Представление алгебры Ли

редактировать

В математическом поле теории представлений, алгебра Ли представление или представление алгебры Ли - это способ записи алгебры Ли в виде набора матриц (или эндоморфизмов векторного пространства ) таким образом, что скобка Ли задается коммутатором . На языке физики ищется векторное пространство $V {\ displaystyle V}$ $V$ вместе с набором операторов на $V {\ displaystyle V}$ $V$ , удовлетворяющих некоторый фиксированный набор коммутационных соотношений, таких как отношения, которым удовлетворяют операторы углового момента.

. Это понятие тесно связано с понятием представления группы Ли. Грубо говоря, представления алгебр Ли - это дифференцированная форма представлений групп Ли, а представления универсального покрытия группы Ли - это интегрированная форма представлений ее алгебры Ли.

При изучении представлений алгебры Ли важную роль играет конкретное кольцо, называемое универсальной обертывающей алгеброй, связанное с алгеброй Ли. Универсальность этого кольца говорит о том, что категория представлений алгебры Ли совпадает с категорией модулей над ее обертывающей алгеброй.

Содержание

1 Формальное определение
2 Примеры
- 2.1 Присоединенные представления
- 2.2 Инфинитезимальные представления группы Ли
- 2.3 В квантовой физике
3 Основные понятия
- 3.1 Инвариантные подпространства и неприводимость
- 3.2 Гомоморфизмы
- 3.3 Лемма Шура
- 3.4 Полная сводимость
- 3.5 Инварианты
4 Базовые конструкции
- 4.1 Тензорные произведения представлений
- 4.2 Двойные представления
- 4.3 Представления на линейных отображениях
5 Теория представлений полупростых алгебр Ли
6 Обертывающие алгебры
7 Индуцированное представление
8 Бесконечномерные представления и «категория O»
9 (g, K) -модуль
10 Представление в алгебре
11 См. Также
12 Примечания
13 Ссылки
14 Дополнительная литература

Формальное определение

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\mathfrak {g}}$ - алгебра Ли, а $V {\ displaystyle V}$ $V$ - векторное пространство. Мы используем $gl (V) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$ ${\mathfrak {gl}}(V)$ для обозначения пространства эндоморфизмов $V {\ displaystyle V}$ $V$ , то есть пространство всех линейных отображений $V {\ displaystyle V}$ $V$ в себя. Мы превращаем $gl (V) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$ ${\mathfrak {gl}}(V)$ в алгебру Ли со скобкой, заданной коммутатором: $[ρ, σ] = ρ ∘ σ - σ ∘ ρ {\ displaystyle [\ rho, \ sigma] = \ rho \ circ \ sigma - \ sigma \ circ \ rho}$ $[\rho,\sigma ]=\rho \circ \sigma -\sigma \circ \rho$ для всех ρ, σ в $gl (V) {\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$ ${\mathfrak {gl}}(V)$ . Тогда представление $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ на $V {\ displaystyle V}$ $V$ является Гомоморфизм алгебры Ли

ρ: g → gl (V) {\ displaystyle \ rho \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}

\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)

В явном виде это означает что $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ должно быть линейной картой и должно удовлетворять

ρ ([X, Y]) = ρ (X) ρ (Y) - ρ (Y) ρ (Икс) {\ Displaystyle \ rho ([X, Y]) = \ rho (X) \ rho (Y) - \ rho (Y) \ rho (X)}

\rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)

для всех X, Y в $г {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Векторное пространство V вместе с представлением ρ называется $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -module . (Многие авторы злоупотребляют терминологией и называют V самим представлением).

Представление $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ считается точным, если оно инъективно.

Можно эквивалентно определить $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модуль как векторное пространство V вместе с билинейной картой $g × V → V {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times V \ to V}$ ${\ mathfrak {g}} \ times V \ to V$ так, что

[X, Y] ⋅ v = X ⋅ (Y ⋅ v) - Y ⋅ (Икс ⋅ v) {\ displaystyle [X, Y] \ cdot v = X \ cdot (Y \ cdot v) -Y \ cdot (X \ cdot v)}

[X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)

для всех X, Y в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ и v в V. Это связано с предыдущим определением, установив X ⋅ v = ρ (X) (v).

Примеры

Присоединенные представления

Самый простой пример представления алгебры Ли - присоединенное представление алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\mathfrak {g}}$ на самом себе:

ad: g → gl (g), X ↦ ad X, ad X ⁡ (Y) = [X, Y]. {\ displaystyle {\ textrm {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}}), \ quad X \ mapsto \ operatorname {ad} _ {X }, \ quad \ operatorname {ad} _ {X} (Y) = [X, Y].}

{\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].

Действительно, в силу тождества Якоби, $ad {\ displaystyle \ operatorname {ad}}$ $\operatorname {ad}$ - гомоморфизм алгебр Ли.

