Войти
В линейной алгебре, два п матрицы с размерностью п матриц и В называются аналогично, если существуют обратимых н матрицы с размерностью п матрица Р таким, что
Подобные матрицы представляют собой одну и ту же линейную карту с двумя (возможно) разными базами, где P является заменой базовой матрицы.
Преобразование ↦ Р -1АР называется преобразование подобия или конъюгации матрицы A. В общей линейной группе подобие, следовательно, то же самое, что и сопряженность, и подобные матрицы также называются сопряженными ; Однако, в данной подгруппе H общей линейной группы, понятие сопряженности может быть более строгим, чем сходства, поскольку она требует, чтобы Р быть выбрана лежат в H.
При определении линейного преобразования может случиться так, что смена базиса может привести к более простой форме того же преобразования. Например, матрица, представляющая поворот в R 3, когда ось вращения не выровнена с осью координат, может быть сложно вычислить. Если бы ось вращения была выровнена с положительной осью z, тогда это было бы просто
где - угол поворота. В новой системе координат преобразование будет записано как
где x ' и y' - соответственно исходный и преобразованный векторы в новом базисе, содержащем вектор, параллельный оси вращения. В исходном базисе преобразование будет записано как
где векторы x и y и неизвестная матрица преобразования T находятся в исходном базисе. Чтобы записать T в терминах более простой матрицы, мы используем матрицу замены базиса P, которая преобразует x и y как и:
Таким образом, матрица в исходном базисе имеет вид. Преобразование в исходном базисе оказывается произведением трех простых для вывода матриц. Фактически, преобразование подобия работает в три этапа: переход на новый базис ( P), выполнение простого преобразования ( S) и возврат к старому базису ( P -1).
Подобие - это отношение эквивалентности на пространстве квадратных матриц.
Поскольку матрицы подобны тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же линейный оператор относительно (возможно) разных баз, аналогичные матрицы имеют все свойства своего общего базового оператора:
Из - за этого, для данной матрицы А, один заинтересован в поиске простого «нормальная форма» B, который похож на А -The исследование А сводится к изучению более простой матрице B. Например, матрица A называется диагонализуемой, если она подобна диагональной матрице. Не все матрицы диагонализуемы, но по крайней мере над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем ) каждая матрица подобна матрице в жордановой форме. Ни одна из этих форм не уникальна (диагональные элементы или жордановы блоки можно переставлять), поэтому они не являются действительно нормальными формами ; более того, их определение зависит от способности разложить на множители минимальный или характеристический многочлен A (что эквивалентно нахождению его собственных значений). Рациональная каноническая форма не имеет эти недостатки: она существует в любой области, является поистине уникальным, и она может быть вычислена с использованием только арифметические операций в поле; A и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму. Рациональная каноническая форма определяется элементарными делителями A ; они могут быть немедленно считаны из матрицы в жордановой форме, но они также могут быть определены непосредственно для любой матрицы путем вычисления нормальной формы Смита по кольцу многочленов матрицы (с полиномиальными элементами) XI n - A ( тот же, определитель которого определяет характеристический многочлен). Обратите внимание, что эта нормальная форма Смита не является нормальной формой самого A ; кроме того, он не похож на XI n - A, а получается из последнего левым и правым умножением на разные обратимые матрицы (с полиномиальными элементами).
Сходство матриц не зависит от базового поля: если L - поле, содержащее K в качестве подполя, а A и B - две матрицы над K, то A и B подобны матрицам над K тогда и только тогда, когда они подобны, как матриц над L. Это объясняется тем, что рациональная каноническая форма над К является также рациональной канонической формой над L. Это означает, что можно использовать жордановы формы, которые существуют только над большим полем, чтобы определить, похожи ли данные матрицы.
В определении сходства, если матрица Р может быть выбран в матрице перестановок, то и B является перестановкой-подобна; если Р может быть выбран, чтобы быть унитарной матрицей, то и Б являются унитарно эквивалентными. Спектральная теорема говорит, что каждая нормальная матрица унитарно эквивалентна некоторой диагональной матрице. Теорема Шпехта утверждает, что две матрицы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют определенным равенствам следов.
