Суммирование по Борелю

Метод суммирования расходящихся рядов Борель, тогда неизвестный молодой человек, обнаружил, что его метод суммирования дает правильный ответ для многих классических расходящихся рядов. Он решил совершить паломничество в Стокгольм, чтобы увидеть Миттаг-Леффлера, который был признанным повелителем комплексного анализа. Миттаг-Леффлер вежливо выслушал то, что говорил Борель, а затем, положив руку на полное собрание сочинений своего учителя Вейерштрасса, сказал на латыни: «Мастер запрещает это».

Марк Кац, цитируется Reed Simon (1978, стр. 38)

В математике суммирование по Борелю - это метод суммирования для расходящийся ряд, введенный Эмилем Борелем (1899). Это особенно полезно для суммирования и в некотором смысле дает наилучшую возможную сумму для таких рядов. Существует несколько разновидностей этого метода, которые также называются суммированием Бореля, и его обобщение называется суммирование Миттаг-Леффлера.

• 1 Определение
  • 1.1 Метод экспоненциального суммирования Бореля
  • 1.2 Интеграл Бореля метод суммирования
  • 1.3 Метод интегрального суммирования Бореля с аналитическим продолжением
• 2 Основные свойства
  • 2.1 Регулярность
  • 2.2 Неэквивалентность борелевского и слабого борелевского суммирования
  • 2.3 Связь с другими методами суммирования
• 3 Теоремы единственности
  • 3.1 Теорема Ватсона
  • 3.2 Теорема Карлемана
  • 3.3 Пример
• 4 Примеры
  • 4.1 Геометрический ряд
  • 4.2 Чередующийся факторный ряд
  • 4.3 Пример, в котором эквивалентность не выполняется
• 5 Результаты существования и область сходимости
  • 5.1 Суммируемость на хордах
  • 5.2 Многоугольник Бореля
    • 5.2.1 Пример 1
    • 5.2.2 Пример 2
  • 5.3 Тауберова теорема
• 6 Приложения
• 7 Обобщения
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки

Есть е (по крайней мере) три немного разных метода, называемых суммированием Бореля. Они различаются в зависимости от того, какие ряды они могут суммировать, но согласованы, что означает, что если два метода суммируют одни и те же ряды, они дают одинаковый ответ.

Пусть A (z) обозначает формальный степенной ряд

$A\; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; akzk,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\},\}$

и определим преобразование Бореля для A как его эквивалентный ряд экспонент

$BA\; (t)\; \equiv \; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; akk!\; т\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (t)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{k\}\}\; \{k!\}\}\; t\; ^\; \{k\}.\}$

Метод экспоненциального суммирования Бореля

Пусть A n (z) обозначает частичную сумму

$A\; n\; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; nakzk.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}.\}$

Слабая форма метода суммирования Бореля определяет борелевскую сумму A быть

$lim\; t\; \to \; \infty \; e\; -\; t\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; tnn!\; А\; п\; (г).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; A\_\; \{n\; \}\; (z).\}$

Если это сходится в z ∈ C к некоторому a (z), мы говорим, что слабая борелевская сумма A сходится в z, и пишем $\sum \; akzk\; =\; a\; (z)\; (вес\; В)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z)\; \backslash ,\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{wB\}\})\}$.

метод интегрального суммирования Бореля

Предположим, что преобразование Бореля сходится для всех положительных действительных чисел к функции, растущей достаточно медленно, чтобы следующий интеграл был правильно определен (как несобственный интеграл), сумма Бореля числа A задана по

$\int \; 0\; \infty \; e\; -\; t\; BA\; (tz)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (tz)\; \backslash ,\; dt.\}$

Если интеграл сходится в точке z ∈ C к некоторому a (z), мы говорим, что сумма Бореля A сходится в z, и пишем $\sum \; akzk\; =\; a\; (z)\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z)\; \backslash ,\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\})\}$.

Метод интегрального суммирования Бореля с аналитическим продолжением

Это похоже на метод интегрального суммирования Бореля, за исключением того, что Преобразование Бореля не обязательно сходится для всех t, но сходится к аналитической функции от t около 0, которую можно аналитически продолжить вдоль положительной вещественной оси.

