Симметричный многочлен суммы степеней

редактировать

В математике, в частности в коммутативной алгебре, степень Суммарные симметричные многочлены являются типом базового строительного блока для симметричных многочленов в том смысле, что каждый симметричный многочлен с рациональными коэффициентами может быть выражен как сумма и разность произведений степенных симметричных многочленов с рациональными коэффициенты. Однако не каждый симметричный многочлен с целыми коэффициентами порождается целыми комбинациями произведений степенных многочленов: они представляют собой порождающую совокупность над рациональными числами, но не над целыми числами.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Ссылки
5 См. Также

Определение

Симметричный полином степенной суммы степени k в $n {\ displaystyle n}$ $n$ переменные x 1,..., x n, записывается p k для k = 0, 1, 2,..., является суммой всех k-х степеней переменных. Формально

p k (x 1, x 2,…, x n) = ∑ i = 1 n x i k. {\ displaystyle p_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {k} \,. }

p_k (x_1, x_2, \ dots, x_n) = \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ k \,.

Первые несколько из этих многочленов:

p 0 (x 1, x 2,…, xn) = n, {\ displaystyle p_ {0} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = n,}

p_0 (x_1, x_2, \ dots, x_n) = n,

p 1 (x 1, x 2,…, xn) = x 1 + x 2 + ⋯ + xn, {\ displaystyle p_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} \,,}

p_1 (x_1, x_2, \ dots, x_n) = x_1 + x_2 + \ cdots + x_n \,,

p 2 (x 1, x 2,…, xn) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + xn 2, {\ displaystyle p_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \,,}

p_2 (x_1, x_2, \ dots, x_n) = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cdots + x_n ^ 2 \,,

p 3 (x 1, x 2,…, xn) = x 1 3 + x 2 3 + ⋯ + xn 3. {\ displaystyle p_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + \ cdots + x_ { n} ^ {3} \,.}

p_3 (x_1, x_2, \ dots, x_n) = x_1 ^ 3 + x_2 ^ 3 + \ cdots + x_n ^ 3 \,.

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа $k {\ displaystyle k}$ $k$ существует ровно один симметричный многочлен степенной суммы степени $k { \ displaystyle k}$ $k$ в $n {\ displaystyle n}$ $n$ переменных.

Кольцо полиномов , образованное путем взятия всех целочисленных линейных комбинаций произведений симметричных полиномов степенной суммы, представляет собой коммутативное кольцо.

Примеры

Следующие списки $n {\ displaystyle n}$ $n$ симметричные полиномы степенной суммы от положительных степеней вплоть до n для первых трех положительных значений $n. {\ displaystyle n.}$ $n.$ В любом случае $p 0 = n {\ displaystyle p_ {0} = n}$ $p_0 = n$ является одним из многочленов. Список увеличивается до степени n, потому что симметричные многочлены степенной суммы степеней от 1 до n являются базовыми в смысле основной теоремы, изложенной ниже.

Для n = 1:

p 1 = x 1. {\ displaystyle p_ {1} = x_ {1} \,.}

p_1 = x_1 \,.

Для n = 2:

p 1 = x 1 + x 2, {\ displaystyle p_ {1} = x_ {1} + x_ {2} \,,}

p_1 = x_1 + x_2 \,,

p 2 = x 1 2 + x 2 2. {\ displaystyle p_ {2} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \,.}

p_2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 \,.

Для n = 3:

p 1 = x 1 + x 2 + x 3, {\ displaystyle p_ {1} = x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \,,}

p_1 = x_1 + x_2 + x_3 \,,

p 2 = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2, {\ displaystyle p_ {2} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} \,,}

p_2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 \,,

p 3 = x 1 3 + x 2 3 + x 3 3, {\ displaystyle p_ {3} = x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} \,,}

p_3 = x_1 ^ 3 + x_2 ^ 3 + x_3 ^ 3 \,,

Свойства

Набор симметричных многочленов степенной суммы степеней 1, 2,..., n от n переменных порождает кольцо из симметричных многочленов от n переменных. Более конкретно:

Теорема . Кольцо симметричных многочленов с рациональными коэффициентами равно кольцу рациональных многочленов

Q [p 1,…, p n]. {\ displaystyle \ mathbb {Q} [p_ {1}, \ ldots, p_ {n}].}

\ mathbb Q [p_1, \ ldots, p_n].

То же самое верно, если коэффициенты взяты в любом поле, характеристика которого равно 0.

