Ближайшие множества

редактировать

Рисунок 1. Описательно, очень близкие множества

В математике близкие множества либо пространственно близко или описательно близко. Пространственно близкие множества имеют непустое пересечение. Другими словами, пространственно близкие наборы не являются непересекающимися наборами, поскольку они всегда имеют по крайней мере один общий элемент. Описательно близкие наборы содержат элементы с соответствующими описаниями. Такие множества могут быть как непересекающимися, так и не пересекающимися множествами. Пространственно близкие множества также описательно близки к множествам.

Рисунок 2. В описательном смысле, минимально близкие наборы

Основное предположение с описательно близкими наборами состоит в том, что такие наборы содержат элементы, которые имеют местоположение и измеримые характеристики, такие как цвет и частота появления. Описание элемента набора определяется вектором признаков . Сравнение векторов признаков обеспечивает основу для измерения близости описательно близких множеств. Теория близких множеств обеспечивает формальную основу для наблюдения, сравнения и классификации элементов в множествах на основе их близости, пространственной или описательной. Ближайшие наборы предлагают основу для решения проблем, основанных на человеческом восприятии, которые возникают в таких областях, как обработка изображений, компьютерное зрение, а также инженерные и научные проблемы.

Ближайшие наборы имеют множество применений в таких областях, как топология, обнаружение образов и классификация, абстрактная алгебра, математика в информатике и решение разнообразных проблем, основанных на человеческом восприятии, которые возникают в таких областях, как анализ изображений, обработка изображений, распознавание лиц, этология, а также инженерные и научные проблемы. С самого начала описательно близкие наборы оказались полезными в приложениях топологии и распознавания визуальных образов, охватывая широкий спектр приложений, включая обнаружение камуфляжа, микропалеонтологии, обнаружения подделки почерка., биомедицинский анализ изображений, поиск изображений на основе содержания, динамика населения, факторная топология, текстильный дизайн, визуальный мерчендайзинг и топологической психологии.

В качестве иллюстрации степени описательной близости между двумя наборами рассмотрим пример цветовой модели Генри для различной степени близости между наборами элементов изображения в изображениях (см., Например, §4.3). Две пары овалов на рис. 1 и 2 содержат цветные сегменты. Каждый сегмент на фигурах соответствует классу эквивалентности, где все пиксели в классе имеют аналогичные описания, то есть элементы изображения с аналогичными цветами. Овалы на рис.1 описательно ближе друг к другу, чем овалы на рис. 2.

Содержание

1 История
2 Близость множеств
3 Обобщение пересечения множеств
4 Близость Ефремовича пространство
5 Визуализация EF-аксиомы
6 Описательное пространство близости
7 Пространства проксимального отношения
8 Описательное $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ -окрестности
9 Допуск около наборов
10 Классы допусков и предварительные классы
- 10.1 Примеры
11 Измерение близости
12 Система оценки и распознавания близкого расстояния (NEAR)
13 Система определения близости
14 См. Также
15 Примечания
16 Ссылки
17 Дополнительная литература

История

Было замечено, что простая концепция близости объединяет различные концепции топологических структур, поскольку категория Около всех пространств близости и сохраняющих близость карт содержат категории sTop (симметричные топологические пространства и непрерывные карты), Prox (Prox и $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ -map), Unif (равномерные пространства и равномерно непрерывные карты) и Cont (пространства смежности и карты смежности) как вложенные полные подкатегории. Категории $ε AN ear {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {ANear}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ и $ε AM er {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {AMer}}} }$ ${\boldsymbol {\varepsilon {AMer}}}$ показаны как полные суперкатегории различных хорошо известных категорий, включая категорию $s T op {\ displaystyle {\ boldsymbol {sTop}}}$ ${\boldsymbol {sTop}}$ симметричных топологических пространств. и непрерывные отображения, а также категория $M et ∞ {\ displaystyle {\ boldsymbol {Met ^ {\ infty}}}}$ ${\boldsymbol {Met^{\infty }}}$ расширенных метрических пространств и нерасширяющих отображений. Обозначение $A ↪ B {\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} \ hookrightarrow {\ boldsymbol {B}}}$ ${\boldsymbol {A}}\hookrightarrow {\boldsymbol {B}}$ читает категорию $A {\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} }$ ${\boldsymbol {A}}$ встроен в категорию $B {\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}}$ ${\boldsymbol {B}}$ . Категории $ε AM er {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon AMer}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon AMer}}}$ и $ε AN ear {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon ANear}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon ANear}}$ - суперкатегории для множества знакомых категорий, показанных на рис. 3. Пусть $ε AN ear {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {ANear}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ обозначает категорию всех $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\varepsilon$ - приближаются к пространствам близости и сокращениям, и пусть $ε AM er {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon AMer}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon AMer}}}$ обозначают категорию всех меротопических пространств и сокращений $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\varepsilon$ -подхода.

Рисунок 3. Суперкоты

Среди этих знакомых категорий есть $s T op {\ displaystyle {\ boldsymbol {sTop}}}$ ${\boldsymbol {sTop}}$ , симметричная форма $T op {\ displaystyle {\ boldsymbol {Top}}}$ ${\boldsymbol {Top}}$ (см. категория топологических пространств ), категория с объектами, которые являются топологическими пространствами, и морфизмами, которые являются непрерывными отображениями между ними. $M et ∞ {\ displaystyle {\ boldsymbol {Met ^ {\ infty}}}}$ ${\boldsymbol {Met^{\infty }}}$ с объектами, которые являются расширенными метрическими пространствами, является подкатегорией $ε AP {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon AP}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon AP}}$ (с объектами $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\varepsilon$ -подходы и сокращения) (см. также). Пусть $ρ X, ρ Y {\ displaystyle \ rho _ {X}, \ rho _ {Y}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {X}, \ rho _ {Y}}$ будет расширенной псевдометрикой на непустых множествах $X, Y {\ displaystyle X, Y }$ $X, Y$ соответственно. Карта $f: (X, ρ X) ⟶ (Y, ρ Y) {\ displaystyle f: (X, \ rho _ {X}) \ longrightarrow (Y, \ rho _ {Y})}$ $f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})$ является сокращением тогда и только тогда, когда $f: (X, ν D ρ X) ⟶ (Y, ν D ρ Y) {\ displaystyle f: (X, \ nu _ {D _ {\ rho _ {X}}}) \ longrightarrow (Y, \ nu _ {D _ {\ rho _ {Y}}})}$ $f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})$ - сокращение. Для непустых подмножеств $A, B ∈ 2 X {\ displaystyle A, B \ in 2 ^ {X}}$ $A,B\in 2^{X}$ функция расстояния $D ρ: 2 X × 2 X ⟶ [0, ∞] {\ displaystyle D _ {\ rho}: 2 ^ {X} \ times 2 ^ {X} \ longrightarrow [0, \ infty]}$ $D_{\rho }:2^{X}\times 2^{X}\longrightarrow [0,\infty ]$ определяется как

D ρ (A, B) = {inf {ρ (a, b): a ∈ A, b ∈ B}, если A и B непусты, ∞, если A или B пусто. {\ Displaystyle D _ {\ rho} (A, B) = {\ begin {case} \ inf {\ {\ rho (a, b): a \ in A, b \ in B \}}, {\ text {if}} A {\ text {и}} B {\ text {не пустые}}, \\\ infty, {\ text {if}} A {\ text {или}} B {\ text { empty}}. \ end {cases}}}

D_{\rho }(A,B)={\begin{cases}\inf {\{\rho (a,b):a\in A,b\in B\}},{\text{if }}A{\text{ and }}B{\text{ are not empty}},\\\infty,{\text{if }}A{\text{ or }}B{\text{ is empty}}.\end{cases}}

Таким образом, $ε {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ $\boldsymbol{\varepsilon}$ APвстроен как полная подкатегория в $ε AN ear {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {ANear}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ с помощью функтора $F: ε AP ⟶ ε AN ear {\ displaystyle F: {\ boldsymbol {\ varepsilon {AP}}} \ longrightarrow {\ boldsymbol {\ varepsilon {ANear}}}}$ $F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ определяется как $F ((X, ρ)) = (X, ν D ρ) {\ displaystyle F ((X, \ rho)) = (Икс, \ nu _ {D _ {\ rho}})}$ $F((X,\rho))=(X,\nu _{D_{\rho }})$ и $F (f) = f {\ displaystyle F (f) = f}$ $F(f)=f$ . Тогда $f: (X, ρ X) ⟶ (Y, ρ Y) {\ displaystyle f: (X, \ rho _ {X}) \ longrightarrow (Y, \ rho _ {Y})}$ $f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})$ является сокращением тогда и только тогда, когда $f: (X, ν D ρ X) ⟶ (Y, ν D ρ Y) {\ displaystyle f: (X, \ nu _ {D _ {\ rho _ { X}}}) \ longrightarrow (Y, \ nu _ {D _ {\ rho _ {Y}}})}$ $f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})$ - сокращение. Таким образом, $ε AP {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {AP}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}$ встроен как полная подкатегория в $ε AN ear {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon { ANear}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ по функтору $F: ε AP ⟶ ε AN ear {\ displaystyle F: {\ boldsymbol {\ varepsilon {AP}}} \ longrightarrow {\ boldsymbol {\ varepsilon { ANear}}}}$ $F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ определяется как $F ((X, ρ)) = (X, ν D ρ) {\ displaystyle F ((X, \ rho)) = (X, \ nu _ {D _ {\ rho}})}$ $F((X,\rho))=(X,\nu _{D_{\rho }})$ и $F (f) = f. {\ displaystyle F (f) = f.}$ $F(f)=f.$ Поскольку категория $M et ∞ {\ displaystyle {\ boldsymbol {Met ^ {\ infty}}}}$ ${\boldsymbol {Met^{\infty }}}$ расширенных метрические пространства и нерасширяющие карты - это полная подкатегория $ε AP {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {AP}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}$ , следовательно, $ε AN ear {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {ANear}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ также является полной суперкатегорией $M et ∞ {\ displaystyle {\ boldsymbol {Met ^ {\ infty}}}}$ ${\boldsymbol {Met^{\infty }}}$ . Категория $ε A N e a r {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon {ANear}}}}$ ${\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}$ является топологической конструкцией.

Рисунок 4. Фриджес Рисс, 1880-1956

Понятия ближнего и дальнего в математике можно проследить до работ Иоганна Бенедикта Листинг и Феликс Хаусдорф. Связанные с этим понятия сходства и подобия восходят к Дж. Х. Пуанкаре, который ввел наборы похожих ощущений (зарождающиеся классы толерантности), чтобы представить результаты Г.Т. Эксперименты Фехнера по чувствительности к ощущениям и структура для изучения сходства в репрезентативных пространствах как моделей того, что он назвал физическими континуумами. Элементы физического континуума (ПК) - это наборы ощущений. Понятие компьютера и различных репрезентативных пространств (тактильное, визуальное, моторное пространства) было введено Пуанкаре в статье 1894 года о математическом континууме, статье 1895 года о пространстве и геометрии и в сборной книге 1902 года по науке и гипотезам, за которой следует номер доработок, например,. Статьи 1893 и 1895 годов о континуумах (Pt. 1, ch. II), а также репрезентативных пространствах и геометрии (Pt. 2, ch IV) включены в качестве глав. Позже Ф. Рисс ввел понятие близости или близости пары наборов на Международном конгрессе математиков (ICM) в 1908 году.

