; (n\; -\; k)!)\; =\; c\; (n,\; k)\; =\; |\; s\; (n,\; k)\; |\; =\; [n\; k].\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; (0\; !,\; 1\; !,\; \backslash \; точки,\; (nk)!)\; =\; C\; (n,\; k)\; =\; |\; s\; (n,\; k)\; |\; =\; \backslash \; left\; [\{n\; \backslash \; на\; вершине\; k\}\; \backslash \; right].\}$

Значение полинома Белла B n, k (x1,x2,...) в последовательности равно по системе Стирлинга второго рода :

$B\; n,\; k\; (1,\; 1,\dots ,\; 1)\; =\; S\; (n,\; k)\; =\; \{nk\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; (1,1,\; \backslash \; dots,\; 1)\; =\; S\; (n,\; k)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{n\; \backslash \; atop\; k\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Сумма этих значений Дает полное полинома Белла на установках:

$B\; n\; (1,\; 1,\dots ,\; 1)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; B\; n,\; k\; (1,\; 1,\dots ,\; 1)\; =\; \sum \; к\; знак\; равно\; 1\; N\; \{nk\},\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (1,1,\; \backslash \; dots,\; 1)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (1,1,\; \backslash \; точки,\; 1)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{n\; \backslash \; atop\; k\}\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

который является n-м номером Белла.

Обратные отношения

Если мы определим

$yn\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; B\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; k\; +\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{nk\; +\; 1\}),\}$

, чтобы у нас есть обратное соотношение

$xn\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; п\; (-\; 1)\; к\; -\; 1\; (к\; -\; 1)!\; B\; n,\; k\; (y\; 1,\dots ,\; y\; n\; -\; k\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k-1\}\; (k-1)!\; B\_\; \{n,\; k\}\; (y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{nk\; +\; 1\}).\}$

Многочлены Тушара

Многочлены Тушара $T\; n\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \{nk\}\; \cdot \; xk\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{n\; \backslash \; atop\; k\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; cdot\; x\; ^\; \{k\}\; \}$может быть выражено как значение полного полинома Белла для всех аргументов, равных x:

$T\; n\; (x)\; =\; B\; n\; (x,\; x,\dots ,\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\}\; (x)\; =\; B\_\; \{n\}\; (x,\; x,\; \backslash \; dots,\; x).\}$

Идентификатор свертки

Для последовательностей x n, y n, n = 1, 2,..., определить свертку следующим образом:

$(x\; ♢\; y)\; n\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; -\; 1\; (nj)\; xjyn\; -\; Дж.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit\}\}\; y)\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \{n\; \backslash \; choose\; j\}\; x\_\; \{j\}\; y\_\; \{nj\}.\}$

Границы суммирования равны 1 и n - 1, а не 0 и n.

Пусть $xnk\; ♢\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{k\; \backslash \; diamondsuit\}\; \backslash ,\}$будет N-м членом следовать

$x\; ♢\; \cdots \; ♢\; x\; ⏟\; k\; факторов.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; underbrace\; \{x\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit\}\}\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit\}\}\; x\}\; \_\; \{k\; \{\backslash \; text\; \{факторы\}\}\}.\; \backslash ,\}$

Тогда

$B\; n,\; k\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; k\; +\; 1)\; =\; xnk\; ♢\; k!.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n-k\; +\; 1\})\; =\; \{x\_\; \{n\}\; ^\; \{k\; \backslash \; diamondsuit\}\; \backslash \; over\; k!\}.\; \backslash ,\}$

Например, давайте вычислим $B\; 4,\; 3\; (x\; 1,\; x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{4,3\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\}$. У нас есть

$x\; =\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\; x\; 4,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; (x\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash \; x\_\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; x\_\; \{3\}\; \backslash ,\; \backslash \; x\_\; \{4\}\; \backslash ,\; \backslash \; точки)\}$

$x\; ♢\; x\; =\; (0,\; 2\; x\; 1\; 2,\; 6\; x\; 1\; x\; 2,\; 8\; x\; 1\; x\; 3\; +\; 6\; x\; 2\; 2,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit\}\}\; x\; =\; (0,\; \backslash \; 2x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; 6x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; 8x\_\; \{1\}\; x\_\; \{3\}\; +\; 6x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\; \}\; \backslash ,\; \backslash \; точки)\}$

