Безмассовые свободные скалярные бозоны в двух измерениях

Безмассовые свободные скалярные бозоны представляют собой семейство двумерных конформных теорий поля, симметрия которых описывается абелевой аффинной алгеброй Ли.

Поскольку они свободны, т.е. невзаимодействуют, свободные бозонные КТП легко решаются точно. Используя формализм кулоновского газа, они приводят к точным результатам во взаимодействующих КТП, таких как минимальные модели. Более того, они играют важную роль в подходе к теории струн, основанном на мировом листе.

В свободной бозонной КТП центральный заряд алгебры Вирасоро может принимать любое комплексное значение. Однако иногда значение подразумевается неявно. При существуют компактифицированные свободные бозонные КТП с произвольными значениями радиуса компактификации. ${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle c = 1}$

• 1 лагранжева формулировка
• 2 симметрии
  • 2.1 Абелева аффинная алгебра Ли
  • 2.2 Конформная симметрия
  • 2.3 Дополнительные симметрии
• 3 Аффинные первичные поля
  • 3.1 Определение
  • 3.2 OPE и сохранение импульса
  • 3.3 Корреляционные функции
• 4 модели
  • 4.1. Некомпактные свободные бозоны
  • 4.2 Компактифицированные свободные бозоны
• 5 Граничные условия в случае${\ displaystyle c = 1}$
  • 5.1 Граничные условия Неймана и Дирихле
  • 5.2 Граничные состояния
  • 5.3 Конформные граничные условия
• 6 Связанные теории и обобщения
  • 6.1 Множественные бозоны и орбифолды
  • 6.2 Формализм кулоновского газа
  • 6.3 Различные обобщения
• 7 ссылки

Действия свободной бозонной в двух измерениях является функционалом Freee бозона, ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle S [\ phi] = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int d ^ {2} x {\ sqrt {g}} (g ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ nu} \ phi + QR \ phi) \,}$

где есть метрика в двумерном пространстве, на котором формулируется теория, является Риччи скалярная этого пространства. Параметр называется фоновой зарядкой. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle Q \ in \ mathbb {C}}$

Особенностью двух измерений является то, что масштабная размерность свободного бозона равна нулю. Это допускает наличие ненулевого фонового заряда и лежит в основе конформной симметрии теории. ${\ displaystyle \ phi}$

В теории вероятностей свободный бозон можно построить как гауссовское свободное поле. Это обеспечивает реализацию корреляционных функций в виде ожидаемых значений случайных величин.

Абелева аффинная алгебра Ли

Алгебра симметрии порождается двумя киральными сохраняющимися токами : током, движущимся влево и током, движущимся вправо, соответственно.

${\ Displaystyle J = \ partial \ phi \ quad {\ text {and}} \ quad {\ bar {J}} = {\ bar {\ partial}} \ phi}$

которые подчиняются. Каждый ток порождает абелеву аффинную алгебру Ли. Структура левой движущихся аффинной алгебры Ли кодируется в левом движущихся текущих'S само- ОПЕ, ${\ displaystyle \ partial {\ bar {J}} = {\ bar {\ partial}} J = 0}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathfrak {u}}} _ {1}}$

${\ Displaystyle J (y) J (z) = {\ frac {- {\ frac {1} {2}}} {(yz) ^ {2}}} + O (1)}$

Эквивалентно, если ток записан в виде ряда Лорана о точке, абелева аффинная алгебра Ли характеризуется скобкой Ли ${\ displaystyle J (z) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} J_ {n} z ^ {- n-1}}$${\ displaystyle z = 0}$

${\ displaystyle [J_ {m}, J_ {n}] = {\ frac {1} {2}} n \ delta _ {m + n, 0}}$

Центр алгебры порождается, а алгебра является прямой суммой взаимно коммутирующие подалгебры размерности 1 или 2: ${\ displaystyle J_ {0}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathfrak {u}}} _ {1} = {\ text {Span}} (J_ {0}) \ oplus \ bigoplus _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ text {Span}} (J_ {n}, J _ {- n})}$

