Числа Стирлинга первого рода

В математике, особенно в комбинаторике, числа Стирлинга первого рода возникают при изучении перестановок. В частности, числа Стирлинга первого рода подсчитывают перестановки в соответствии с их количеством циклов (считая фиксированные точки как циклы длины один).

(Числа Стирлинга первого и второго рода можно понимать как обратные друг другу, если рассматривать их как треугольные матрицы. Эта статья посвящена специфике чисел Стирлинга первого рода. Тождества, связывающие эти два вида, появляются в статье о числах Стирлинга В основном.)

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Определения
  • 1.1 Дальнейший пример
  • 1.2 Знаки
• 2 Отношение рекуррентности
• 3 Таблица значений
• 4 свойства
  • 4.1 Простые идентичности
  • 4.2 Другие отношения
    • 4.2.1 Расширения для фиксированного k
    • 4.2.2 Факторные суммы
    • 4.2.3 Инверсионные отношения и преобразование Стирлинга
    • 4.2.4 Сопоставления
  • 4.3 Генерирующие функции
  • 4.4 Асимптотика
  • 4.5 Конечные суммы
  • 4.6 Явная формула
  • 4.7 Связь с функцией натурального логарифма
• 5 Обобщения
• 6 См. Также
• 7 ссылки

Определения

Первоначальное определение чисел Стирлинга первого рода было алгебраическим: это коэффициенты s ( n,  k) в разложении падающего факториала

${\ Displaystyle (х) _ {п} = х (х-1) (х-2) \ cdots (х-п + 1)}$

в степени переменной x:

${\ displaystyle (x) _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} s (n, k) x ^ {k},}$

Например,, что приводит к значениям, и. ${\ Displaystyle (х) _ {3} = х (х-1) (х-2) = 1 \ cdot x ^ {3} -3 \ cdot x ^ {2} +2 \ cdot x}$${\ Displaystyle s (3,3) = 1}$${\ Displaystyle s (3,2) = - 3}$${\ Displaystyle s (3,1) = 2}$

Впоследствии было обнаружено, что абсолютные значения | s ( n,  k) | из этих чисел равны количеству перестановок определенных видов. Эти абсолютные значения, которые известны как беззнаковые числа Стирлинга первого рода, часто обозначаются символом или. Они могут быть определены непосредственно как число перестановок из п элементов с к непересекающихся циклов. Так, например, из перестановок трех элементов, есть одна перестановка с тремя циклами (от идентичности перестановки, приведенных в одной строке записи с помощью или в обозначениях цикла пути), три перестановок с двумя циклами (, и) и два перестановок с один цикл ( и). Таким образом, и. Видно, что они согласуются с предыдущим вычислением for. ${\ Displaystyle с (п, к)}$${\ displaystyle \ left [{п \ на вершине k} \ right]}$ ${\ displaystyle 3! = 6}$ ${\ displaystyle 123}$ ${\ Displaystyle (1) (2) (3)}$${\ Displaystyle 132 = (1) (23)}$${\ Displaystyle 213 = (12) (3)}$${\ Displaystyle 321 = (13) (2)}$${\ displaystyle 312 = (132)}$${\ displaystyle 231 = (123)}$${\ Displaystyle \ влево [{3 \ наверху 3} \ вправо] = 1}$${\ Displaystyle \ влево [{3 \ наверху 2} \ вправо] = 3}$${\ Displaystyle \ влево [{3 \ наверху 1} \ вправо] = 2}$${\ Displaystyle s (п, к)}$${\ displaystyle n = 3}$

Беззнаковые числа Стирлинга также могут быть определены алгебраически как коэффициенты возрастающего факториала :

${\ displaystyle x ^ {\ overline {n}} = x (x + 1) \ cdots (x + n-1) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left [{n \ atop k} \ right] x ^ {k}}$.

Обозначения, используемые на этой странице для чисел Стирлинга, не являются универсальными и могут противоречить обозначениям в других источниках. (Обозначение квадратных скобок также является обычным обозначением для гауссовских коэффициентов. ) ${\ displaystyle \ left [{п \ на вершине k} \ right]}$

Дальнейший пример

с (4,2) = 11

Изображение справа показывает, что: симметричная группа на 4 объектах имеет 3 перестановки вида ${\ Displaystyle \ влево [{4 \ наверху 2} \ вправо] = 11}$

${\ Displaystyle (\ пуля \ пуля) (\ пуля \ пуля)}$ (имеющий 2 орбиты, каждая размером 2),

и 8 перестановок вида

${\ Displaystyle (\ пуля \ пуля \ пуля) (\ пуля)}$ (имеющий 1 орбиту размера 3 и 1 орбиту размера 1).

Знаки

Знаки (знаковых) чисел Стирлинга первого рода предсказуемы и зависят от четности n - k. Особенно,

${\ displaystyle s (n, k) = (- 1) ^ {nk} \ left [{n \ atop k} \ right].}$

Отношение повторения

Беззнаковые числа Стирлинга первого рода можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения

${\ Displaystyle \ влево [{п + 1 \ на вершине k} \ вправо] = п \ влево [{п \ на вершине k} \ вправо] + \ влево [{п \ на вершине k-1} \ вправо]}$

при, с начальными условиями ${\ displaystyle kgt; 0}$

${\ displaystyle \ left [{0 \ atop 0} \ right] = 1 \ quad {\ t_dv {and}} \ quad \ left [{n \ atop 0} \ right] = \ left [{0 \ atop n} \ right] = 0}$

для n gt; 0.

Отсюда сразу следует, что числа Стирлинга первого рода (со знаком) удовлетворяют рекуррентности

${\ Displaystyle s (n + 1, k) = - n \ cdot s (n, k) + s (n, k-1)}$.