$Икс\; ♢\; Икс\; ♢\; Икс\; =\; (0,\; 0,\; 6\; x\; 1\; 3,\; 36\; x\; 1\; 2\; x\; 2,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit\}\}\; x\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit\}\}\; x\; =\; (0\; \backslash ,\; \backslash \; 0\; \backslash ,\; \backslash \; 6x\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash ,\; \backslash \; 36x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; dots)\}$

и, следовательно,,

$В\; 4,\; 3\; (х\; 1,\; х\; 2)\; =\; (х\; х\; х\; ♢\; х)\; 4\; 3!\; =\; 6\; х\; 1\; 2\; х\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{4,3\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit\}\}\; x\; \{\backslash \; mathbin\; \{\backslash \; diamondsuit)\; \}\}\; x)\; \_\; \{4\}\}\; \{3!\}\}\; =\; 6x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}.\}$

• $B\; n,\; k\; (1\; !,\; 2!,\dots ,\; (N\; -\; k\; +\; 1)!)\; =\; (П\; -\; 1\; к\; -\; 1)\; п!\; к!\; Знак\; равно\; L\; (N,\; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{N,\; K\}\; (1\; !,\; 2\; !,\; \backslash \; Ldots,\; (п-к\; +\; 1)!)\; =\; \{\backslash \; Binom\; \{п-1\}\; \{к-1\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{k!\}\}\; =\; L\; (n,\; k)\}$что дает число Лаха.
• $B\; n,\; k\; (1,\; 2,\; 3,\dots ,\; N\; -\; К\; +\; 1)\; знак\; равно\; (NK)\; Kn\; -\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; (1,2,3,\; \backslash \; ldots,\; nk\; +\; 1)\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; к\; ^\; \{nk\}\}$который дает идемпотентное число.
• $B\; n,\; k\; (-\; x\; 1,\; x\; 2,\; -\; x\; 3,\dots ,\; (-\; 1)\; n\; -\; kxn\; -\; k\; +\; 1)\; Знак\; равно\; (-\; 1)\; N\; В\; N,К\; (Икс\; 1,\; Икс\; 2,\; Икс\; 3,\dots ,\; xn\; -\; К\; +\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; (-\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; -\; x\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots,\; (\; -\; 1)\; ^\; \{nk\}\; x\_\; \{nk\; +\; 1\})\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{\; nk\; +\; 1\})\}$и $B\; n\; (-\; x\; 1,\; x\; 2,\; -\; x\; 3,\dots ,\; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; xn)\; Знак\; равно\; (-\; 1)\; N\; Â\; N\; (Икс\; 1,\; Икс\; 2,\; Икс\; 3,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (-\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; -\; x\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots,\; (-\; 1)\; ^\; \{n-\; 1\}\; x\_\; \{n\})\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$.
• Полные многочлены Белла удовлетворяют действию биномиального типа:

  $B\; n\; (x\; 1\; +\; y\; 1,\dots ,\; xn\; +\; yn)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; (ni)\; B\; n\; -\; i\; (x\; 1,\dots ,\; xn\; -\; i)\; B\; i\; (\; y\; 1,\dots ,\; yi),\; \{\backslash \; display\; стиль\; B\_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\}\; +\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\; +\; y\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; i\}\; B\_\; \{ni\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{ni\})\; B\_\; \{i\}\; (y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{i\}),\}$

  $B\; n,\; k\; (xq\; +\; 1\; (q\; +\; 1\; q),\; xq\; +\; 2\; (q\; +\; 2\; q),\dots )\; =\; n!\; (д!)\; к\; (п\; +\; д\; к)!\; B\; n\; +\; q\; k,\; k\; (\dots ,\; 0,\; 0,\; x\; q\; +\; 1,\; x\; q\; +\; 2,\dots ).\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{q\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{q\; +\; 1\}\; \{q\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{q\; +\; 2\}\})))\; \{\backslash \; binom\; \{q\; +\; 2\}\; \{q\}\}\},\; \backslash \; ldots\; \{\backslash \; Bigr)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\; (q!)\; ^\; \{k\}\}\; \{(n\; +\; qk)!\}\}\; B\_\; \{n\; +\; qk,\; k\}\; (\backslash \; ldots,\; 0,0,\; x\_\; \{q\; +\; 1\},\; x\_\; \{q\; +\; 2\},\; \backslash \; ldots).\}$

Это исправляет пропуск множителя $(q!)\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; (q!)\; ^\; \{K\}\}$в книге Конте.