Конформная симметрия

При любом значении универсальная обертывающая алгебра абелевой аффинной алгебры Ли имеет подалгебру Вирасоро с образующими ${\ Displaystyle Q \ in \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} L_ {n} amp; = - \ sum _ {m \ in {\ mathbb {Z}}} J_ {nm} J_ {m} + Q (n + 1) J_ {n} \, \ qquad (n \ neq 0) \, \\ L_ {0} amp; = - 2 \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} J _ {- m} J_ {m} -J_ {0} ^ {2} + QJ_ {0} \, \ end {align}}}$

Центральный заряд этой подалгебры Вирасоро равен

${\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2}}$

а коммутационные соотношения генераторов Вирасоро с генераторами аффинной алгебры Ли равны

${\ displaystyle [L_ {m}, J_ {n}] = - nJ_ {m + n} - {\ frac {Q} {2}} m (m + 1) \ delta _ {m + n, 0}}$

Если параметр совпадает с фоновым зарядом свободного бозона, то поле совпадает с тензором энергии-импульса свободного бозона. Соответствующая алгебра Вирасоро поэтому имеет геометрическую интерпретацию как алгебру бесконечно малых конформных отображений и кодирует локальную конформную симметрию теории. ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle T (z) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} L_ {n} z ^ {- n-2}}$

Дополнительные симметрии

При определенных значениях центрального заряда и / или радиуса компактификации свободные бозонные теории могут иметь не только свою симметрию, но и дополнительные симметрии. В частности, при определенных значениях радиуса компактификации могут возникнуть неабелевы аффинные алгебры Ли, суперсимметрия и т. Д. ${\ displaystyle {\ hat {\ mathfrak {u}}} _ {1}}$${\ displaystyle c = 1}$

В свободном бозонном CFT все поля являются либо аффинными первичными полями, либо их аффинными потомками. Благодаря аффинной симметрии корреляционные функции аффинных потомков полей в принципе могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей.

Определение

Аффинное первичное поле с левой и правой -charges определяется ее OPES с токами, ${\ Displaystyle V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (г)}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathfrak {u}}} _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha, {\ bar {\ alpha}}}$

${\ Displaystyle J (y) V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (z) = {\ frac {\ alpha} {yz}} V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (z) + O (1) \ quad, \ quad {\ bar {J}} (y) V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (z) = {\ frac {\ bar {\ alpha }} {{\ bar {y}} - {\ bar {z}}}} V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (z) + O (1)}$

Эти ОПЕ эквивалентны соотношениям

${\ displaystyle J_ {ngt; 0} V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (z) = {\ bar {J}} _ {ngt; 0} V _ {\ alpha, {\ bar {\ альфа}}} (z) = 0 \ quad, \ quad J_ {0} V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (z) = \ alpha V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha} }} (z) \ quad, \ quad {\ bar {J}} _ {0} V _ {\ alpha, {\ bar {\ alpha}}} (z) = {\ bar {\ alpha}} V _ {\ альфа, {\ bar {\ alpha}}} (z)}$

Заряды также называют левым и правым импульсами. Если они совпадают, аффинное примарное поле называется диагональным и записывается как. ${\ displaystyle \ alpha, {\ bar {\ alpha}}}$${\ Displaystyle В _ {\ альфа} (г) = В _ {\ альфа, \ альфа} (г)}$

Нормально упорядоченные экспоненты свободного бозона являются аффинными примарными полями. В частности, поле представляет собой диагональное аффинное первичное поле с импульсом. Это поле и вообще аффинные примарные поля иногда называют вершинными операторами. ${\ Displaystyle: е ^ {2 \ альфа \ фи (г)}:}$${\ displaystyle \ alpha}$

Аффинное первичное поле также является первичным полем Вирасоро с конформной размерностью.