В 1960-е годы EC Зееман ввел пространства допуска в моделирование визуального восприятия. А.Б. В 1986 году Сосинский заметил, что основная идея, лежащая в основе теории пространства толерантности, исходит, в частности, от Пуанкаре. В 2002 г. З. Павлак и Дж. Петерс рассмотрели неформальный подход к восприятию близости физических объектов, таких как снежинки, не ограниченный пространственной близостью. В 2006 г. формальный подход к описательной близости объектов был рассмотрен Дж. Петерсом, А. Сковроном и Дж. Степанюком в контексте пространств близости. В 2007 г. Дж. Петерс ввел описательно близкие множества, за которыми последовал ввод допусков около множеств. В последнее время изучение дескриптивно близких множеств привело к алгебраическим, топологическим и пространственным основам таких множеств.

Близость множеств

Прилагательное близко в контексте близких множеств используется для обозначения того факта, что наблюдаемые различия в значениях характеристик отдельных объектов достаточно малы, чтобы их можно было считать неразличимыми, т. Е. В пределах некоторых толерантность.

Точная идея близости или «сходства» или «нахождения в пределах допуска» достаточно универсальна, чтобы вполне естественно проявляться почти в любом математическом контексте (см., Например,). Это особенно естественно в математических приложениях: практические задачи чаще всего связаны с приблизительными входными данными и требуют только реальных результатов с допустимым уровнем погрешности.

Слова «близко» и «далеко» используются в повседневной жизни, и это было остроумным предложением Ф. Рис, чтобы эти интуитивные концепции были точными. Он представил концепцию близости пар множеств на ICM в Риме в 1908 году. Эта концепция полезна для упрощения обучения исчислению и продвинутому исчислению. Например, переход от интуитивного определения непрерывности функции в точке к ее строгому эпсилон-дельта-определению иногда бывает трудно объяснить учителям, а ученикам - понять. Интуитивно непрерывность можно объяснить, используя язык близости, т. Е. Функцию $f: R → R {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является непрерывным в точке $c {\ displaystyle c}$ $c$ при условии, что точки ${x} {\ displaystyle \ {x \}}$ $\{x\}$ рядом с $c {\ displaystyle c}$ $c$ перейти в точки ${f (x)} {\ displaystyle \ {f (x) \}}$ ${\ displaystyle \ {f (x) \}}$ рядом с $f (c) {\ Displaystyle f (c)}$ $f(c)$ . Используя идею Рисса, это определение можно сделать более точным, и его противоположностью является знакомое определение.

Обобщение пересечения множества

С пространственной точки зрения близость (также известная как близость) считается обобщением множества пересечение. Для непересекающихся множеств форма пересечения множеств близости определяется в терминах набора объектов (извлеченных из непересекающихся множеств), которые имеют схожие характеристики в пределах некоторого допуска (см., Например, § 3 в). Например, овалы на рис. 1 рассматриваются рядом друг с другом, поскольку эти овалы содержат пары классов, отображающих похожие (визуально неразличимые) цвета.

Пространство близости Ефремовича

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ обозначает метрическое топологическое пространство, которое с одним или несколькими отношениями близости, и пусть $2 X {\ displaystyle 2 ^ {X}}$ $2^X$ обозначает совокупность всех подмножеств $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Коллекция $2 X {\ displaystyle 2 ^ {X}}$ $2^X$ называется набором степеней из $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Есть много способов для определения близости Ефремовича на топологических пространствах (дискретная близость, стандартная близость, метрическая близость, близость по Чеху, близость по Александрову и близость по Фрейденту), Подробнее см. в § 2, стр. 93–94 дюйма. Здесь основное внимание уделяется стандартной близости на топологическое пространство. Для $A, B ⊂ X {\ displaystyle A, B \ subset X}$ $A,B\subset X$ , $A {\ displaystyle A}$ $A$ находится рядом с $B {\ displaystyle B}$ $B$ (обозначается $A δ B {\ displaystyle A \ \ delta \ B}$ $A\ \delta \ B$ ) при условии, что их замыкания имеют общую точку.

Закрытие подмножества $A ∈ 2 X {\ displaystyle A \ in 2 ^ {X}}$ $A\in 2^{X}$ (обозначается $cl (A) {\ displaystyle { \ t_dv {cl}} (A)}$ ${\t_dv{cl}}(A)$ ) - обычное замыкание Куратовского множества, введенное в § 4, с. 20, определяется как

cl (A) = {x ∈ X: D (x, A) = 0}, где D (x, A) = i n f {d (x, a): a ∈ A}. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ t_dv {cl}} (A) = \ left \ {x \ in X: D (x, A) = 0 \ right \}, \ {\ t_dv {where} } \\ D (x, A) = inf \ left \ {d (x, a): a \ in A \ right \}. \ End {align}}}

{\begin{aligned}{\t_dv{cl}}(A)=\left\{x\in X:D(x,A)=0\right\},\ {\t_dv{where}}\\D(x,A)=inf\left\{d(x,a):a\in A\right\}.\end{aligned}}

т.е. $cl (A) {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} (A)}$ ${\t_dv{cl}}(A)$ - это набор всех точек $x {\ displaystyle x}$ $x$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ , которые близки к $A {\ displaystyle A}$ $A$ ( $D (x, A) {\ displaystyle D (x, A)}$ $D(x,A)$ - это расстояние Хаусдорфа (см. § 22, стр. 128, дюйм) между $x {\ displaystyle x}$ $x$ и набором $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $d (x, a) = | х - а | {\ displaystyle d (x, a) = \ left | x-a \ right |}$ ${\ displaystyle d (x, a) = \ left | xa \ справа |}$ (стандартное расстояние)). Стандартное отношение близости определяется следующим образом:

δ = {(A, B) ∈ 2 X × 2 X: cl (A) ∩ cl (B) ≠ ∅}. {\ displaystyle \ delta = \ left \ {(A, B) \ in 2 ^ {X} \ times 2 ^ {X}: {\ t_dv {cl}} (A) \ \ cap \ {\ t_dv {cl} } (B) \ neq \ emptyset \ right \}.}

\delta =\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\t_dv{cl}}(A)\ \cap \ {\t_dv{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.

При установке $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ не имеют общих точек, наборы удалены друг от друга (обозначается $A δ _ B {\ displaystyle A \ {\ underline {\ delta}} \ B}$ ${\ displaystyle A \ {\ underline {\ delta}} \ B}$ ).

Следующие аксиомы EF-пространства близости даны Юрием Михайловым Смирновым на основе того, что Вадим Арсеньевич Ефремович ввел в первой половине 1930-х годов. Пусть $A, B, E ∈ 2 X {\ displaystyle A, B, E \ in 2 ^ {X}}$ $A,B,E\in 2^{X}$ .

EF.1: Если набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ близко к $B {\ displaystyle B}$ $B$ , тогда $B {\ displaystyle B}$ $B$ близко к $A {\ displaystyle A}$ $A$ .
EF.2: $A ∪ B {\ displaystyle A \ cup B}$ $A\cup B$ близко к $E {\ displaystyle E}$ $E$ , тогда и только тогда, когда хотя бы один из наборов $A {\ displaystyle A}$ $A$ или $B {\ displaystyle B}$ $B$ близок к $E { \ displaystyle E}$ $E$ .
EF.3: Две точки близки, если и только если они являются одной и той же точкой.
EF.4: Все множества далеко от пустого набора $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\emptyset$ .
EF.5: Для любых двух наборов $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ , которые находятся далеко друг от друга, существует $C, D ∈ 2 X {\ displaystyle C, D \ in 2 ^ {X}}$ $C,D\in 2^{X}$ , $C ∪ D = X {\ displaystyle C \ cup D = X}$ $C\cup D=X$ , так что $A {\ displaystyle A}$ $A$ далеко от $C { \ displaystyle C}$ $C$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ далеко от $D {\ displaystyle D}$ $D$ (аксиома Ефремовича).

Пара $(X, δ) {\ displaystyle (X, \ delta)}$ $(X,\delta)$ называется пространством близости EF- . В этом контексте пробел - это набор с некоторой добавленной структурой. С пространством близости $X {\ displaystyle X}$ $X$ структура $X {\ displaystyle X}$ $X$ индуцируется отношением EF-близости $δ {\ Displaystyle \ delta}$ $\delta$ . В пространстве близости $X {\ displaystyle X}$ $X$ , закрытие $A {\ displaystyle A}$ $A$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ совпадает с пересечением всех замкнутых множеств, содержащих $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Теорема 1: Замыкание любого множества $A {\ displaystyle A}$ $A$ в пространстве близости $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это набор точек $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x\in X$ , которые близко к $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Визуализация EF-аксиомы

Рисунок 5. Пример описательного отношения EF-близости между множествами

A, B {\ displaystyle A, B }

A,B

C c {\ displaystyle C ^ {c}}

C^{c}

Пусть набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ представлен точками внутри прямоугольная область на рис. 5. Также пусть $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A,B$ будут любыми двумя непересекающимися подмножествами (т.е. подмножествами, пространственно удаленными друг от друга) в $X {\ displaystyle X}$ $X$ , как показано на рис. 5. Пусть $C c = Икс ∖ C {\ displaystyle C ^ {c} = X \ backslash C}$ $C^{c}=X\backslash C$ (дополнение набора $C {\ displaystyle C}$ $C$ ). Тогда из EF-аксиомы заметим следующее:

A δ _ B, B ⊂ C, D = C c, X = D ∪ C, A ⊂ D, значит, мы можем написать A δ _ B ⇒ A δ _ C и B δ _ D для некоторых C, D в X, так что C ∪ D = X. ◼ {\ displaystyle {\ begin {align} A \ {\ underline {\ delta}} \ B, \\ B \ subset C, \\ D = C ^ {c}, \\ X = D \ cup C, \\ A \ subset D, \ {\ t_dv {следовательно, мы можем написать}} \\ A \ {\ underline {\ delta}} \ B \ \ Rightarrow \ A \ {\ underline {\ delta}} \ C \ {\ t_dv {и}} \ B \ {\ underline {\ delta}} \ D, \ {\ t_dv {для некоторых}} \ C, D \ {\ t_dv {in}} \ X {\ t_dv {так что}} C \ cup D = X. \ qquad \ blacksquare \ end {align}}}

{\begin{aligned}A\ {\underline {\delta }}\ B,\\B\subset C,\\D=C^{c},\\X=D\cup C,\\A\subset D,\ {\t_dv{hence, we can write}}\\A\ {\underline {\delta }}\ B\ \Rightarrow \ A\ {\underline {\delta }}\ C\ {\t_dv{and}}\ B\ {\underline {\delta }}\ D,\ {\t_dv{for some}}\ C,D\ {\t_dv{in}}\ X{\t_dv{ so that }}C\cup D=X.\qquad \blacksquare \end{aligned}}

Пространство описательной близости

Описательно близкие множества были введены как средство решения проблем классификации и распознавания образов, возникающих из непересекающиеся множества, похожие друг на друга. Недавно были исследованы связи между ближайшими множествами в EF-пространствах и близкими множествами в описательных EF-пространствах.