Алгебраическое доказательство  -

Мы доказываем рекуррентное соотношение, используя определение чисел Стирлинга в терминах возрастающих факториалов. Распространяя последний срок продукта, мы имеем

${\ displaystyle x ^ {\ overline {n + 1}} = x (x + 1) \ cdots (x + n-1) (x + n) = n \ cdot x ^ {\ overline {n}} + x \ cdot x ^ {\ overline {n}}.}$

Коэффициент при x ^k в левой части этого уравнения равен. Коэффициент при x ^k in равен, а коэффициент при x ^k in равен. Поскольку две стороны равны как многочлены, коэффициенты при x ^k с обеих сторон должны быть равны, и результат следует. ${\ Displaystyle \ влево [{п + 1 \ на вершине k} \ вправо]}$${\ Displaystyle п \ CDOT х ^ {\ overline {п}}}$${\ Displaystyle п \ CDOT \ влево [{п \ на вершине k} \ вправо]}$${\ Displaystyle х \ cdot х ^ {\ overline {п}}}$${\ Displaystyle \ влево [{п \ на вершине к-1} \ вправо]}$

Комбинаторное доказательство  -

Мы доказываем рекуррентное соотношение, используя определение чисел Стирлинга в терминах перестановок с заданным числом циклов (или, что эквивалентно, орбит ).

Рассмотрите возможность формирования перестановки n  + 1 объектов из перестановки n объектов путем добавления выделенного объекта. Это можно сделать двумя способами. Мы могли бы сделать это, сформировав одноэлементный цикл, то есть оставив лишний объект в покое. Это увеличивает количество циклов на 1 и, таким образом, составляет член в формуле рекуррентности. Мы также можем вставить новый объект в один из существующих циклов. Рассмотрим произвольную перестановку n объектов с k циклами и пометим объекты a 1,...,  a n, так что перестановка будет представлена ​​как ${\ Displaystyle \ влево [{п \ на вершине к-1} \ вправо]}$

${\ displaystyle \ displaystyle \ underbrace {(a_ {1} \ ldots a_ {j_ {1}}) (a_ {j_ {1} +1} \ ldots a_ {j_ {2}}) \ ldots (a_ {j_ { k-1} +1} \ ldots a_ {n})} _ {k \ \ mathrm {циклы}}.}$

Чтобы сформировать новую перестановку n  + 1 объектов и k циклов, необходимо вставить новый объект в этот массив. Есть n способов выполнить эту вставку, вставив новый объект сразу после любого из n уже имеющихся. Это объясняет член рекуррентного отношения. Эти два случая включают все возможности, поэтому следует рекуррентное соотношение. ${\ Displaystyle п \ влево [{п \ на вершине k} \ вправо]}$

Таблица значений

Ниже представлен треугольный массив беззнаковых значений для чисел Стирлинга первого типа, по форме похожий на треугольник Паскаля. Эти значения легко сгенерировать с помощью отношения повторения из предыдущего раздела.

k п	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35 год	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1
7	0	720	1764	1624	735	175	21 год	1
8	0	5040	13068	13132	6769	1960 г.	322	28 год	1
9	0	40320	109584	118124	67284	22449	4536	546	36	1

Характеристики

Простые личности

Обратите внимание, что хотя

${\ Displaystyle \ влево [{0 \ наверху 0} \ вправо] = 1}$

имеем, если n gt; 0 ${\ Displaystyle \ влево [{п \ наверху 0} \ вправо] = 0}$

а также

${\ displaystyle \ left [{0 \ на вершине k} \ right] = 0}$если k gt; 0, или в более общем случае, если k gt; n.${\ Displaystyle \ влево [{п \ на вершине к} \ вправо] = 0}$

Также

${\ Displaystyle \ влево [{п \ на вершине 1} \ вправо] = (п-1)!, \ квад \ влево [{п \ на вершине п} \ вправо] = 1, \ квад \ влево [{п \ на вершине п -1} \ right] = {n \ выбрать 2},}$

а также

${\ displaystyle \ left [{n \ atop n-2} \ right] = {\ frac {1} {4}} (3n-1) {n \ select 3} \ quad {\ t_dv {and}} \ quad \ left [{n \ atop n-3} \ right] = {n \ выбрать 2} {n \ выбрать 4}.}$

Аналогичные соотношения с числами Стирлинга верны и для полиномов Бернулли. Многие соотношения для чисел Стирлинга скрывают аналогичные соотношения для биномиальных коэффициентов. Изучение этих «теневых отношений» называется теневым исчислением и завершается теорией последовательностей Шеффера. Обобщения чисел Стирлинга обоих видов на произвольные комплексные входные данные могут быть расширены через отношения этих треугольников до полиномов свертки Стирлинга.

Комбинаторные доказательства  -

Эти тождества могут быть получены путем прямого перечисления перестановок. Например, перестановка n элементов с n  - 3 циклами должна иметь одну из следующих форм:

• n  - 6 фиксированных точек и три двухцикла
• n  - 5 фиксированных точек, трехцикловый и двухцикловый, или
• n  - 4 фиксированные точки и четырехтактный.

