Функция Эйри

редактировать

В физических науках функция Эйри (или функция Эйри первого вида ) Ai (x) - это специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892). Функция Ai (x) и связанная с ней функция Bi (x) являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения

d 2 ydx 2 - xy = 0, {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - xy = 0, \, \!}

\ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} - xy = 0, \, \!

, известное как уравнение Эйри или уравнение Стокса . Это простейшее линейное дифференциальное уравнение второго порядка с точкой поворота (точка, в которой характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный).

Функция Эйри является решением не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы, заключенной в треугольной потенциальной яме, и для частицы в одномерной постоянной силе поле. По той же причине он также служит для обеспечения однородных полуклассических приближений вблизи точки поворота в приближении ВКБ, когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение с треугольной потенциальной ямой имеет прямое отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводниковых гетеропереходах.

Функция Эйри также лежит в основе формы интенсивности вблизи оптической направленной каустики, такой как радуга. Исторически именно эта математическая проблема побудила Эйри разработать эту специальную функцию.

A другая функция, также названная в честь Эйри, важна в микроскопии и астрономии ; он описывает шаблон из-за дифракции и интерференции, создаваемых точечным источником света (который намного меньше, чем предел разрешающей способности микроскопа или телескопа ).

Содержание

1 Определения
2 Свойства
3 Асимптотические формулы
4 Комплексные аргументы
- 4.1 Графики
5 Связь с другими специальными функциями
6 Преобразование Фурье
7 Другие варианты использования термина функция Эйри
- 7.1 Коэффициент пропускания интерферометра Фабри – Перо
- 7.2 Дифракция на круглой апертуре
8 История
9 См. Также
10 Примечания
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

Определения

График Ai (x) красным цветом и Bi (x) синим

Для реальных значений x функция Эйри первого рода может быть определена с помощью несобственный интеграл Римана :

Ai ⁡ (x) = 1 π ∫ 0 ∞ cos ⁡ (t 3 3 + xt) dt ≡ 1 π lim b → ∞ ∫ 0 b cos ⁡ (t 3 3 + xt) dt, {\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x) = {\ dfrac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ { 3}} {3}} + xt \ right) \, dt \ Equiv {\ dfrac {1} {\ pi}} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, dt,}

{\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x) = {\ dfrac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, dt \ Equiv {\ dfrac {1} {\ pi}} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ {3} } {3}} + xt \ right) \, dt,}

которое сходится по тесту Дирихле. Для любого действительного числа $x {\ displaystyle x}$ $x$ существует положительное действительное число $M {\ displaystyle M}$ $M$ такое, что функция $t 3 3 + xt {\ displaystyle {\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$ - возрастающая, неограниченная и выпуклая с непрерывной и неограниченной производной на интервале $[M, ∞) {\ displaystyle [M, \ infty)}$ ${\ displaystyle [M, \ infty)}$ . Сходимость интеграла на этом интервале может быть доказана с помощью теста Дирихле после замены $u = t 3 3 + xt {\ displaystyle u = {\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$ ${\ displaystyle u = { \ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$ .

y = Ai (x) удовлетворяет уравнению Эйри

y ″ - xy = 0. {\ displaystyle y '' - xy = 0.}

y'' - xy = 0.

Это уравнение имеет два линейно независимых решения. С точностью до скалярного умножения Ai (x) является решением, удовлетворяющим условию y → 0 при x → ∞. Стандартным выбором для другого решения является функция Эйри второго рода, обозначаемая Bi (x). Он определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai (x) при x → −∞, которое отличается по фазе на π / 2:

Bi ⁡ (x) = 1 π ∫ 0 ∞ [exp ⁡ (- t 3 3 + xt) + sin ⁡ (t 3 3 + xt)] dt. {\ displaystyle \ operatorname {Bi} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ exp \ left (- {\ tfrac {t ^ { 3}} {3}} + xt \ right) + \ sin \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, \ right] dt.}