Регулярность

Методы (B ) и (wB ) оба являются обычными методами суммирования, что означает, что всякий раз, когда A ( z) сходится (в стандартном смысле), то сумма Бореля и слабая сумма Бореля также сходятся, и делают это с одним и тем же значением. т.е.

Регулярность (B ) легко увидеть по изменению порядка интегрирования, которое действительно благодаря абсолютной сходимости: если A (z) сходится в точке z, то

$A\; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; akzk\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; ak\; (\int \; 0\; \infty \; e\; -\; ttkdt)\; zkk!\; Знак\; равно\; \int \; 0\; \infty \; е\; -\; Т\; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; а\; К\; (т\; Z)\; К\; К!\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; t\; ^\; \{k\}\; dt\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{(tz)\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}\; dt,\}$

, где крайнее правое выражение - это в точности сумма Бореля в точке z.

Регулярность (B ) и (wB ) подразумевает, что эти методы обеспечивают аналитические расширения A (z).

Неэквивалентность борелевского и слабого борелевского суммирования

Любой ряд A (z), слабо суммируемый по Борелю в точке z ∈ C, также суммируем по Борелю в точке z. Однако можно построить примеры рядов, расходящихся при слабом суммировании по Борелю, но суммируемых по Борелю. Следующая теорема характеризует эквивалентность двух методов.

Теорема ((Харди 1992, 8.5)).

Пусть A (z) - формальный степенной ряд, и зафиксируем z ∈ C, тогда:

1. Если $\sum \; akzk\; =\; a\; (z)\; (вес\; В)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z)\; \backslash ,\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{wB\}\; \})\}$, затем $\sum \; akzk\; =\; a\; (z)\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z)\; \backslash ,\; (\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\})\}$.
2. Если $\sum \; akzk\; =\; a\; (z)\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z)\; \backslash ,\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\})\}$и $lim\; t\; \to \; \infty \; e\; -\; t\; BA\; (zt)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (zt)\; =\; 0,\}$, затем $\sum \; akzk\; =\; a\; (z)\; (w\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z)\; \backslash ,\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{wB\}\})\}$.

Связь с другими методами суммирования

• (B) является частным случаем суммирования Миттаг-Леффлера с α = 1.
• (wB) можно рассматривать как предельный случай обобщенного метода суммирования Эйлера (E, q) в том смысле, что при q → ∞ область сходимости (E, q) метод со n сходится до области сходимости для (B).

Всегда есть много разных функций с любым заданным асимптотическим разложением. Однако иногда существует наилучшая возможная функция в том смысле, что ошибки конечномерных приближений в некоторой области минимальны. Теорема Ватсона и теорема Карлемана показывают, что суммирование по Борелю дает такую ​​наилучшую возможную сумму ряда.

Теорема Ватсона

Теорема Ватсона дает условия, при которых функция должна быть суммой Бореля своего асимптотического ряда. Предположим, что f - функция, удовлетворяющая следующим условиям:

• f голоморфна в некоторой области | z | < R, |arg(z)| < π/2 + ε for some positive R and ε.
• В этой области f имеет асимптотический ряд a 0 + a 1 z +... со свойством, что ошибка

$|\; f\; (z)\; -\; a\; 0\; -\; a\; 1\; z\; -\; \cdots \; -\; a\; n\; -\; 1\; z\; n\; -\; 1\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; (z)\; -a\_\; \{0\}\; -a\_\; \{1\}\; z-\; \backslash \; cdots\; -a\_\; \{n-1\}\; z\; ^\; \{n-1\}\; |\}$

ограничено

$C\; n\; +\; 1\; п!\; |\; z\; |\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; n!\; |\; z\; |\; ^\; \{n\}\}$

для всех z в регионе (для некоторой положительной константы C).

Тогда теорема Ватсона говорит, что в этой области f задается суммой Бореля своего асимптотического ряда. Точнее, ряд для преобразования Бореля сходится в окрестности начала координат и может быть аналитически продолжен до положительной вещественной оси, а интеграл, определяющий сумму Бореля, сходится к f (z) для z в области выше.