Эти три типа можно перечислить следующим образом:

• выберите шесть элементов, которые входят в два цикла, разложите их на два цикла и примите во внимание, что порядок циклов не важен:

${\ displaystyle {n \ choose 6} {6 \ choose 2,2,2} {\ frac {1} {6}}}$

• выберите пять элементов, которые входят в три цикла и два цикла, выберите элементы из трех циклов и примите во внимание, что три элемента порождают два трех цикла:

${\ Displaystyle {п \ выбрать 5} {5 \ выбрать 3} \ раз 2}$

• выберите четыре элемента четырехциклового цикла и примите во внимание, что четыре элемента порождают шесть четырехциклов:

${\ displaystyle {n \ choose 4} \ times 6.}$

Суммируйте три вклада, чтобы получить

${\ displaystyle {n \ choose 6} {6 \ choose 2,2,2} {\ frac {1} {6}} + {n \ choose 5} {5 \ choose 3} \ times 2+ {n \ choose 4} \ times 6 = {n \ выбрать 2} {n \ выбрать 4}.}$

Обратите внимание, что все комбинаторные доказательства выше используют либо двучлены, либо многочлены от. ${\ displaystyle n}$

Следовательно, если простое, то: ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle р | \ влево [{р \ на вершине k} \ вправо]}$для. ${\ Displaystyle 1 lt;к lt;р}$

Прочие отношения

Расширения для фиксированного k

Поскольку числа Стирлинга являются коэффициенты полинома с корнями 0, 1,..., п - 1, один имеет по формулам Виета, что

$${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ nk \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {0 \ leq i_ {1} lt;i_ {2} lt;\ ldots lt;i_ {k} lt;n} i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}.}$$

Другими словами, числа Стирлинга первого рода задаются элементарными симметричными многочленами с оценками 0, 1,..., n - 1. В таком виде приведенные выше простые тождества принимают вид

$${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ n-1 \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i = {\ binom {n} {2}},}$$ $${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ n-2 \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sum _ {j = 0} ^ {i-1} ij = {\ frac {3n-1} {4}} {\ binom {n} {3}},}$$ $${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ n-3 \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sum _ {j = 0} ^ {i-1} \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} ijk = {\ binom {n} {2}} {\ binom {n} {4}},}$$ и так далее.

Можно получить альтернативные формы для чисел Стирлинга первого рода с помощью аналогичного подхода, которому предшествуют некоторые алгебраические манипуляции: поскольку

${\ displaystyle (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = (n-1)! \ cdot (x + 1) \ left ({\ frac {x} {2}} + 1 \ right) \ cdots \ left ({\ frac {x} {n-1}} + 1 \ right),}$

из формул Ньютона следует , что числа Стирлинга первого рода можно разложить по обобщенным гармоническим числам. Это дает такие тождества, как

${\ Displaystyle \ влево [{п \ наверху 2} \ вправо] = (п-1)! \; Н_ {п-1},}$

${\ displaystyle \ left [{n \ наверху 3} \ right] = {\ frac {1} {2}} (n-1)! \ left [(H_ {n-1}) ^ {2} -H_ { n-1} ^ {(2)} \ right]}$

${\ displaystyle \ left [{n \ atop 4} \ right] = {\ frac {1} {3!}} (n-1)! \ left [(H_ {n-1}) ^ {3} -3H_ {n-1} H_ {n-1} ^ {(2)} + 2H_ {n-1} ^ {(3)} \ right],}$

где H n - номер гармоники, а H n ^(m) - обобщенный номер гармоники. ${\ displaystyle H_ {n} = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + \ ldots + {\ frac {1} {n}}}$

$${\ displaystyle H_ {n} ^ {(m)} = {\ frac {1} {1 ^ {m}}} + {\ frac {1} {2 ^ {m}}} + \ ldots + {\ frac {1} {n ^ {m}}}.}$$

Эти отношения можно обобщить, чтобы дать

${\ displaystyle {\ frac {1} {(n-1)!}} \ left [{\ begin {matrix} n \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {i_ {1 } = 1} ^ {n-1} \ sum _ {i_ {2} = i_ {1} +1} ^ {n-1} \ cdots \ sum _ {i_ {k} = i_ {k-1} + 1} ^ {n-1} {\ frac {1} {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}}} = {\ frac {w (n, k)} {k!}}}$

где w ( n, m) определяется рекурсивно в терминах обобщенных гармонических чисел формулой

${\ displaystyle w (n, m) = \ delta _ {m, 0} + \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} (1-m) _ {k} H_ {n-1} ^ { (k + 1)} w (n, m-1-k).}$

(Здесь δ является дельта - функция Кронекера, и это символ похгаммера. ) ${\ Displaystyle (м) _ {к}}$

Для фиксированных значений эти взвешенные разложения гармонических чисел генерируются производящей функцией ${\ Displaystyle п \ geq 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ k \ end {matrix}} \ right] = [x ^ {k}] \ exp \ left (\ sum _ {m \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {m-1} H_ {n} ^ {(m)}} {m}} x ^ {m} \ right),}$

где обозначение означает извлечение коэффициента из следующего формального степенного ряда (см. неэкспоненциальные полиномы Белла и раздел 3). ${\ Displaystyle [х ^ {к}]}$${\ displaystyle x ^ {k}}$

В более общем смысле, суммы, относящиеся к этим взвешенным разложениям гармонических чисел для чисел Стирлинга первого рода, могут быть определены с помощью преобразований в обобщенные дзета-ряды производящих функций.