${\ Displaystyle \ Дельта (\ альфа) = \ альфа (Q- \ альфа)}$

Эти два поля и имеют одинаковые левую и правую конформные размеры, хотя их импульсы различаются. ${\ Displaystyle V _ {\ альфа} (г)}$${\ Displaystyle V_ {Q- \ alpha} (г)}$

OPE и сохранение импульса

Благодаря аффинной симметрии в свободных бозонных КТП сохраняется импульс. На уровне правил слияния это означает, что только одно аффинное первичное поле может появиться в слиянии любых двух аффинных первичных полей,

${\ displaystyle V _ {\ alpha _ {1}, {\ bar {\ alpha}} _ {1}} \ times V _ {\ alpha _ {2}, {\ bar {\ alpha}} _ {2}} = V _ {\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2}, {\ bar {\ alpha}} _ {1} + {\ bar {\ alpha}} _ {2}}}$

Следовательно, операторные разложения аффинных первичных полей принимают вид

${\ displaystyle V _ {\ alpha _ {1}, {\ bar {\ alpha}} _ {1}} (z_ {1}) V _ {\ alpha _ {2}, {\ bar {\ alpha}} _ { 2}} (z_ {2}) = C (\ alpha _ {i}, {\ bar {\ alpha}} _ {i}) (z_ {1} -z_ {2}) ^ {- 2 \ alpha _ {1} \ alpha _ {2}} ({\ bar {z}} _ {1} - {\ bar {z}} _ {2}) ^ {- 2 {\ bar {\ alpha}} _ {1 } {\ bar {\ alpha}} _ {2}} \ left (V _ {\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2}, {\ bar {\ alpha}} _ {1} + {\ bar { \ alpha}} _ {2}} (z_ {2}) + O (z_ {1} -z_ {2}) \ right)}$

где - коэффициент OPE, а член - вклад аффинных полей-потомков. ОПЭ не имеют явной зависимости от фонового заряда. ${\ Displaystyle С (\ альфа _ {я}, {\ бар {\ альфа}} _ {я})}$${\ displaystyle O (z_ {1} -z_ {2})}$

Корреляционные функции

Согласно аффинным тождествам Уорда для -точечных функций на сфере ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ alpha _ {i}, {\ bar {\ alpha}} _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle \ neq 0 \ подразумевает \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ alpha _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ bar {\ alpha}} _ {i} = Q}$

Более того, аффинная симметрия полностью определяет зависимость сферических функций от положений, ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ alpha _ {i}, {\ bar {\ alpha}} _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle \ propto \ prod _ {i lt;j} (z_ {i} -z_ {j}) ^ {- 2 \ alpha _ {i} \ alpha _ {j}} ({\ bar {z}} _ {i } - {\ bar {z}} _ {j}) ^ {- 2 {\ bar {\ alpha}} _ {i} {\ bar {\ alpha}} _ {j}}}$

Однозначность корреляционных функций приводит к ограничениям на импульсы,

${\ displaystyle \ Delta (\ alpha _ {i}) - \ Delta ({\ bar {\ alpha}} _ {i}) \ in {\ frac {1} {2}} \ mathbb {Z}}$

Некомпактные свободные бозоны

Свободная бозонная КТП называется некомпактной, если импульс может принимать непрерывные значения.

Для описания некритической теории струн используются некомпактные свободные бозонные КТП с. В этом контексте некомпактная свободная бозонная КТП называется линейной дилатонной теорией. ${\ displaystyle Q \ neq 0}$

Свободная бозонная CFT с ie - это сигма-модель с одномерным целевым пространством. ${\ displaystyle Q = 0}$${\ displaystyle c = 1}$

• Если целевым пространством является евклидова действительная линия, то импульс мнимый, а конформная размерность положительна.${\ displaystyle \ alpha = {\ bar {\ alpha}} \ in i \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ Дельта (\ альфа) \ geq 0}$
• Если целевым пространством является действительная линия Минковского, то импульс реален, а конформная размерность отрицательна.${\ displaystyle \ alpha = {\ bar {\ alpha}} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ Дельта (\ альфа) \ Leq 0}$
• Если целевым пространством является круг, то импульс принимает дискретные значения, и мы имеем компактифицированный свободный бозон.