Опять же, пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет метрическое топологическое пространство и пусть $Φ = {ϕ 1,…, ϕ n} {\ displaystyle \ Phi = \ left \ {\ phi _ {1}, \ dots, \ phi _ {n} \ right \} }$ $\Phi =\left\{\phi _{1},\dots,\phi _{n}\right\}$ набор тестовых функций, которые представляют особенности каждого $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x\in X$ . Сделанное здесь предположение: $X {\ displaystyle X}$ $X$ содержит неабстрактные точки, которые имеют измеримые характеристики, такие как ориентация градиента. Неабстрактная точка имеет местоположение и особенности, которые можно измерить (см. § 3 в).

Пробная функция $ϕ: X → R {\ displaystyle \ phi: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $\phi :X\rightarrow \mathbb {R}$ представляет особенность точки выборки в $X {\ Displaystyle X}$ $X$ . Отображение $Φ: X ⟶ R n {\ displaystyle \ Phi: X \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\Phi :X\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ определяется как $Φ (x) = (ϕ 1 (х),…, ϕ N (x)) {\ Displaystyle \ Phi (x) = (\ phi _ {1} (x), \ dots, \ phi _ {n} (x))}$ $\Phi (x)=(\phi _{1}(x),\dots,\phi _{n}(x))$ , где $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ - n-мерное вещественное евклидово векторное пространство. $Φ (x) {\ displaystyle \ Phi (x)}$ $\Phi (x)$ - вектор признаков для $x {\ displaystyle x}$ $x$ , который содержит описание $Икс ∈ Икс {\ Displaystyle х \ в X}$ $x\in X$ . Например, это приводит к приближенному виду наборов точек изображения в цифровых изображениях.

Для получения описательного отношения близости (обозначается $δ Φ {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi}}$ $\delta _{\Phi }$ ) сначала выбирается набор тестовых функций. Пусть $Q: 2 X ⟶ 2 R n {\ displaystyle {\ mathcal {Q}}: 2 ^ {X} \ longrightarrow 2 ^ {R ^ {n}}}$ ${\mathcal {Q}}:2^{X}\longrightarrow 2^{R^{n}}$ будет отображением на подмножество $2 X {\ displaystyle 2 ^ {X}}$ $2^X$ в подмножество $2 R n {\ displaystyle 2 ^ {R ^ {n}}}$ $2^{R^{n}}$ . Например, пусть $A, B ∈ 2 X {\ displaystyle A, B \ in 2 ^ {X}}$ $A,B\in 2^{X}$ и $Q (A), Q (B) {\ displaystyle { \ mathcal {Q}} (A), {\ mathcal {Q}} (B)}$ ${\mathcal {Q}}(A),{\mathcal {Q}}(B)$ обозначают наборы описаний точек в $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A,B$ соответственно. То есть

Q (A) = {Φ (a): a ∈ A}, Q (B) = {Φ (b): b ∈ B}. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {Q}} (A) = \ left \ {\ Phi (a): a \ in A \ right \}, \\ {\ mathcal {Q}} ( B) = \ left \ {\ Phi (b): b \ in B \ right \}. \ End {align}}}

{\begin{aligned}{\mathcal {Q}}(A)=\left\{\Phi (a):a\in A\right\},\\{\mathcal {Q}}(B)=\left\{\Phi (b):b\in B\right\}.\end{aligned}}

Выражение $A δ Φ B {\ displaystyle A \ \ delta _ {\ Phi} \ B}$ ${\ displaystyle A \ \ delta _ { \ Phi} \ B}$ означает $A {\ displaystyle A}$ $A$ описательно близко к $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Аналогично, $A δ _ Φ B {\ displaystyle A \ {\ underline {\ delta}} _ {\ Phi} \ B}$ $A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ B$ читается как $A {\ displaystyle A}$ $A$ описательно далек от $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Описательная близость $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ определяется как

A δ Φ B ⇔ Q (cl ( A)) δ Q (cl (B)) ≠ ∅. {\ displaystyle A \ \ delta _ {\ Phi} \ B \ Leftrightarrow {\ mathcal {Q}} ({\ t_dv {cl}} (A)) \; \ delta \; {\ mathcal {Q}} ({ \ t_dv {cl}} (B)) \ neq \ emptyset.}

{\ displaystyle A \ \ дельта _ {\ Phi} \ B \ Leftrightarrow {\ mathcal {Q}} ({\ m box{cl}}(A))\;\delta \;{\mathcal {Q}}({\t_dv{cl}}(B))\neq \emptyset.}

Описательное пересечение $∩ Φ {\ displaystyle \ mathop {\ cap} _ {\ Phi}}$ $\mathop {\cap } _{\Phi }$ of $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ определяется как

A ∩ Φ ⁡ B = {x ∈ A ∪ B: Q (А) δ Q (B)}. {\ Displaystyle A \ \ mathop {\ cap} _ {\ Phi} \ B = \ left \ {x \ in A \ cup B: {\ mathcal {Q}} (A) \; \ delta \; {\ mathcal {Q}} (B) \ right \}.}

A\ \mathop {\cap } _{\Phi }\ B=\left\{x\in A\cup B:{\mathcal {Q}}(A)\;\delta \;{\mathcal {Q}}(B)\right\}.

То есть $x ∈ A ∪ B {\ displaystyle x \ in A \ cup B}$ $x\in A\cup B$ находится в $A ∩ Φ ⁡ B {\ displaystyle A \ \ mathop {\ cap} _ {\ Phi} \ B}$ $A\ \mathop {\cap } _{\Phi }\ B$ при условии $Φ (x) = Φ (a) = Φ (b) {\ displaystyle \ Phi (x) = \ Phi (a) = \ Phi (b)}$ $\Phi (x)=\Phi (a)=\Phi (b)$ для некоторых $a ∈ A, b ∈ B {\ displaystyle a \ in A, b \ in B}$ $a\in A,b\in B$ . Обратите внимание, что $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ могут быть непересекающимися, но при этом $A ∩ Φ ⁡ B {\ displaystyle A \ \ mathop {\ cap} _ {\ Phi} \ B}$ $A\ \mathop {\cap } _{\Phi }\ B$ может быть непустым. Отношение описательной близости $δ Φ {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi}}$ $\delta _{\Phi }$ определяется как

δ Φ = {(A, B) ∈ 2 X × 2 X: cl ( A) ∩ Φ ⁡ cl (B) ≠ ∅}. {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi} = \ left \ {(A, B) \ in 2 ^ {X} \ times 2 ^ {X}: {\ t_dv {cl}} (A) \ \ mathop {\ cap} _ {\ Phi} \ {\ t_dv {cl}} (B) \ neq \ emptyset \ right \}.}

\delta _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\t_dv{cl}}(A)\ \mathop {\cap } _{\Phi }\ {\t_dv{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.

При установке $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ не имеют точек с совпадающими описаниями, наборы описательно далеки друг от друга (обозначается $A δ _ Φ B {\ displaystyle A \ {\ underline {\ дельта}} _ {\ Phi} \ B}$ $A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ B$ ).

Бинарное отношение $δ Φ {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi}}$ $\delta _{\Phi }$ является описательной EF-близостью при условии, что для $A выполняются следующие аксиомы, B, E ⊂ X {\ displaystyle A, B, E \ subset X}$ $A,B,E\subset X$ .

dEF.1: Если набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ описательно близок на $B {\ displaystyle B}$ $B$ , тогда $B {\ displaystyle B}$ $B$ описательно близок к $A {\ displaystyle A}$ $A$ .
dEF.2: $A ∪ B {\ displaystyle A \ cup B}$ $A\cup B$ описательно близок к $E {\ displaystyle E}$ $E$ , если и только если хотя бы один из наборов $A {\ displaystyle A}$ $A$ или $B {\ displaystyle B}$ $B$ описательно близок к $E {\ displaystyle E}$ $E$ .
dEF.3: Две точки $x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X}$ $x,y\in X$ описательно близки, если и только если, описание $x {\ displaystyle x}$ $x$ соответствует описанию $y {\ displaystyle y}$ $y$ .
dEF.4: Все непустые наборы описательны y далеко от пустого набора $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\emptyset$ .
dEF.5: Для любых двух наборов $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ , которые описательно далеки друг от друга, существует $C, D ∈ 2 X {\ displaystyle C, D \ in 2 ^ {X}}$ $C,D\in 2^{X}$ , $C ∪ D = Икс {\ displaystyle C \ cup D = X}$ $C\cup D=X$ , так что $A {\ displaystyle A}$ $A$ описательно далек от $C {\ displaystyle C }$ $C$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ описательно далек от $D {\ displaystyle D}$ $D$ (описательная аксиома Ефремовича).

Пара $(X, δ Φ) {\ displaystyle (X, \ delta _ {\ Phi})}$ $(X,\delta _{\Phi })$ называется пространством описательной близости.

Пространства проксимального отношения отношения

Связующее устройство - это непустое семейство отношений $R {\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\mathcal {R}}$ на непустом множестве $Х {\ Displaystyle X}$ $X$ . Пара $(X, R) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {R}})}$ $(X,{\mathcal {R}})$ (также обозначается $X (R) {\ displaystyle X ({\ mathcal { R}})}$ $X({\mathcal {R}})$ ) называется пространством отношения. Пространства отношений - естественные обобщения упорядоченных множеств и равномерных пространств}. С введением семейства отношений близости $R δ {\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ delta}}$ ${\mathcal {R}}_{\delta }$ на $X {\ displaystyle X}$ $X$ , мы получаем проксимальное пространство отношений $(X, R δ) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {R}} _ {\ delta})}$ $(X,{\mathcal {R}}_{\delta })$ . Для простоты мы рассматриваем только два отношения близости, а именно: близость Ефремовича $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ и описательная близость $δ Φ {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi} }$ $\delta _{\Phi }$ при определении описательного соотношения $R δ Φ {\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}}}$ ${\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}$ . Пара $(X, R δ Φ) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}})}$ $(X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})$ называется проксимальным пространством отношения. В этой работе $X {\ displaystyle X}$ $X$ обозначает метрическое топологическое пространство, наделенное отношениями в ближайшем родственнике. С введением $(X, R δ Φ) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}})}$ $(X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})$ традиционное закрытие подмножество (например,) можно сравнить с более поздним описательным закрытием подмножества.