• Когда ,

$B\; n,\; n\; -\; a\; (x\; 1,\dots ,\; xa\; +\; 1)\; =\; \sum \; j\; знак\; равно\; a\; +\; 1\; 2\; aj!\; а!\; (n\; j)\; (x\; 1)\; n\; -\; j\; B\; a,\; j\; -\; a\; (x\; 2\; 2,\; x\; 3\; 3,\dots ,\; x\; 2\; (a\; +\; 1)\; -\; j\; 2\; (a\; +\; 1)\; -\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; na\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{a\; +\; 1\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; a\; +\; 1\}\; ^\; \{2a\}\; \{\backslash \; frac\; \{j!\}\; \{a!\; \}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{j\}\}\; (x\_\; \{1\})\; ^\; \{nj\}\; B\_\; \{a,\; ja\}\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{3\}\}\; \{3\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\; (a\; +\; 1)\; -j\}\}\; \{2\; (a\; +\; 1)\; -j\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}.\}$

• Частные случаи частичных полиномов Белла:

$B n, 1 (x 1,…, xn) = xn B n, 2 (x 1,…, xn - 1) = 1 2 ∑ k = 1 n - 1 (nk) xkxn - k B n, n (x 1) = (x 1) n B n, n - 1 (x 1, x 2) = (n 2) (x 1) n - 2 x 2 B n, n - 2 (x 1, x 2, x 3) = (n 3) (x 1) n - 3 x 3 + 3 (n 4) (x 1) n - 4 (x 2) 2 B n, n - 3 ( x 1, x 2, x 3, x 4) = (n 4) (x 1) n - 4 x 4 + 10 (n 5) (x 1) n - 5 x 2 x 3 + 15 (n 6) ( x 1) n - 6 (x 2) 3 B n, n - 4 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) = (n 5) (x 1) n - 5 x 5 + 5 ( n 6) (x 1) n - 6 [3 x 2 x 4 + 2 (x 3) 2] + 105 (n 7) (x 1) n - 7 (x 2) 2 x 3 + 105 (n 8) (х 1) п - 8 (х 2) 4. {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {n, 1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = {} x_ {n} \\ [8pt] B_ {n, 2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}) = {} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} {\ binom {n} {k}} x_ {k} x_ {nk} \\ [8pt] B_ {n, n} (x_ {1}) = {} (x _ {1}) ^ {n} \\ [8pt] B_ {n, n -1} (x_ {1}, x_ {2}) = {} {\ binom {n} {2}} (x_ { 1}) ^ {n-2} x_ {2} \\ [8pt] B_ {n, n-2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {} {\ binom { n} {3}} (x_ {1}) ^ {n-3} x_ {3} +3 {\ binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} (x_ {2 }) ^ {2} \\ [8pt] B_ {n, n-3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} {\ binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} x_ {4} +10 {\ binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {2} x_ { 3} +15 {\ binom {n} {6}} (x_ {1}) ^ {n-6} (x_ {2}) ^ {3} \\ [8pt] B_ {n, n-4} ( x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = {} {\ binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5 } x_ {5} +5 {\ binom {n} {6}} (x_ {1}) ^ {n-6} {\ bigl [} 3x_ {2} x_ {4} +2 (x_ {3}) ^ {2} {\ bigr]} + 105 {\ binom {n} {7}} (x_ {1}) ^ {n-7} (x_ {2}) ^ {2} x_ {3} \\ { } {} + 105 {\ binom {n} {8}} (x_ {1}) ^ {n-8} (x_ {2}) ^ {4}. \ End {align}}}$

Первые несколько полных полиномов Белла:

$B 0 = 1, B 1 (x 1) = x 1, B 2 (x 1, x 2) = x 1 2 + x 2, B 3 (x 1, x 2, x 3) = x 1 3 + 3 x 1 х 2 + х 3, B 4 (x 1, x 2, x 3, x 4) = x 1 4 + 6 x 1 2 x 2 + 4 x 1 x 3 + 3 x 2 2 + x 4, B 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) = x 1 5 + 10 x 2 x 1 3 + 15 x 2 2 x 1 + 10 x 3 x 1 2 + 10 x 3 x 2 + 5 x 4 x 1 + x 5 B 6 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6) = x 1 6 + 15 x 2 x 1 4 + 20 x 3 x 1 3 + 45 x 2 2 x 1 2 + 15 х 2 3 + 60 х 3 х 2 х 1 + 15 х 4 х 1 2 + 10 х 3 2 + 15 х 4 х 2 + 6 х 5 х 1 + х 6, В 7 (х 1, х 2, х 3, x 4, x 5, x 6, x 7) = x 1 7 + 21 x 1 5 x 2 + 35 x 1 4 x 3 + 105 x 1 3 x 2 2 + 35 x 1 3 x 4 + 210 x 1 2 x 2 x 3 + 105 x 1 x 2 3 + 21 x 1 2 x 5 + 105 x 1 x 2 x 4 + 70 x 1 x 3 2 + 105 x 2 2 x 3 + 7 x 1 x 6 + 21 x 2 х 5 + 35 х 3 х 4 + х 7. {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {0} = {} 1, \\ [8pt] B_ {1} (x_ {1}) = {} x_ {1}, \\ [8pt] B_ {2} (x_ { 1}, x_ {2}) = {} x_ {1} ^ {2} + x_ {2}, \\ [8pt] B_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x _ {3}) = {} x_ {1} ^ {3} + 3x_ {1} x_ {2} + x_ {3}, \\ [8pt] B_ {4} (x_ {1}, x_ {2 }, x_ {3}, x_ {4}) = {} x_ {1} ^ {4} + 6x_ {1} ^ {2} x_ {2} + 4x_ {1} x_ {3} + 3x_ {2 } ^ {2} + x_ {4}, \\ [8pt] B_ {5} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = {} x_ {1} ^ {5} + 10x_ {2} x_ {1} ^ {3} + 15x_ {2} ^ {2} x_ {1} + 10x_ {3} x_ {1} ^ {2} + 10x_ { 3} x_ {2} + 5x_ {4} x_ {1} + x_ {5} \\ [8pt] B_ {6} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) = {} x_ {1} ^ {6} + 15x_ {2} x_ {1} ^ {4} + 20x_ {3} x_ {1} ^ {3} + 45x_ {2} ^ {2} x_ {1} ^ {2} + 15x_ {2} ^ {3} + 60x_ {3} x_ {2} x_ {1} \\ {} + 15x_ {4} x_ {1 } ^ {2} + 10x_ {3} ^ {2} + 15x_ {4} x_ {2} + 6x_ {5} x_ {1} + x_ {6}, \\ [8pt] B_ {7} (x_ { 1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}, x_ {7}) = {} x_ {1} ^ {7} + 21x_ {1} ^ {5} x_ {2} + 35x_ {1} ^ {4} x_ {3} + 105x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2} + 35x_ {1} ^ {3} x_ {4 } \\ {} + 210x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + 105x_ {1} x_ {2} ^ {3} + 21x_ {1} ^ {2} x_ {5} + 105x_ {1} x_ {2} x_ {4} \ \ {} + 70x_ {1} x_ {3} ^ {2} + 105x_ {2} ^ {2} x_ {3} + 7x_ {1} x_ {6} + 21x_ {2} x_ {5} + 35x_ {3} x_ {4} + x_ {7}. \ end {align}}}$

Формула Фаа ди Бруно

Формула Фаа ди Бруно может быть выражена в терминах полиномов Белла следующим образом:

$dndxnf\; (g\; (x))\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; nf\; (k)\; (g\; (x))\; B\; n,\; k\; (g\; \prime \; (x),\; g\; ″\; (x),\dots ,\; g\; (n\; -\; k\; +\; 1)\; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{n\}\}\; f\; (g\; (x))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; f\; ^\; \{(k)\}\; (g\; (x))\; B\_\; \{n,\; k\}\; \backslash \; left\; (g\; \text{'}(x),\; g\text{'}\; \text{'}(x),\; \backslash \; dots,\; g\; ^\; \{(nk\; +\; 1)\}\; (x)\; \backslash \; right).\}$

Аналогично a Версия формулы Фаа ди Бруно в виде степенных рядов может быть сформулирована с использованием полиномов Белла следующим образом. Предположим, что