Компактифицированные свободные бозоны

Компактифицирован свободный бозон с радиусом${\ displaystyle R}$ является свободной Бозонной CFT, где левые и правые моментумы принимают значение

${\ displaystyle (\ alpha, {\ bar {\ alpha}}) = \ left ({\ frac {i} {2}} \ left [{\ frac {n} {R}} + Rw \ right], { \ frac {i} {2}} \ left [{\ frac {n} {R}} - Rw \ right] \ right) \ quad {\ text {with}} \ quad (n, w) \ in \ mathbb {Z} ^ {2}}$

Целые числа тогда называются импульсом и числом витков. Допустимые значения радиуса компактификации - если и в противном случае. ${\ displaystyle n, w}$${\ Displaystyle R \ in \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle Q = 0}$${\ displaystyle R \ in {\ frac {1} {iQ}} \ mathbb {Z}}$

Если, свободные бозоны с радиусами и описывают одну и ту же CFT. С точки зрения сигма-модели эта эквивалентность называется T-дуальностью. ${\ displaystyle Q = 0}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ frac {1} {R}}}$

Если компактифицированный свободный бозон CFT существует на любой римановой поверхности. Его статистическая сумма на торе равна ${\ displaystyle Q = 0}$ ${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathbb {C}} {\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}}}$

${\ Displaystyle Z_ {R} (\ tau) = Z _ {\ frac {1} {R}} (\ tau) = {\ frac {1} {| \ eta (\ tau) | ^ {2}}} \ sum _ {n, w \ in \ mathbb {Z}} q ^ {{\ frac {1} {4}} \ left [{\ frac {n} {R}} + Rw \ right] ^ {2}} {\ bar {q}} ^ {{\ frac {1} {4}} \ left [{\ frac {n} {R}} - Rw \ right] ^ {2}}}$

где, - эта-функция Дедекинда. Эта статистическая сумма является суммой характеров алгебры Вирасоро по теоретическому спектру конформных размерностей. ${\ Displaystyle д = е ^ {2 \ пи я \ тау}}$${\ Displaystyle \ эта (\ тау)}$

Как и во всех свободных бозонных КТП, корреляционные функции аффинных первичных полей имеют зависимость от положения полей, которая определяется аффинной симметрией. Остальные постоянные факторы - это знаки, зависящие от импульсов полей и числа витков.

Граничные условия Неймана и Дирихле.

Из-за автоморфизма абелевой аффинной алгебры Ли существует два типа граничных условий, сохраняющих аффинную симметрию, а именно ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle J \ to -J}$

${\ displaystyle J = {\ bar {J}} \ quad {\ text {или}} \ quad J = - {\ bar {J}}}$

Если граница является линией, эти условия соответствуют граничным условиям Неймана и Дирихле для свободного бозона соответственно. ${\ displaystyle z = {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle \ phi}$

Граничные состояния

В случае компактифицированного свободного бозона каждый тип граничных условий приводит к семейству граничных состояний, параметризованных с помощью. Соответствующие одноточечные функции на верхней полуплоскости: ${\ displaystyle \ theta \ in {\ frac {\ mathbb {R}} {2 \ pi \ mathbb {Z}}}}$${\ Displaystyle \ {\ Im zgt; 0 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle V _ {(n, w)} (z) \ right \ rangle _ {{\ text {Dirichlet}}, \ theta} amp; = {\ frac {e ^ { in \ theta} \ delta _ {w, 0}} {| z - {\ bar {z}} | ^ {\ frac {n ^ {2}} {2R ^ {2}}}}} \\\ left \ langle V _ {(n, w)} (z) \ right \ rangle _ {{\ text {Neumann}}, \ theta} amp; = {\ frac {e ^ {iw \ theta} \ delta _ {n, 0 }} {| z - {\ bar {z}} | ^ {\ frac {R ^ {2} w ^ {2}} {2}}}} \ end {выравнивается}}}$

В случае некомпактного свободного бозона существует только одно граничное состояние Неймана, а граничные состояния Дирихле параметризованы вещественным параметром. Соответствующие одноточечные функции:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle V _ {\ alpha} (z) \ right \ rangle _ {{\ text {Dirichlet}}, \ theta} amp; = {\ frac {e ^ {\ alpha \ theta}} {| z - {\ bar {z}} | ^ {2 \ Delta (\ alpha)}}} \\\ left \ langle V _ {\ alpha} (z) \ right \ rangle _ {\ text { Нейман}} amp; = \ delta (я \ альфа) \ конец {выровнено}}}$

где и для евклидова бозона. ${\ Displaystyle \ альфа \ в я \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {R}}$

Конформные граничные условия

Границы Неймана и Дирихле - единственные границы, которые сохраняют аффинную симметрию свободного бозона. Однако существуют дополнительные границы, сохраняющие только конформную симметрию.