{\ displaystyle \ operatorname {Bi} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0 } ^ {\ infty} \ left [\ exp \ left (- {\ tfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) + \ sin \ left ({\ tfrac {t ^ {3}}) {3}} + xt \ right) \, \ right] dt.}

Свойства

Значения Ai (x) и Bi (x) и их производные при x = 0 равны

Ai ⁡ (0) = 1 3 2 3 Γ (2 3), Ai ′ ⁡ ( 0) = - 1 3 1 3 Γ (1 3), Bi ⁡ (0) = 1 3 1 6 Γ (2 3), Bi ′ ⁡ (0) = 3 1 6 Γ (1 3). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (0) {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {2} {3}} \ Gamma ({\ tfrac {2} { 3}})}}, \ quad \ operatorname {Ai} '(0) {} = - {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {3}} \ Gamma ({\ tfrac { 1} {3}})}}, \\\ operatorname {Bi} (0) {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {6}} \ Gamma ({\ tfrac { 2} {3}})}}, \ quad \ operatorname {Bi} '(0) {} = {\ frac {3 ^ {\ frac {1} {6}}} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {3}})}}. \ End {align}}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0){}={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},\quad \operatorname {Ai} '(0){}=-{\frac {1}{3^{\frac {1}{3}}\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}},\\\operatorname {Bi} (0){}={\frac {1}{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}},\quad \operatorname {Bi} '(0){}={\frac {3^{\frac {1}{6}}}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}.\end{aligned}}

Здесь Γ обозначает гамма-функцию. Отсюда следует, что вронскиан для Ai (x) и Bi (x) равен 1 / π.

Когда x положительный, Ai (x) положительный, выпуклый и экспоненциально убывающий до нуля, тогда как Bi (x) положительный, выпуклый и экспоненциально возрастающий. Когда x отрицателен, Ai (x) и Bi (x) колеблются около нуля с постоянно увеличивающейся частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается приведенными ниже асимптотическими формулами для функций Эйри.

Функции Эйри ортогональны в том смысле, что

∫ - ∞ ∞ Ai ⁡ (t + x) Ai ⁡ (t + y) dt = δ (x - y) {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (t + x) \ operatorname {Ai} (t + y) dt = \ delta (xy)}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (t + x) \ operatorname {Ai} (t + y) dt = \ delta (xy)}

снова с использованием неправильного интеграла Римана.

Асимптотические формулы

Ai (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Ai (пурпурный)

Bi (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Bi (пурпурный)

Как объяснено ниже, функции Эйри могут быть расширены до комплексной плоскости, давая целые функции. Асимптотика функций Эйри при | z | стремится к бесконечности при постоянном значении arg (z) зависит от arg (z): это называется феноменом Стокса. Для | arg (z) | < π we have the following асимптотическая формула для Ai (z):

Ai ⁡ (z) ∼ e - 2 3 z 3 2 π z 1 4 [∑ n = 0 ∞ (- 1) n Γ (n + 5 6) Γ (n + 1 6) (3 4) n 2 π n! z 3 n / 2]. {\ displaystyle \ operatorname {Ai} (z) \ sim {\ dfrac {e ^ {- {\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {{\ sqrt { \ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} { 2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ right].}

{\ displaystyle \ operatorname {Ai} (z) \ sim {\ dfrac {e ^ {- {\ frac {2} {3} } z ^ {\ frac {3} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! z ^ {3n / 2}}} \ right].}

и аналогичный для Bi (z), но применим только когда | arg (z) | < π/3:

Bi ⁡ (z) ∼ e 2 3 z 3 2 π z 1 4 [∑ n = 0 ∞ Γ (n + 5 6) Γ (n + 1 6) (3 4) n 2 π n! z 3 n / 2]. {\ displaystyle \ operatorname {Bi} (z) \ sim {\ frac {e ^ {{\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ Gamma (n + {\ frac {5} { 6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ right].}

{\ displaystyle \ operatorname {Bi} (z) \ sim {\ frac {e ^ {{\ frac {2} {3}} z ^ { \ frac {3} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ right].}

