Экспоненциальный тип

редактировать

тип сложной функции с ростом, ограниченным экспоненциальная функция

График функции серый:

e - π z 2 {\ displaystyle e ^ {- \ pi z ^ {2}}}

{\ displaystyle е ^ {- \ пи z ^ {2}}}

, гауссово ограничено действительным ось. Гауссиан не имеет экспоненциального типа, но функции, выделенные красным и синим, являются односторонними приближениями, которые имеют экспоненциальный тип

2 π {\ displaystyle 2 \ pi}

2 \ pi

В комплексном анализе ветвь из математики, голоморфная функция называется экспоненциального типа C, если ее рост ограничен экспоненциальной функцией e для некоторой действительной константы C как | z | → ∞. Когда функция ограничена таким образом, можно выразить ее как определенные виды сходящихся суммирований по ряду других сложных функций, а также понять, когда можно применять такие методы, как суммирование по Борелю, или, например, для применения преобразования Меллина, или для выполнения приближений с использованием формулы Эйлера – Маклорена. Общий случай описывается теоремой Нахбина, которая определяет аналогичное понятие Ψ-типа для общей функции Ψ (z) в отличие от e.

Содержание

1 Основная идея
2 Формальное определение
3 Экспоненциальный тип по отношению к симметричному выпуклому телу
4 Пространство Фреше
5 См. Также
6 Ссылки

Основные идея

Функция f (z), определенная на комплексной плоскости, называется экспоненциальным типом, если существуют действительные константы M и τ такие, что

| f (r e i θ) | ≤ M е τ р {\ displaystyle | f (re ^ {i \ theta}) | \ leq Me ^ {\ tau r}}

{\ displaystyle | f (re ^ {i \ theta}) | \ le Me ^ {\ tau r}}

в пределах $r → ∞ {\ displaystyle r \ to \ infty}$ ${\ displaystyle r \ to \ infty}$ . Здесь комплексная переменная z была записана как $z = rei θ {\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}$ ${\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}$ , чтобы подчеркнуть, что предел должен соблюдаться во всех направления θ. Если обозначить τ как точную нижнюю границу всех таких τ, тогда говорят, что функция f имеет экспоненциальный тип τ.

Например, пусть $f (z) = sin ⁡ (π z) {\ displaystyle f (z) = \ sin (\ pi z)}$ ${\ displaystyle f (z) = \ sin (\ pi z)}$ . Тогда говорят, что $sin ⁡ (π z) {\ displaystyle \ sin (\ pi z)}$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi z)}$ имеет экспоненциальный тип π, поскольку π - наименьшее число, ограничивающее рост $грех ⁡ (π z) {\ displaystyle \ sin (\ pi z)}$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi z)}$ вдоль мнимой оси. Итак, для этого примера теорема Карлсона не может применяться, так как она требует функций экспоненциального типа меньше, чем π. Аналогичным образом, формула Эйлера – Маклорена также не может быть применена, поскольку она также выражает теорему, в конечном счете закрепленную в теории конечных разностей.

Формальное определение

A голоморфной функции $F (z) {\ displaystyle F (z)}$ ${\ displaystyle F (z)}$ относится к экспоненциальному типу $σ>0 {\ displaystyle \ sigma>0}$ $\sigma>0$ 0 "class =" mwe-math-fallback-image-inline "src =" https://wikimedia.org/api/rest_v1/media / math / render / svg / e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12 "/>существует постоянная с действительным знаком $A ε {\ displaystyle A _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle A_ \ varepsilon}$ такая, что

| F (z) | ≤ A ε e (σ + ε) | z | {\ displaystyle | F (z) | \ leq A _ {\ varepsilon} e ^ {(\ sigma + \ varepsilon) | z |}}

{\ Displaystyle | F (Z) | \ Leq A_ \ varepsilon e ^ {(\ sigma + \ varepsilon) | z |}}

для $| z | → ∞ {\ displaystyle | z | \ to \ infty}$ ${\ displaystyle | z | \ to \ infty}$ , где $z ∈ C {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ $z \ in \ mathbb {C}$ . Мы говорим, что $F (z) {\ displaystyle F (z)}$ ${\ displaystyle F (z)}$ имеет экспоненциальный тип, если $F (z) {\ displaystyle F (z)}$ ${\ displaystyle F (z)}$ равно экспоненциального типа $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ для некоторого $σ>0 {\ displaystyle \ sigma>0}$ $\sigma>0$ . Число

τ (F) = z = lim sup | → ∞ | z | - 1 журнал ⁡ | F (z) | {\ displaystyle \ tau (F) = \ sigma = \ displaystyle \ limsup _ {| z | \ rightarrow \ infty} | z | ^ {- 1} \ log | F (z) |}

{\ displaystyle \ tau (F) = \ sigma = \ displaystyle \ limsup_ {| z | \ rightarrow \ infty} | z | ^ {- 1} \ log | F (z) |}

- это экспоненциальный тип $F (z) {\ displaystyle F (z)}$ ${\ displaystyle F (z)}$ . Верхний предел здесь означает предел supremum отношения вне заданного радиуса, когда радиус стремится к бесконечности. Это также верхний предел максимума отношения в данном радиусе, когда радиус стремится к бесконечности. Superior может существовать, даже если максимум на радиусе r не имеет предела, поскольку r стремится к бесконечности. Например, mple, для функции

