Теорема о стабильном многообразии

В математике, особенно при изучении динамических систем и дифференциальных уравнений, стабильный Теорема о многообразии является важным результатом о структуре множества орбит, приближающихся к заданной гиперболической неподвижной точке. В нем грубо утверждается, что существование локального диффеоморфизма вблизи фиксированной точки подразумевает существование локального устойчивого центрального многообразия, содержащего эту фиксированную точку. Это многообразие имеет размерность, равную количеству собственных значений матрицы Якоби фиксированной точки, которые меньше 1.

• 1 Теорема о стабильном многообразии
• 2 См. Также
• 3 Примечания
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Пусть

$f:\; U\; \subset \; R\; n\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$

быть гладкой картой с гиперболической фиксированной точкой в ​​$p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$. Мы обозначаем $W\; s\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{s\}\; (p)\}$стабильный набор и $W\; u\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{u\}\; (p)\}$неустойчивое множество из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

Теорема утверждает, что

• $W\; s\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{s\}\; (p)\}$- это гладкое многообразие, и его касательное пространство имеет ту же размерность, что и стабильное пространство линеаризации $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.
• $W\; u\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{u\}\; (p)\}$является гладким многообразием, и его касательное пространство имеет ту же размерность, что и нестабильное пространство линеаризации $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$at $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

Соответственно $W\; s\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{s\}\; (p)\}$является стабильный коллектор и $W\; u\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{u\}\; (p)\}$является неустойчивым коллектором.

• Теорема о центральном многообразии
• Показатель Ляпунова

1. ^Шуб, Майкл (1987). Глобальная устойчивость динамических систем. Springer. С. 65–66.
2. ^Песин Я Б (1977). «Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория». Российские математические обзоры. 32(4): 55–114. Bibcode : 1977RuMaS..32... 55P. doi : 10.1070 / RM1977v032n04ABEH001639. Проверено 10 марта 2007 г.
3. ^Руэлль, Дэвид (1979). «Эргодическая теория дифференцируемых динамических систем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 50 : 27–58. doi : 10.1007 / bf02684768. Проверено 10 марта 2007 г.
4. ^Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.

• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 105–117. ISBN 0-387-95116-4.
• Шритаран, С.С. (1990). Теория инвариантных многообразий для гидродинамического перехода. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-582-06781-2.

• StableManifoldTheorem на PlanetMath.org.