Войти
В физике и математике, супермногообразиях являются обобщением многообразия концепции, основанные на идеях, поступающих из суперсимметрии. Используются несколько определений, некоторые из которых описаны ниже.
Неформальное определение обычно используется в учебниках физики и вводных лекциях. Он определяет супермногообразие как многообразие с бозонными и фермионными координатами. Локально он состоит из координатных диаграмм, которые делают его похожим на «плоское», «евклидово» суперпространство. Эти локальные координаты часто обозначают как
где x - координата пространства-времени (действительное число), а и - грассмановозначные пространственные «направления».
Физическая интерпретация грассмановых координат является предметом споров; явные экспериментальные поиски суперсимметрии не дали положительных результатов. Однако использование переменных Грассмана позволяет значительно упростить ряд важных математических результатов. Это включает в себя, среди прочего, компактное определение функциональных интегралов, правильную трактовку призраков в БРСТ-квантовании, сокращение бесконечностей в квантовой теории поля, работу Виттена по теореме об индексе Атьи-Зингера и более поздние приложения к зеркальной симметрии.
Использование Грассман-оцененные координаты породило поле суперматематики, в котором большие части геометрии можно обобщить на супер-эквиваленты, включая большую часть римановой геометрии, и большинство из теории групп Ли и алгебр Ли (такие как супералгебры Ли, и т.д.. ) Однако остаются вопросы, включая собственное расширение когомологий де Рама на супермногообразия.
Используются три разных определения супермногообразия. Одно определение - это как пучок над окольцованным пространством; это иногда называют «алгебро-геометрическим подходом». Этот подход обладает математической элегантностью, но может быть проблематичным при различных вычислениях и интуитивном понимании. Второй подход можно назвать «конкретным подходом»; поскольку он способен просто и естественно обобщить широкий класс понятий из обычной математики. Это требует использования бесконечного числа суперсимметричных генераторов в своем определении; однако все эти генераторы, кроме конечного числа, не несут содержания, поскольку конкретный подход требует использования грубой топологии, которая делает почти все из них эквивалентными. Удивительно, но эти два определения, одно с конечным числом суперсимметричных образующих, а другое с бесконечным числом образующих, эквивалентны.
Третий подход описывает супермногообразие как базовый топос одного superpoint. Этот подход остается предметом активных исследований.
Хотя супермногообразия являются частным случаем некоммутативных многообразий, их локальная структура делает их более подходящими для изучения с помощью инструментов стандартной дифференциальной геометрии и локально окольцованных пространств.
Супермногообразие М размерности (P, Q) представляет собой топологическое пространство М с пучком из супералгебр, обычно обозначают O M или C ∞ ( M ), т.е. локально изоморфно, где последний является Грассман (Внешний) алгеброй на д генераторы.
Супермногообразие M размерности (1,1) иногда называют суперимановой поверхностью.
Исторически такой подход ассоциируется с Феликсом Березиным, Димитрием Лейтесом и Бертрамом Костантом.
Другое определение описывает супермногообразие аналогично гладкому многообразию, за исключением того, что модельное пространство заменено модельным суперпространством.
Чтобы правильно это определить, необходимо объяснить, что и есть. Они задаются как четные и нечетные вещественные подпространства одномерного пространства чисел Грассмана, которые, по соглашению, порождаются счетно бесконечным числом антикоммутирующих переменных: то есть одномерное пространство задается как где V равно бесконечномерный. Элемент z называется действительным, если ; вещественные элементы, состоящие только из четного числа генераторов грассманова образуют пространство из с-чисел, а вещественные элементы, состоящие только из нечетного числа образующего грассманова образуют пространство из а-чисел. Обратите внимание, что c-числа коммутируют, а a-числа - не коммутируют. Тогда пространства и определяются как p -кратные и q- кратные декартовы произведения и.
Как и в случае обычного многообразия, супермногообразие определяется как набор карт, склеенных вместе с дифференцируемыми функциями перехода. Это определение в терминах диаграмм требует, чтобы функции перехода имели гладкую структуру и не обращающийся в нуль якобиан. Это может быть достигнуто только в том случае, если отдельные карты используют топологию, которая значительно грубее, чем топология векторного пространства на алгебре Грассмана. Эта топология получается путем проецирования на нее и последующего использования естественной топологии. Результирующая топология не хаусдорфова, но ее можно назвать «проективно хаусдорфовой».