В проксимальном пространстве соотношения $X {\ displaystyle X}$ $X$ описательное закрытие набора $A {\ displaystyle A}$ $A$ (обозначено по $cl Φ (A) {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} _ {\ Phi} (A)}$ ${\t_dv{cl}}_{\Phi }(A)$ ) определяется как

cl Φ (A) = {x ∈ X: Φ (x) δ Q (cl (A))}. {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} _ {\ Phi} (A) = \ left \ {x \ in X: {\ Phi (x)} \ delta {\ mathcal {Q}} ({\ t_dv {cl }} (A)) \ right \}.}

{\t_dv{cl}}_{\Phi }(A)=\left\{x\in X:{\Phi (x)}\delta {\mathcal {Q}}({\t_dv{cl}}(A))\right\}.

То есть $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x\in X$ находится в описательном замыкании $A {\ displaystyle A}$ $A$ , при условии закрытия $Φ (x) {\ displaystyle \ Phi (x)}$ $\Phi (x)$ и закрытия $Q (cl (A)) {\ displaystyle {\ mathcal {Q}} ({\ t_dv {cl}} (A))}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} ({\ t_dv {cl}} (A))}$ имеют по крайней мере один общий элемент.

Теорема 2: Описательное замыкание любого множества $A {\ displaystyle A}$ $A$ в описательном EF-пространстве близости $(X, R δ Φ) { \ displaystyle (X, {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}})}$ $(X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})$ - это набор точек $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x\in X$ , которые описательно близки к $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Теорема 3: Замыкание Куратовского множества $A {\ displaystyle A}$ $A$ является подмножеством описательного замыкания $A {\ displaystyle A}$ $A$ в описательном EF-пространстве близости.

Теорема 4: Пусть $(X, R δ Φ) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}})}$ $(X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})$ быть проксимальным пространством отношения, $A ⊂ X {\ displaystyle A \ subset X}$ $A\subset X$ . Тогда $cl (A) ⊆ cl Φ (A) {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} (A) \ substeq {\ t_dv {cl}} _ {\ Phi} (A)}$ ${\t_dv{cl}}(A)\subseteq {\t_dv{cl}}_{\Phi }(A)$ .

Доказательство: Пусть $Φ (x) ∈ Q (X ∖ cl (A)) {\ displaystyle \ Phi (x) \ in {\ mathcal {Q}} (X \ setminus {\ t_dv {cl} } (A))}$ $\Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(X\setminus {\t_dv{cl}}(A))$ такой, что $Φ (x) = Φ (a) {\ displaystyle \ Phi (x) = \ Phi (a)}$ $\Phi (x)=\Phi (a)$ для некоторых $a ∈ cl A {\ displaystyle a \ in {\ t_dv {cl}} A}$ $a\in {\t_dv{cl}}A$ . Следовательно, $Φ (x) ∈ Q (cl Φ (A)) {\ displaystyle \ Phi (x) \ in {\ mathcal {Q}} ({\ t_dv {cl}} _ {\ Phi} (A))}$ $\Phi (x)\in {\mathcal {Q}}({\t_dv{cl}}_{\Phi }(A))$ . Следовательно, $cl (A) ⊆ cl Φ (A) {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} (A) \ substeq {\ t_dv {cl}} _ {\ Phi} (A)}$ ${\t_dv{cl}}(A)\subseteq {\t_dv{cl}}_{\Phi }(A)$

In проксимальное пространство отношения, EF-близость $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ приводит к следующим результатам для описательной близости $δ Φ {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi}}$ $\delta _{\Phi }$ .

Теорема 5: Пусть $(X, R δ Φ) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}})}$ $(X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})$ быть проксимальным пространством соотношения, $A, B, C ⊂ X {\ displaystyle A, B, C \ subset X}$ $A,B,C\subset X$ . Тогда

1 $∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^\circ$: $A δ B подразумевает A δ Φ B {\ displaystyle A \ \ delta \ B \ {\ t_dv {implies}} \ A \ \ delta _ {\ Phi} \ B}$ ${\ displaystyle A \ \ delta \ B \ {\ t_dv {подразумевает}} \ A \ \ delta _ {\ Phi} \ B }$ .
2 $∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^\circ$: $(A ∪ B) δ C подразумевает (A ∪ B) δ Φ C {\ displaystyle (A \ cup B) \ \ delta \ C \ {\ t_dv {подразумевает}} \ (A \ cup B) \ \ delta _ {\ Phi} \ C}$ $(A\cup B)\ \delta \ C\ {\t_dv{implies}}\ (A\cup B)\ \delta _{\Phi }\ C$ .
3 $∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^\circ$: $cl A δ cl B подразумевает cl A δ Φ cl B {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} A \ \ delta \ {\ t_dv {cl}} B \ {\ t_dv {подразумевает}} \ {\ t_dv {cl}} A \ \ delta _ { \ Phi} \ {\ t_dv {cl}} B}$ ${\t_dv{cl}}A\ \delta \ {\t_dv{cl}}B\ {\t_dv{implies}}\ {\t_dv{cl}}A\ \delta _{\Phi }\ {\t_dv{cl}}B$ .

Доказательство
1 $∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^\circ$: $A δ B ⇔ A ∩ B ≠ ∅ {\ displaystyle A \ \ delta \ B \ Leftrightarrow A \ cap B \ neq \ emptyset}$ $A\ \delta \ B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset$ . Для $x ∈ A ∩ B, Φ (x) ∈ Q (A) {\ displaystyle x \ in A \ cap B, \ Phi (x) \ in {\ mathcal {Q}} (A)}$ ${\ displaystyle x \ in A \ cap B, \ Phi (x) \ in {\ mathcal {Q}} (A)}$ и $Φ (x) ∈ Q (B) {\ displaystyle \ Phi (x) \ in {\ mathcal {Q}} (B)}$ $\Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(B)$ . Следовательно, $A δ Φ B {\ displaystyle A \ \ delta _ {\ Phi} \ B}$ ${\ displaystyle A \ \ delta _ { \ Phi} \ B}$ .

$1 ∘ ⇒ 2 ∘ {\ displaystyle 1 ^ {\ circ} \ Rightarrow \ 2 ^ {\ circ} }$ $1^{\circ }\Rightarrow \ 2^{\circ }$

3 $∘ {\ displaystyle ^ {\ circ}}$ $^\circ$: $cl A δ cl B {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} A \ \ delta \ {\ t_dv {cl}} B}$ ${\t_dv{cl}}A\ \delta \ {\t_dv{cl}}B$ означает, что $cl A {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} A}$ ${\t_dv{cl}}A$ и $cl A {\ displaystyle {\ t_dv {cl}} A}$ ${\t_dv{cl}}A$ Есть хоть одна общая черта. Следовательно, 1 $o ⇒ 3 o {\ displaystyle ^ {o} \ Rightarrow \ 3 ^ {o}}$ $^{o}\Rightarrow \ 3^{o}$ .

$◼ {\ displaystyle \ qquad \ blacksquare}$ $\qquad \blacksquare$

Descriptive

δ {\ displaystyle \ дельта}

\delta

-окрестности

Рисунок 6. Пример, изображающий

δ {\ displaystyle \ delta}

\delta

-окрестности

в псевдометрическом проксимальном пространстве соотношения $X {\ displaystyle X}$ $X$ , окрестность точки $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x\in X$ (обозначается $N x, ε { \ displaystyle N_ {x, \ varepsilon}}$ $N_{x,\varepsilon }$ ) для $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ определяется как

N x, ε = {y ∈ X: d ( x, y) < ε }. {\displaystyle N_{x,\varepsilon }=\left\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon \right\}.}

N_{x,\varepsilon }=\left\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon \right\}.

Внутренняя часть набора $A {\ displaystyle A}$ $A$ (обозначается $int (A) {\ displaystyle {\ t_dv {int}} (A) }$ ${\t_dv{int}}(A)$ ) и граница $A {\ displaystyle A}$ $A$ (обозначается $bdy (A) {\ displaystyle {\ t_dv {bdy}} (A) }$ ${\ displaystyle {\ t_dv {bdy}} (A)}$ ) в проксимальном пространстве отношений отношения $X {\ displaystyle X}$ $X$ определяются как

int (A) = {x ∈ X: N x, ε ⊆ A }. {\ displaystyle {\ t_dv {int}} (A) = \ left \ {x \ in X: N_ {x, \ varepsilon} \ substeq A \ right \}.}

{\t_dv{int}}(A)=\left\{x\in X:N_{x,\varepsilon }\subseteq A\right\}.

bdy (A) = cl (A) ∖ int (A). {\ displaystyle {\ t_dv {bdy}} (A) = {\ t_dv {cl}} (A) \ setminus {\ t_dv {int}} (A).}

{\t_dv{bdy}}(A)={\t_dv{cl}}(A)\setminus {\t_dv{int}}(A).

Набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ имеет естественное сильное включение в набор $B {\ displaystyle B}$ $B$ , связанный с $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ } (обозначается $A ≪ δ B {\ displaystyle A \ \ ll _ {\ delta} \ B}$ $A\ \ll _{\delta }\ B$ ), при условии $A ⊂ int B {\ displaystyle A \ subset \ {\ t_dv {int}} B}$ ${\ displaystyle A \ subset \ {\ t_dv {int} } B}$ , то есть $A δ _ X ∖ int B {\ displaystyle A \ {\ underline {\ delta}} \ X \ setminus {\ t_dv {int}} B}$ $A\ {\underline {\delta }}\ X\setminus {\t_dv{int}}B$ ( $A {\ displaystyle A}$ $A$ далеко от дополнения к $int B {\ displaystyle {\ t_dv {int}} B}$ ${\t_dv{int}}B$ ). Соответственно, набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ имеет сильное описательное включение в набор $B {\ displaystyle B}$ $B$ , связанный с $δ Φ { \ displaystyle \ delta _ {\ Phi}}$ $\delta _{\Phi }$ (обозначается $A ≪ Φ ⁡ B {\ displaystyle A \ \ mathop {\ ll} _ {\ Phi} \ B}$ ${\ displaystyle A \ \ mathop {\ ll} _ {\ Phi} \ B}$ ), при условии $Q (A) ⊂ Q (int B) {\ displaystyle {\ mathcal {Q}} (A) \ subset \ {\ mathcal {Q}} ({\ t_dv {int}} B)}$ ${\mathcal {Q}}(A)\subset \ {\mathcal {Q}}({\t_dv{int}}B)$ , т.е. $A δ _ Φ X ∖ int B {\ displaystyle A \ {\ underline {\ delta}} _ {\ Phi} \ X \ setminus {\ t_dv {int} } B}$ $A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ X\setminus {\t_dv{int}}B$ ( $Q (A) {\ displaystyle {\ mathcal {Q}} (A)}$ ${\mathcal {Q}}(A)$ далеко от дополнения $int B {\ displaystyle {\ t_dv {int} } B}$ ${\t_dv{int}}B$ ).

Пусть $≪ Φ {\ displaystyle \ mathop {\ ll} _ {\ Phi}}$ $\mathop {\ll } _{\Phi }$ будет описательным $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ -соседство, определяемое как

>Φ = {(A, B) ∈ 2 X × 2 X: Q (A) ⊂ Q (int B)}. {\ Displaystyle \ mathop {\ ll} _ {\ Phi} = \ left \ {(A, B) \ in 2 ^ {X} \ times 2 ^ {X}: {\ mathcal {Q}} (A) \ подмножество {\ mathcal {Q}} ({\ t_dv {int}} B) \ right \}.}

\mathop {\ll } _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mathcal {Q}}(A)\subset {\mathcal {Q}}({\t_dv{int}}B)\right\}.