F (z) = ∑ n = 1 ∞ z 10 n! (10 п!)! {\ displaystyle F (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {10 ^ {n!}}} {(10 ^ {n!})!}}}

F (z) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {z ^ {10 ^ {n!}}} {(10 ^ {n!})!}

значение

(max | z | = r log ⁡ | F (z) |) / r {\ displaystyle (\ max _ {| z | = r} \ log | F (z) |) / r}

( \ max_ {| z | = r} \ log | F (z) |) / r

при $r = 10 n! - 1 {\ displaystyle r = 10 ^ {n! -1}}$ $r = 10 ^ {n! -1}$ асимптотически равен $(log ⁡ 10 (n - 1)! (N - 1) - 1) / 10 (n - 1)! (п - 1) - 1 {\ Displaystyle (\ журнал 10 ^ {(п-1)! (п-1) -1}) / 10 ^ {(п-1)! (п-1) -1}}$ $(\ log 10 ^ {(n-1)! (N-1) -1}) / 10 ^ {(n-1)! (N-1) -1}$ и, таким образом, стремится к нулю, когда n стремится к бесконечности, но F (z), тем не менее, имеет экспоненциальный тип 1, что можно увидеть, посмотрев на точки $z = 10 n! {\ displaystyle z = 10 ^ {n!}}$ $z = 10 ^ {n!}$ .

Экспоненциальный тип по отношению к симметричному выпуклому телу

Стейн (1957) дал обобщение экспоненциального типа для целых функций из нескольких сложных переменных. Предположим, что $K {\ displaystyle K}$ $K$ является выпуклым, компактным и симметричным подмножеством $R n { \ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Известно, что каждому такому $K {\ displaystyle K}$ $K$ соответствует norm $‖ ⋅ ‖ K {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {K}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _K}$ со свойством

K = {x ∈ R n: ‖ x ‖ K ≤ 1}. {\ displaystyle K = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ | x \ | _ {K} \ leq 1 \}.}

K = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: \ | x \ | _K \ leq1 \}.

Другими словами, $K {\ displaystyle K}$ $K$ - единичный шар в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ относительно $‖ ⋅ ‖ K {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {K}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _K}$ . Множество

K ∗ = {y ∈ R n: x ⋅ y ≤ 1 для всех x ∈ K} {\ displaystyle K ^ {*} = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ cdot y \ leq 1 {\ text {для всех}} x \ in {K} \}}

{\ displaystyle K ^ {*} = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ cdot y \ leq 1 \ text {для всех} x \ in {K } \}}

называется полярным множеством и также является выпуклым, компактный и симметричный подмножество $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Кроме того, мы можем записать

‖ x ‖ K = sup y ∈ K ∗ | x ⋅ y |. {\ displaystyle \ | x \ | _ {K} = \ displaystyle \ sup _ {y \ in K ^ {*}} | x \ cdot y |.}

\ | x \ | _K = \ displaystyle \ sup_ {y \ in К ^ {*}} | х \ cdot y |.

Мы расширяем $‖ ⋅ ‖ K {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {K}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _K}$ от $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ до $C n { \ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ по

‖ z ‖ K = sup y ∈ K ∗ | z ⋅ y |. {\ displaystyle \ | z \ | _ {K} = \ displaystyle \ sup _ {y \ in K ^ {*}} | z \ cdot y |.}

{\ displaystyle \ | z \ | _K = \ displaystyle \ sup_ {y \ in K ^ {*}} | z \ cdot y |.}

Целая функция $F (z) { \ displaystyle F (z)}$ ${\ displaystyle F (z)}$ of $n {\ displaystyle n}$ $n$ -сложные переменные, как говорят, имеют экспоненциальный тип по отношению к $K {\ displaystyle K }$ $K$ если для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует константа с действительным знаком $A ε {\ displaystyle A _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle A_ \ varepsilon}$ такая что

| F (z) | < A ε e 2 π ( 1 + ε) ‖ z ‖ K {\displaystyle |F(z)|

{\ displaystyle | F (z) | <A_ \ varepsilon e ^ {2 \ pi (1+ \ varepsilon) \ | z \ | _K}}

для всех

z ∈ C n {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {n}}

{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {n }}

пространство Фреше

Коллекции функций экспоненциального типа $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ может образовывать полное однородное пространство, а именно пространство Фреше топологией , индуцированной счетным семейством норм

‖ f ‖ n = sup z ∈ C exp ⁡ [- (τ + 1 n) | z |] | f (z) |. {\ displayst yle \ | f \ | _ {n} = \ sup _ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ left [- \ left (\ tau + {\ frac {1} {n}} \ right) | z | \ right] | f (z) |.}

\ | f \ | _n = \ sup_ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ left [- \ left (\ tau + \ frac {1} {n} \ right) | z | \ right] | f (z) |.

См. также

Теорема Пэли – Винера

Ссылки

Stein, EM (1957), «Функции экспоненциального типа», Ann. of Math., 2, 65 : 582–592, doi : 10.2307 / 1970066, JSTOR 1970066, MR 0085342