Стабильный коллектор

В математике, и в частности изучении динамические системы, идея стабильных и неустойчивых множеств или стабильных и неустойчивых многообразий дают формальное математическое определение общим понятиям, воплощенным в идее аттрактора или репеллент. В случае гиперболической динамики соответствующее понятие - это понятие гиперболического множества.

• 1 Физический пример
• 2 Определение
• 3 Примечание
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Гравитационные приливные силы, действующие на кольца Сатурна, представляют собой простой для визуализации физический пример. приливные силы сплющивают кольцо в экваториальную плоскость, даже если они растягивают его в радиальном направлении. Представляя кольца как частицы песка или гравия («пыль») на орбите вокруг Сатурна, приливные силы таковы, что любые возмущения, толкающие частицы выше или ниже экваториальной плоскости, приводят к тому, что частица ощущает восстанавливающую силу, толкая ее обратно в самолет. Частицы эффективно колеблются в гармонической яме, затухая от столкновений. Устойчивое направление перпендикулярно кольцу. Неустойчивое направление - вдоль любого радиуса, где силы растягивают и разрывают частицы. Две частицы, которые начинаются очень близко друг к другу в фазовом пространстве, будут испытывать радиальные силы, заставляющие их радиально расходиться. Эти силы имеют положительный показатель Ляпунова ; траектории лежат на гиперболическом многообразии, а движение частиц по существу хаотично, блуждая по кольцам. Центральный коллектор проходит по касательной к кольцам, при этом частицы не испытывают ни сжатия, ни растяжения. Это позволяет преобладать гравитационным силам второго порядка, и поэтому частицы могут увлекаться лунами или лунными летательными аппаратами в кольцах, фазовая синхронизация с ними. Гравитационные силы лун эффективно обеспечивают регулярно повторяющийся небольшой толчок каждый раз вокруг орбиты, похожий на выбитый ротор, такой как в петле фазовой автоподстройки частоты.

Дискретный- движение частиц в кольце во времени можно аппроксимировать картой Пуанкаре. Карта эффективно предоставляет матрицу передачи системы. Собственный вектор, связанный с наибольшим собственным значением матрицы, - это собственный вектор Фробениуса-Перрона, который также является инвариантной мерой , то есть фактической плотностью частиц в кольце. Все остальные собственные векторы передаточной матрицы имеют меньшие собственные значения и соответствуют затухающим модам.

Ниже приводится определение для случая, когда система является либо повторяющейся функцией, либо имеет динамику в дискретном времени. Аналогичные понятия применяются к системам, эволюция которых во времени задается потоком .

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет топологическим пространством, а $е:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; X\}$a гомеоморфизм. Если $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$является фиксированной точкой для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, стабильный набор $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$определяется как

$W\; s\; (f,\; p)\; =\; \{q\; \in \; X:\; fn\; (q)\; \to \; p\; при\; n\; \to \; \infty \}\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{s\}\; (f,\; p)\; =\; \backslash \; \{q\; \backslash \; in\; X:\; f\; ^\; \{n\}\; (q)\; \backslash \; to\; p\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \backslash \}\}$

и нестабильный набор $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$определяется как

$W\; u\; (f,\; p)\; =\; \{q\; \in \; X:\; f\; -\; n\; (q)\; \to \; p\; при\; n\; \to \; \infty \}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; ^\; \{u\}\; (е,\; р)\; =\; \backslash \; \{q\; \backslash \; in\; X:\; f\; ^\; \{-\; n\}\; (q)\; \backslash \; to\; p\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \backslash \}.\}$

Здесь $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$обозначает обратный функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, т.е. $f\; \circ \; f\; -\; 1\; =\; f\; -\; 1\; \circ \; f\; =\; id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ\; f\; =\; id\_\; \{X\}\}$, где $id\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; id\_\; \{X\}\}$- это идентификационная карта на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

If $p\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\}$- периодическая точка наименьшего периода $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, тогда это фиксированная точка $fk\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{k\}\}$, а стабильный и нестабильный наборы $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$равны

