Подвижность электронов

редактировать

В физике твердого тела подвижность электронов характеризует, насколько быстро электрон может перемещаться через металл или полупроводник, будучи притянутым электрическим полем. Для дырок существует аналогичная величина, называемая подвижностью дырок . Термин подвижность носителей в целом относится как к подвижности электронов, так и дырок.

Подвижность электронов и дырок является частным случаем электрической подвижности заряженных частиц в жидкости под действием приложенного электрического поля.

Когда электрическое поле E применяется к куску материала, электроны реагируют движением со средней скоростью, называемой дрейфовой скоростью, $vd {\ displaystyle \, v_ { d}}$ $\,v_{d}$ . Тогда подвижность электронов μ определяется как

v d = μ E {\ displaystyle \, v_ {d} = \ mu E}

\,v_{d}=\mu E

Подвижность электронов почти всегда указывается в единицах cm /(V ⋅s ). Это отличается от единицы мобильности SI, m /(V ⋅s ). Они связаны соотношением 1 м / (В⋅с) = 10 см / (В⋅с).

Электропроводность пропорциональна произведению подвижности и концентрации носителей. Например, одна и та же проводимость может исходить от небольшого числа электронов с высокой подвижностью для каждого или от большого количества электронов с небольшой подвижностью для каждого. Для металлов обычно не имеет значения, какой из них имеет место, поскольку большинство электрических свойств металлов зависит только от проводимости. Поэтому в физике металлов мобильность относительно не важна. С другой стороны, для полупроводников поведение транзисторов и других устройств может сильно отличаться в зависимости от того, много ли электронов с низкой подвижностью или мало электронов с высокой подвижностью. Поэтому подвижность - очень важный параметр для полупроводниковых материалов. Практически всегда более высокая мобильность приводит к лучшей производительности устройства при прочих равных условиях.

Подвижность полупроводников зависит от концентраций примесей (включая концентрации доноров и акцепторов), концентрации дефектов, температуры и концентраций электронов и дырок. Это также зависит от электрического поля, особенно в сильных полях, когда происходит насыщение скорости. Его можно определить по эффекту Холла или по поведению транзистора.

Содержание

1 Введение
- 1.1 Скорость дрейфа в электрическом поле
- 1.2 Определение и единицы измерения
- 1.3 Связь с проводимостью
2 Примеры
3 Зависимость от электрического поля и насыщение скорости
4 Связь между рассеянием и подвижностью
- 4.1 Рассеяние на ионизованной примеси
- 4.2 Рассеяние на решетке (фононах)
- 4.3 Пьезоэлектрическое рассеяние
- 4.4 Рассеяние на шероховатости поверхности
- 4.5 Рассеяние на сплавах
- 4.6 Неупругое рассеяние
- 4.7 Электрон-электронное рассеяние
- 4.8 Связь между подвижностью и временем рассеяния
- 4.9 Правило Маттиссена
- 4.10 Температурная зависимость подвижности
5 Измерение подвижности полупроводников
- 5.1 Холловская подвижность
- 5.2 Поле- эффект подвижности
  - 5.2.1 Использование режима насыщения
  - 5.2.2 Использование линейной области
- 5.3 Оптическая подвижность
- 5.4 Терагерцовая подвижность
6 Зависимость концентрации легирования в сильно легированном кремнии
7 См. также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Введение

Скорость дрейфа в электрическом c field

Без какого-либо приложенного электрического поля в твердом теле электроны и дыры перемещаются случайным образом. Следовательно, в среднем не будет общего движения носителей заряда в каком-либо конкретном направлении с течением времени.

Однако при приложении электрического поля каждый электрон или дырка ускоряется электрическим полем. Если бы электрон находился в вакууме, он бы ускорялся до постоянно увеличивающейся скорости (так называемый баллистический перенос ). Однако в твердом теле электрон многократно рассеивает кристаллические дефекты, фононы, примеси и т.д., так что он теряет некоторую энергию и меняет направление. В результате электрон движется с конечной средней скоростью, называемой дрейфовой скоростью. Это чистое движение электронов обычно намного медленнее, чем обычно происходящее случайное движение.