Можно также «инвертировать» соотношения для этих чисел Стирлинга, заданные в терминах номеров гармоник -порядка, чтобы записать обобщенные гармонические числа целого порядка в терминах взвешенных сумм членов, включающих числа Стирлинга первого рода. Например, когда числа гармоник второго и третьего порядка задаются выражением ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 2,3}$

${\ displaystyle (n!) ^ {2} \ cdot H_ {n} ^ {(2)} = \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 2 \ end {matrix}} \ right] ^ { 2} -2 \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 1 \ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 3 \ end {matrix}} \ Правильно]}$

${\ displaystyle (n!) ^ {3} \ cdot H_ {n} ^ {(3)} = \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 2 \ end {matrix}} \ right] ^ { 3} -3 \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 1 \ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 2 \ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 3 \ end {matrix}} \ right] +3 \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 1 \ end {matrix}} \ right] ^ {2} \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 4 \ end {matrix}} \ right].}$

В более общем смысле, можно инвертировать производящую функцию полинома Белла для чисел Стирлинга, развернутых в терминах гармонических чисел -порядка, чтобы получить такую функцию для целых чисел${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m \ geq 2}$

${\ displaystyle H_ {n} ^ {(m)} = - m \ times [x ^ {m}] \ log \ left (1+ \ sum _ {k \ geq 1} \ left [{\ begin {matrix}} n + 1 \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right] {\ frac {(-x) ^ {k}} {n!}} \ right).}$

Факторные суммы

Для всех положительных целых m и n один имеет

$${\ displaystyle (n + m)! = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {m} m ^ {\ overline {nk}} \ left [{m \ attop j} \ right] {\ binom {n} {k}} k !,}$$

где - возрастающий факториал. Эта формула является двойным результатом Спайви для чисел Белла. ${\ Displaystyle а ^ {\ overline {b}} = а (а + 1) \ cdots (а + b-1)}$

Другие связанные формулы, включающие падающие факториалы, числа Стирлинга первого рода и в некоторых случаях числа Стирлинга второго рода, включают следующее:

$${\ displaystyle {\ begin {align} n ^ {\ underline {nm}} amp; = \ sum _ {k} \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right] \ left \ {{\ begin {matrix} k \\ m \ end {matrix}} \ right \} (- 1) ^ {mk} \\ {\ binom {n} {m}} (n-1) ^ {\ underline {nm}} amp; = \ sum _ {k} \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] \ left \ {{\ begin {matrix} k \\ m \ end {matrix}} \ right \} \\ {\ binom {n} {m}} amp; = \ sum _ {k} \ left \ {{\ begin {matrix} n + 1 \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right \} \ left [{\ begin {matrix} k \\ m \ end {matrix}} \ right] (- 1) ^ {mk} \\\ left [{\ begin { матрица} n + 1 \\ m + 1 \ end {matrix}} \ right] amp; = \ sum _ {0 \ leq k \ leq n} \ left [{\ begin {matrix} k \\ m \ end {матрица }} \ right] n ^ {\ underline {nk}}. \ end {align}}}$$

Отношения инверсии и преобразование Стирлинга

Для любой пары последовательностей и, связанных конечной суммой формулы числа Стирлинга, заданной формулой ${\ Displaystyle \ {е_ {п} \}}$${\ displaystyle \ {g_ {n} \}}$

${\ displaystyle g_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left \ {{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \} f_ {k},}$

для всех целых чисел, у нас есть соответствующая формула обращения для, заданного как ${\ Displaystyle п \ geq 0}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$

${\ displaystyle f_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] (- 1) ^ {nk} g_ {k}.}$

Эти отношения инверсии между двумя последовательностями переводятся в функциональные уравнения между экспоненциальными производящими функциями последовательности, заданными преобразованием Стирлинга (производящая функция) как

${\ displaystyle {\ widehat {G}} (z) = {\ widehat {F}} \ left (e ^ {z} -1 \ right)}$

а также

${\ displaystyle {\ widehat {F}} (z) = {\ widehat {G}} \ left (\ log (1 + z) \ right).}$

В дифференциальные операторы и связаны следующими формулами для всех целых чисел: ${\ Displaystyle D = d / dx}$${\ Displaystyle \ vartheta = zD}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$

${\ displaystyle \ vartheta ^ {n} = \ sum _ {k} S (n, k) z ^ {k} D ^ {k}}$

${\ displaystyle z ^ {n} D ^ {n} = \ sum _ {k} s (n, k) \ vartheta ^ {k}}$

Другая пара отношений « инверсии », включающая числа Стирлинга, связывает прямые разности и обычные производные функции, которая является аналитической для всех формулами ${\ displaystyle n ^ {th}}$ ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {k!}} {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} f (x) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {s (n, k)} {n!}} \ Delta ^ {n} f (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {k!}} \ Delta ^ {k} f (x) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {S (n, k)} { n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} f (x).}$

Сравнения

Следующее совпадение может быть доказано с помощью подхода, основанного на производящей функции :

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equ {\ binom {\ lfloor n / 2 \ rfloor} {m- \ lceil n / 2 \ rceil}} = [x ^ {m}] \ left (x ^ {\ lceil n / 2 \ rceil} (x + 1) ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} \ right) amp;amp; { \ pmod {2}}, \ end {выровнены}}}$

Более свежие результаты, дающие J-дроби типа Якоби, которые генерируют единственную факториальную функцию и обобщенные факториальные произведения, приводят к другим новым результатам сравнения для чисел Стирлинга первого рода. Например, работая по модулю, мы можем доказать, что ${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {matrix} n \\ 1 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv {\ frac {2 ^ {n}} {4}} [n \ geq 2] + [n = 1] amp;amp; {\ pmod {2}} \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ 2 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv {\ frac {3 \ cdot 2 ^ {n}} {16}} (n-1) [n \ geq 3] + [n = 2] amp;amp; {\ pmod {2}} \\\ left [{\ begin {matrix} n \ \ 3 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv 2 ^ {n-7} (9n-20) (n-1) [n \ geq 4] + [n = 3] amp;amp; {\ pmod {2} } \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ 4 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv 2 ^ {n-9} (3n-10) (3n-7) (n-1) [n \ geq 5] + [n = 4] amp;amp; {\ pmod {2}} \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ 5 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv 2 ^ { n-13} (27n ^ {3} -279n ^ {2} + 934n-1008) (n-1) [n \ geq 6] + [n = 5] amp;amp; {\ pmod {2}} \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ 6 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv {\ frac {2 ^ {n-15}} {5}} (9n ^ {2} -71n + 120) (3n-14) (3n-11) (n-1) [n \ geq 7] + [n = 6] amp;amp; {\ pmod {2}}, \ end {align}}}$