Инфинитезимальные представления группы Ли

Представление алгебры Ли также возникает в природе. Если $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ : G → H является гомоморфизмом (действительным или комплексным) групп Ли и $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ и $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\mathfrak {h}}$ являются алгебрами Ли G и H соответственно, тогда дифференциал $de ϕ: g → h {\ displaystyle d_ {e} \ phi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {h}}}$ $d_e \ фи: \ mathfrak g \ to \ mathfrak h$ на касательных пространствах в тождествах является гомоморфизмом алгебр Ли. В частности, для конечномерного векторного пространства V представление групп Ли

ϕ: G → GL ⁡ (V) {\ displaystyle \ phi: G \ to \ operatorname {GL} (V) \,}

\phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,

определяет гомоморфизм алгебры Ли

d ϕ: g → gl (V) {\ displaystyle d \ phi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}

d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)

от $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ до алгебры Ли общей линейной группы GL (V), то есть алгебры эндоморфизмов V.

Например, пусть $cg (x) = gxg - 1 {\ displaystyle c_ {g} (x) = gxg ^ {- 1}}$ $c_{g}(x)=gxg^{-1}$ . Тогда дифференциал $cg: G → G {\ displaystyle c_ {g}: G \ to G}$ $c_{g}:G\to G$ в тождестве является элементом $GL ⁡ (g) {\ displaystyle \ имя оператора {GL} ({\ mathfrak {g}})}$ $\operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$ . Обозначая его как $Ad ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {Ad} (g)}$ $\operatorname {Ad} (g)$ , получаем представление $Ad {\ displaystyle \ operatorname {Ad}}$ $\operatorname {Ad}$ G в векторном пространстве $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Это присоединенное представление группы G. Применяя предыдущее, получаем представление алгебры Ли $d Ad {\ displaystyle d \ operatorname {Ad}}$ $d\operatorname {Ad}$ . Можно показать, что $de Ad = ad {\ displaystyle d_ {e} \ operatorname {Ad} = \ operatorname {ad}}$ $d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad}$ , сопряженное представление $g {\ displaystyle { \ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ .

Частичное обращение к этому утверждению гласит, что каждое представление конечномерной (вещественной или комплексной) алгебры Ли поднимается до уникального представления связанной односвязной группы Ли, так что представления односвязных групп Ли находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями их алгебр Ли.

В квантовой физике

В квантовой теории рассматриваются "наблюдаемые", которые являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве. Тогда коммутационные отношения между этими операторами являются важным инструментом. Операторы момента количества движения , например, удовлетворяют коммутационным соотношениям

[L x, L y] = i ℏ L z, [L y, L z] = i ℏ L x, [L z, L Икс] = я ℏ L Y, {\ Displaystyle [L_ {x}, L_ {y}] = я \ hbar L_ {z}, \; \; [L_ {y}, L_ {z}] = я \ hbar L_ {x}, \; \; [L_ {z}, L_ {x}] = i \ hbar L_ {y},}

[L_{x},L_{y }]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},

Таким образом, диапазон этих трех операторов образует алгебру Ли, которая является изоморфна алгебре Ли so (3) группы вращений SO (3). Тогда, если $V {\ displaystyle V}$ $V$ - любое подпространство квантового гильбертова пространства, инвариантное относительно операторов углового момента, $V {\ displaystyle V}$ $V$ будет составляют представление алгебры Ли so (3). Понимание теории представления so (3) очень помогает, например, при анализе гамильтонианов с вращательной симметрией, таких как атом водорода. Многие другие интересные алгебры Ли (и их представления) возникают в других разделах квантовой физики. Действительно, история теории представлений характеризуется богатым взаимодействием между математикой и физикой.

Основные понятия

Инвариантные подпространства и неприводимость

Дано представление $ρ: g → End ⁡ (V) {\ displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g }} \ rightarrow \ operatorname {End} (V)}$ $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)$ алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ , мы говорим, что подпространство $W {\ displaystyle W}$ $W$ из $V {\ displaystyle V}$ $V$ является инвариантным, если $ρ (X) w ∈ W {\ displaystyle \ rho (X) w \ in W}$ $\rho (X)w\in W$ для всех $w ∈ W {\ displaystyle w \ in W}$ $w\in W$ и $X ∈ g {\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$ $X\in {\mathfrak {g}}$ . Ненулевое представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами являются само $V {\ displaystyle V}$ $V$ и нулевое пространство ${0} {\ displaystyle \ {0 \}}$ $\{0\}$ . Термин простой модуль также используется для неприводимого представления.

Гомоморфизмы

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ будет алгеброй Ли. Пусть V, W будут $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модулями. Тогда линейное отображение $f: V → W {\ displaystyle f: V \ to W}$ $f:V\to W$ является гомоморфизмом из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модули, если он $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -эквивариантный; то есть $е (Икс ⋅ v) = Икс ⋅ е (v) {\ Displaystyle f (X \ cdot v) = X \ cdot f (v)}$ $f(X\cdot v)=X\cdot f(v)$ для любого $X ∈ g, v ∈ V {\ Displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}, \, v \ in V}$ ${\displayst yle X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V}$ . Если f является взаимно однозначным, то $V, W {\ displaystyle V, W}$ $V,W$ считаются эквивалентом . Такие карты также называются переплетающимися отображениями или морфизмами .