Два носителя заряда, электрон и дырка, обычно имеют разные скорости дрейфа для одного и того же электрического поля.

Квази баллистический перенос возможен в твердых телах, если электроны ускоряются на очень малом расстоянии (такое маленькое, как длина свободного пробега ) или при очень большом короткое время (такое короткое, как среднее свободное время ). В этих случаях скорость дрейфа и подвижность не имеют значения.

Определение и единицы измерения

Подвижность электронов определяется уравнением:

vd = μ E {\ displaystyle \, v_ {d} = \ mu E}

\,v_{d}=\mu E

где:

E - величина электрического поля, приложенного к материалу,

vd- величина скорости дрейфа электронов (другими словами, дрейф электронов скорость ), вызванный электрическим полем, и

µ - подвижность электронов.

Подвижность дырок определяется тем же уравнением. Подвижности электронов и дырок по определению положительны.

Обычно скорость дрейфа электронов в материале прямо пропорциональна электрическому полю, что означает, что подвижность электронов постоянна (не зависит от электрического поля). Когда это не так (например, в очень больших электрических полях), подвижность зависит от электрического поля.

Единица измерения скорости в системе СИ: м / с, а единица измерения электрического поля в системе СИ - V /m. Следовательно, единица измерения мобильности в системе СИ - (м / с) / (В / м) = m /(V ⋅s ). Однако гораздо чаще подвижность выражается в см / (В⋅с) = 10 м / (В⋅с).

Подвижность обычно сильно зависит от примесей материала и температуры и определяется эмпирически. Значения мобильности обычно представлены в виде таблицы или диаграммы. Подвижность также различна для электронов и дырок в данном материале.

Связь с проводимостью

Между подвижностью и электропроводностью существует простая связь. Пусть n будет числовой плотностью (концентрацией) электронов, и пусть μ e будет их подвижностью. В электрическом поле E каждый из этих электронов будет двигаться с вектором скорости $- μ e E {\ displaystyle - \ mu _ {e} \ mathbf {E}}$ $-\mu _{e}\mathbf {E}$ для общей плотности тока $ne μ e E {\ displaystyle ne \ mu _ {e} \ mathbf {E}}$ $ne\mu _{e}\mathbf {E}$ (где e - элементарный заряд ). Следовательно, электрическая проводимость σ удовлетворяет:

σ = n e μ e {\ displaystyle \ sigma = ne \ mu _ {e}}

\sigma =ne\mu _{e}

Эта формула верна, когда проводимость полностью обусловлена электронами. В полупроводнике p-типа проводимость обусловлена дырками, но формула по существу та же: если «p» - концентрация дырок, а μ h - дырка подвижности, тогда проводимость равна

σ = pe μ h {\ displaystyle \ sigma = pe \ mu _ {h}}

\sigma =pe\mu _{h}

Если в полупроводнике есть и электроны, и дырки, общая проводимость

σ = e (n μ e + p μ h). {\ displaystyle \ sigma = e (n \ mu _ {e} + p \ mu _ {h}).}

\sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h}).

Примеры

Типичная подвижность электронов при комнатной температуре (300 K) в таких металлах, как золото, медь и серебро составляет 30-50 см / (В⋅с). Подвижность носителей в полупроводниках зависит от легирования. В кремнии (Si) подвижность электронов составляет порядка 1000, в германии - около 4000, а в арсениде галлия - до 10000 см / (В · с). Подвижность дырок обычно ниже и колеблется от примерно 100 см / (В · с) в арсениде галлия до 450 в кремнии и 2000 в германии.

Очень высокая подвижность была обнаружена в нескольких сверхчистых низкоразмерных системах, такие как двумерные электронные газы (2DEG ) (35000000 см / (В · с) при низкой температуре), углеродные нанотрубки (100000 см / (В · с) при комнатной температуре температура) и автономный графен (200000 см / В · с при низкой температуре). Органические полупроводники (полимер, олигомер ), разработанные таким образом имеют подвижность носителей ниже 50 см / (В · с), а обычно ниже 1, с хорошо работающими материалами, измеренными ниже 10.

