Подпроизводная

Выпуклая функция (синий) и «субкасательные линии» в точке x 0 (красный).

В математике, в Субдифференциале, субградиент и Субдифференциал обобщает производный для выпуклых функций, которые не обязательно дифференцируемы. Подпроизводные возникают в выпуклом анализе, изучении выпуклых функций, часто в связи с выпуклой оптимизацией.

Пусть - вещественнозначная выпуклая функция, определенная на открытом отрезке вещественной прямой. Такая функция не обязательно должна быть дифференцируемой во всех точках: например, функция абсолютного значения f ( x) = | х | недифференцируема при x = 0. Однако, как видно на графике справа (где f (x) синим цветом имеет недифференцируемые изгибы, аналогичные функции абсолютного значения), для любого x 0 в области определения функции можно провести линию, проходящую через point ( x 0, f ( x 0)) и который всюду касается графика f или находится под ним. Наклон такой линии называется Субдифференциал (потому что линия находится под графиком F). ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

• 1 Определение
• 2 Пример
• 3 свойства
• 4 Субградиент
• 5 История
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Внешние ссылки

Строго говоря, производная выпуклой функции в точке x 0 на открытом интервале I - это действительное число c такое, что ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq c (x-x_ {0})}$

для всех х в I. Можно показать, что множество подчиненных в точке x 0 для выпуклой функции представляет собой непустой отрезок [ a, b ], где a и b - односторонние пределы

${\ displaystyle a = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

${\ displaystyle b = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}$

которые гарантированно существуют и удовлетворяют a ≤ b.

Множество [ a, b ] всех подчиненных производных называется субдифференциалом функции f в точке x 0. Поскольку f выпуклая, если ее субдифференциал at содержит ровно одну производную, то f дифференцируем в точке. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Рассмотрим функцию f ( x) = | х | который выпуклый. Тогда субдифференциал в нуле - это интервал [−1, 1]. Субдифференциал в любой точке x 0 lt;0 - это одноэлементный набор {−1}, а субдифференциал в любой точке x 0 gt; 0 - одноэлементный набор {1}. Это похоже на знаковую функцию, но не является однозначной функцией в 0, а включает все возможные подчиненные производные.

• Выпуклая функция f: I → R дифференцируема в точке x 0 тогда и только тогда, когда субдифференциал состоит только из одной точки, которая является производной в точке x 0.
• Точка x 0 является глобальным минимумом выпуклой функции f тогда и только тогда, когда ноль содержится в субдифференциале, то есть на рисунке выше можно провести горизонтальную «субкасательную линию» к графику f в точке ( x 0, f ( x 0)). Это последнее свойство является обобщением того факта, что производная функции, дифференцируемой в локальном минимуме, равна нулю.
• Если и выпуклые функции с субдифференциалами и с является внутренней точкой одной из функций, то субдифференциале является (где оператор сложения обозначает сумму Минковской ). Это читается как «субдифференциал суммы есть сумма субдифференциалов».${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ partial f (x)}$${\ displaystyle \ partial g (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f + g}$${\ Displaystyle \ partial (f + g) (x) = \ partial f (x) + \ partial g (x)}$

Понятия субпроизводной и субдифференциала можно обобщить на функции нескольких переменных. Если f: U → R - выпуклая функция с действительными значениями, определенная на выпуклом открытом множестве в евклидовом пространстве R ⁿ, вектор в этом пространстве называется субградиентом в точке x 0 в U, если для любого x в U выполняется ${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle е (х) -f (х_ {0}) \ geq v \ cdot (х-х_ {0})}$

где точка обозначает скалярное произведение. Множество всех субградиентов в точке x 0 называется субдифференциалом в точке x 0 и обозначается ∂ f ( x 0). Субдифференциал - это всегда непустой выпуклый компакт.

Эти понятия обобщают далее выпуклых функций F: U → R на выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве V. Функционал ^∗ в сопряженном пространстве V ^∗ называется субградиентом в точке x 0 в U, если для всех x в U${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq v ^ {*} (x-x_ {0}).}$

Множество всех субградиентов в точке x 0 называется субдифференциалом в точке x 0 и снова обозначается ∂ f ( x 0). Субдифференциал всегда является выпуклым замкнутым множеством. Это может быть пустой набор; рассмотрим, например, неограниченный оператор, который является выпуклым, но не имеет субградиента. Если f непрерывна, субдифференциал непуст.

Субдифференциал выпуклых функций был введен Жаном Жаком Моро и Р. Тирреллом Рокафелларом в начале 1960-х годов. Обобщен Субдифференциал для невыпуклых функций был введен FH Кларком и RT Рокфеллером в начале 1980 - х годов.

• Слабая производная
• Субградиентный метод

• Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан С. (2010). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN   978-0-387-31256-9.
• Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (2001). Основы выпуклого анализа. Springer. ISBN   3-540-42205-6.
• Зэлинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. World Scientific Publishing Co., Inc., стр. Xx + 367. ISBN   981-238-067-1. Руководство по ремонту   1921556.

• «Использование »${\ displaystyle \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (xh)} {2h}}}$. Обмен стеками. 15 июля 2002 г.