Более точная формула для Ai (z) и формула для Bi (z), когда π / 3 < |arg(z)| < π or, equivalently, for Ai(−z) and Bi(−z) when |arg(z)| < 2π/3 but not zero, are:

Ai ⁡ (- z) ∼ sin ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π z 1 4 [∑ n = 0 ∞ (- 1) n Γ (2 n + 5 6) Γ (2 n + 1 6) (3 4) 2 n 2 π (2 n)! z 3 n] - cos ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π z 1 4 [∑ n = 0 ∞ (- 1) n Γ (2 n + 11 6) Γ (2 n + 7 6) (3 4) 2 n + 1 2 π (2 n + 1)! z 3 n + 3/2] Bi ⁡ (- z) ∼ cos ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π z 1 4 [∑ n = 0 ∞ (- 1) n Γ (2 n + 5 6) Γ (2 N + 1 6) (3 4) 2 N 2 π (2 N)! z 3 n] + sin ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π z 1 4 [∑ n = 0 ∞ (- 1) n Γ (2 n + 11 6) Γ (2 n + 7 6) (3 4) 2 n + 1 2 π (2 n + 1)! z 3 n + 3/2]. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (-z) \ sim {} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3}) {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6 }}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] {} - {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{ \ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n } \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n +1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right] \\ [6pt] \ operatorname {Bi} (-z) \ sim {} {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma ( 2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] {} + {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac { 3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) } {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right]. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (-z) \ sim {} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4 }} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {( -1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] {} - {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1 } {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right] \\ [6pt] \ operatorname {Bi} (-z) \ sim {} {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4} }}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] {} + {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4 }} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} { 6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right ]. \ end {align}}}

Когда | arg (z) | = 0 это хорошие приближения, но они не являются асимптотическими, потому что соотношение между Ai (−z) или Bi (−z) и указанным выше приближением стремится к бесконечности, когда синус или косинус стремится к нулю. Также доступны асимптотические расширения для этих пределов. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1954) и (Olver, 1974).

Также можно получить асимптотические выражения для этих производных Ai '(z) и Bi' (z). Как и раньше, когда | arg (z) | <π:

$Ai ′ ⁡ (z) ∼ - z 1 4 e - 2 3 z 3 2 2 π [∑ n = 0 ∞ 1 + 6 n 1 - 6 n (- 1) n Γ (n + 5 6) Γ (n + 1 6) (3 4) n 2 π n! z 3 n / 2]. {\ displaystyle \ operatorname {Ai} '(z) \ sim - {\ dfrac {z ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {- {\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 6n} {1- 6n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! z ^ {3n / 2}}} \ right].}$ $\operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].$

Когда | arg (z) | <π/3 we have:

$Bi ′ ⁡ (z) ∼ z 1 4 e 2 3 z 3 2 π [∑ n = 0 ∞ 1 + 6 n 1 - 6 n Γ (n + 5 6) Γ (n + 1 6) (3 4) n 2 π n! z 3 n / 2]. {\ displaystyle \ operatorname {Bi} '(z) \ sim {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {{\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3 } {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 6n} {1-6n}} {\ dfrac {\ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! z ^ {3n / 2}}} \ right].}$ $\operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].$

Аналогично, выражение для Ai '(- z) и Bi' (- z), когда | arg ( z) | < 2π/3 but not zero, are