Список самых высоких измеренных подвижностей [см / (В · с)]
Материал	Подвижность электронов	Подвижность дырок
Гетероструктуры AlGaAs / GaAs	35000000
Отдельно стоящий графен	200000
Углеродные нанотрубки	79,000
Кристаллический кремний	1,400	450
Поликристаллический кремний	100
Металлы (Al, Au, Cu, Ag)	10-50
Органические вещества	10
Аморфный кремний	~1

Зависимость от электрического поля и насыщение от скорости

В малых полях скорость дрейфа v d пропорциональна электрическому полю E, поэтому подвижность μ постоянна. Это значение μ называется подвижностью в слабом поле.

Однако по мере увеличения электрического поля скорость носителя увеличивается сублинейно и асимптотически до максимально возможного значения, называемого скоростью насыщения v sat. Например, значение v sat составляет порядка 1 × 10 см / с как для электронов, так и для дырок в Si. Для Ge она порядка 6 · 10 см / с. Эта скорость является характеристикой материала и сильно зависит от легирования или уровней примесей и температуры. Это одно из ключевых свойств материала и полупроводникового устройства, которое определяет такое устройство, как конечный предел скорости отклика и частоты транзистора.

Это явление насыщения скорости является результатом процесса, называемого рассеянием оптических фононов. В сильных полях носители ускоряются достаточно, чтобы получить достаточную кинетическую энергию между столкновениями для испускания оптического фонона, и они делают это очень быстро, прежде чем снова ускоряться. Скорость, которую достигает электрон перед испусканием фонона, равна:

m ∗ vemit 2 2 ≈ ℏ ω фонон (опционально) {\ displaystyle {\ frac {m ^ {*} v_ {emit} ^ {2}} { 2}} \ приблизительно \ hbar \ omega _ {phonon (opt.)}}

{\frac {m^{*}v_{emit}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{phonon(opt.)}

где ω phonon (opt.) - угловая частота оптического фонона, а m * - эффективная масса носителя в направление электрического поля. Значение E фонона (опт.) составляет 0,063 эВ для Si и 0,034 эВ для GaAs и Ge. Скорость насыщения составляет только половину от v emit, потому что электрон начинает с нулевой скорости и ускоряется до v emit в каждом цикле. (Это несколько упрощенное описание.)

Насыщение скорости - не единственное возможное поведение сильного поля. Другой - эффект Ганна, когда достаточно сильное электрическое поле может вызывать межпространственный перенос электронов, что снижает скорость дрейфа. Это необычно; увеличение электрического поля почти всегда увеличивает скорость дрейфа или оставляет ее неизменной. Результатом является отрицательное дифференциальное сопротивление.

В режиме насыщения скорости (или других эффектов сильного поля) подвижность является сильной функцией электрического поля. Это означает, что мобильность - несколько менее полезная концепция по сравнению с простым обсуждением скорости дрейфа напрямую.

Связь между рассеянием и подвижностью

Напомним, что по определению подвижность зависит от скорости дрейфа. Основным фактором, определяющим скорость дрейфа (кроме эффективной массы ), является время рассеяния, т.е. как долго носитель баллистически ускоряется электрическим полем, пока не рассеется ( сталкивается) с чем-то, что меняет свое направление и / или энергию. Наиболее важными источниками рассеяния в типичных полупроводниковых материалах, обсуждаемыми ниже, являются рассеяние на ионизованных примесях и рассеяние акустических фононов (также называемое рассеянием на решетке). В некоторых случаях могут быть важны другие источники рассеяния, такие как рассеяние нейтральных примесей, рассеяние оптических фононов, поверхностное рассеяние и дефектное рассеяние.

Упругое рассеяние означает, что энергия (почти) сохраняется во время события рассеяния. Некоторые процессы упругого рассеяния - это рассеяние на акустических фононах, примесное рассеяние, пьезоэлектрическое рассеяние и т. Д. При рассеянии акустических фононов электроны рассеиваются из состояния ktok', испуская или поглощая фонон волнового вектора q . Это явление обычно моделируется, предполагая, что колебания решетки вызывают небольшие сдвиги в энергетических зонах. Дополнительный потенциал, вызывающий процесс рассеяния, создается отклонениями полос из-за этих небольших переходов из положений замороженной решетки.