$f\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; a\; n\; n!\; х\; N\; и\; g\; (х)\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; б\; N\; N!\; х\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{a\_\; \{n\}\; \backslash \; over\; n!\}\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; qquad\; g\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \; over\; n!\}\; x\; ^\; \{n\}.\}$

Тогда

$g\; (f\; (x))\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \sum \; k\; знак\; равно\; 1\; nbk\; B\; n,\; k\; (a\; 1,\dots ,\; an\; -\; k\; +\; 1)\; n!\; х\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (е\; (x))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; b\_\; \{k\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{nk\; +\; 1\})\}\; \{n!\}\}\; x\; ^\; \{n\}.\}$

В частности, полные многочлены Белла появляются в экспоненте a формальной степенной ряд :

$ехр\; \; (\sum \; i\; =\; 1\; \infty \; aii!\; xi)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; B\; n\; (a\; 1,\dots ,\; an)\; n!\; xn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{a\_\; \{i\}\; \backslash \; over\; i!\}\; x\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{B\_\; \{n\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{n\})\; \backslash \; over\; n!\}\; x\; ^\; \{n\},\}$

, который также представляет экспоненциальную производящую функцию полных многочленов Белла от фиксированной введенной аргументов $a\; 1,\; a\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots\}$.

Обращение ряда

Пусть две функции f и g выражаются в формальных степенных рядах как

$f\; (w)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; fkwkk!,\; и\; g\; (z)\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; г\; К\; Z\; К\; К!,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (w)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{w\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\; \}\; \backslash \; qquad\; g\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; g\_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\},\}$

такой, что g является композиционный обратный к f, определяемый формулами g (f (w)) = w или f (g (z)) = z. Если f 0 = 0 и f 1 ≠ 0, то явный вид коэффициентов обратной может быть дан в терминах полиномов Белла как

$gn\; =\; 1\; f\; 1\; n\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; n\; -\; 1\; (-\; 1)\; knk\; ¯\; B\; n\; -\; 1,\; k\; (f\; ^\; 1,\; f\; ^\; 2,\dots ,\; f\; ^\; n\; -\; k),\; n\; \ge \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{f\_\; \{1\}\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; n\; ^\; \{\backslash \; bar\; \{k\}\}\; B\_\; \{n-1,\; k\; \}\; (\{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{nk\}),\; \backslash \; qquad\; n\; \backslash \; geq\; 2,\}$

с $f\; ^\; k\; =\; fk\; +\; 1\; (k\; +\; 1)\; f\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{k\; +\; 1\}\}\; \{(\; к\; +\; 1)\; f\_\; \{1\}\}\},\}$и $nk\; ¯\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; \cdots \; (n\; +\; k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; bar\; \{k\}\; \}\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; \backslash \; cdots\; (n\; +\; k-1)\}$- возрастающий факториал, а $g\; 1\; =\; 1\; f\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\_\; \{1\}\}\}.\}$

Асимптотическое разложение интегралов типа Лапласа

Рассмотрим интеграл вида

$I\; (\lambda )\; знак\; равно\; \int \; abe\; -\; \lambda \; е\; (Икс)\; g\; (Икс)\; dx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; (\backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; f\; (x)\}\; g\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x,\}$

где (a, b) - вещественный (конечный или бесконечный) интервал, λ - большой положительный параметр, а функции f и g непрерывны. Пусть f имеет единственный минимум в [a, b], который встречается при x = a. Предположим, что при x → a

$f\; (x)\; \sim \; f\; (a)\; +\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; ak\; (x\; -\; a)\; k\; +\; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; sim\; f\; (a)\; +\; \backslash \; сумма\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{k\}\; (xa)\; ^\; \{k\; +\; \backslash \; alpha\},\}$

$g\; (x)\; \sim \; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; bk\; (x\; -\; a)\; k\; +\; \beta \; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; \backslash \; sim\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{k\}\; (xa)\; ^\; \{k\; +\; \backslash \; beta\; -1\},\}$

с α>0, Re (β)>0; и что расширение можно почленно дифференцировать. Тогда теорема Лапласа - Эрдели утверждает, что асимптотическое разложение интеграла I (λ) дается формулой