$Ai ′ ⁡ (- z) ∼ - z 1 4 cos ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π [∑ n = 0 ∞ 1 + 12 n 1 - 12 n (- 1) n Γ (2 п + 5 6) Г (2 п + 1 6) (3 4) 2 п 2 π (2 п)! z 3 n] - z 1 4 sin ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π [∑ n = 0 ∞ 7 + 12 n - 5 - 12 n (- 1) n Γ (2 n + 11 6) Γ (2 N + 7 6) (3 4) 2 N + 1 2 π (2 N + 1)! z 3 n + 3/2] Bi ′ ⁡ (- z) ∼ z 1 4 sin ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π [∑ n = 0 ∞ 1 + 12 n 1 - 12 n (- 1) п Г (2 п + 5 6) Г (2 п + 1 6) (3 4) 2 п 2 π (2 п)! z 3 n] - z 1 4 cos ⁡ (2 3 z 3 2 + π 4) π [∑ n = 0 ∞ 7 + 12 n - 5 - 12 n (- 1) n Γ (2 n + 11 6) Γ (2 N + 7 6) (3 4) 2 N + 1 2 π (2 N + 1)! z 3 N + 3/2] {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} '(-z) \ sim {} - {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi} } \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 12n} {1-12n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma ( 2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] {} - {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} \ sin \ left ({\ frac { 2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {7 + 12n} {- 5-12n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11}) {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right] \\ [6pt] \ operatorname {Bi} '(-z) \ sim {} {\ frac {z ^ {\ frac {1} { 4}} \ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 12n} {1-12n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n } \ Gamma (2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n }} {2 \ pi (2n)! Z ^ {3n}}} \ right ] \\ [6pt] {} - {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} { 2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {7 + 12n} {- 5-12n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7}) {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right] \\ [6pt] \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim {}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim {}{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\end{aligned}}$

Комплексные аргументы

Мы можем расширить определение функции Эйри на комплексную плоскость с помощью

Ai ⁡ (z) = 1 2 π я ∫ С ехр ⁡ (T 3 3 - zt) dt, {\ displaystyle \ operatorname {Ai} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} \ exp \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} - zt \ right) \, dt,}

{\ displaystyle \ operatorname {Ai} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} \ exp \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} - zt \ right) \, dt,}

где интеграл ведется по пути C, начинающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом −π / 3 и заканчивающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом π / 3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение y ′ ′ - xy = 0, чтобы расширить Ai (x) и Bi (x) до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai (x) все еще действительна в комплексной плоскости, если взято главное значение x и x отделен от отрицательной действительной оси. Формула для Bi (x) верна, если x находится в секторе {x ∈ C : | arg (x) | < (π/3)−δ} for some positive δ. Finally, the formulae for Ai(−x) and Bi(−x) are valid if x is in the sector {x ∈ C : | arg (x) | < (2π/3)−δ}.

Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что и Ai (x), и Bi (x) имеют бесконечное количество нулей на отрицательной действительной оси. Функция Ai (x) не имеет других нулей в комплексной плоскости, а функция Bi (x) также имеет бесконечно много нулей в секторе {z ∈ C : π / 3 < |arg(z)| < π/2}.

Plots

$ℜ [Ai ⁡ (x + iy)] {\ displaystyle \ Re \ left [\ operatorname {Ai} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Re \ left [\ operatorname {Ai} (x + iy) \ right]}$	$ℑ [Ai ⁡ (x + iy)] {\ displaystyle \ Im \ left [\ operatorname {Ai} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Im \ left [\ operatorname {Ai} (x + iy) \ right]}$	$\| Ai ⁡ (x + i y) \| {\ displaystyle \| \ operatorname {Ai} (x + iy) \| \,}$ ${\ displaystyle \| \ operatorname {Ai} (x + iy) \| \,}$	$arg ⁡ [Ai ⁡ (x + iy)] {\ displaystyle \ operatorname {arg} \ left [\ operatorname {Ai} (x + iy) \ right] \,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {arg } \ left [\ operatorname {Ai} (x + iy) \ right] \,}$