Рассеяние на ионизированных примесях

Полупроводники легированы донорами и / или акцепторами, которые обычно ионизируются и поэтому заряжаются. Кулоновские силы отклонят электрон или дырку от ионизированной примеси. Это известно как рассеяние ионизованных примесей. Величина отклонения зависит от скорости носителя и его близости к иону. Чем сильнее легирован материал, тем выше вероятность столкновения носителя с ионом за заданное время и тем меньше среднее время свободного пробега между столкновениями и тем меньше подвижность. При определении силы этих взаимодействий из-за дальнодействующего характера кулоновского потенциала другие примеси и свободные носители вызывают значительное сокращение диапазона взаимодействия с носителями по сравнению с голым кулоновским взаимодействием.

Если эти рассеиватели находятся рядом с границей раздела, сложность проблемы возрастает из-за наличия дефектов и нарушений кристалла. Центры захвата заряда, которые рассеивают свободные носители, во многих случаях образуются из-за дефектов, связанных с оборванными связями. Рассеяние происходит потому, что после захвата заряда дефект становится заряженным и, следовательно, начинает взаимодействовать со свободными носителями. Если рассеянные носители находятся в инверсионном слое на границе раздела, уменьшенная размерность носителей отличает случай от случая объемного примесного рассеяния, поскольку носители движутся только в двух измерениях. Шероховатость поверхности раздела также вызывает короткодействующее рассеяние, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела.

Решеточное (фононное) рассеяние

При любой температуре выше абсолютного нуля колеблющиеся атомы создают в кристалле волны давления (акустические), которые называются фононами. Как и электроны, фононы можно рассматривать как частицы. Фонон может взаимодействовать (сталкиваться) с электроном (или дыркой) и рассеивать его. При более высокой температуре фононов больше, и, следовательно, увеличивается рассеяние электронов, что снижает подвижность.

Пьезоэлектрическое рассеяние

Пьезоэлектрический эффект может возникать только в составных полупроводниках из-за их полярной природы. В большинстве полупроводников он невелик, но может приводить к локальным электрическим полям, которые вызывают рассеяние носителей за счет их отклонения. Этот эффект важен в основном при низких температурах, где другие механизмы рассеяния слабы. Эти электрические поля возникают из-за искажения базовой элементарной ячейки, когда в решетке прикладывается деформация.

Рассеяние на шероховатости поверхности

Рассеяние на шероховатости поверхности, вызванное межфазным беспорядком, ограничивает рассеяние на короткие расстояния подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. Из просвечивающих электронных микрофотографий с высоким разрешением было определено, что граница раздела не является резкой на атомном уровне, но фактическое положение межфазной плоскости изменяется на один или два атомных слоя вдоль поверхности. Эти изменения являются случайными и вызывают флуктуации уровней энергии на границе раздела, что затем вызывает рассеяние.

Рассеяние сплава

В составных полупроводниках (сплавах), которыми являются многие термоэлектрические материалы, рассеяние, вызванное Возмущение кристаллического потенциала из-за случайного расположения замещающих разновидностей атомов в соответствующей подрешетке известно как рассеяние сплава. Это может произойти только в тройных или более высоких сплавах, поскольку их кристаллическая структура формируется путем случайной замены некоторых атомов в одной из подрешеток (подрешетки) кристаллической структуры. Обычно это явление довольно слабое, но в определенных материалах или обстоятельствах оно может стать доминирующим эффектом, ограничивающим проводимость. В объемных материалах поверхностным рассеянием обычно пренебрегают.

Неупругое рассеяние

Во время процессов неупругого рассеяния происходит значительный энергообмен. Как и в случае с упругим рассеянием фононов, в неупругом случае потенциал возникает из-за деформаций энергетических зон, вызванных колебаниями атомов. Оптические фононы, вызывающие неупругое рассеяние, обычно имеют энергию в диапазоне 30-50 мэВ, для сравнения энергии акустических фононов обычно меньше 1 мэВ, но некоторые могут иметь энергию порядка 10 мэВ. В процессе рассеяния наблюдается значительное изменение энергии носителей. Оптические или высокоэнергетические акустические фононы также могут вызывать междолинное или межзонное рассеяние, что означает, что рассеяние не ограничивается одной долиной.