То есть $A ≪ Φ ⁡ B {\ displaystyle A \ \ mathop {\ ll} _ {\ Phi} \ B}$ ${\ displaystyle A \ \ mathop {\ ll} _ {\ Phi} \ B}$ , при условии, что описание каждого $a ∈ A {\ displaystyle a \ in A}$ $a\in A$ содержится в наборе описаний точек $б ∈ int B {\ displaystyle b \ in {\ t_dv {int}} B}$ $b\in {\t_dv{int}}B$ . Теперь заметьте, что любые $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A,B$ в проксимальном пространстве отношений $X {\ displaystyle X}$ $X$ такие, что $A δ _ Φ B {\ displaystyle A \ {\ underline {\ delta}} _ {\ Phi} \ B}$ $A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ B$ имеют непересекающиеся $δ Φ {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi}}$ $\delta _{\Phi }$ -окрестности, то есть

A δ _ Φ B ⇔ A ≪ Φ ⁡ E 1, B ≪ Φ ⁡ E 2, для некоторых E 1, E 2 ⊂ X (см. Рис. 6). {\ displaystyle A \ {\ underline {\ delta}} _ {\ Phi} \ B \ Leftrightarrow A \ \ mathop {\ ll} _ {\ Phi} \ E1, B \ \ mathop {\ ll} _ {\ Phi } \ E2, \ {\ t_dv {для некоторых}} \ E1, E2 \ subset X \ {\ t_dv {(см. Рис. 6).}}}

A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ B\Leftrightarrow A\ \mathop {\ll } _{\Phi }\ E1,B\ \mathop {\ll } _{\Phi }\ E2,\ {\t_dv{for some}}\ E1,E2\subset X\ {\t_dv{(See Fig. 6).}}

Теорема 6: Любые два набора описательно далекие друг от друга принадлежат непересекающимся описательным $δ Φ {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi}}$ $\delta _{\Phi }$ -окрестностям в описательном пространстве близости $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

A рассмотрение сильного содержания непустого множества в другом наборе приводит к изучению топологий «ударил и промахнулся» и топологии Вейсмана.

Допуск около наборов

Пусть $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\varepsilon$ будет действительным числом больше нуля. При исследовании наборов, которые проксимально близки в пределах некоторого допуска, набор отношений близости $R δ Φ {\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}}}$ ${\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}$ дополняется отношением близости псевдометрическим допуском (обозначается $δ Φ, ε {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi, \ varepsilon}}$ $\delta _{\Phi,\varepsilon }$ ) определяется как

D Φ (A, B) = inf {d (Φ ( a), Φ (a)): Φ (a) ∈ Q (A), Φ (a) ∈ Q (B)}, d (Φ (a), Φ (a)) = ∑ i = 1 n ⁡ | ϕ i (a) - ϕ i (b) |, δ Φ, ε = {(A, B) ∈ 2 X × 2 X: | D (cl (A), cl (B)) | < ε }. {\displaystyle {\begin{aligned}D_{\Phi }(A,B)=inf\left\{d(\Phi (a),\Phi (a)):\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(A),\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(B)\right\},\\d(\Phi (a),\Phi (a))=\mathop {\sum } _{i=1}^{n}|\phi _{i}(a)-\phi _{i}(b)|,\\\delta _{\Phi,\varepsilon }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:|D({\t_dv{cl}}(A),{\t_dv{cl}}(B))|<\varepsilon \right\}.\end{aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} D _ {\ Phi} (A, B) = inf \ left \ {d (\ Phi (a), \ Phi (a)): \ Phi (a) \ in {\ mathcal {Q}} (A), \ Phi (a) \ in {\ mathcal {Q}} (B) \ right \}, \\ d (\ Phi (a), \ Phi (a)) = \ mathop {\ sum} _ {i = 1} ^ {n} | \ phi _ {i} (a) - \ phi _ {i} (b) |, \\\ delta _ {\ Phi, \ varepsilon} = \ left \ { (A, B) \ in 2 ^ {X} \ times 2 ^ {X}: | D ({\ t_dv {cl}} (A), {\ t_dv {cl}} (B)) | <\ varepsilon \ вправо \}. \ конец {выровнено}}}

Пусть $R δ Φ, ε = R δ Φ ∪ {δ Φ, ε} {\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi, \ varepsilon}} = {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}} \ cup \ left \ {\ delta _ {\ Phi, \ varepsilon} \ right \}}$ ${\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi,\varepsilon }}={\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}\cup \left\{\delta _{\Phi,\varepsilon }\right\}$ . Другими словами, непустое множество, снабженное проксимальным соотношением $R δ Φ, ε {\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi, \ varepsilon}}}$ ${\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi,\varepsilon }}$ имеет базовую структуру , предоставляемую проксимальным связующим элементом $R δ Φ {\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi}}}$ ${\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}$ и предоставляет основа для изучения допусков рядом с наборами в $X {\ displaystyle X}$ $X$ , которые находятся в пределах некоторого допуска. Устанавливает $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A,B$ в описательном псевдометрическом пространстве проксимального отношения $(X, R δ Φ, ε) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {R }} _ {\ delta _ {\ Phi, \ varepsilon}})}$ $(X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi,\varepsilon }})$ - допуск около множеств (т. е. $A δ Φ, ε B {\ displaystyle A \ \ delta _ {\ Phi, \ varepsilon} \ B}$ $A\ \delta _{\Phi,\varepsilon }\ B$ ), при условии

D Φ (A, B) < ε. {\displaystyle D_{\Phi }(A,B)<\varepsilon.}

{\ displaystyle D _ {\ Phi} (A, В) <\ varepsilon.}

Классы допуска и преклассы

Отношения с теми же формальными свойствами, что и отношения подобия ощущений Рассмотренные Пуанкаре в настоящее время, после Зеемана, называются отношениями допуска. Допуск $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ на множестве $O {\ displaystyle O}$ $O$ - это отношение $τ ⊆ O × O {\ displaystyle \ tau \ substeq O \ times O}$ $\tau \subseteq O\times O$ , который является рефлексивным и симметричным. В алгебре термин отношение толерантности также используется в узком смысле для обозначения рефлексивных и симметричных отношений, определенных на вселенных алгебр, которые также совместимы с операциями данной алгебры, т.е. они являются обобщениями отношений конгруэнтности (см., Например,). В отношении таких отношений используется термин алгебраическая терпимость или термин отношение алгебраической терпимости. Отношения транзитивной толерантности - это отношения эквивалентности. Набор $O {\ displaystyle O}$ $O$ вместе с допуском $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ называется пространством допуска (обозначается $(O, τ) {\ displaystyle (O, \ tau)}$ ${\ displaystyle (O, \ tau)}$ ). Набор $A ⊆ O {\ displaystyle A \ substeq O}$ $A\subseteq O$ является $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ -преклассом (или кратко преклассом, когда $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ понимается) тогда и только тогда, когда для любого $x, y ∈ A {\ displaystyle x, y \ in A}$ $x,y \in A$ , $(x, y) ∈ τ {\ displaystyle (x, y) \ in \ tau}$ $(x,y)\in \tau$ .

Семейство всех преклассов пространства допуска естественным образом упорядочено по включению множеств, и преклассы, максимальные по отношению к включению множества, называются $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ -классы или просто классы, когда понимается $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ . Семейство всех классов пространства $(O, τ) {\ displaystyle (O, \ tau)}$ ${\ displaystyle (O, \ tau)}$ особенно интересно и обозначается $H τ (O) {\ displaystyle H _ {\ tau} (O)}$ $H_{\tau }(O)$ . Семейство $H τ (O) {\ displaystyle H _ {\ tau} (O)}$ $H_{\tau }(O)$ представляет собой покрытие $O {\ displaystyle O}$ $O$ .

Работа Пуанкаре о сходстве и Зееман предвещают введение близких множеств и исследования отношений подобия, например. В науке и технике толерантность к множествам - это практическое приложение изучения множеств, которые находятся в пределах некоторого допуска. Допуск $ε ∈ (0, ∞] {\ displaystyle \ varepsilon \ in (0, \ infty]}$ $\varepsilon \in (0,\infty ]$ напрямую связан с идеей близости или сходства (т. Е. Нахождения в пределах некоторого допуска) При сравнении объектов. Путем применения подхода Пуанкаре к определению визуальных пространств и подхода Зеемана к отношениям толерантности, основная идея заключается в сравнении объектов, таких как участки изображения внутри цифровых изображений.

Примеры

Простой пример

Следующий простой пример демонстрирует построение классов допуска на основе реальных данных. Рассмотрим 20 объектов в таблице ниже с $| Φ | = 1 {\ displaystyle | \ Phi | = 1}$ $|\Phi |=1$ .

Sample Система восприятия
$xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$	$ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\phi (x)$	$xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$	$ϕ (x) { \ displaystyle \ phi (x)}$ $\phi (x)$	$xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$	$ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\phi (x)$	$xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$	$ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\phi (x)$
$x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$	0,451 8	$x 6 {\ displaystyle x_ {6}}$ ${\ displaystyle x_ {6}}$	.6943	$x 11 {\ displaystyle x_ {11}}$ $x_{11}$	.4002	$x 16 {\ displaystyle x_ {16}}$ $x_{16}$	.6079
$x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_{2}$	.9166	$x 7 {\ displaystyle x_ {7}}$ ${\ displaystyle x_ {7}}$	.9246	$x 12 {\ displaystyle x_ {12}}$ $x_{12}$	.1910	$x 17 {\ displaystyle x_ {17}}$ $x_{17}$	.1869
$x 3 {\ displaystyle x_ {3}}$ $x_ {3}$	.1398	$x 8 {\ displaystyle x_ {8}}$ $x_{8}$	.3537	$x 13 {\ displaystyle x_ {13}}$ $x _ {{13}}$	.7476	$x 18 {\ displaystyle x_ {18}}$ $x_{18}$	.8489
$x 4 {\ displaystyle x_ {4}}$ $x_{4}$	.7972	$x 9 {\ displaystyle x_ {9}}$ $x_{9}$	.4722	$x 14 {\ displaystyle x_ {14}}$ $x_{14}$	.4990	$x 19 {\ displaystyle x_ {19}}$ $x_{19}$	.9170
$x 5 {\ displaystyle x_ {5}}$ $x_5$	.6281	$x 10 {\ displaystyle x_ {10 }}$ $x_{10}$	.4523	$x 15 {\ displaystyle x_ {15}}$ $x_{15}$	.6289	$x 20 {\ displaystyle x_ {20}}$ $x_{20}$	.7143

Пусть отношение допуска определяется как

≅ ε = {(x, y) ∈ O × O: ∥ Φ (x) - Φ (y) ∥ 2 ≤ ε} {\ displaystyle \ cong _ {\ varepsilon знак равно \ {(x, y) \ in O \ times O: \; \ parallel \ Phi (x) - \ Phi (y) \ parallel _ {_ {2}} \ leq \ varepsilon \}}

