Интеграл Френеля

Графики S ( x) и C ( x). Максимум C ( x) составляет около0,977 451 424. Если бы подынтегральные выражения S и C были определены с помощью π/2t ² вместо t ², тогда изображение будет масштабировано по вертикали и горизонтали (см. ниже).

В Интегралах Френеля S ( х) и С ( х) две трансцендентных функций, названными в честь Френеля, которые используются в оптике и тесно связанные с функцией ошибки ( ERF). Они возникают при описании явлений дифракции Френеля в ближней зоне и определяются через следующие интегральные представления:

${\ Displaystyle S (х) = \ int _ {0} ^ {x} \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt, \ quad C (x) = \ int _ {0} ^ { x} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt.}$

Одновременное параметрическое участок из S ( х) и С ( х) является клотоида (также известной как спираль Корня или клотоида).

• 1 Определение
• 2 спираль Эйлера
• 3 свойства
  • 3.1 Пределы, когда x стремится к бесконечности
• 4 Обобщение
• 5 Численное приближение
• 6 приложений
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 ссылки
• 10 Внешние ссылки

Интегралы Френеля с аргументами π/2t ² вместо t ² сходятся к1/2 вместо 1/2 √π/2.

Интегралы Френеля допускают следующие разложения в степенной ряд, сходящиеся для всех x:

${\ displaystyle {\ begin {align} S (x) amp; = \ int _ {0} ^ {x} \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt amp;amp; = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {4n + 3}} {(2n + 1)! (4n + 3)}}. \\ [6px] C (x) amp; = \ int _ {0} ^ {x} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt amp;amp; = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} { \ frac {x ^ {4n + 1}} {(2n)! (4n + 1)}}. \ end {align}}}$

Некоторые широко используемые таблицы используют π/2t ² вместо t ² для аргумента интегралов, определяющих S ( x) и C ( x). Это изменяет их пределы на бесконечности с1/2 √π/2 к 1/2и длина дуги для первого витка спирали от √ 2 π до 2 (при t = 2). Эти альтернативные функции обычно называют нормализованными интегралами Френеля.

Основная статья: спираль Эйлера Спираль Эйлера ( x, y) = ( C ( t), S ( t)). Спираль сходится к центру отверстий на изображении, когда t стремится к положительной или отрицательной бесконечности. Анимация, изображающая эволюцию спирали Корню с касательной окружностью с тем же радиусом кривизны, что и на ее вершине, также известной как соприкасающийся круг.

Эйлера спираль, также известная как Корень спираль или клотоида, является кривой порождается параметрический участком из S ( т) против С ( т). Спираль Корню была создана Мари Альфредом Корню как номограмма для дифракционных расчетов в науке и технике.

Из определений интегралов Френеля бесконечно малые dx и dy равны:

${\ Displaystyle {\ begin {align} dx amp; = C '(t) \, dt = \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt, \\ dy amp; = S' (t) \, dt = \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt. \ end {align}}}$

Таким образом, длину спирали, измеренную от начала координат, можно выразить как

${\ Displaystyle L = \ int _ {0} ^ {t_ {0}} {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {t_ {0}} dt = t_ {0}.}$

То есть параметр t - это длина кривой, отсчитываемая от начала координат (0, 0), а спираль Эйлера имеет бесконечную длину. Вектор (cos ( t ²), sin ( t ²)) также выражает единичный касательный вектор вдоль спирали, что дает θ = t ². Поскольку t - длина кривой, кривизна κ может быть выражена как

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {R}} = {\ frac {d \ theta} {dt}} = 2t.}$

Таким образом, скорость изменения кривизны относительно длины кривой равна

${\ displaystyle {\ frac {d \ kappa} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = 2.}$

Спираль Эйлера обладает тем свойством, что ее кривизна в любой точке пропорциональна расстоянию по спирали, измеренному от начала координат. Это свойство делает его полезным в качестве переходной кривой в автомобильной и железнодорожной технике: если транспортное средство движется по спирали с единичной скоростью, параметр t в приведенных выше производных также представляет время. Следовательно, транспортное средство, движущееся по спирали с постоянной скоростью, будет иметь постоянную скорость углового ускорения.