Электрон-электронное рассеяние

В соответствии с принципом исключения Паули электроны могут считаться невзаимодействующими, если их плотность не превышает значения 10 ~ 10 см или значения электрического поля 10 В / см. Однако значительно выше этих пределов электрон-электронное рассеяние начинает преобладать. Большой радиус действия и нелинейность кулоновского потенциала, определяющего взаимодействия между электронами, затрудняют рассмотрение этих взаимодействий.

Связь между подвижностью и временем рассеяния

Простая модель дает приблизительное соотношение между временем рассеяния (среднее время между событиями рассеяния) и подвижность. Предполагается, что после каждого события рассеяния движение носителя рандомизируется, поэтому его средняя скорость равна нулю. После этого он равномерно ускоряется в электрическом поле, пока снова не рассеется. Результирующая средняя дрейфовая подвижность:

μ = qm ∗ τ ¯ {\ displaystyle \ mu = {\ frac {q} {m ^ {*}}} {\ overline {\ tau}}}

\mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}

где q - элементарный заряд, m * - эффективная масса носителя, а τ - среднее время рассеяния.

Если эффективная масса анизотропна (зависит от направления), m * - это эффективная масса в направлении электрического поля.

Правило Маттиссена

Обычно присутствует более одного источника рассеяния, например как примеси, так и решеточные фононы. Обычно очень хорошее приближение - объединение их влияний с использованием «правила Маттиссена» (разработанного на основе работы Августа Маттиссена в 1864 году):

1 мкм = 1 мкм примеси + 1 мкм решетка {\ displaystyle { \ frac {1} {\ mu}} = {\ frac {1} {\ mu _ {\ rm {примеси}}}} + {\ frac {1} {\ mu _ {\ rm {решетка}}}} }

{\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}

где µ - фактическая подвижность, $μ примеси {\ displaystyle \ mu _ {\ rm {примеси}}}$ $\mu _{\rm {impurities}}$ - подвижность, которую материал имел бы при рассеянии примесей, но нет другого источника рассеяния, а $μ решетка {\ displaystyle \ mu _ {\ rm {lattice}}}$ $\mu _{\rm {lattice}}$ - это подвижность, которую материал имел бы, если бы имелось рассеяние на решеточных фононах, но никакой другой источник рассеяния. Другие члены могут быть добавлены для других источников рассеяния, например

1 μ = 1 μ примесей + 1 μ решетки + 1 μ дефектов + ⋯ {\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu}} = {\ frac { 1} {\ mu _ {\ rm {примеси}}}} + {\ frac {1} {\ mu _ {\ rm {lattice}}}} + {\ frac {1} {\ mu _ {\ rm { дефекты}}}} + \ cdots}

{\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm { defects}}}}+\cdots

Правило Маттиссена также можно сформулировать в терминах времени рассеяния:

1 τ = 1 τ примесей + 1 τ решетка + 1 τ дефектов + ⋯ {\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} = {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {примеси}}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {\ rm {lattice}}}} + { \ frac {1} {\ tau _ {\ rm {sizes}}}} + \ cdots}

{\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots

где τ - истинное среднее время рассеяния, а τ примеси - время рассеяния, если присутствовала примесь рассеяние, но никакой другой источник рассеяния и т. д.

Правило Маттиссена является приблизительным и не является универсальным. Это правило недействительно, если факторы, влияющие на мобильность, зависят друг от друга, поскольку индивидуальные вероятности рассеяния не могут быть суммированы, если они не независимы друг от друга. Среднее время свободного полета носителя и, следовательно, время релаксации обратно пропорционально вероятности рассеяния. Например, рассеяние на решетке изменяет среднюю скорость электронов (в направлении электрического поля), что, в свою очередь, меняет тенденцию к рассеиванию примесей. Существуют более сложные формулы, которые пытаются учесть эти эффекты.