\cong _{\varepsilon }=\{(x,y)\in O\times O:\;\parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{_{2}}\leq \varepsilon \}

Тогда, Параметр $ε = 0,1 {\ displaystyle \ varepsilon = 0,1}$ $\ varepsilon = 0,1$ дает следующие классы допуска:

H ≅ ε (O) = {{x 1, x 8, x 10, x 11 }, {x 1, x 9, x 10, x 11, x 14}, {x 2, x 7, x 18, x 19}, {x 3, x 12, x 17}, {x 4, x 13, x 20}, {x 4, x 18}, {x 5, x 6, x 15, x 16}, {x 5, x 6, x 15, x 20}, {x 6, x 13, x 20 }}. {\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ cong _ {\ varepsilon}} (O) = \ {\ {x_ {1}, x_ {8}, x_ {10}, x_ {11} \}, \ {x_ {1}, x_ {9}, x_ {10}, x_ {11}, x_ {14} \}, \\ \ {x_ {2}, x_ {7}, x_ {18}, x_ {19} \}, \\ \ {x_ {3}, x_ {12}, x_ {17} \}, \\ \ {x_ {4}, x_ {13}, x_ {20} \}, \ {x_ {4}, x_ {18} \}, \\ \ {x_ {5}, x_ {6}, x_ {15}, x_ {16} \}, \ {x_ {5}, x_ { 6}, x_ {15}, x_ {20} \}, \\ \ {x_ {6}, x_ {13}, x_ {20} \} \}. \ End {align}}}

{\begin{aligned}H_{\cong _{\varepsilon }}(O)=\{\{x_{1},x_{8},x_{10},x_{11}\},\{x_{1},x_{9},x_{10},x_{11},x_{14}\},\\\{x_{2},x_{7},x_{18},x_{19}\},\\\{x_{3},x_{12},x_{17}\},\\\{x_{4},x_{13},x_{20}\},\{x_{4},x_{18}\},\\\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{16}\},\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{20}\},\\\{x_{6},x_{13},x_{20}\}\}.\end{aligned}}

Соблюдать что каждый объект в классе допуска удовлетворяет условию $∥ Φ (x) - Φ (y) ∥ 2 ≤ ε {\ displaystyle \ parallel \ Phi (x) - \ Phi (y) \ parallel _ {2} \ leq \ varepsilon}$ $\parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{2}\leq \varepsilon$ , и что почти все объекты относятся более чем к одному классу. Более того, было бы двадцать классов, если бы использовалось отношение неразличимости, поскольку нет двух объектов с совпадающими описаниями.

Пример обработки изображения

Рисунок 7. Пример изображений, которые находятся рядом друг с другом. (a) и (b) Изображения из свободно доступного LeavesDataset (см., например, www.vision.caltech.edu/archive.html).

В следующем примере представлен пример, основанный на цифровых изображениях. Пусть фрагмент изображения определяется как небольшое подмножество пикселей, принадлежащих цифровому изображению, так что пиксели, содержащиеся в фрагменте изображения, образуют квадрат. Затем пусть наборы $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ соответственно представляют собой фрагменты изображения, полученные из двух разных изображений, и пусть $О = {Икс ∪ Y} {\ displaystyle O = \ {X \ cup Y \}}$ $O=\{X\cup Y\}$ . Наконец, позвольте описанию объекта дать зеленый компонент в цветовой модели RGB. Следующим шагом является поиск всех классов допуска с использованием отношения допуска, определенного в предыдущем примере. Используя эту информацию, можно сформировать классы допуска, содержащие объекты, которые имеют похожие (в пределах некоторых небольших $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\varepsilon$ ) значения для зеленого компонента в цветовой модели RGB. Кроме того, изображения, которые близки (похожи) друг к другу, должны иметь классы допусков, разделенные между обоими изображениями (вместо классов допусков, содержащихся только в одном из изображений). Например, рисунок, сопровождающий этот пример, показывает подмножество классов допуска, полученных из двух изображений листьев. На этом рисунке каждому классу допуска присвоен отдельный цвет. Как можно видеть, два листа имеют одинаковые классы допуска. Этот пример подчеркивает необходимость измерения степени близости двух множеств.

Мера близости

Пусть $(U, R δ Φ, ε) {\ displaystyle (U, {\ mathcal {R}} _ {\ delta _ {\ Phi, \ varepsilon}})}$ $(U,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi,\varepsilon }})$ обозначают конкретное описательное псевдометрическое EF-проксимальное пространство отношений, снабженное отношением близости $δ Φ, ε {\ displaystyle \ delta _ {\ Phi, \ varepsilon}}$ $\delta _{\Phi,\varepsilon }$ и с непустыми подмножествами $X, Y ∈ 2 U {\ displaystyle X, Y \ in 2 ^ {U}}$ $X,Y\in 2^{U}$ и с отношением допуска $≅ Φ, ε {\ displaystyle \ cong _ {\ Phi, \ varepsilon}}$ $\cong _{\Phi,\varepsilon }$ определяется в терминах набора датчиков $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\Phi$ и с $ε ∈ ( 0, ∞] {\ displaystyle \ varepsilon \ in (0, \ infty]}$ $\varepsilon \in (0,\infty ]$ , где

Рисунок 8. Примеры степени близости между двумя наборами: (a) Высокая степень близость, и (b) низкая степень близости.

≃ Φ, ε = {(x, y) ∈ U × U ∣ | Φ (x) - Φ (y) | ≤ ε}. {\ displaystyle \ simeq _ {\ Phi, \ varepsilon} = \ {(x, y) \ in U \ times U \ mid \ | \ Phi (x) - \ Phi (y) | \ leq \ varepsilon \}.}

\simeq _{\Phi,\varepsilon }=\{(x,y)\in U\times U\mid \ |\Phi (x)-\Phi (y)|\leq \varepsilon \}.

Далее, предположим, что $Z = Икс ∪ Y {\ displaystyle Z = X \ cup Y}$ ${\ displaystyle Z = X \ cup Y}$ и пусть $H τ Φ, ε (Z) {\ displaystyle H _ {\ tau _ {\ Phi, \ varepsilon}} (Z)}$ ${\ displaystyle H _ {\ tau _ {\ Phi, \ varepsilon}} (Z)}$ обозначает семейство всех классов в пространстве $(Z, ≃ Φ, ε) {\ displaystyle (Z, \ simeq _ {\ Phi, \ varepsilon})}$ ${\ displaystyle (Z, \ simeq _ {\ Phi, \ varepsilon})}$ .

Пусть $A ⊆ X, B ⊆ Y {\ displaystyle A \ substeq X, B \ substeq Y}$ $A\subseteq X,B\subseteq Y$ . Расстояние $D t NM: 2 U × 2 U: ⟶ [0, ∞] {\ displaystyle D _ {_ {tNM}}: 2 ^ {U} \ times 2 ^ {U}: \ longrightarrow [0, \ infty]}$ $D_{_{tNM}}:2^{U}\times 2^{U}:\longrightarrow [0,\infty ]$ определяется как

D t NM (X, Y) = {1 - t NM (A, B), если X и Y не пустые, ∞, если X или Y пусто, {\ displaystyle D _ {_ {tNM}} (X, Y) = {\ begin {cases} 1-tNM (A, B), {\ t_dv {if}} X {\ t_dv {and}} Y {\ t_dv {не пусто}}, \\\ infty, {\ t_dv {if}} X {\ t_dv {или}} Y {\ t_dv {пусто}}, \ end {cases}}}

{\ displaystyle D_ { _ {tNM}} (X, Y) = {\ begin {cases} 1-tNM (A, B), {\ t_dv {if}} X {\ t_dv {и}} Y {\ t_dv {не пустые }}, \\\ infty, {\ t_dv {if}} X {\ t_dv {или}} Y {\ t_dv {is empty}}, \ end {case }}}

где

t NM (A, B) = (∑ C ∈ H τ Φ, ε (Z) | C |) - 1 ⋅ ∑ C ∈ H τ Φ, ε (Z) | C | min (| C ∩ A |, | [C ∩ B |) max (| C ∩ A |, | C ∩ B |). {\ displaystyle tNM (A, B) = {\ Biggl (} \ sum _ {C \ in H _ {\ tau _ {\ Phi, \ varepsilon}} (Z)} | C | {\ Biggr)} ^ {- 1} \ cdot \ sum _ {C \ in H _ {\ tau _ {\ Phi, \ varepsilon}} (Z)} | C | {\ frac {\ min (| C \ cap A |, | [C \ cap B |)} {\ max (| C \ cap A |, | C \ cap B |)}}.}

tNM(A,B)={\Biggl (}\sum _{C\in H_{\tau _{\Phi,\varepsilon }}(Z)}|C|{\Biggr)}^{-1}\cdot \sum _{C\in H_{\tau _{\Phi,\varepsilon }}(Z)}|C|{\frac {\min(|C\cap A|,|[C\cap B|)}{\max(|C\cap A|,|C\cap B|)}}.

Подробная информация, касающаяся $t NM {\ displaystyle tNM}$ $tNM$ , дана дюйм. Идея $t NM {\ displaystyle tNM}$ $tNM$ заключается в том, что похожие наборы должны иметь одинаковое количество объектов в каждом классе допуска. Таким образом, для каждого класса допуска, полученного из покрытия $Z = X ∪ Y {\ displaystyle Z = X \ cup Y}$ ${\ displaystyle Z = X \ cup Y}$ , $t NM {\ displaystyle tNM}$ $tNM$ подсчитывает количество объектов которые принадлежат $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ и принимают соотношение (как правильную долю) их мощностей. Кроме того, каждое соотношение взвешивается по общему размеру класса допуска (таким образом, придается значение более крупным классам), а конечный результат нормализуется путем деления на сумму всех мощностей. Диапазон $t NM {\ displaystyle tNM}$ $tNM$ находится в интервале [0,1], где значение 1 получается, если наборы эквивалентны (на основе описаний объектов) и значения 0 получается, если у них нет общих описаний.

В качестве примера степени близости между двумя наборами рассмотрим рисунок ниже, на котором каждое изображение состоит из двух наборов объектов, $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Каждый цвет на рисунках соответствует набору, в котором все объекты в классе имеют одно и то же описание. Идея, лежащая в основе $t N M {\ displaystyle tNM}$ $tNM$ , заключается в том, что близость множеств в перцепционной системе основана на мощности классов толерантности, которые они разделяют. Таким образом, наборы в левой части рисунка ближе (более близки) друг к другу с точки зрения их описания, чем наборы в правой части рисунка.

Система оценки и распознавания близких точек (NEAR)

Рис. 9. GUI системы NEAR.