и работая по модулю, мы можем аналогично доказать, что ${\ displaystyle 3}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {matrix} n \\ 1 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv \ sum \ limits _ {j = \ pm 1} {\ frac { 1} {36}} \ left (9-5j {\ sqrt {3}} \ right) \ times \ left (3 + j {\ sqrt {3}} \ right) ^ {n} [n \ geq 2] + [n = 1] amp;amp; {\ pmod {3}} \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ 2 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv \ sum \ limits _ {j = \ pm 1} {\ frac {1} {216}} \ left ((44n-41) - (25n-24) \ cdot j {\ sqrt {3}} \ right) \ times \ left (3 + j {\ sqrt {3}} \ right) ^ {n} [n \ geq 3] + [n = 2] amp;amp; {\ pmod {3}} \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ 3 \ end { матрица}} \ right] amp; \ Equiv \ sum \ limits _ {j = \ pm 1} {\ frac {1} {15552}} \ left ((1299n ^ {2} -3837n + 2412) - (745n ^ { 2} -2217n + 1418) \ cdot j {\ sqrt {3}} \ right) \ times \ left (3 + j {\ sqrt {3}} \ right) ^ {n} [n \ geq 4] + [ n = 3] amp;amp; {\ pmod {3}} \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ 4 \ end {matrix}} \ right] amp; \ Equiv \ sum \ limits _ {j = \ pm 1 } {\ frac {1} {179936}} {\ bigl (} (6409n ^ {3} -383778n ^ {2} + 70901n-37092) - (3690n ^ {3} -22374n ^ {2} + 41088n-21708) \ cdot j {\ sqrt {3}} {\ bigr)} \ times \ left (3 + j {\ sqrt {3}} \ right) ^ {n} [n \ geq 5] + [n = 4] amp;amp; {\ pmod {3}}. \ end {выравнивается}}}$

В более общем смысле, для фиксированных целых чисел, если мы определяем упорядоченные корни ${\ displaystyle h \ geq 3}$

${\ displaystyle \ left (\ omega _ {h, i} \ right) _ {i = 1} ^ {h-1}: = \ left \ {\ omega _ {j}: \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} {\ binom {h-1} {i}} {\ frac {h!} {(i + 1)!}} (- \ omega _ {j}) ^ {i} = 0, \ 1 \ leq j lt;h \ right \},}$

тогда мы можем расширить сравнения для этих чисел Стирлинга, определенных как коэффициенты

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right] = [R ^ {m}] R (R + 1) \ cdots (R + n-1),}$

в следующем виде, где функция,, обозначает фиксированную полиномы степени в течение каждого, и: ${\ Displaystyle р_ {ч, я} ^ {[м]} (п)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right] = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {h-1} p_ {h, i} ^ {[m]} (n) \ times \ omega _ {h, i} ^ {n} \ right) [ngt; m] + [n = m] \ qquad {\ pmod {h}},}$

Раздел 6.2 ссылки упоминавшегося выше обеспечивает более явные разложения, связанные с этими сравнениями для -порядка гармонических чисел и для обобщенных факторных продуктов,. В предыдущих примерах обозначение обозначает соглашение Айверсона. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle p_ {n} (\ alpha, R): = R (R + \ alpha) \ cdots (R + (n-1) \ alpha)}$${\ displaystyle [{\ mathtt {cond}}]}$

Производящие функции

Множество тождеств можно получить, управляя производящей функцией :

${\ displaystyle H (z, u) = (1 + z) ^ {u} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {u \ choose n} z ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ Sum _ {k = 0} ^ {n} s (n, k) u ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} u ^ {k} \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} s (n, k). }$

Используя равенство

${\ Displaystyle (1 + Z) ^ {u} = е ^ {u \ log (1 + z)} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (\ log (1 + z)) ^ { k} {\ frac {u ^ {k}} {k!}},}$

следует, что

${\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} (- 1) ^ {nk} \ left [{n \ atop k} \ right] {\ frac {z ^ {n}} {n!} } = {\ frac {\ left (\ log (1 + z) \ right) ^ {k}} {k!}}.}$

(Это тождество справедливо для формальных степенных рядов, и сумма сходится в комплексной плоскости при | z | lt;1.) Другие тождества возникают при изменении порядка суммирования, взятии производных, замене z или u и т. Д. Например,, мы можем получить:

${\ displaystyle (1-z) ^ {- u} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} u ^ {k} \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ left [{n \ atop k} \ right] = e ^ {u \ log (1 / (1-z))}}$

а также

${\ displaystyle {\ frac {\ log ^ {m} (1 + z)} {1 + z}} = m! \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {s (k + 1, m + 1) \, z ^ {k}} {k!}}, \ qquad m = 1,2,3, \ ldots \ quad | z | lt;1}$

или

${\ displaystyle \ sum _ {n = i} ^ {\ infty} {\ frac {\ left [{n \ atop i} \ right]} {n \, (n!)}} = \ zeta (i + 1), \ qquad i = 1,2,3, \ ldots}$

а также

${\ displaystyle \ sum _ {n = i} ^ {\ infty} {\ frac {\ left [{n \ atop i} \ right]} {n \, (v) _ {n}}} = \ zeta ( i + 1, v), \ qquad i = 1,2,3, \ ldots \ quad \ Re (v)gt; 0}$

