Векторное измерение

В математике векторная мера - это функция, определенная в семействе множеств и принимающая Значения вектора, удовлетворяющие определенным свойствам. Это обобщение концепции конечной меры, которая принимает только неотрицательные действительные значения.

• 1 Определения и первые следствия
• 2 Примеры
• 3 Вариация векторной меры
• 4 Теорема Ляпунова
• 5 Список литературы
  • 5.1 Книги
• 6 См. Также

Дано поле наборов $(\Omega ,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$и банахово пространство $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, конечно-аддитивная векторная мера (или мера, для краткости) - это функция $\mu :\; F\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu:\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; to\; X\}$такая, что для любых двух непересекающихся множеств $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$один имеет

$\mu \; (A\; \cup \; B)\; =\; \mu \; (A)\; +\; \mu \; (B).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A\; \backslash \; cup\; B)\; =\; \backslash \; mu\; (A)\; +\; \backslash \; mu\; (B).\}$

Векторная мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$называется счетно-аддитивный, если для любой последовательности $(A\; i)\; i\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (A\_\; \{i\})\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$непересекающихся множеств в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$, так что их объединение находится в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \}$считается, что

$\mu \; (\bigcup \; i\; =\; 1\; \infty \; A\; i)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; \infty \; \mu \; (A\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; A\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; (A\_\; \{i\})\}$

с серией справа -ручка, сходящаяся в норме банахова пространства $X.\; \{\backslash \; displaystyle\; X.\}$

Можно доказать, что аддитивная векторная мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$является счетно-аддитивной тогда и только тогда, когда для любой последовательности $(A\; i)\; i\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (A\_\; \{i\})\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$, как и выше,

$lim\; n\; \to \; \infty \; \Vert \; \mu \; (\bigcup \; i\; =\; n\; \infty \; A\; я)\; \Vert \; знак\; равно\; 0,\; (*)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{п\; \backslash \; к\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; \backslash \; му\; \backslash \; влево\; (\backslash \; bigcup\; \_\; \{я\; =\; п\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; A\_\; \{я\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (*)\}$

где $\Vert \; \cdot \; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\}$- норма на $Х.\; \{\backslash \; displaystyle\; X.\}$

Счетно-аддитивные векторные меры, определенные на сигма-алгебрах, являются более общими, чем конечные меры, конечные меры со знаком и комплексные меры, которые являются счетно-аддитивными функциями, принимающими значения соответственно на действительном интервале $[0,\; \infty ),\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty),\}$набор действительных чисел и набор комплексных чисел.

Рассмотрим поле наборов, составленных из интервала $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$вместе с семейством $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$всех измеримых множеств по Лебегу содержится в этом интервале. Для любого такого набора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$определите

$\mu \; (A)\; =\; \chi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; \backslash \; chi\; \_\; \{A\}\}$

где $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$- это индикаторная функция для $A.\; \{\backslash \; displaystyle\; A.\}$В зависимости от того, где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$объявлен как принимающий значения, мы получаем два разных результата.

• $\mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu,\}$рассматривается как функция от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$до L -пространство $L\; \infty \; ([0,\; 1]),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; ([0,1]),\}$- векторная мера, которая не является счетной -аддитив.
• $\mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu,\}$рассматривается как функция от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$до L -пространство $L\; 1\; ([0,\; 1]),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\; ([0,1]),\}$- счетно-аддитивная векторная мера.

Оба Эти утверждения довольно легко следуют из указанного выше критерия (*).

Для данной векторной меры $\mu :\; F\; \to \; X,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu:\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; to\; X,\}$вариант$|\; \mu \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; mu\; |\}$из $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$определяется как

$|\; \mu \; |\; (A)\; знак\; равно\; sup\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \Vert \; \mu \; (A\; я)\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; mu\; |\; (A)\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; (A\_\; \{i\; \})\; \backslash \; |\}$

где supremum берется по всем разделам

$A\; =\; \bigcup \; i\; =\; 1\; n\; A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; A\_\; \{i\}\}$

из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$на конечное число непересекающихся множеств для всех $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$. Здесь $\Vert \; \cdot \; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\}$- норма на $X.\; \{\backslash \; displaystyle\; X.\}$

Вариант $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- это конечно-аддитивная функция, принимающая значения в $[0,\; \infty ].\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty].\}$Считается, что

$\Vert \; \mu \; (A)\; \Vert \; \le \; |\; \mu \; |\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; (A)\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; |\; \backslash \; mu\; |\; (A)\}$

для любого $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в $F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}.\}$Если $|\; \mu \; |\; (\Omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; mu\; |\; (\backslash \; Omega)\}$конечно, мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$считается равной ограниченная вариация . Можно доказать, что если $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- векторная мера ограниченной вариации, то $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$является счетно-аддитивным, если и только если $|\; \mu \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; mu\; |\}$является счетно-аддитивным.

В теории векторных мер теорема Ляпунова утверждает, что диапазон (неатомных ) конечных размерная векторная мера - замкнутая и выпуклая. Фактически, диапазон неатомарной векторной меры - это зоноид (замкнутое и выпуклое множество, которое является пределом сходящейся последовательности зонотопов ). Он используется в экономике, в ("bang – bang" ) теории управления и в статистической теории. Теорема Ляпунова была доказана с использованием леммы Шепли – Фолкмана, которая рассматривалась как дискретный аналог теоремы Ляпунова.

Книги

• Кон, Дональд Л. (1997) [1980]. Теория меры (переиздание). Бостон – Базель – Штутгарт: Birkhäuser Verlag. С. IX + 373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001. CS1 maint: ref = harv (link )
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Векторные меры. Mathematical Surveys. 15 . Providence, RI: American Mathematical Society. Pp. Xiii + 322. ISBN 0-8218-1515-6.
• Kluvánek, I., Ноулз, Г., Векторные меры и системы управления, North-Holland Mathematics Studies 20, Амстердам, 1976.
• ван Дулст, Д. (2001) [1994], Энциклопедия of Mathematics, EMS Press
• Rudin, W (1973). Функциональный анализ. Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 114.

• Интеграл Бохнера