$ℜ [Bi ⁡ (x + iy)] {\ displaystyle \ Re \ left [\ operatorname {Bi} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Re \ left [\ operatorname {Bi} (x + iy) \ right]}$	$ℑ [Bi ⁡ (x + iy)] {\ displaystyle \ Im \ left [\ operatorname {Bi} (x + iy) \ right]}$ ${\ displaystyle \ Im \ left [\ operatorname {Bi} (x + iy) \ right]}$	$\| Bi ⁡ (x + i y) \| {\ displaystyle \| \ operatorname {Bi} (x + iy) \| \,}$ ${\ displaystyle \| \ operatorname {Bi} (x + iy) \| \, }$	$arg ⁡ [Bi ⁡ (x + iy)] {\ displaystyle \ operatorname {arg} \ left [\ operatorname {Bi} (x + iy) \ right] \,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {arg} \ left [\ operatorname {Bi} (x + iy) \ right] \,}$

Связь с другими специальными функциями

Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя :

Ai ⁡ (x) = 1 π x 3 K 1 3 (2 3 x 3 2), Bi ⁡ (x) = x 3 (I 1 3 (2 3 x 3 2) + I - 1 3 (2 3 x 3 2)). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (x) {} = {\ frac {1} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \, K_ { \ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right), \\\ operatorname {Bi} (x) { } = {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \ left (I _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3 } {2}} \ right) + I _ {- {\ frac {1} {3}}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (x) {} = {\ frac {1} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \, K _ {\ frac { 1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right), \\\ operatorname {Bi} (x) {} = { \ sqrt {\ frac {x} {3}}} \ left (I _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2 }} \ right) + I _ {- {\ frac {1} {3}}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right). \ конец {выровнено}}}

Здесь I ± 1/3 и K 1/3 - решения

x 2 y ″ + ху '- (x 2 + 1 9) y = 0. {\ displaystyle x ^ {2} y' '+ xy' - \ left (x ^ {2} + {\ tfrac {1} {9}} \ right) y = 0.}

x^2y'' + xy' - \left (x^2 + \tfrac{1}{9} \right)y = 0.

Первая производная функции Эйри равна

A i ′ ⁡ (x) = - x π 3 K 2 3 (2 3 x 3 2). {\ displaystyle \ operatorname {Ai '} (x) = - {\ frac {x} {\ pi {\ sqrt {3}}}} \, K _ {\ frac {2} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right).}

\operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right).

Функции K 1/3 и K 2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов (см. также модифицированные функции Бесселя )

Для отрицательных аргументов функция Эйри связана с функциями Бесселя :

Ai ⁡ (- x) = x 9 ( J 1 3 (2 3 x 3 2) + J - 1 3 (2 3 x 3 2)), Bi ⁡ (- x) = x 3 (J - 1 3 (2 3 x 3 2) - J 1 3 ( 2 3 x 3 2)). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (-x) {} = {\ sqrt {\ frac {x} {9}}} \ left (J _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) + J _ {- {\ frac {1} {3}} } \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right), \\\ имя оператора {Bi} (-x) {} = {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \ left (J _ {- {\ frac {1} {3}}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3}) {2}} \ right) -J _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (-x) {} = {\ sqrt {\ frac {x} {9}}} \ left ( J _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) + J _ {- {\ frac {1} { 3}}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right), \\\ имя оператора {Bi} (-x) {} = {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \ left (J _ {- {\ frac {1} {3}}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) -J _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right). \ end {align}}}

Здесь J ± 1/3 - решения

x 2 y ″ + xy ′ + (x 2 - 1 9) y = 0. {\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ \ left (x ^ {2} - {\ tfrac {1} {9}} \ right) y = 0.}

x^2y'' + xy' + \left (x^2 - \tfrac{1}{9} \right)y = 0.