Отрезки спиралей Эйлера обычно включают в форму петель американских горок, чтобы сделать так называемые клотоидные петли.

• C ( x) и S ( x) - нечетные функции от x.
• Асимптотика интегралов Френеля при x → ∞ дается формулами:

${\ displaystyle {\ begin {align} S (x) amp; = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ left ({\ frac {\ operatorname {sgn} x} {2}} - \ left [1 + O \ left (x ^ {- 4} \ right) \ right] \ left ({\ frac {\ cos \ left (x ^ {2} \ right)} {x {\ sqrt {2 \ pi }}}} + {\ frac {\ sin \ left (x ^ {2} \ right)} {x ^ {3} {\ sqrt {8 \ pi}}}} \ right) \ right), \\ [ 6px] C (x) amp; = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ left ({\ frac {\ operatorname {sgn} x} {2}} + \ left [1 + O \ left (x ^ {- 4} \ right) \ right] \ left ({\ frac {\ sin \ left (x ^ {2} \ right)} {x {\ sqrt {2 \ pi}}}} - {\ frac {\ cos \ left (x ^ {2} \ right)} {x ^ {3} {\ sqrt {8 \ pi}}}} \ right) \ right). \ end {align}}}$

Комплексный интеграл Френеля S ( z)

• Используя приведенные выше разложения в степенной ряд, интегралы Френеля могут быть расширены до области комплексных чисел, где они становятся аналитическими функциями комплексной переменной.
• C ( z) и S ( z) - целые функции комплексной переменной z.
• Интегралы Френеля можно выразить с помощью функции ошибок следующим образом:

Комплексный интеграл Френеля C ( z)

${\ displaystyle {\ begin {align} S (z) amp; = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {4}} \ left [\ operatorname { erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right) -i \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}} } z \ right) \ right], \\ [6px] C (z) amp; = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1-i} {4}} \ left [\ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right) + i \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}}} z \ right) \ right]. \ end {выравнивается}}}$

или

${\ displaystyle {\ begin {align} C (z) + iS (z) amp; = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {2}} \ имя оператора {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}}} z \ right), \\ [6px] S (z) + iC (z) amp; = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right). \ end {выравнивается}}}$

Пределы, когда x приближается к бесконечности

Интегралы, определяющие C ( x) и S ( x), не могут быть вычислены в замкнутой форме в терминах элементарных функций, за исключением особых случаев. В пределах этих функций, х обращается в бесконечность известны:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin \ left (t ^ { 2} \ right) \, dt = {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {4}} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {8}}} \ приблизительно 0,6267.}$

Секторный контур, используемый для вычисления пределов интегралов Френеля

Пределы C ( x) и S ( x), поскольку аргумент x стремится к бесконечности, можно найти с помощью нескольких методов. Один из них использует контурный интеграл функции

${\ displaystyle e ^ {- z ^ {2}}}$

вокруг границы секторной области в комплексной плоскости, образованной положительной осью x, биссектрисой первого квадранта y = x с x ≥ 0 и дугой окружности радиуса R с центром в начале координат.

При стремлении R к бесконечности интеграл по дуге окружности γ 2 стремится к 0

${\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {2}} e ^ {- z ^ {2}} \, dz \ right | = \ left | \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi } {4}} e ^ {- R ^ {2} (\ cos t + i \ sin t) ^ {2}} \, Re ^ {it} dt \ right | \ leq R \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} e ^ {- R ^ {2} \ cos 2t} \, dt \ leq R \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} e ^ {-R ^ {2} \ left (1 - {\ frac {4} {\ pi}} t \ right)} \, dt = {\ frac {\ pi} {4R}} \ left (1-e ^ {-R ^ {2}} \ right),}$

где полярные координаты Z = Re ^оно было использовано и неравенство Джордана было использовано для второго неравенства. Интеграл по действительной оси γ 1 стремится к половинному интегралу Гаусса

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {1}} e ^ {- z ^ {2}} \, dz = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}.}$

Отметим также, что, поскольку подынтегральное выражение является целой функцией на комплексной плоскости, его интеграл по всему контуру равен нулю. В целом у нас должно быть

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {3}} e ^ {- z ^ {2}} \, dz = \ int _ {\ gamma _ {1}} e ^ {- z ^ {2}} \, dz = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt,}$