$I\; (\lambda )\; \sim \; e\; -\; \lambda \; f\; (a)\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \Gamma \; (n\; +\; \beta \; \alpha )\; cn\; \lambda \; (N\; +\; \beta )\; /\; \alpha \; как\; \lambda \; \to \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (\backslash \; lambda)\; \backslash \; sim\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; f\; (a)\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; Gamma\; \{\backslash \; Большой\; (\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{n\; +\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{(n\; +\; \backslash \; beta)\; /\; \backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{\; as\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; lambda\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty,\}$

где коэффициенты c n выражаются через a n и b n с использованием частичных обыкновенных многочленов Белла по формуле Кэмпбелла - Фромана - Валлеса - Войдило:

$cn\; =\; 1\; \alpha \; a\; 0\; (n\; +\; \beta )\; /\; \alpha \; \sum \; k\; =\; 0\; nbn\; -\; k\; \sum \; j\; =\; 0\; k\; (-\; n\; +\; \beta \; \alpha \; j)\; 1\; a\; 0\; j\; B\; ^\; k,\; j\; (a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; ak\; -\; j\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{(n\; +\; \backslash \; beta)\; /\; \backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; b\_\; \{nk\; \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; binom\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; \{j\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{0\}\; ^\; \{\; j\}\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{B\}\}\; \_\; \{k,\; j\}\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{kj\; +\; 1\}).\}$

Симметричные многочлены

элементарный симметричный многочлен $ru\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{n\}\}$и симметричный многочлен степенной суммы $pn\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; \}$могут быть связаны друг с другом с помощью полиномов Белла следующим образом:

$en\; =\; 1\; n!\; B\; n\; (p\; 1,\; -\; 1!\; P\; 2,\; 2!\; P\; 3,\; -\; 3!\; P\; 4,\dots ,\; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; (n\; -\; 1)!\; P\; n)\; =\; (-\; 1)\; n\; n!\; B\; n\; (-\; p\; 1,\; -\; 1!\; P\; 2,\; -\; 2!\; P\; 3,\; -\; 3!\; P\; 4,\dots ,\; -\; (n\; -\; 1)!\; Pn),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; \backslash ;\; B\_\; \{n\}\; (p\_\; \{1\},\; -\; 1!\; P\_\; \{2\},\; 2!\; P\_\; \{3\},\; -\; 3!\; P\_\; \{4\},\; \backslash \; ldots,\; (-\; 1)\; ^\; \{n-1\}\; (n-1)!\; P\_\; \{n\})\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash ;\; B\_\; \{n\}\; (-p\_\; \{1\},\; -\; 1!\; P\_\; \{2\},\; -\; 2!\; P\_\; \{3\},\; -\; 3!\; P\_\; \{4\},\; \backslash \; ldots,\; -\; (n-1)!\; P\_\; \{n\}),\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

$pn\; =\; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; (n\; -\; 1)!\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; (-\; 1)\; К\; -\; 1\; (К\; -\; 1)!\; B\; n,\; k\; (e\; 1,\; 2!\; E\; 2,\; 3!\; E\; 3,\dots ,\; (n\; -\; k\; +\; 1)!\; En\; -\; k\; +\; 1)\; =\; (-\; 1)\; nn\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; 1\; k\; B\; ^\; n,\; k\; (-\; e\; 1,\dots ,\; -\; en\; -\; k\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n-1\}\}\; \{(n-1)!\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; \}\; (-\; 1)\; ^\; \{k-1\}\; (k-1)!\; \backslash ;\; B\_\; \{n,\; k\}\; (e\_\; \{1\},\; 2!\; E\_\; \{2\},\; 3!\; E\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots,\; (n\; -k\; +\; 1)!\; E\_\; \{nk\; +\; 1\})\; \backslash \backslash \; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; \backslash ;\; п\; \backslash ;\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; hat\; \{B\}\}\; \_\; \{n,\; k\}\; (-\; e\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; -e\_\; \{n-k\; +\; 1\}).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

. Эти формулы могут выразить коэффициенты монических многочленов через многочлены Белла его нулей. Например, вместе с теоремой Кэли - Гамильтона они приводят к выражению определителя квадратной матрицы A × n через следы ее степеней:

$det\; (A)\; =\; (-\; 1)\; нн!\; B\; n\; (s\; 1,\; s\; 2,\dots ,\; s\; n),\; где\; s\; k\; =\; -\; (k\; -\; 1)!\; tr\; \; (A\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; B\_\; \{n\}\; (s\_\; \{1\},\; s\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{n\}),\; ~\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{где\}\}\; s\_\; \{k\}\; =\; -\; (k-1)!\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A\; ^\; \{k\}).\}$

Индекс цикла симметрических групповых

индекс цикла симметричной группы $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\}$может быть выражен в терминах полных полиномов Белла следующим образом:

$Z\; (S\; n)\; =\; B\; n\; (0!\; A\; 1,\; 1!\; A\; 2,\dots ,\; (n\; -\; 1)!\; An)\; n!.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (S\_\; \{n\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{n\}\; (0!\; \backslash ,\; a\_\; \{1\},\; 1!\; \backslash ,\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; (n-1)!\; \backslash ,\; a\_\; \{n\})\}\; \{n!\}\}.\}$

Моменты и кумулянты

Сумма

$\mu \; n\; \prime \; =\; B\; n\; (\kappa \; 1,\dots ,\; \kappa \; n)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; B\; N,\; К\; (\kappa \; 1,\dots ,\; \kappa \; N\; -\; К\; +\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; \text{'}=\; B\_\; \{n\}\; (\backslash \; kappa\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (\backslash \; kappa\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n-k\; +\; 1\})\}$

- это n-е необработанное момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которого равны κ 1,..., κ n. Другими словами, n-й момент - это n-й полный многочлен Белла, вычисленный на первых n кумулянтах. Аналогичным образом, n-й кумулянт может быть задан в терминах моментов как

$\kappa \; n\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; (-\; 1)\; k\; -\; 1\; (k\; -\; 1)!\; B\; n,\; k\; (\mu \; 1\; \prime ,\dots ,\; \mu \; n\; -\; k\; +\; 1\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k-1\}\; (k-1)!\; B\_\; \{n,\; k\}\; (\backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{n-k\; +\; 1\}).\}$

Многочлены Эрмита

Вероятностные многочлены Эрмита можно выразить через многочлены Белла как

$He\; n\; \; (x)\; =\; B\; n\; (x,\; -\; 1,\; 0,\dots ,\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{He\}\; \_\; \{n\}\; (x)\; =\; B\_\; \{n\}\; (x,\; -\; 1,0,\; \backslash \; ldots,\; 0),\}$

где x i = 0 для всех i>2; таким образом позволяя комбинаторную интерпретацию коэффициентов многочленов Эрмита. В этом можно убедиться, сравнив производящую функцию многочленов Эрмита

$exp\; \; (x\; t\; -\; t\; 2\; 2)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; He\; n\; \; (x)\; t\; n\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (xt\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; operatorname\; \{He\}\; \_\; \{n\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\}$

с полиномами Белла.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа

Для любой последовательности a 1, a 2,…, a n скаляров, пусть

$pn\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; B\; n,\; k\; (a\; 1,\dots ,\; an\; -\; k\; +\; 1)\; xk.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{n-k\; +\; 1\})\; x\; ^\; \{\; k\}.\}$

Тогда эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип, т.е. удовлетворяет биномиальному тождеству

$pn\; (x\; +\; y)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; pk\; (x)\; пн\; -\; к\; (у).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (x\; +\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; p\_\; \{k\}\; (x)\; p\_\; \{nk\}\; (y).\}$

Пример: Для 1 =… = a n = 1, многочлены $pn\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (x)\}$представляют полиномы Тушара.

В более общем смысле, мы имеем следующий результат:

Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа имеют эту форму.

Если мы определим формальный степенной ряд

$h\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; akk!\; xk,\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{a\_\; \{k\}\; \backslash \; over\; k!\}\; x\; ^\; \{k\},\}$

тогда для всех n

$h\; -\; 1\; (ddx)\; pn\; (x)\; =\; npn\; -\; 1\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{d\; \backslash \; over\; dx\}\; \backslash \; right)\; p\_\; \{n\}\; (x)\; =\; np\_\; \{n-1\}\; (x).\}$

Полиномы Белла реализованы в:

• Mathematica как BellY
• Maple как IncompleteBellB
• SageMath как bell_polynomial

• Матрица Белла
• Экспоненциальная формула