Температурная зависимость подвижности

Типичная температурная зависимость подвижности
	Si	Ge	GaAs
Электроны	∝T	∝T	∝T
Дырки	∝T	∝T	∝T

С повышением температуры концентрация фононов увеличивается и вызывает усиленное рассеяние. Таким образом, рассеяние на решетке все больше снижает подвижность носителей при более высокой температуре. Теоретические расчеты показывают, что подвижность в неполярных полупроводниках, таких как кремний и германий, определяется взаимодействием акустических фононов. Ожидается, что результирующая подвижность будет пропорциональна T, тогда как подвижность, обусловленная только рассеянием на оптических фононах, будет пропорциональна T. Экспериментально значения температурной зависимости подвижности в Si, Ge и GaAs приведены в таблице.

As $1 τ ∝ ⟨v⟩ Σ {\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau }} \ propto \ left \ langle v \ right \ rangle \ Sigma}$ ${\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma$ , где $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ - сечение рассеяния электронов и дырок на центр рассеяния и $⟨v⟩ {\ displaystyle \ left \ langle v \ right \ rangle}$ $\left\langle v\right\rangle$ - тепловое среднее (статистика Больцмана) по всем скоростям электронов или дырок в нижней или верхней зоне проводимости валентная зона, можно определить температурную зависимость подвижности. Здесь используется следующее определение сечения рассеяния: количество частиц, рассеянных на телесный угол dΩ за единицу времени, деленное на количество частиц на площадь за время (интенсивность падения), что исходит из классической механики. Поскольку статистика Больцмана верна для полупроводников $⟨v⟩ ∼ T {\ displaystyle \ left \ langle v \ right \ rangle \ sim {\ sqrt {T}}}$ $\left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}$ .

Для рассеяния на акустических фононах при температурах значительно выше При температуре Дебая расчетное сечение Σ ph определяется из квадрата средней амплитуды колебаний фонона, пропорционального T. Рассеяние на заряженных дефектах (ионизированных донорах или акцепторах) приводит к сечению $Σ def ∝ ⟨v⟩ - 4 {\ displaystyle {\ Sigma} _ {def} \ propto {\ left \ langle v \ right \ rangle} ^ {- 4}}$ ${\Sigma }_{def}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}$ . Эта формула представляет собой сечение рассеяния для «резерфордского рассеяния», когда точечный заряд (носитель) движется мимо другого точечного заряда (дефекта), испытывающего кулоновское взаимодействие.

Температурные зависимости этих двух механизмов рассеяния в полупроводниках можно определить, объединив формулы для τ, Σ и $⟨v⟩ {\ displaystyle \ left \ langle v \ right \ rangle}$ $\left\langle v\right\rangle$ , для рассеяния на акустических фононах $μ ph ∼ T - 3/2 {\ displaystyle {\ mu} _ {ph} \ sim T ^ {- 3/2}}$ ${\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}$ и от заряженных дефектов $μ def ∼ T 3/2 {\ displaystyle {\ mu} _ {def} \ sim T ^ {3/2}}$ ${\mu }_{def}\sim T^{3/2}$ .

Однако эффект рассеяния ионизованных примесей уменьшается с повышением температуры потому что средние тепловые скорости носителей увеличиваются. Таким образом, носители проводят меньше времени рядом с ионизированной примесью при прохождении, и, таким образом, эффект рассеяния ионов уменьшается.

Эти два эффекта действуют одновременно на носителей в соответствии с правилом Маттиссена. При более низких температурах преобладает рассеяние на ионизованных примесях, а при более высоких температурах - рассеяние на фононах, а фактическая подвижность достигает максимума при промежуточной температуре.

Измерение подвижности полупроводников

Холловская подвижность

Установка для измерения эффекта Холла для дырок

Установка для измерения эффекта Холла для электронов

Подвижность носителей обычно измеряется с помощью Эффект Холла. Результат измерения называется «подвижностью Холла» (что означает «подвижность, полученная на основе измерения эффекта Холла»).