В более общем смысле, f все еще определяется своим асимптотическим рядом, если n! в приведенной выше оценке ошибки заменено на kn! при условии | arg (z) | < π/2 + ε is replaced by |arg(z)| < kπ/2 + ε. This is in some sense best possible, as there are counterexamples if the number kπ/2 is replaced by any smaller number.

Теорема Карлемана

Теорема Карлемана показывает, что функция однозначно определяется асимптотическим рядом в секторе при условии, что ошибки в аппроксимациях конечного порядка не растут слишком быстро. Точнее, он утверждает, что если f аналитична внутри сектора | z | < C, Re(z)>0 и | f (z) | < |bn z | в этой области для всех n, тогда f равно нулю при условии, что ряд 1 / b 0 + 1 / b 1 +... расходится.

Теорема Карлемана дает метод суммирования для любого асимптотического ряда, члены которого не растут слишком быстро, так как сумма может быть определена как единственная функция с этим асимптотическим рядом в подходящем секторе, если он существует. Суммирование по Борелю немного слабее, чем специальный случай, когда b n = cn для некоторой константы c. В более общем плане можно определить методы суммирования немного сильнее, чем методы Бореля, взяв числа b n, чтобы они были немного больше, например b n = cnlog n или b n = cnlog n журнал журнал n. На практике от этого обобщения мало пользы, поскольку почти нет естественных примеров суммируемых этим методом рядов, которые также нельзя было бы просуммировать методом Бореля.

Пример

Функция f (z) = exp (–1 / z) имеет асимптотический ряд 0 + 0z +... с границей ошибки указанной выше формы в области | arg (z) | < θ for any θ < π/2, but is not given by the Borel sum of its asymptotic series. This shows that the number π/2 in Watson's theorem cannot be replaced by any smaller number (unless the bound on the error is made smaller).

Геометрический ряд

Рассмотрим геометрический ряд

$A\; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; zk,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; z\; ^\; \{k\},\}$

которая сходится (в стандартном смысле) к 1 / (1 - z) при | z | < 1. The Borel transform is

$B\; A\; (T\; Z)\; \equiv \; \sum \; K\; знак\; равно\; 0\; \infty \; Z\; K\; K!\; tk\; =\; ezt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (tz)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}\; t\; ^\; \{k\}\; =\; e\; ^\; \{zt\},\}$

, из которого мы получаем сумму Бореля

$\int \; 0\; \infty \; e\; -\; t\; BA\; (tz)\; dt\; =\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; tetzdt\; =\; 1\; 1\; -\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (tz)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; e\; ^\; \{tz\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-z\}\}\}$

который сходится в большей области Re (z) < 1, giving an аналитическое продолжение исходного ряда.

Рассматривая вместо этого слабое преобразование Бореля, частичные суммы определяются как A N (z) = (1 - z) / (1 - z), поэтому слабая сумма Бореля равна

$lim\; t\; \to \; \infty \; e\; -\; t\; \sum \; n\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; -\; zn\; +\; 1\; 1\; -\; ztnn!\; знак\; равно\; lim\; t\; \to \; \infty \; е\; -\; t\; 1\; -\; z\; (et\; -\; zetz)\; =\; 1\; 1\; -\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-z\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{1-z\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\}\}\; \{1-z\}\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; e\; ^\; \{t\}\; -ze\; ^\; \{tz\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-z\}\; \},\}$

где, опять же, сходимость происходит на Re (z) < 1. Alternatively this can be seen by appealing to part 2 of the equivalence theorem, since for Re(z) < 1

$lim\; t\; \to \; \infty \; e\; -\; t\; (BA)\; (zt)\; =\; et\; (z\; -\; 1)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\; t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A)\; (zt)\; =\; e\; ^\; \{t\; (z-1)\}\; =\; 0.\}$

Переменный факториальный ряд

Рассмотрим ряд

$A\; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; k!\; (-\; 1\; \cdot \; z)\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; k!\; (-\; 1\; \backslash \; cdot\; z)\; ^\; \{k\},\}$