Система оценки и распознавания близких точек (NEAR) - это система, разработанная для демонстрации практических приложений теории близких множеств к задачам оценки сегментации изображений и соответствия изображений. Это было мотивировано потребностью в свободно доступном программном инструменте, который может предоставить результаты для исследований и вызвать интерес к теории почти множеств. В системе реализован многодокументный интерфейс (MDI), в котором каждая отдельная задача обработки выполняется в собственном дочернем фрейме. Объекты (в близком к заданному смысле) в этой системе являются частями изображений обрабатываемых изображений, а функции (функции) зонда - это функции обработки изображений, определенные на этих изображениях. Система была написана на C ++ и была разработана для облегчения добавления новых задач обработки и функций проверки. В настоящее время система выполняет шесть основных задач, а именно: отображение классов эквивалентности и допусков для изображения, выполнение оценки сегментации, измерение близости двух изображений, выполнение поиска изображений на основе содержимого (CBIR) и отображение результатов обработки изображения с использованием специфическая функция датчика.

Proximity System

Рис. 10. Proximity System.

Proximity System - это приложение, разработанное для демонстрации основанных на описании топологических подходов к близости и близости в контексте анализа цифровых изображений. Система близости выросла из работ С. Наимпалли и Дж. Петерса по топологическим пространствам. Система Proximity была написана на Java и предназначена для работы в двух разных операционных средах, а именно на смартфонах и планшетах Android, а также на настольных платформах, на которых работает виртуальная машина Java. Что касается среды рабочего стола, Proximity System - это кроссплатформенное приложение Java для систем Windows, OSX и Linux, которое было протестировано в Windows 7 и Debian Linux с использованием среды выполнения Sun Java 6. С точки зрения реализации теоретических подходов, и Android, и настольные приложения используют одни и те же серверные библиотеки для выполнения вычислений на основе описания, где единственные различия заключаются в пользовательском интерфейсе, а версия Android имеет меньше доступных функций из-за ограничениям на системные ресурсы.

См. Также

Примечания

^JR Исбелл заметил, что понятия «ближнее и дальнее» важны в однородном пространстве. Наборы $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A,B$ находятся далеко (равномерно дистально ) при условии ${A, B} {\ displaystyle \ {A, B \}}$ $\{A,B\}$ - дискретная коллекция. Непустой набор $U {\ displaystyle U}$ $U$ является однородной окрестностью набора $A {\ displaystyle A}$ $A$ , при условии дополнения $U { \ displaystyle U}$ $U$ далеко от $U {\ displaystyle U}$ $U$ . См. §33 в
^. Интуиция, которая привела к открытию описательно близких множеств, дана в Pawlak, Z.; Peters, J.F. (2002, 2007) «Jak blisko (How Near)». Systemy Wspomagania Decyzji I 57 (109)
^Описательно близкие множества вводятся в. В статье исследуются связи между традиционной EF-близостью и описательной EF-близостью.
^Напоминает подход М. Павла, описания членов объектов множеств определяются относительно векторов значений, полученных из вещественных функций, называемых зондами. См. Павел М. (1993). Основы распознавания образов. 2-е изд. Нью-Йорк: Марсель Деккер, за введение зондирующих функций, рассматриваемых в контексте регистрации изображений.
^Непространственный вид близких множеств появляется в: C.J. Mozzochi, M.S. Гаграт и С.А. Наимпалли, Симметричные обобщенные топологические структуры, Exposition Press, Hicksville, NY, 1976, и, совсем недавно, близость непересекающихся множеств $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ на основе сходства между парами элементов $x ∈ X, y ∈ Y {\ displaystyle x \ in X, y \ in Y}$ $x\in X,y\in Y$ (т.е. $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ имеют похожие векторы признаков $ϕ (x), ϕ (y) {\ displaystyle { \ boldsymbol {\ phi (x)}}, {\ boldsymbol {\ phi (y)}}}$ ${\boldsymbol {\phi (x)}},{\boldsymbol {\phi (y)}}$ и норма $∥ ϕ (x) - ϕ (y) ∥ p < ε {\displaystyle \parallel {\boldsymbol {\phi (x)}}-{\boldsymbol {\phi (y)}}\parallel _{_{p}}<\varepsilon }$ $\parallel {\boldsymbol {\phi (x)}}-{\boldsymbol {\phi (y)}}\parallel _{_{p}}<\varepsilon$ ) См., Например,
^Основные факты о закрытии набора были впервые указаны М. Фреше в и развиты Б. Кнастером и К. Куратовски в.
^Обратите внимание, что до 1970-е годы близость означала EF-близость, поскольку именно она изучалась интенсивно. Работы по пространствам близости до 1970 г. иллюстрируются серией работ Дж. М. Смирнова в первой половине 1950-х гг., Кульминацией которых стал сборник результатов С.А. Наимпалли и Б.Д. Варрак. Но, принимая во внимание более поздние события, необходимо различать различные близости. Базовая близость, или чешская близость, была введена Э. Чехом в конце 1930-х годов (см. § 25 A.1, стр. 439-440 in). Условия для несимметричного случая близости были введены С. Лидером, а для симметричного случая - М. В. Лодато.