где γ 3 обозначает биссектрису первого квадранта, как на диаграмме. Чтобы оценить левую часть, параметризуйте биссектрису как

${\ displaystyle z = te ^ {i {\ frac {\ pi} {4}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) t}$

где t изменяется от 0 до + ∞. Обратите внимание, что квадрат этого выражения равен + it ². Следовательно, подстановка дает левую часть как

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- it ^ {2}} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) \, dt.}$

Используя формулу Эйлера, чтобы взять действительную и мнимую части e ^{- это 2} дает это как

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ cos \ left (t ^ {2} \ right) -i \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \ right) {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) \, dt \\ [6px] amp; \ quad = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ cos \ left (t ^ {2} \ right) + \ sin \ left (t ^ {2} \ right) + i \ left (\ cos \ left (t ^ {2} \ right) - \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \ right) \ right] \, dt \\ [6px] amp; \ quad = {\ frac {\ sqrt {\ pi }} {2}} + 0i, \ end {выровнено}}}$

где мы написали 0 i, чтобы подчеркнуть, что исходное значение интеграла Гаусса полностью вещественно с нулевой мнимой частью. Сдача

${\ Displaystyle I_ {C} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left (t ^ {2} \ right) \, dt, \ quad I_ {S} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin \ left (t ^ {2} \ right) \, dt}$

а затем приравнивание действительной и мнимой частей дает следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными I C и I S:

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {C} + I_ {S} amp; = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}, \\ I_ {C} -I_ {S} amp; = 0. \ end {выровнено}}}$

Решение этого для I C и I S дает желаемый результат.

Интегральный

${\ displaystyle \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx = \ int \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {l} x ^ { m + nl}} {l!}} \, dx = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {l}} {(m + nl + 1)}} {\ frac {x ^ {m + nl + 1}} {l!}}}$

является конфлюэнтной гипергеометрической функцией, а также неполной гамма-функцией

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx amp; = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {m + 1} {n}} \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n}} \ end { array}} \ mid ix ^ {n} \ right) \\ [6px] amp; = {\ frac {1} {n}} i ^ {\ frac {m + 1} {n}} \ gamma \ left ({ \ frac {m + 1} {n}}, - ix ^ {n} \ right), \ end {align}}}$

который сводится к интегралам Френеля, если взять действительную или мнимую части:

${\ displaystyle \ int x ^ {m} \ sin (x ^ {n}) \, dx = {\ frac {x ^ {m + n + 1}} {m + n + 1}} \, _ {1 } F_ {2} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {1} {2}} + {\ frac {m + 1} {2n}} \\ {\ frac {3} {2 }} + {\ frac {m + 1} {2n}}, {\ frac {3} {2}} \ end {array}} \ mid - {\ frac {x ^ {2n}} {4}} \ верно)}$.

Главный член асимптотического разложения равен

${\ displaystyle _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {m + 1} {n}} \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n}) } \ end {array}} \ mid ix ^ {n} \ right) \ sim {\ frac {m + 1} {n}} \, \ Gamma \ left ({\ frac {m + 1} {n}} \ right) e ^ {i \ pi {\ frac {m + 1} {2n}}} x ^ {- m-1},}$

и поэтому

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx = {\ frac {1} {n}} \, \ Gamma \ left ({ \ frac {m + 1} {n}} \ right) e ^ {i \ pi {\ frac {m + 1} {2n}}}.}.$

В частности, при m = 0 мнимая часть этого уравнения имеет вид

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin \ left (x ^ {a} \ right) \, dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {a}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2a}} \ right),}$

левая часть сходится при a gt; 1, а правая часть является его аналитическим продолжением на всю плоскость меньше, где лежат полюсы Γ ( a ⁻¹).

Преобразование Куммера вырожденной гипергеометрической функции имеет вид

${\ displaystyle \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \, dx = V_ {n, m} (x) e ^ {ix ^ {n}},}$

с

${\ displaystyle V_ {n, m}: = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c } 1 \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n}} \ end {array}} \ mid -ix ^ {n} \ right).}$

Для вычислений с произвольной точностью степенной ряд подходит для малого аргумента. При большом аргументе асимптотические разложения сходятся быстрее. Также могут использоваться методы непрерывного дробления.