Рассмотрим образец полупроводника с прямоугольным поперечным сечением, как показано на рисунках, ток течет в направлении x, а магнитное поле прикладывается в направлении z. Результирующая сила Лоренца будет ускорять электроны (материалы n-типа) или дырки (материалы p-типа) в направлении (-y) в соответствии с правилом правой руки и создавать электрическое поле ξ у. В результате на образце возникает напряжение, которое можно измерить с помощью вольтметра с высоким сопротивлением. Это напряжение, V H, называется напряжением Холла. V H отрицательно для материала n-типа и положительно для материала p-типа.

Математически сила Лоренца, действующая на заряд q, определяется как

Для электронов:

F → H n = - q (v → n × B → z) {\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} _ {Hn} = - q ({\ overrightarrow {v}} _ {n} \ times {\ overrightarrow {B}} _ {z})}

{\overrightarrow {F}}_{Hn}=-q({\overrightarrow {v}}_{n}\times {\overrightarrow {B}}_{z})

Для отверстий:

F → H p = + q (v → p × B → z) {\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} _ {Hp} = + q ({\ overrightarrow {v}} _ {p } \ times {\ overrightarrow {B}} _ {z})}

{\overrightarrow {F}}_{Hp}=+q({\overrightarrow {v}}_{p}\times {\overrightarrow {B}}_{z})

В установившемся состоянии эта сила уравновешивается силой, установленной напряжением Холла, так что нет чистой силы на несущие в направлении y. Для электрона

F → y = (- q) ξ → y + (- q) [v → n × B → z] = 0 {\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} _ {y} = (- q) {\ overrightarrow {\ xi}} _ {y} + (- q) [{\ overrightarrow {v}} _ {n} \ times {\ overrightarrow {B}} _ {z}] = 0}

{\overrightarrow {F}}_{y}=(-q){\overrightarrow {\xi }}_{y}+(-q)[{\overrightarrow {v}}_{n}\times {\overrightarrow {B}}_{z}]=0

⇒ - q ξ y + qvx B z = 0 {\ displaystyle \ Rightarrow -q \ xi _ {y} + qv_ {x} B_ {z} = 0}

\Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0

ξ y = vx B z {\ displaystyle \ xi _ {y} = v_ {x} B_ {z}}

\xi _{y}=v_{x}B_{z}

Для электронов поле указывает в направлении -y, а для дырок - в направлении + y.

электронный ток I определяется как $I = - q n v x t W {\ displaystyle I = -qnv_ {x} tW}$ $I=-qnv_{x}tW$ . Подставьте v x в выражение для ξ y,

ξ y = - IB nqt W = + RH n IB t W {\ displaystyle \ xi _ {y} = - {\ frac {IB} {nqtW }} = + {\ frac {R_ {Hn} IB} {tW}}}

\xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}

где R Hn - коэффициент Холла для электрона и определяется как

RH n = - 1 nq {\ displaystyle R_ {Hn} = - {\ frac {1} {nq}}}

R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}

Поскольку $ξ y = VHW {\ displaystyle \ xi _ {y} = {\ frac {V_ {H} } {W}}}$ $\xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}$

RH n = - 1 nq = VH nt IB {\ displaystyle R_ {Hn} = - {\ frac {1} {nq}} = {\ frac {V_ {Hn} t} { IB}}}

R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}

Аналогично для отверстий

RH p = 1 pq = VH pt IB {\ displaystyle R_ {Hp} = {\ frac {1} {pq}} = {\ frac {V_ {Hp} t} {IB}}}

R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}

Из коэффициента Холла мы можем получить подвижность носителей следующим образом:

μ n = (- nq) μ n (- 1 nq) = - σ n RH n {\ displaystyle \ mu _ {n} = (- nq) \ mu _ {n} (- {\ frac {1} {nq}}) = - \ sigma _ {n} R_ {Hn}}

\mu _{n}=(-nq)\mu _{n}(-{\frac {1}{nq}})=-\sigma _{n}R_{Hn}

= - σ n VH nt IB {\ displaystyle = - {\ frac {\ sigma _ {n} V_ {Hn} t} {IB}}}

=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}

Аналогично,

μ p = σ p VH pt IB {\ displaystyle \ mu _ {p} = {\ frac {\ sigma _ {p} V_ {Hp} t} {IB}}}

\mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}

Здесь значение V Hp (напряжение Холла), t (толщина образца), I (ток) и B (магнитное поле) могут быть измерены напрямую, а проводимость σ n или σ p известны или могут быть получены путем измерения удельного сопротивления.