Ссылки

^Adámek, J.; Herrlich, H.; Стрекер, Г. Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Лондон: Wiley-Interscience. стр. ix + 482.
^Бир, Г. (1993), "Топологии замкнутых и замкнутых выпуклых множеств", Лондон, Великобритания: Kluwer Academic Pub., стр. xi + 340pp Отсутствует или пусто | title =()
^Bentley, HL; Colebunders, E.; Vandermissen, E. (2009), «Удобная настройка для дополнений и функциональных пространств», в Mynard, F.; Pearl, E. (ред.), Contemporary Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, стр. 37–88 Отсутствует или пусто | title =()
^Cameron, P. ; Hockingand, JG; Naimpally, SA (1974). «Близость - лучший подход к непрерывности и ограничениям». American Mathematical Monthly. 81 (7): 739–745. doi : 10.2307 / 2319561. JSTOR 2319561.
^Ди Консилио, А. (2008), «Действие, единообразие и близость», в Naimpally, SA; Di Maio, G. (ред.), Теория и приложения близости, близости и единообразия, Seconda Università di Napoli, Неаполь: Prentice-Hall, стр. 71–88 Отсутствует или пусто | title =()
^ Ди Консиль io, Анна (2009). «Близость: мощный инструмент в теории расширений, функциональных пространств, гиперпространств, булевых алгебр и бесточечной геометрии». За пределами топологии. Современная математика. 486 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 89–114. doi : 10,1090 / conm / 486/09508. ISBN 9780821842799. MR 2521943.
^Devi, R.; Selvakumar, A.; Виньешваран, М. (2010). « $(I, γ) {\ displaystyle (I, \ gamma)}$ $(I,\gamma)$ -обобщенные полузамкнутые множества в топологических пространствах». Филомат. 24 (1): 97–100. CiteSeerX 10.1.1.430.5991. doi : 10.2298 / fil1001097d.
^ Ефремович, В.А. (1952). «Геометрия близости I (на русском языке)». Математический сборник. Новая серия. 31 (73) (1): 189–200.
^Питерс, Дж. Ф. (2008). "Замечание об a-открытых множествах и e $∗ {\ displaystyle ^ {*}}$ $^{*}$ -множествах". Филомат. 22 (1): 89–96. doi : 10.2298 / FIL0801087E.
^Фехнер, Г. Т. (1966). Элементы психофизики, т. I. Лондон, Великобритания: Hold, Rinehart Winston. С. Пер. Х. Э. Адлера. of Elemente der Psychophysik, 1860.
^Фреше, М. (1906). "Sur quelques points du Calcul fonctionnel". Ренд. Circ. Мат. Палермо. 22 : 1–74. doi : 10.1007 / bf03018603. HDL : 10338.dmlcz / 100655. S2CID 123251660.
^Grätzer, G.; Венцель, Г. Х. (1989). «Допуски, системы покрытий и аксиома выбора». Archivum Mathematicum. 25 (1-2): 27-34.
^Gupta, S.; Патнаик, К. (2008). «Повышение производительности систем распознавания лиц за счет использования подхода, близкого к заданному, для выбора черт лица». Журнал теоретических и прикладных информационных технологий. 4 (5): 433–441.
^ Hassanien, A.E.; Abraham, A.; Peters, J. F.; Schaefer, G.; Генри, К. (2009). «Грубые наборы и ближние наборы в медицинской визуализации: обзор, IEEE». Сделки по информационным технологиям в биомедицине. 13 (6): 955–968. CiteSeerX 10.1.1.475.6138. DOI : 10.1109 / TITB.2009.2017017. PMID 19304490. S2CID 1262076.
^Хаусдорф, Ф. (1914). Grundz¨uge der mengenlehre. Лейпциг: Файт и компания. стр. viii + 476.
^Henry, C.; Петерс, Дж. Ф. (2010). «Международная классификация изображений на основе восприятия». Журнал интеллектуальных вычислений и кибернетики. 3 (3): 410–430. doi : 10.1108 / 17563781011066701. S2CID 24382697.
^ Генри, К. Дж. (2010), "Ближайшие множества: теория и приложения", доктор философии. Диссертация, кафедра электр. Комп. Eng., Uni. МБ, руководитель: J.F. Peters
^ Henry, C.; Петерс, Дж. Ф. (2011). «Измерения сходства движений рук и пальцев при артрите: допуск, близкий к подходу». Вычислительные и математические методы в медицине. 2011 : 569898. doi : 10.1155 / 2011/569898. PMC 3087412. PMID 21559241.
^Henry, C.J.; Раманна, С. (2011). «Параллельные вычисления в поиске ближайших окрестностей». Конспект лекций по информатике. 6954 : 523–532. DOI : 10.1007 / 978-3-642-24425-4_67. ISBN 978-3-642-24424-7.
^ Херрлих, Х. (1974). "Понятие близости". Общая топология и ее приложения. 4 (3): 191–212. doi : 10.1016 / 0016-660x (74) 90021-x.
^Hocking, J. G.; Наимпалли, С.А. (2009), «Близость - лучший подход к непрерывности и ограничениям», Серия лекций Аллахабадского математического общества, 3, Аллахабад: Аллахабадское математическое общество, стр. Iv + 66, ISBN 978-81-908159-1-8 Отсутствует или пусто | title =()
^nan, E.; Öztürk, MA (2012). «Близкие группы на пространствах приближения близости». Журнал математики и статистики Hacettepe. 41 (4): 545–558.
^Исбелл, JR (1964). Равномерные пространства. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. xi + 175.
^Иванова, В.М.; Иванов, А.А. (1959). "Пространства примыкания и бикомпактные расширения топологических пространств". Докл.. Наук СССР. 127 : 20–22.
^Кнастер, Б.; Куратовский, К. (1921). «Sur les ensembles Connexes». Fundamenta Mathematicae. 2 : 206–255. doi : 10.4064 / fm-2-1-206-255.
^Ковар, М.М. (2011). «Новая причинная топология и почему Вселенная совместно компактна ". arXiv : 1112.0817 [math-ph ].
^Kuratowski, C. (1958), "Topologie i", Варшава: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, стр. XIII + 494pp Отсутствует. или пусто | title =()
^Leader, S. (1967). "Метризация пространств близости". Труды Американского математического общества. 18 (6): 1084–1088. doi : 10.2307 / 2035803. JSTOR 2035803.
^Лодато, М. В. (1962), "О топологически индуцированных обобщенных отношениях близости", доктор философии. Диссертация, Университет Рутгерса
^Лодато, М. В. (1964). «О топологически индуцированных обобщенных отношениях близости I». Труды Американского математического общества. 15 (3): 417–422. doi : 10.2307/2034517. JSTOR 2034517.
^Лодато, М.В. (1966). «О топологически индуцированных обобщенных отношениях близости II». Тихоокеанский математический журнал. 17 : 131–135. doi : 10.2140 / pjm.1966.17.131.
^Маклейн, С. (1971). Категории для работающего математика. Берлин: Springer. pp. v + 262pp.
^Mozzochi, C.J.; Naimpally, SA (2009), «Равномерность и близость», Серия лекций Аллахабадского математического общества, 2, Аллахабад: Математическое общество Аллахабада, стр. Xii + 153, ISBN 978-81-908159-1-8 Отсутствует или пусто | title =()
^Naimpally, SA (1970). Соседние пространства. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. Pp. X + 128. ISBN 978-0-521-09183-1.
^Naimpally, SA (2009). Близкий подход к проблемам топологии и анализа. Мюнхен, Германия: Oldenbourg Verlag. Pp. Ix + 204. ISBN 978-3-486-58917-7.
^Naimpally, SA; Peters, JF (2013). «Сохранение преемственности». Scientiae Mathematicae Japonicae. 76 (2): 1–7.
^ Naimpally, SA; Peters, JF (2013). Топология с приложениями. Топологические пространства через ближнее и дальнее. Сингапур: World Scientific.
^Наимпалли, С.А.; Петерс, Дж. Ф.; Вольски, М. (2013). Теория близких множеств и приложения. Специальный выпуск по математике в компьютерных науках. 7 . Берлин: Springer. п. 136.
^Naimpally, S.A.; Warrack, BD (1970), "Пространства близости", Cambridge Tract in Mathematics, 59, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, стр. X + 128 Отсутствует или пусто | title =()
^Pal, SK; Peters, JF (2010). Анализ нечетких изображений. Основы и методологии. Лондон, Великобритания: CRC Press, Taylor Francis Group. ISBN 9781439803295.
^Петерс, Дж. Ф. (2009). «Толерантность к множеству и соответствие изображений». Международный журнал биологических вычислений. 1 (4): 239–245. doi : 10.1504 / ijbic.2009.024722.
^ Петерс, Дж. Ф.; Василевски, П. (2009). «Основы ближних множеств». Информационные науки. 179 (18): 3091– 3109. doi : 10.1016 / j.ins.2009.04.018.
^ Петерс, Дж. Ф. (2007). «Близкие множества. Общая теория близости объектов». Прикладные математические науки. 1 (53): 2609–2629.
^ Питерс, Дж. Ф. (2007). «Близкие множества. Специальная теория близости объектов». Fundamenta Informaticae. 75 (1–4) : 407–4 33.
^Питерс Дж. Ф. (2010). «Исправления и дополнения: Толерантность к декорациям и соответствие изображений». Международный журнал биологических вычислений. 2 (5): 310–318. doi : 10.1504 / ijbic.2010.036157.
^Петерс, Дж. Ф. (2011), «Насколько близки картины Здислава Павляка? Меротопическое расстояние между интересующими областями», в Skowron, A.; Сурай, С. (ред.), Справочная библиотека интеллектуальных систем, том, посвященный профессору Здзиславу Павляку, Берлин: Springer, стр. 1–19 Отсутствует или пусто | title =()
^Петерс, Дж. Ф. (2011), «Достаточно близко к множеству районов», в Яо, Дж. Т.; Раманна, С.; Ван, Г. и др. (Ред.), Лекционные заметки по искусственному интеллекту 6954, Берлин: Springer, стр. 17–24 Отсутствует или пусто | title =()
^ Питерс, Дж. Ф. (2013). «Ближайшие множества: введение». Математика в информатике. 7 (1): 3–9. doi : 10.1007 / s11786-013-0149-6. S2CID 1573876.
^ Петерс, Дж. Ф. (2014). «Пространства проксимальных отношений». Филомат: 1–5 (в печати).
^ Петерс, Дж. Ф. (2014). Топология цифровых изображений. Обнаружение визуальных образов в пространствах близости. 63 . Springer. P. 342. ISBN 978-3-642-53844-5.
^ Peters, JF; İnan, E.; Öztürk, MA (2014). «Пространственные и описательные изометрии в пространствах близости». Общие математические заметки. 2 1 (2): 125–134.
^Peters, J. F.; Наимпалли, С.А. (2011). «Подходы для близких семей». Заметки по общей математике. 2 (1): 159–164.
^ Peters, J. F.; Наимпалли, С.А. (2011). Заметки по общей математике. 2 (1): 159–164. Отсутствует или пусто | title =()
^Петерс, Дж. Ф.; Пузио, Л. (2009). «Анализ изображений с помощью измерений близости на основе анизотропных вейвлетов». International Journal of Computational Intelligence Systems. 2 (3): 168–183. doi : 10.1016 / j.ins.2009.04.018.
^Питерс, Дж. Ф.; Шахфар, С.; Раманна, С.; Штурм, Т. (2007), «Биологически вдохновленное адаптивное обучение: подход, близкий к установленному», «Границы конвергенции биологических наук и информации» Technologies, Корея Отсутствует или пусто | title =()
^Петерс, Дж. Ф.; Тивари, С. (2011). «Подходящие меротопии и ближние фильтры. Теория и применение». Общие математические заметки. 3 (1): 32–45.
^Петерс, Дж. Ф.; Тивари, С. (2011). «Подходящие меротопии и ближние фильтры. Теория и применение». Заметки по общей математике. 3 (1): 32–45.
^Петерс, Дж. Ф.; Василевски, П. (2012). «Пространства толерантности: истоки, теоретические аспекты и приложения». Информационные науки. 195 : 211–225. doi : 10.1016 / j.ins.2012.01.023.
^Пикадо, Дж. «Пространства близости Вейля». Portugaliae Mathematica. 55 (2): 233–254.
^ Пуанкаре, Дж. Х. (1895). "L'espace et la géomètrie". Revue de M'etaphysique et de Morale. 3 : 631–646.
^ Пуанкаре, Дж. Х. (1902). "Sur surees surface algébriques; troisième complement 'a l'analysis situs". Бюллетень Математического общества Франции. 30 : 49–70. doi : 10.24033 / bsmf.657.
^ Пуанкаре, Дж. Х. (1913 и 2009). Dernières pensées, пер. автор: J.W. Болдук как математика и естествознание: Последние очерки. Париж и Нью-Йорк: Фламмарион и Кессинджер. Проверить значения дат в: | date =()
^ Poincaré, JH (1894). "Sur la nature du raisonnement mathématique". Revue de Méaphysique et de Morale. 2 : 371–384.
^ Ramanna, S.; Meghdadi, AH (2009). «Измерение сходства между поведением роя: подход к восприятию, близкий к установленному».. 95 (4): 533–552. doi : 10.3233 / FI-2009-163.
^ Riesz, F. (1908). "Stetigkeitsbegriff und abstrakte mengenlehre" (PDF). Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici II: 18–24.
^Шрейдер, Дж. А. (1975). Равенство, сходство и порядок. Россия: Издательство «Мир». 279.
^ Смирнов Ю.М. (1952). «О пространствах близости». Математический сборник. Новая серия. 31 (73) (3): 543–574. ( Английский перевод: Американский математический журнал, пер. Сер. 2, 38, 1964, 5–35)
^Смирнов Ю.М. (1952) «О пространствах близости в смысле В.А. Ефремовича» // Математический сборник. я Серия. 84 : 895–898. Английский перевод: амер. Математика. Soc. Пер. Сер. 2, 38, 1964, 1–4
^Смирнов, Дж. М. (1954). «О полноте пространств близости. I.». Труды Моск. Мат. Obšč. 3 : 271–306, английский перевод: амер. Математика. Soc. Пер. Сер. 2, 38, 1964, 37–74.
^Смирнов, Дж. М. (1955). «О полноте пространств близости. II». Труды Моск. Мат. Obšč. 4 : 421–438, английский перевод: амер. Математика. Soc. Пер. Сер. 2, 38, 1964, 75–94.
^ Сосинский А.Б. (1986). «Теория пространства толерантности и некоторые приложения». Acta Applicandae Mathematicae. 5 (2): 137–167. doi : 10.1007 / bf00046585. S2CID 119731847.
^Száz, Á. (1997). «Равномерно, проксимально и топологически компактные соотношения». Mathematica Pannonica. 8 (1): 103–116.
^Száz, Á. (1987). «Основные инструменты и мягкая преемственность в пространствах отношений». Acta Mathematica Hungarica. 50 (3–4): 177–201. doi : 10.1007 / bf01903935. S2CID 122231880.
^Саз, Á (2000). «Расширение теоремы Келли о замкнутых отношениях на пространства отношения». Филомат. 14 : 49–71.
^Тивари, С. (2010), «Некоторые аспекты общей топологии и приложений. Подход к меротопическим структурам и приложениям», доктор философии. Диссертация, кафедра математики, Аллахабад (США), Индия, руководитель: M. Khare
^ Tiwari, S.; Петерс, Дж. Ф. (2013). «Новый подход к изучению расширенных метрических пространств». Mathematica Aeterna. 3 (7): 565–577.
^Тьюки, Дж. У. (1940), «Сходимость и единообразие в топологии», Annals of Mathematics Studies, AM-2, Princeton, Нью-Джерси: Princeton Univ. Нажмите, стр. 90 Отсутствует или пусто | title =()
^Чех, Э. (1966). Топологические пространства, переработанное под ред. З. Фролика и М. Катетова. Лондон: Джон Wiley Sons. Стр. 893.
^Василевски П. (2004), «Об избранных отношениях подобия и их применении в когнитивных науках», докторская диссертация, кафедра логики
^Василевски, П.; Петерс, JF; Ramanna, S. (2011). «Пересечение перцептивной толерантности». Транзакции на грубых множествах XIII. Лекционные заметки по информатике. 6499 : 159–174. Bibcode : 2011LNCS.6499..159W. doi : 10.1007 / 978-3-642-18302-7_10. ISBN 978- 3-642-18301-0.
^Вейль, А. (1938), «Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale», Actualités scientifique et Industrielles, Париж: Harmann cie Отсутствует или отсутствует | title =()
^Wolski, M. (2010). «Восприятие и классификация. Заметка о ближних и грубых множествах». Fundamenta Informaticae. 101 (1 –2): 143–155. doi : 10,3 233 / FI-2010-281.
^ Zeeman, EC (1962), «Топология мозга и зрительное восприятие», в Fort, Jr., MK (ed.), Topology of 3-Manifolds and Related Темы, Материалы конференции Института Университета Джорджии (1962): Прентис-Холл, стр. 240–256 Отсутствует или пусто | title =() CS1 maint: location ( ссылка )

Дополнительная литература