Для вычисления с определенной целевой точностью были разработаны другие приближения. Коди разработал набор эффективных приближений, основанных на рациональных функциях, которые дают относительные ошибки вплоть до2 × 10 ⁻¹⁹. FORTRAN реализация приближения Коди, который включает в себя значение коэффициентов, необходимых для реализации на других языках была опубликована ван Снайдер. Боерсма разработал приближение с погрешностью менее1,6 × 10 ⁻⁹.

Интегралы Френеля первоначально использовались при вычислении напряженности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты. Совсем недавно они использовались при проектировании автомагистралей и железных дорог, в частности их переходных зон кривизны, см. Переходную кривую пути. Другие приложения - это американские горки или расчет переходов на велодромной трассе, позволяющий быстро входить в повороты и постепенно выходить из них.

• Интеграл Бёмера
• Зона Френеля
• Кривая перехода трека
• Спираль Эйлера
• Зональная пластина
• Интеграл Дирихле

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN   978-0-486-61272-0. LCCN   64-60036. Руководство по ремонту   0167642. LCCN   65-12253.
• Алаза, Мохаммад (2012). «Вычисление интегралов Френеля с помощью модифицированных правил трапеций». Numerische Mathematik. 128 (4): 635–661. arXiv : 1209.3451. Bibcode : 2012arXiv1209.3451A. DOI : 10.1007 / s00211-014-0627-Z. S2CID   13934493.
• Битти, Томас (2013). «Как вычислить интегралы Френеля» (PDF). FGCU Math - Лето 2013. Проверено 27 июля 2013 года.
• Боерсма, Дж. (1960). «Вычисление интегралов Френеля». Математика. Комп. 14 (72): 380. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1960-0121973-3. Руководство по ремонту   0121973.
• Булирш, Роланд (1967). «Численный расчет синуса, косинуса и интегралов Френеля». Нумер. Математика. 9 (5): 380–385. DOI : 10.1007 / BF02162153. S2CID   121794086.
• Коди, Уильям Дж. (1968). «Чебышевские приближения для интегралов Френеля» (PDF). Математика. Комп. 22 (102): 450–453. DOI : 10.1090 / S0025-5718-68-99871-2.
• Хангелбрук, Р. Дж. (1967). «Численное приближение интегралов Френеля полиномами Чебышева». J. Eng. Математика. 1 (1): 37–50. Bibcode : 1967JEnMa... 1... 37H. DOI : 10.1007 / BF01793638. S2CID   122271446.
• Матар, RJ (2012). «Разложение в ряд обобщенных интегралов Френеля». Arxiv : 1211.3963 [ math.CA ].
• Нейв, Р. (2002). "Спираль Корню". (Использует π/2t ² вместо t ^2.)
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.8.1. Интегралы Френеля». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-88068-8.
• ван Снайдер, В. (1993). «Алгоритм 723: интегралы Френеля». ACM Trans. Математика. Софтв. 19 (4): 452–456. DOI : 10.1145 / 168173.168193. S2CID   12346795.
• Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление Early Transcendentals. Cengage Learning EMEA. ISBN   978-0-495-38273-7.
• Темме, Н.М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5, MR   2723248
• van Wijngaarden, A.; Шин, WL (1949). Таблица интегралов Френеля. Verhandl. Конинк. Нед. Акад. Wetenschapen. 19.
• Zajta, Aurel J.; Гоэль, Судхир К. (1989). «Методы параметрической интеграции». Математический журнал. 62 (5): 318–322. DOI : 10.1080 / 0025570X.1989.11977462.

• Cephes, бесплатный код C ++ / C с открытым исходным кодом для вычисления интегралов Френеля среди других специальных функций. Используется в SciPy и ALGLIB.
• Пакет Faddeeva, бесплатный / открытый код C ++ / C для вычисления сложных функций ошибок (из которых могут быть получены интегралы Френеля) с оболочками для Matlab, Python и других языков.
• "Интегралы Френеля", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• "Петли для американских горок". Архивировано из оригинального 23 сентября 2008 года. Проверено 13 августа 2008.
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегралы Френеля». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Спираль Корню". MathWorld.