Если радиус иррациональный, дополнительные граничные состояния параметризуются числом. Одноточечные функции аффинных примарных полей с нулем. Однако первичные поля Вирасоро, которые являются аффинными потомками аффинного первичного поля с, имеют нетривиальные одноточечные функции. ${\ Displaystyle х \ в [-1,1]}$${\ Displaystyle (п, ш) \ neq (0,0)}$${\ Displaystyle (п, ш) = (0,0)}$

Если радиус рациональный, дополнительные граничные состояния параметризуются многообразием. ${\ displaystyle R = {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle {\ frac {SU (2)} {\ mathbb {Z} _ {p} \ times \ mathbb {Z} _ {q}}}}$

Множественные бозоны и орбифолды

Из безмассовых свободных скалярных бозонов можно построить произведение CFT с алгеброй симметрий. Некоторые или все бозоны могут быть компактифицированы. ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathfrak {u}}} _ {1} ^ {N}}$

В частности, компактификация бозонов без фонового заряда на -мерном торе (с B-полем Невё-Шварца ) порождает семейство КТП, называемых компактификациями Нарайна. Эти КТП существуют на любой римановой поверхности и играют важную роль в теории пертурбативных струн. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

Из-за существования автоморфизма аффинной алгебры Ли и более общих автоморфизмов существуют орбифолды свободных бозонных КТП. Например, орбифолд компактифицированного свободного бозона с критической двумерной моделью Ашкина-Теллера. ${\ displaystyle J \ to -J}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathfrak {u}}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathfrak {u}}} _ {1} ^ {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle Q = 0}$

Формализм кулоновского газа

Газа формализм Кулона является методом для построения взаимодействующей CF, или некоторые из их корреляционных функций, от свободных бозонов CFTs. Идея состоит в том, чтобы возмущать свободную CFT с помощью операторов экранирования вида, где - аффинное первичное поле конформных размерностей. Несмотря на пертурбативное определение, метод приводит к точным результатам благодаря сохранению импульса. ${\ displaystyle \ textstyle {\ int} d ^ {2} z \, O (z)}$${\ Displaystyle О (г)}$${\ displaystyle (\ Delta, {\ bar {\ Delta}}) = (1,1)}$

В случае одиночного свободного бозона с фоновым зарядом существует два оператора диагонального экранирования, где. Корреляционные функции в минимальных моделях могут быть вычислены с использованием этих операторов экранирования, что приводит к интегралам Достенко-Фатеева. Остатки корреляционных функций в теории Лиувилля также могут быть вычислены, и это привело к первоначальному выводу формулы DOZZ для трехточечной структурной постоянной. ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ textstyle {\ int} V_ {b}, \ textstyle {\ int} V_ {b ^ {- 1}}}$${\ displaystyle Q = b + b ^ {- 1}}$

В случае свободных бозонов введение экранирующих зарядов можно использовать для определения нетривиальных КТП, включая конформную теорию Тоды. Симметрии этих нетривиальных КТП описываются подалгебрами абелевой аффинной алгебры Ли. В зависимости от скрининга эти подалгебры могут быть или не быть W-алгебрами. ${\ displaystyle N}$

Формализм кулоновского газа также может быть использован в двумерных КТП, таких как модель Поттса с q-состояниями и модель. ${\ Displaystyle О (п)}$

Различные обобщения

В произвольных измерениях существуют конформные теории поля, называемые обобщенными свободными теориями. Однако это не обобщения свободных бозонных КТП в двух измерениях. В первом случае сохраняется конформная размерность (по модулю целых чисел). В последнем случае это импульс.

В двух измерениях обобщения включают:

• Безмассовые свободные фермионы.
• Призрачные ЦФТ.
• Суперсимметричные свободные КТМ.