То, что это определение эквивалентно первому, вовсе не очевидно; однако именно использование грубой топологии делает это так, делая большинство «точек» идентичными. То есть с грубой топологией существенно изоморфна
Исторически этот подход ассоциируется с Элис Роджерс, Брайс ДеВитт и работами Ядчика и Пильча.
В отличие от регулярного многообразия супермногообразие не полностью состоит из набора точек. Вместо этого используется двойственная точка зрения, согласно которой структура супермногообразия M содержится в его пучке O M «гладких функций». С двойственной точки зрения инъективное отображение соответствует сюръекции пучков, а сюръективное отображение соответствует инъекции пучков.
Альтернативный подход к двойственной точке зрения - использование функтора точек.
Если M - супермногообразие размерности (p, q), то основное пространство M наследует структуру дифференцируемого многообразия, пучок гладких функций которого равен O M / I, где I - идеал, порожденный всеми нечетными функциями. Таким образом, М называются основное пространство, или тело, из М. Фактор-отображение O M → O M / I соответствует инъективному отображению M → M ; Таким образом, М является подмногообразием М.
Теорема Бачелору гласит, что каждое супермногообразие является неканонический изоморфно супермногообразием вида Π E. Слово «неканонически» не позволяет сделать вывод, что супермногообразия - это просто прославленные векторные расслоения; хотя функтор Π сюръективно отображается на классы изоморфизма супермногообразий, он не является эквивалентностью категорий. Он был опубликован Марджори Бэтчелор в 1979 году.
Доказательство теоремы Бэтчелора по существу опирается на существование разбиения единицы, поэтому оно неприменимо для комплексных или вещественно-аналитических супермногообразий.
Во многих физических и геометрических приложениях супермногообразие имеет нечетную по Грассману симплектическую структуру. Градуированы все естественные геометрические объекты на супермногообразии. В частности, комплект двухбланков снабжен градуировкой. Нечетная симплектическая форма ω на супермногообразии - это замкнутая нечетная форма, индуцирующая невырожденное спаривание на TM. Такое супермногообразие называется P-многообразием. Его градуированная размерность обязательно (n, n), потому что нечетная симплектическая форма индуцирует спаривание нечетных и четных переменных. Существует версия теоремы Дарбу для P-многообразий, которая позволяет снабдить P-многообразие локально набором координат, в котором нечетная симплектическая форма ω записывается как
где четные координаты, а нечетные координаты. (Нечетную симплектическую форму не следует путать с четной по Грассману симплектической формой на супермногообразии. Напротив, версия Дарбу четной симплектической формы имеет вид
где - четные координаты, нечетные координаты и равны +1 или -1.)
Для нечетной симплектической 2-формы ω можно определить скобку Пуассона, известную как антискобка любых двух функций F и G на супермногообразии, по формуле
Здесь и - правая и левая производные соответственно, а z - координаты супермногообразия. С этой скобкой алгебра функций на супермногообразии становится алгеброй антискобок.
Преобразование координат, которая сохраняет антискобки называется P-преобразование. Если березиниан P-преобразования равен единице, то он называется SP-преобразованием.
Используя теорему Дарбу для нечетных симплектических форм, можно показать, что P-многообразия строятся из открытых множеств суперпространств, склеенных P-преобразованиями. Многообразие называется SP-многообразием, если эти функции перехода можно выбрать как SP-преобразования. Эквивалентно можно определить SP-многообразие как супермногообразие с невырожденной нечетной 2-формой ω и функцией плотности ρ такими, что на каждом координатном фрагменте существуют координаты Дарбу, в которых ρ тождественно равно единице.
Можно определить оператор Лапласа Δ на SP-многообразии как оператор, переводящий функцию H в половину дивергенции соответствующего гамильтонова векторного поля. Явно определяется
В координатах Дарбу это определение сводится к
где x a и θ a - четные и нечетные координаты такие, что
Лапласиан нечетный и нильпотентный
Можно определить когомологии функций H относительно лапласиана. В геометрии Баталин-Вилковыское квантование, Альберт Шварц доказал, что интеграл от функции Н над лагранжева подмногообразией L зависит только от класса когомологий H и на гомологию классе тела L в теле окружающей среды супермногообразия.
Пред-SUSY-структура на супермногообразии размерности (n, m) является нечетным m -мерным распределением. Такому распределению сопоставляется его тензор Фробениуса (поскольку P нечетно, кососимметричный тензор Фробениуса является симметричной операцией). Если этот тензор невырожден, например лежит на открытой орбите, M называется SUSY-многообразием. SUSY-структура в размерности (1, k) аналогична структуре нечетного контакта.
.
.
.