затем A ( z) не сходится ни при каком ненулевом z ∈ C . Преобразование Бореля:

$BA\; (t)\; \equiv \; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1\; \cdot \; t)\; k\; =\; 1\; 1\; +\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (t)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; cdot\; t\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; t\}\}\}$

для | t | < 1, which can be analytically continued to all t ≥ 0. So the Borel sum is

$\int \; 0\; \infty \; е\; -\; t\; BA\; (tz)\; dt\; знак\; равно\; \int \; 0\; \infty \; е\; -\; t\; 1\; +\; tzdt\; =\; 1\; z\; \cdot \; e\; 1\; /\; z\; \cdot \; \Gamma \; (0,\; 1\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (tz)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\}\}\; \{1+\; tz\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{1\; /\; z\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\}$

(где Γ - неполная гамма-функция ).

Этот интеграл сходится для всех z ≥ 0, поэтому исходный расходящийся ряд является суммируемым по Борелю для всех таких z. Эта функция имеет асимптотическое разложение , когда z стремится к 0, которое задается исходным расходящимся рядом. Это типичный пример того факта, что суммирование по Борелю иногда «правильно» суммирует расходящиеся асимптотические разложения.

Опять же, поскольку

$lim\; t\; \to \; \infty \; e\; -\; t\; (BA)\; (zt)\; =\; lim\; t\; \to \; \infty \; e\; -\; t\; 1\; +\; zt\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A)\; (zt)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\}\}\; \{1\; +\; zt\}\}\; =\; 0,\}$

для всех z, теорема эквивалентности гарантирует, что слабое борелевское суммирование имеет ту же область сходимости, z ≥ 0.

Пример, в котором эквивалентность не работает

Следующий пример расширяет данные, указанные в (Hardy 1992, 8.5). Рассмотрим

$A\; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (\sum \; \ell \; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; \ell \; (2\; \ell \; +\; 2)\; k\; (2\; \ell \; +\; 1)!)\; Z\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{\backslash \; ell\; \}\; (2\; \backslash \; ell\; +2)\; ^\; \{k\}\}\; \{(2\; \backslash \; ell\; +1)!\}\}\; \backslash \; Right)\; z\; ^\; \{k\}.\}$

После изменения порядка суммирования преобразование Бореля имеет вид

$BA\; (t)\; =\; \sum \; \ell \; =\; 0\; \infty \; (\sum \; k\; =\; 0\; \infty \; ((2\; \ell \; +\; 2)\; t)\; kk!)\; (-\; 1)\; \ell \; (2\; \ell \; +\; 1)!\; Знак\; равно\; \sum \; \ell \; знак\; равно\; 0\; \infty \; е\; (2\; \ell \; +\; 2)\; т\; (-\; 1)\; \ell \; (2\; \ell \; +\; 1)!\; знак\; равно\; е\; т\; \sum \; \ell \; знак\; равно\; 0\; \infty \; (е\; т)\; 2\; \ell \; +\; 1\; (-\; 1)\; \ell \; (2\; \ell \; +\; 1)!\; =\; е\; т\; грех\; \; (е\; т).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; A\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; big\; (\}\; (2\; \backslash \; ell\; +2)\; t\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; \}\; \{(2\; \backslash \; ell\; +1)!\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{(2\; \backslash \; ell\; +2)\; t\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \{(2\; \backslash \; ell\; +1)!\}\}\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; e\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{2\; \backslash \; ell\; +1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \{(2\; \backslash \; ell\; +1)!\}\}\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sin\; (\; e\; ^\; \{t\}).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

При z = 2 сумма Бореля определяется как

, где S (x) - интеграл Френеля. Благодаря теореме о сходимости вдоль хорд борелевский интеграл сходится для всех z ≤ 2 (очевидно, что интеграл расходится при z>2).

Для слабой суммы Бореля отметим, что

$lim\; t\; \to \; \infty \; e\; (z\; -\; 1)\; t\; sin\; \; (ezt)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{(z-1)\; t\}\; \backslash \; sin\; (e\; ^\; \{zt\})\; =\; 0\}$

имеет место только для z < 1, and so the weak Borel sum converges on this smaller domain.