где и являются дзета - функция Римана, а функция Гурвица дзета соответственно, и даже оценить этот интеграл ${\ Displaystyle \ zeta (к)}$${\ Displaystyle \ zeta (к, v)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ log ^ {z} (1-x)} {x ^ {k}}} \, dx = {\ frac {(-1) ^ {z} \ Gamma (z + 1)} {(k-1)!}} \ sum _ {r = 1} ^ {k-1} s (k-1, r) \ sum _ {m = 0} ^ {r} {\ binom {r} {m}} (k-2) ^ {rm} \ zeta (z + 1-m), \ qquad \ Re (z)gt; k-1, \ quad k = 3, 4,5, \ ldots}$

где - гамма-функция. Существуют также более сложные выражения для дзета-функций, включающие числа Стирлинга. У одного, например, есть ${\ Displaystyle \ Gamma (г)}$

${\ displaystyle {\ frac {k!} {(sk) _ {k}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + k)!}} \ left [{n + k \ atop n} \ right] \ sum _ {l = 0} ^ {n + k-1} \! (- 1) ^ {l} {\ binom {n + k-1} {l }} (l + v) ^ {ks} = \ zeta (s, v), \ quad k = 1,2,3, \ ldots}$

Этот ряд обобщает ряд Хассе для дзета-функции Гурвица (мы получаем ряд Хассе, полагая k = 1).

Асимптотика

Применяется следующая оценка, представленная в терминах гамма-константы Эйлера :

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right] \ sim {\ frac {n!} {k!}} \ left (\ gamma + \ ln n \ right) ^ {k}, \ {\ text {равномерно для}} k = o (\ ln n).}$

Для фиксированного мы имеем следующую оценку как: ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle к \ longrightarrow \ infty}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n + k \\ k \ end {matrix}} \ right] \ sim {\ frac {k ^ {2n}} {2 ^ {n} n!}}. }$

Мы также можем применить асимптотические методы седловой точки из статьи Темме, чтобы получить другие оценки для чисел Стирлинга первого рода. Эти оценки сложнее сформулировать. Тем не менее, мы приводим пример. В частности, мы определяем логарифмическую гамма-функцию, производные высшего порядка которой задаются в терминах полигамма-функций как ${\ Displaystyle \ фи (х)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ phi (x) amp; = \ ln \ left [(1 + 1) (x + 2) \ cdots (x + n) \ right] -m \ ln x \\ amp; = \ ln \ Gamma (x + n + 1) - \ ln \ Gamma (x + 1) -m \ ln x \\\ phi ^ {\ prime} (x) amp; = \ psi (x + n + 1) - \ psi (x + 1) -m / x, \ end {выровнено}}}$

где мы считаем (единственной) седловой точкой функции решение, когда. Тогда для и константы ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle \ phi ^ {\ prime} (х) = 0}$${\ Displaystyle 1 \ Leq м \ Leq п}$${\ displaystyle t_ {0} = м / (нм)}$

${\ displaystyle B = \ phi (x_ {0}) - n \ ln (1 + t_ {0}) + m \ ln t_ {0}}$

${\ displaystyle g (t_ {0}) = {\ frac {1} {x_ {0}}} {\ sqrt {\ frac {m (nm)} {n \ phi ^ {\ prime \ prime} (x_ { 0})}}},}$

имеем следующую асимптотическую оценку: ${\ displaystyle n \ longrightarrow \ infty}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ m + 1 \ end {matrix}} \ right] \ sim e ^ {B} g (t_ {0}) {\ binom {n} { m}}.}$

Конечные суммы

Поскольку перестановки разбиваются по количеству циклов,

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left [{n \ atop k} \ right] = n!}$

Личность

${\ displaystyle \ sum _ {p = k} ^ {n} {\ left [{n \ attop p} \ right] {\ binom {p} {k}}} = \ left [{n + 1 \ attop k +1} \ right]}$

могут быть доказаны методами, описанными на странице Числа Стирлинга и экспоненциальные производящие функции.

Таблица в разделе 6.1 « Конкретной математики» предоставляет множество обобщенных форм конечных сумм, включающих числа Стирлинга. Несколько конкретных конечных сумм, относящихся к этой статье, включают

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right] amp; = \ sum _ {k} \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right] {\ binom {k} {m}} (- 1) ^ {mk} \\\ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ m +1 \ end {matrix}} \ right] amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left [{\ begin {matrix} k \\ m \ end {matrix}} \ right] {\ frac {n!} {k!}} \\\ left [{\ begin {matrix} m + n + 1 \\ m \ end {matrix}} \ right] amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {m } (n + k) \ left [{\ begin {matrix} n + k \\ k \ end {matrix}} \ right] \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ l + m \ end { матрица}} \ right] {\ binom {l + m} {l}} amp; = \ sum _ {k} \ left [{\ begin {matrix} k \\ l \ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} nk \\ m \ end {matrix}} \ right] {\ binom {n} {k}}. \ end {выравнивается}}}$

Другие тождества с конечной суммой, включающие подписанные числа Стирлинга первого рода, найденные, например, в Справочнике математических функций NIST (раздел 26.8), включают следующие суммы:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ binom {k} {h}} s (n, k) amp; = \ sum _ {j = kh} ^ {nh} {\ binom {n} {j}} s (nj, h) s (j, kh) \\ s (n + 1, k + 1) amp; = n! \ times \ sum _ {j = k} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {nj}} {j!}} s (j, k) \\ s (n, nk) amp; = \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} {\ binom {n -1 + j} {k + j}} {\ binom {n + k} {kj}} S (k + j, j) \\ s (n, k) amp; = \ sum _ {j = k} ^ {n} s (n + 1, j + 1) n ^ {jk}. \ end {выравнивается}}}$

Кроме того, если мы определим числа Эйлера второго порядка треугольным рекуррентным соотношением