$W\; s\; (f,\; p)\; =\; W\; s\; (fk,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{s\}\; (f,\; p)\; =\; W\; ^\; \{s\}\; (f\; ^\; \{k\},\; p)\}$

и

$W\; u\; (f,\; p)\; =\; W\; u\; (fk,\; p).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{u\}\; (f,\; p)\; =\; W\; ^\; \{u\}\; (f\; ^\; \{k\},\; p).\}$

Учитывая район $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \}$из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, локальные стабильные и нестабильные наборы из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$определяются как

$W\; locs\; (f,\; p,\; U)\; =\; \{q\; \in \; U:\; fn\; (q)\; \in \; U\; для\; каждого\; n\; \ge \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{loc\}\}\; ^\; \{s\}\; (f,\; p,\; U)\; =\; \backslash \; \{q\; \backslash \; in\; U:\; f\; ^\; \{n\}\; (q)\; \backslash \; in\; U\; \{\backslash \; t\_dv\; \{для\; каждого\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \}\}$

и

$W\; locu\; (f,\; p,\; U)\; =\; W\; locs\; (f\; -\; 1,\; p,\; U).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{loc\}\}\; ^\; \{u\}\; (f,\; p,\; U)\; =\; W\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{loc\}\}\; ^\; \{s\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\},\; p,\; U).\}$

Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$метризуемый, мы можем определить стабильные и нестабильные множества для любой точки с помощью

$W\; s\; (f,\; p)\; =\; \{q\; \in \; X:\; d\; (fn\; (q),\; fn\; (p))\; \to \; 0\; для\; n\; \to \; \infty \}\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{s\}\; (f,\; p)\; =\; \backslash \; \{q\; \backslash \; in\; X:\; d\; (f\; ^\; \{\; n\}\; (q),\; f\; ^\; \{n\}\; (p))\; \backslash \; to\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \backslash \}\}$

и

$W\; u\; (f,\; p)\; =\; W\; s\; (f\; -\; 1,\; p),\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{u\}\; (f,\; p)\; =\; W\; ^\; \{s\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\},\; p),\}$

где $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- метрика для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Это определение явно совпадает с предыдущим, когда $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$является периодической точкой.

Предположим теперь, что $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- compact гладкий коллектор, и $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- это $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\}\}$диффеоморфизм, $k\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; geq\; 1\}$. Если $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$является гиперболической периодической точкой, теорема о стабильном многообразии гарантирует, что для некоторой окрестности $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, локальные стабильные и нестабильные множества: $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\}\}$встроенные диски, касательные пространства в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$равны $E\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{s\}\}$и $E\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{u\}\}$(стабильные и нестабильные пространства $D\; f\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\; (p)\}$) соответственно; кроме того, они непрерывно изменяются (в определенном смысле) в районе $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\; \}\}$топология $D\; iffk\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Diff\}\; ^\; \{k\}\; (X)\}$(пространство всех $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\}\}$диффеоморфизмы от $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$к себе). Наконец, стабильный и нестабильный наборы - это $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\}\}$инъективно погруженные диски. Вот почему их обычно называют устойчивыми и неустойчивыми многообразиями . Этот результат также верен для непериодических точек, если они лежат в некотором гиперболическом множестве (теорема о стабильном многообразии для гиперболических множеств).

Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является (конечномерным) векторным пространством и $f\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\}$изоморфизм, его стабильное и нестабильное множества называются стабильным пространством и нестабильным пространством соответственно.

• Инвариантное многообразие
• Центральное многообразие
• Предельное множество
• Множество Жулиа
• Медленное многообразие
• Инерциальное многообразие
• Нормально гиперболическое инвариантное многообразие
• Лагранжево когерентное структура

• Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики. Месса для чтения: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Ирвин, Майкл К. (2001). "Устойчивые коллекторы". Гладкие динамические системы. World Scientific. С. 143–160. ISBN 981-02-4599-8.
• Шритаран, С.С. (1990). Теория инвариантных многообразий для гидродинамического перехода. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-582-06781-2.

В этой статье используется материал из Stable Manifold на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share- Аналогичная лицензия.