Однако это неверно, если коэффициенты должны быть целыми числами. Например, для n = 2 симметричный многочлен

P (x 1, x 2) = x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 + x 1 x 2 {\ displaystyle P (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} x_ {2}}

P (x_1, x_2) = x_1 ^ 2 x_2 + x_1 x_2 ^ 2 + x_1x_2

имеет выражение

P (Икс 1, Икс 2) знак равно п 1 3 - п 1 п 2 2 + п 1 2 - п 2 2, {\ displaystyle P (x_ {1}, x_ {2}) = {\ frac {p_ {1} ^ {3} -p_ {1} p_ {2}} {2}} + {\ frac {p_ {1} ^ {2} -p_ {2}} {2}} \,,}

P (x_1, x_2) = \ frac {p_1 ^ 3-p_1p_2} {2} + \ frac {p_1 ^ 2-p_2} {2} \,,

который включает фракции. Согласно теореме это единственный способ представить $P (x 1, x 2) {\ displaystyle P (x_ {1}, x_ {2})}$ $P (x_1, x_2)$ в терминах p 1 и p 2. Следовательно, P не принадлежит целочисленному кольцу многочленов $Z [p 1,…, p n]. {\ displaystyle \ mathbb {Z} [p_ {1}, \ ldots, p_ {n}].}$ $\ mathbb Z [p_1, \ ldots, p_n].$ В качестве другого примера, элементарные симметричные многочлены ek, выраженные как многочлены в полиномы степенной суммы, не все имеют целые коэффициенты. Например,

e 2: = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j = p 1 2 − p 2 2. {\displaystyle e_{2}:=\sum _{1\leq i

e_2: = \ sum_ {1 \ leq i <j \ leq n} x_ix_j = \ frac {p_1 ^ 2-p_2} {2} \,.

Теорема также неверна, если поле имеет характеристику, отличную от 0. Например, если поле F имеет характеристику 2, то $p 2 = p 1 2 {\ displaystyle p_ {2} = p_ {1} ^ {2}}$ $p_2 = p_1 ^ 2$ , поэтому p 1 и p 2 не могут генерировать e 2 = x 1x2.

Набросок частичного доказательства теоремы: Согласно тождествам Ньютона степенные суммы являются функциями элементарных симметричных многочленов; это подразумевается следующим рекуррентным соотношением, хотя явная функция, которая дает степенные суммы в терминах e j, сложна:

pn = ∑ j = 1 n ( - 1) j - 1 ejpn - j. {\ displaystyle p_ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {j-1} e_ {j} p_ {nj} \,.}

p_n = \ sum_ {j = 1} ^ n (-1) ^ {j-1} e_j p_ {nj} \,.

Переписывая то же самое повторение, один имеет элементарные симметричные полиномы в терминах степенных сумм (также неявно, явная формула усложняется):

en = 1 n ∑ j = 1 n (- 1) j - 1 en - jpj. {\ displaystyle e_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {j-1} e_ {nj} p_ {j} \,.}

e_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {j = 1} ^ n (-1) ^ {j-1} e_ {nj} p_j \,.

Отсюда следует, что элементарные многочлены являются рациональными, но не целыми, линейными комбинациями полиномов степенной суммы степеней 1,..., n. Поскольку элементарные симметричные многочлены являются алгебраическим базисом для всех симметричных многочленов с коэффициентами в поле, отсюда следует, что каждый симметричный многочлен от n переменных является полиномиальной функцией $f (p 1,…, pn) {\ displaystyle f (p_ {1}, \ ldots, p_ {n})}$ $f (p_1, \ ldots, p_n)$ симметричных многочленов p 1,..., p n с суммой степеней. То есть кольцо симметричных многочленов содержится в кольце, порожденном степенными суммами, $Q [p 1,…, p n]. {\ displaystyle \ mathbb {Q} [p_ {1}, \ ldots, p_ {n}].}$ $\ mathbb Q [p_1, \ ldots, p_n].$ Поскольку каждый полином суммы степеней симметричен, два кольца равны.

(Здесь не показано, как доказать, что многочлен f уникален.)

Для другой системы симметричных многочленов с аналогичными свойствами см. полные однородные симметричные многочлены.

Ссылки

Макдональд, И.Г. (1979), Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press.
Macdonald, I.G. (1995), Симметричные функции и многочлены Холла, второе изд. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998 г.).
Ричард П. Стэнли (1999), Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1

См. Также