${\ Displaystyle E_ {2} (n, k) = (k + 1) E_ {2} (n-1, k) + (2n-1-k) E_ {2} (n-1, k-1) + \ delta _ {n, 0} \ delta _ {k, 0},}$

мы приходим к следующему тождеству, связанному с формой полиномов свертки Стирлинга, которые можно использовать для обобщения обоих треугольников чисел Стирлинга на произвольные действительные или комплексные значения входных данных: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} x \\ xn \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {k} E_ {2} (n, k) {\ binom {x + k} { 2n}}.}$

Конкретные расширения предыдущего тождества приводят к следующим тождествам, расширяющим числа Стирлинга первого рода для первых нескольких небольших значений: ${\ displaystyle n: = 1,2,3}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {matrix} x \\ x-1 \ end {matrix}} \ right] amp; = {\ binom {x} {2}} \\\ left [ {\ begin {matrix} x \\ x-2 \ end {matrix}} \ right] amp; = {\ binom {x} {4}} + 2 {\ binom {x + 1} {4}} \\\ left [{\ begin {matrix} x \\ x-3 \ end {matrix}} \ right] amp; = {\ binom {x} {6}} + 8 {\ binom {x + 1} {6}} + 6 {\ binom {x + 2} {6}}. \ End {align}}}$

Программные средства для работы с конечными суммами с участием числа Стирлинга и числа эйлерова обеспечивается пакет RISC Stirling.m утилита в системе Mathematica. Другие программные пакеты для угадывания формул для последовательностей (и сумм полиномиальных последовательностей), включающие числа Стирлинга и другие специальные треугольники, доступны как для Mathematica, так и для Sage здесь и здесь, соответственно.

Кроме того, бесконечные ряды, включающие конечные суммы с числами Стирлинга, часто приводят к специальным функциям. Например

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \! {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} \ cdot {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {l = 1} ^ {n} \! {\ frac {s (n, l)} {l + k}} = \ sum _ {l = 2} ^ {\ infty} \! {\ frac {(-1) ^ {l} \ cdot \ zeta (l)} {l + k-1}} = {\ frac {1} {k-1}} - {\ frac {\ ln 2 \ pi} { k}} + {\ frac {\ gamma} {2}} + \! \! \! \! \ sum _ {l = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {1} {2}} (k-1) \ rfloor} \! \! \! \! (- 1) ^ {l} {\ binom {k-1} {2l-1}} {\ frac {(2l)! \ cdot \ zeta '(2l) } {l \ cdot (2 \ pi) ^ {2l}}} + \! \! \ sum _ {l = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {1} {2}} k \ rfloor -1} \ ! \! (- 1) ^ {l} {\ binom {k-1} {2l}} {\ frac {(2l)! \ Cdot \ zeta (2l + 1)} {2 \ cdot (2 \ pi) ^ {2l}}}}$

или

${\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) = \ left (z - {\ frac {1} {2}} \ right) \! \ ln z-z + {\ frac {1} {2}} \ ln 2 \ pi + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ cdot n!}} \! \ sum _ {l = 0} ^ {\ lfloor {\ frac {1} {2}} n \ rfloor} \! {\ frac {(-1) ^ {l} (2l)!} {(2 \ pi z) ^ {2l + 1} }} \ left [{n \ наверху 2l + 1} \ right]}$

а также

${\ displaystyle \ Psi (z) = \ ln z - {\ frac {1} {2z}} - {\ frac {1} {\ pi z}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {1} {n \ cdot n!}} \! \ sum _ {l = 0} ^ {\ lfloor {\ frac {1} {2}} n \ rfloor} \! {\ frac {(-1) ^ {l} (2l + 1)!} {(2 \ pi z) ^ {2l + 1}}} \ left [{n \ atop 2l + 1} \ right]}$

или даже

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {m, 0} + {\ frac {(-1) ^ {m} m!} {\ pi}} \ ! \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ cdot n!}} \! \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor {\ frac {1} {2 }} n \ rfloor} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2 \ pi) ^ {2k + 1}}} \ left [{2k + 2 \ attop m + 1} \ right] \ влево [{п \ наверху 2k + 1} \ вправо] \,}$

где γ m - константы Стилтьеса, а δ m, 0 - дельта-функция Кронекера.

Явная формула

Число Стирлинга s (n, np) можно найти по формуле

${\ displaystyle {\ begin {align} s (n, np) amp; = {\ frac {1} {(np-1)!}} \ sum _ {0 \ leq k_ {1}, \ ldots, k_ {p }: \ sum _ {1} ^ {p} mk_ {m} = p} (- 1) ^ {K} {\ frac {(n + K-1)!} {k_ {1}! k_ {2} ! \ cdots k_ {p}! ~ 2! ^ {k_ {1}} 3! ^ {k_ {2}} \ cdots (p + 1)! ^ {k_ {p}}}}, \ end {выровнено} }}$

где сумма представляет собой сумму по всем разделам на р. ${\ displaystyle K = k_ {1} + \ cdots + k_ {p}.}$

Другое точное разложение вложенной суммы для этих чисел Стирлинга вычисляется с помощью элементарных симметричных многочленов, соответствующих коэффициентам в произведении указанной формы. В частности, мы видим, что ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (1 + c_ {1} x) \ cdots (1 + c_ {n-1} x)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {matrix} n \\ k + 1 \ end {matrix}} \ right] amp; = [x ^ {k}] (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = (n-1)! \ Cdot [x ^ {k}] (x + 1) \ left ({\ frac {x} {2}} + 1 \ right) \ cdots \ left ({\ frac {x} {n-1}} + 1 \ right) \\ amp; = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} lt;\ cdots lt;i_ {k} lt;n} {\ гидроразрыв {(n-1)!} {i_ {1} \ cdots i_ {k}}}. \ end {align}}}$

Тождества Ньютона в сочетании с вышеупомянутыми разложениями могут использоваться, чтобы дать альтернативное доказательство взвешенных разложений, включающих уже отмеченные выше обобщенные гармонические числа.