Суммируемость по хордам

Если формальный ряд A (z) суммируем по Борелю в точке z 0∈ C, то он также суммируем по Борелю во всех точках на хорде Oz 0, соединяющих z 0 в происхождение. Более того, существует функция a (z), аналитическая по всему диску с радиусом Oz 0 такая, что

$\sum \; akzk\; =\; a\; (z)\; (B),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z)\; \backslash ,\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}),\}$

для всех z = θz 0, θ ∈ [0,1].

Непосредственным следствием является то, что область сходимости суммы Бореля представляет собой звездную область в C . Об области сходимости борелевской суммы можно сказать больше, чем о том, что это звездная область, называемая борелевским многоугольником, и определяется особенностями ряда A (z).

Многоугольник Бореля

Предположим, что A (z) имеет строго положительный радиус сходимости, так что он аналитичен в нетривиальной области, содержащей начало координат, и пусть S A обозначает множество особенностей A. Это означает, что P ∈ S A тогда и только тогда, когда A можно аналитически продолжить вдоль открытой хорды от 0 до P, но не до самой P. Для P ∈ S A пусть L P обозначает прямую, проходящую через P, перпендикулярную хорде OP. Определите множества

$\Pi \; P\; =\; \{z\; \in \; C:\; O\; z\; \cap \; LP\; =\; \varnothing \},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{P\}\; =\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash ,\; \backslash \; двоеточие\; \backslash ,\; Oz\; \backslash \; cap\; L\_\; \{P\}\; =\; \backslash \; varnothing\; \backslash \},\}$

набор точек, лежащих на той же стороне от L P, что и начало координат. Многоугольником Бореля A называется множество

$\Pi \; A\; =\; cl\; \; (\bigcap \; P\; \in \; S\; A\; \Pi \; P).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{cl\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcap\; \_\; \{P\; \backslash \; in\; S\_\; \{A\}\}\; \backslash \; Pi\; \_\; \{P\}\; \backslash \; right).\}$

Альтернативное определение было использовано Борель и Фрагмен (Sansone Gerretsen 1960, 8.3). Пусть $S\; \subset \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$обозначает самую большую звездную область, в которой есть аналитическое расширение A, тогда $\Pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\}$- это наибольшее подмножество $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$такое, что для всех $P\; \in \; \Pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; in\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\}$внутренняя часть круга диаметром OP содержится в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Ссылаясь на набор $\Pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\}$как на многоугольник, это в некоторой степени неправильное название, поскольку набор вовсе не обязательно должен быть многоугольником; если, однако, A (z) имеет только конечное число особенностей, то $\Pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\}$на самом деле будет многоугольником.

Следующая теорема, принадлежащая Борелю и Фрагмену, обеспечивает критерии сходимости для суммирования по Борелю.

Теорема (Харди 1992, 8.8).

Ряд A (z) (B ) суммируем при всех $z\; \in \; int\; \; (\Pi \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{int\}\; (\backslash \; Pi\; \_\; \{A\})\}$и (B ) вообще расходится $z\; \in \; C\; \setminus \; \Pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\}$.

Обратите внимание, что (B ) суммируемость для $z\; \in \; \partial \; \Pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; partial\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\}$зависит от природы точки.

Пример 1

Пусть ω i∈ Cобозначает корни m-й степени из единицы, i = 1,..., m, и рассмотрим

$A\; (z)\; =\; \sum \; k\; Знак\; равно\; 0\; \infty \; (\omega \; 1\; К\; +\; \cdots \; +\; \omega \; mk)\; ZK\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; м\; 1\; 1\; -\; \omega \; iz,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; A\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; ^\; \{k\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{m\}\; ^\; \{k\})\; z\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; z\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, которая сходится на B (0,1) ⊂ C . Рассматриваемая как функция на C, A (z) имеет особенности в S A = {ω i : i = 1,..., m}, и, следовательно, многоугольник Бореля $\Pi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{A\}\}$задается правильным m-угольником с центром в начале координат и таким, что 1 ∈ C - средняя точка ребра.