Подвижность с полевым эффектом

Подвижность также можно измерить с помощью полевого транзистора (FET). Результат измерения называется «полевой подвижностью» (что означает «подвижность, полученная в результате измерения полевого эффекта»).

Измерение может работать двумя способами: на основе измерений в режиме насыщения или измерений в линейной области. (См. MOSFET для описания различных режимов или областей работы.)

Использование режима насыщения

В этом методе для каждого фиксированного напряжения затвора V GS, напряжение сток-исток V DS увеличивается до тех пор, пока ток I D не достигнет насыщения. Затем квадратный корень из этого тока насыщения наносится на график зависимости от напряжения затвора и измеряется наклон m sat. Тогда подвижность равна:

μ = msat 2 2 LW 1 C i {\ displaystyle \ mu = m_ {sat} ^ {2} {\ frac {2L} {W}} {\ frac {1} {C_ { i}}}}

\mu =m_{sat}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}

где L и W - длина и ширина канала, а C i - емкость изолятора затвора на единицу площади. Это уравнение происходит из приближенного уравнения для полевого МОП-транзистора в режиме насыщения:

I D = μ C i 2 W L (V G S - V t h) 2. {\ displaystyle I_ {D} = {\ frac {\ mu C_ {i}} {2}} {\ frac {W} {L}} (V_ {GS} -V_ {th}) ^ {2}.}

I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.

, где V th - пороговое напряжение. Это приближение, помимо прочего, игнорирует ранний эффект (модуляция длины канала). На практике этот метод может недооценивать истинную подвижность.

Использование линейной области

В этом методе транзистор работает в линейной области (или «омическом режиме»), где V DS маленький и $ID ∝ VGS {\ displaystyle I_ {D} \ propto V_ {GS}}$ $I_{D}\propto V_{GS}$ с наклоном m lin. Тогда мобильность равна:

μ = mlin LW 1 VDS 1 C i {\ displaystyle \ mu = m_ {lin} {\ frac {L} {W}} {\ frac {1} {V_ {DS}}} {\ frac {1} {C_ {i}}}}

\mu =m_{lin}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}

Это уравнение получено из приближенного уравнения для полевого МОП-транзистора в линейной области:

ID = μ C i WL ((VGS - V th) VDS - VDS 2 2) {\ displaystyle I_ {D} = \ mu C_ {i} {\ frac {W} {L}} \ left ((V_ {GS} -V_ {th}) V_ {DS} - {\ frac {V_ {DS} ^ {2}} {2}} \ right)}

I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\rig ht)

На практике этот метод может переоценить истинную мобильность, потому что если V DS недостаточно мал и V G недостаточно велик, полевой МОП-транзистор может не оставаться в линейной области.

Оптическая подвижность

Подвижность электронов может быть определена с помощью бесконтактного лазерного фотоотражения измерения. По мере того, как образец проходит через фокусировку, проводится серия измерений фотоотражения. Длина диффузии электронов и время рекомбинации определяются с помощью регрессионного подбора данных. Затем соотношение Эйнштейна используется для расчета подвижности.

Терагерцовая подвижность

Подвижность электронов может быть рассчитана на основе измерений с временным разрешением терагерцовым датчиком. Фемтосекундный лазер импульсов возбуждают полупроводник, и результирующая фотопроводимость измеряется с помощью терагерцового зонда, который обнаруживает изменения в терагерцовом электрическом поле.

Концентрационная зависимость легирования в сильно легированном кремнии

носителями заряда в полупроводниках являются электроны и дырки. Их количество определяется концентрацией примесных элементов, т.е. концентрацией легирования. Таким образом, концентрация легирования имеет большое влияние на подвижность носителей.

Хотя в экспериментальных данных имеется значительный разброс, для некомпенсированного материала (без противодействия) для сильно легированных подложек (т.е. $10 18 см - 3 {\ displaystyle 10 ^ { 18}\mathrm {cm} ^{-3}}$ $10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}$ and up), the mobility in silicon is often characterized by the empirical relationship :