Войти
В линейной алгебре две прямоугольные матрицы A и B размером m на n называются эквивалентными, если
для некоторых обратимого N матрицы с размерностью п матрицы Р, а некоторые обратимы м матрица с размерностью т матрица Q. Эквивалентные матрицы представляют собой один и то же линейное преобразование V → W при двух различных вариантах выбора пары оснований из V и W, с P и Q являются изменением базисных матриц V и W, соответственно.
Не следует путать понятие эквивалентности с понятием подобия, которое определено только для квадратных матриц и является гораздо более ограничительным (подобные матрицы, безусловно, эквивалентны, но эквивалентные квадратные матрицы не обязательно должны быть подобными). Это понятие соответствует матрицам, представляющим один и тот же эндоморфизм V → V при двух разных вариантах выбора одного базиса V, используемого как для исходных векторов, так и для их образов.
Матричная эквивалентность - это отношение эквивалентности на пространстве прямоугольных матриц.
Для двух прямоугольных матриц одинакового размера их эквивалентность также можно охарактеризовать следующими условиями
Свойство ранга дает интуитивно понятную каноническую форму для матриц класса эквивалентности ранга как
,
где количество s на диагонали равно. Это частный случай нормальной формы Смита, которая обобщает это понятие о векторных пространствах на свободные модули над областями главных идеалов.
,