Пример 2

Формальный ряд

$A\; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; z\; 2\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; z\; ^\; \{2\; ^\; \{k\}\},\}$

сходится для всех (например, посредством сравнительного теста с геометрическим рядом). Однако можно показать, что A не сходится ни для какой точки z ∈ C такой, что z = 1 для некоторого n. Поскольку множество таких z плотно в единичной окружности, не может быть аналитического расширения A вне B (0,1). Впоследствии самая большая звездная область, на которую A может быть аналитически расширена, - это S = B (0,1), из которой (через второе определение) получаем $\Pi \; A\; =\; B\; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{\; A\}\; =\; B\; (0,1)\}$. В частности, видно, что многоугольник Бореля не является многоугольником.

Тауберова теорема

A Тауберова теорема предоставляет условия, при которых сходимость одного метода суммирования подразумевает сходимость по другому методу. Основная тауберова теорема для суммирования Бореля дает условия, при которых слабый метод Бореля влечет сходимость ряда.

Теорема (Харди 1992, 9.13). Если A (wB ) суммируется в z 0∈ C, $\sum \; akz\; 0,\; k\; =\; a\; (z\; 0)\; (w\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\}\; a\_\; \{k\}\; z\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z\_\; \{0\})\; \backslash ,\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{wB\}\})\}$и

$akz\; 0\; k\; =\; O\; (k\; -\; 1/2),\; \forall \; k\; \ge \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{k\}\; z\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; =\; O\; (k\; ^\; \{-\; 1/2\}),\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; k\; \backslash \; geq\; 0,\}$

, затем $\sum \; k\; =\; 0\; \infty \; akz\; 0\; К\; знак\; равно\; a\; (z\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{k\}\; z\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; =\; a\; (z\_\; \{0\})\}$, и ряд сходится для всех | z | < |z0|.

Суммирование по Борелю находит применение в разложениях по возмущениям в квантовой теории поля. В частности, в двумерной евклидовой теории поля функции Швингера часто можно восстановить из их рядов возмущений с помощью борелевского суммирования (Glimm Jaffe 1987, p. 461). Некоторые особенности преобразования Бореля связаны с инстантонами и ренормалонами в квантовой теории поля (Weinberg 2005, 20.7).

Суммирование по Борелю требует, чтобы коэффициенты не росли слишком быстро: точнее, a n должно быть ограничено n! C для некоторого C. вариант суммирования Бореля, заменяющий факториалы n! с (kn)! для некоторого положительного целого числа k, что позволяет суммировать некоторые ряды с n, ограниченным (kn)! C для некоторого C. Это обобщение дается с помощью суммирования Миттаг-Леффлера.

В В наиболее общем случае суммирование по Борелю обобщается с помощью пересуммирования Нахбина, которое может использоваться, когда ограничивающая функция имеет некоторый общий тип (psi-тип), вместо экспоненциального типа.

• Суммирование Абеля
• Теорема Абеля
• Формула Абеля – Планы
• Суммирование Эйлера
• Суммирование Чезаро
• Суммирование Ламберта
• Повторное суммирование Нахбина
• Абелевы и тауберовы теоремы
• Преобразование Ван Вийнгаардена

1. ^ Харди, Г. Х. (1992). Расходящиеся серии. AMS Челси, Род-Айленд.
2. ^«Естественная граница». MathWorld. Проверено 19 октября 2016 г.

• Borel, E. (1899), «Mémoire sur les séries divergentes», Ann. Sci. Éc. Норма. Supér., Series 3, 16 : 9–131, doi : 10.24033 / asens.463
• Glimm, James; Джаффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-4728-9, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
• Харди, Годфри Гарольд (1992) [1949], Divergent Series, New Йорк: Челси, ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1978), Методы современной математической физики. IV. Анализ операторов, Нью-Йорк: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421
• Сансоне, Джованни; Герретсен, Йохан (1960), Лекции по теории функций комплексного переменного. I. Голоморфные функции, П. Нордхофф, Гронинген, MR 0113988
• Вайнберг, Стивен (2005), Квантовая теория полей., II, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467
• Захаров А.А. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press