Функции счетчика Hi (x) и -Gi (x) решают уравнение y ′ ′ - xy = 1 / π. Их также можно выразить через функции Эйри:

Gi ⁡ (x) = Bi ⁡ (x) ∫ x ∞ Ai ⁡ (t) dt + Ai ⁡ (x) ∫ 0 x Bi ⁡ (t) dt, Hi ⁡ (x) = Bi ⁡ (x) ∫ - ∞ x Ai ⁡ (t) dt - Ai ⁡ (x) ∫ - ∞ x Bi ⁡ (t) dt. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Gi} (x) {} = \ operatorname {Bi} (x) \ int _ {x} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (t) \, dt + \ operatorname {Ai} (x) \ int _ {0} ^ {x} \ operatorname {Bi} (t) \, dt, \\\ operatorname {Hi} (x) {} = \ operatorname {Bi} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ operatorname {Ai} (t) \, dt- \ operatorname {Ai} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ operatorname { Bi} (t) \, dt. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Gi} (x) {} = \ operatorname {Bi} (x) \ int _ { x} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (t) \, dt + \ operatorname {Ai} (x) \ int _ {0} ^ {x} \ operatorname {Bi} (t) \, dt, \\ \ operatorname {Hi} (x) {} = \ operatorname {Bi} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ operatorname {Ai} (t) \, dt- \ operatorname {Ai} ( x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ operatorname {Bi} (t) \, dt. \ end {align}}}

преобразование Фурье

Используя определение функции Эйри Ai (x), несложно показать ее преобразование Фурье определяется как

F (Ai) (k): = ∫ - ∞ ∞ Ai ⁡ (x) e - 2 π ikxdx = ei 3 (2 π k) 3. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ operatorname {Ai}) (k): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (x) \ e ^ {- 2 \ pi ikx} \, dx = e ^ {{\ frac {i} {3}} (2 \ pi k) ^ {3}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ operatorname {Ai}) (k): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (x) \ e ^ {- 2 \ pi ikx} \, dx = e ^ {{\ frac {i} {3}} (2 \ pi k) ^ {3}}.}

Другие варианты использования термина функция Эйри

Коэффициент пропускания интерферометра Фабри – Перо

«функция Эйри» в смысле пропускания интерферометра Фабри-Перо

Функция пропускания интерферометра Фабри-Перо также называется функцией Эйри :

T e = 1 1 + F грех 2 ⁡ (δ 2), {\ displaystyle T_ {e} = {\ frac {1} {1 + F \ sin ^ {2} ({\ frac {\ delta } {2}})}},}

T_e = \ frac {1} {1 + F \ sin ^ 2 (\ frac {\ delta} {2 })},

где обе поверхности имеют коэффициент отражения R и

F = 4 R (1 - R) 2 {\ displaystyle F = {\ frac {4R} {(1-R) ^ {2}}}}

F = \ frac {4R} {{(1-R) ​​^ 2}}

- коэффициент ловкости.

Дифракция на круглой апертуре

«Функция Эйри» в смысле дифракции на круглой апертуре.

Независимо, в третьем значении термина, форма диска Эйри, возникающий в результате дифракции волны на круглой апертуре, иногда также обозначается как функция Эйри (см., Например, здесь ). Этот вид функции тесно связан с функцией Бесселя.

История

Функция Эйри названа в честь британского астронома и физика. Джордж Бидделл Эйри (1801–1892), который столкнулся с этим в своем раннем исследовании оптики в физике (Airy 1838). Обозначение Ai (x) было введено Гарольдом Джеффрисом. Эйри стал британским королевским астрономом в 1835 году и занимал этот пост до своего выхода на пенсию в 1881 году.

См. Также

Использовано доказательство гипотезы Виттена матричнозначное обобщение функции Эйри.
дзета-функция Эйри

Примечания

Ссылки

Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 10". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое издание оригинала с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 446. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Эйри (1838), «Об интенсивности света вблизи каустика», Труды Кембриджского философского общества, University Press, 6 : 379–402, Bibcode : 1838TCaPS... 6..379A
Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотика и специальные функции, Глава 11. Academic Press, New York.
Press, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри», Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и приложения к физике, Лондон: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR 2114198, заархивировано из оригинала 13 января 2010 г., извлечено 14 мая 2010 г.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик У. «Функции Эйри». MathWorld.
Страницы функций Wolfram для функций Ai и Bi. Включает формулы, средство оценки функций и калькулятор построения графиков.
Олвер, Ф. В. Дж. (2010), «Эйри и связанные функции», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248