Еще одна явная формула для взаимных полномочий по п задается следующей идентичности для целых чисел: ${\ displaystyle p \ geq 2}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {n ^ {p}}} = {\ frac {1} {n ^ {p-1}}} + {\ frac {(-1) ^ {p-1}} {n!}} \ left ({\ begin {bmatrix} n \\ p \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} n \\ p-1 \ end {bmatrix}} \ right) + {\ frac {(-1) ^ {p}} {n \ cdot n!}} {\ Begin {bmatrix} n + 1 \\ p \ end {bmatrix}} + \ sum _ {j = 0} ^ {p-3 } {\ begin {bmatrix} n + 1 \\ j + 2 \ end {bmatrix}} {\ frac {(-1) ^ {j + 1} (n-1)} {n ^ {p-1-j } \ cdot n!}}.}$

Обратите внимание, что это последнее тождество непосредственно подразумевает отношения между функциями полилогарифма, экспоненциальными производящими функциями числа Стирлинга, приведенными выше, и степенным рядом на основе числа Стирлинга для обобщенных функций полилогарифма Нильсена.

Связь с функцией натурального логарифма

П - й производная от ц й степени натурального логарифма включает подписанные числа Стирлинга первого рода:

${\ displaystyle {\ operatorname {d} ^ {n} \! (\ ln x) ^ {\ mu} \ over \ operatorname {d} \! x ^ {n}} = x ^ {- n} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mu ^ {\ underline {k}} s (n, n-k + 1) (\ ln x) ^ {\ mu -k},}$

где - падающий факториал, а - число Стирлинга со знаком. ${\ displaystyle \ mu ^ {\ underline {i}}}$ ${\ Displaystyle s (п, п-к + 1)}$

Это можно доказать с помощью математической индукции.

Обобщения

Существует множество понятий обобщенных чисел Стирлинга, которые могут быть определены (в зависимости от приложения) в ряде различных комбинаторных контекстов. В так много, как числах Стирлинга первого рода соответствует коэффициентам различных полиномиальных разложений одной функции факториала, мы можем расширить это понятие, чтобы определить треугольные рекуррентные соотношения для более общих классов продуктов. ${\ Displaystyle п! = п (п-1) (п-2) \ cdots 2 \ cdot 1}$

В частности, для любой фиксированной арифметической функции и символьных параметров связанные обобщенные факториальные произведения вида ${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {C}}$${\ displaystyle x, t}$

${\ displaystyle (x) _ {n, f, t}: = \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (x + {\ frac {f (k)} {t ^ {k}}) }\Правильно)}$

могут быть изучены с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода, определяемых следующими коэффициентами при степенях в разложениях, а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением: ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (х) _ {п, е, т}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {f, t} amp; = [x ^ {k-1}] (x) _ {n, f, t} \\ amp; = f (n-1) t ^ {1-n} \ left [{\ begin {matrix} n-1 \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {f, t} + \ left [{\ begin {matrix} n-1 \\ k-1 \ end {matrix}} \ right] _ {f, t} + \ delta _ {n, 0} \ delta _ {к, 0}. \ end {выравнивается}}}$

Эти коэффициенты удовлетворяют ряд аналогичных свойств тем для чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентных соотношений и функциональных уравнений, связанных с F-гармонические числами,. ${\ displaystyle F_ {n} ^ {(r)} (t): = \ sum _ {k \ leq n} t ^ {k} / f (k) ^ {r}}$

Один частный случай этих заключенных в скобки коэффициентов, соответствующих для, позволяет нам раскрыть множественные факториалы или многофакторные функции как полиномы в (см. Обобщения двойного факториала ). ${\ Displaystyle т \ эквив 1}$ ${\ displaystyle n}$

Эти числа Стирлинга обоих видов, то биномиальных коэффициентов, а также первого и второго порядка Eulerian числа все определены специальными случаями треугольной супер-повторения формы

${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right | = (\ alpha n + \ beta k + \ gamma) \ left | {\ begin {matrix} n-1 \\ k \ end {matrix}} \ right | + (\ alpha ^ {\ prime} n + \ beta ^ {\ prime} k + \ gamma ^ {\ prime}) \ left | {\ begin {matrix} n-1 \\ k-1 \ end {matrix}} \ right | + \ delta _ {n, 0} \ delta _ {k, 0},}$

для целых чисел и где когда либо или. В этом смысле форма чисел Стирлинга первого рода также может быть обобщена с помощью этой параметризованной супер-рекуррентности для фиксированных скаляров (не всех нулевых). ${\ Displaystyle п, к \ geq 0}$${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right | \ эквив 0}$${\ displaystyle n lt;0}$${\ displaystyle k lt;0}$${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, \ гамма, \ альфа ^ {\ прайм}, \ бета ^ {\ прайм}, \ гамма ^ {\ прайм}}$

Смотрите также

• Полиномы Стирлинга
• Числа Стирлинга
• Числа Стирлинга второго рода
• Статистика случайных перестановок

использованная литература

• Искусство программирования
• Конкретная математика
• М. Абрамовиц, И. Стегун, изд. (1972). «§24.1.3. Числа Стирлинга первого рода». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (9-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. п. 824.
• Числа Стирлинга первого рода, s (n, k) в PlanetMath. .
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A008275 (треугольник, читаемый строками чисел Стирлинга первого рода)». Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.