. Точно так же многие другие конструкции из теории модулей в абстрактной алгебре переносятся на эту настройку: подмодуль, фактор, подфактор, прямая сумма, Иордания. - ряды Гельдера и т. Д.

Лемма Шура

Простым, но полезным инструментом в изучении неприводимых представлений является лемма Шура. Он состоит из двух частей:

Если V, W неприводимы $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -modules и $f: V → W {\ displaystyle f : V \ to W}$ $f:V\to W$ - гомоморфизм, тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ либо ноль, либо изоморфизм.
Если V - неприводимый $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модуль над алгебраически замкнутым полем и $f: V → V {\ displaystyle f: V \ to V}$ $f:V\to V$ - гомоморфизм, тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ - скалярное кратное тождества.

Полная сводимость

Пусть V - представление Лжи. алгебра $г {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Тогда V называется вполне приводимым (или полупростым), если он изоморфен прямой сумме неприводимых представлений (см. полупростой модуль ). Если V конечномерно, то V полностью приводимо тогда и только тогда, когда каждое инвариантное подпространство V имеет инвариантное дополнение. (То есть, если W - инвариантное подпространство, тогда существует другое инвариантное подпространство P такое, что V является прямой суммой W и P.)

Если $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\mathfrak {g}}$ - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики и V конечномерна, то V полупроста; это теорема Вейля о полной сводимости. Таким образом, для полупростых алгебр Ли классификация неприводимых (т.е. простых) представлений немедленно приводит к классификации всех представлений. Для других алгебр Ли, не обладающих этим специальным свойством, классификация неприводимых представлений может не сильно помочь в классификации общих представлений.

Алгебра Ли называется редуктивной, если присоединенное представление полупросто. Конечно, любая (конечномерная) полупростая алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ редуктивна, поскольку любое представление $g {\ displaystyle {\ mathfrak { g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ полностью сокращаем, как мы только что отметили. С другой стороны, определение редуктивной алгебры Ли означает, что она разлагается как прямая сумма идеалов (то есть инвариантных подпространств для присоединенного представления), которые не имеют нетривиальных подидеалов. Некоторые из этих идеалов будут одномерными, а остальные - простыми алгебрами Ли. Таким образом, редуктивная алгебра Ли - это прямая сумма коммутативной алгебры и полупростой алгебры.

Инварианты

Элемент v из V называется $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -инвариантным, если $x ⋅ v = 0 {\ displaystyle x \ cdot v = 0}$ $x\cdot v=0$ для всех $x ∈ g {\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$ $x\in {\mathfrak {g}}$ . Набор всех инвариантных элементов обозначается $V g {\ displaystyle V ^ {\ mathfrak {g}}}$ $V^{\mathfrak {g}}$ .

Базовые конструкции

Тензорные произведения представлений

Если мы имеют два представления алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ с V 1 и V 2 в качестве основы векторных пространств, то тензорное произведение представлений будет иметь V 1 ⊗ V 2 в качестве основного векторного пространства с действием $g {\ displaystyle {\ mathfrak { g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ однозначно определяется предположением, что

X ⋅ (v 1 ⊗ v 2) = (X ⋅ v 1) ⊗ v 2 + v 1 ⊗ (X ⋅ v 2). {\ Displaystyle X \ cdot (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = (X \ cdot v_ {1}) \ otimes v_ {2} + v_ {1} \ otimes (X \ cdot v_ {2}).}

X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).

для всех $v 1 ∈ V 1 {\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}}$ $v_{1}\in V_{1}$ и $v 2 ∈ V 2 {\ displaystyle v_ {2 } \ in V_ {2}}$ $v_{2}\in V_{2}$ .

На языке гомоморфизмов это означает, что мы определяем $ρ 1 ⊗ ρ 2: g → gl (V 1 ⊗ V 2) {\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})$ по формуле

(ρ 1 ⊗ ρ 2) (Икс) знак равно ρ 1 (Икс) ⊗ я + я ⊗ ρ 2 (X) {\ Displaystyle (\ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}) (X) = \ rho _ {1} (X) \ otimes \ mathrm {I} + \ mathrm {I} \ otimes \ rho _ {2} (X)}

(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)

. В физической литературе тензорное произведение с тождественным оператором часто исключено в обозначениях, формула записывается как

(ρ 1 ⊗ ρ 2) (X) = ρ 1 (X) + ρ 2 (X) {\ displaystyle (\ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}) (X) = \ rho _ {1} (X) + \ rho _ {2} (X)}

{\ displaystyle (\ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}) (X) = \ rho _ {1} (X) + \ rho _ {2} (X)}

где подразумевается, что $ρ 1 (x) {\ displaystyle \ rho _ {1} (x)}$ $\rho _{1}(x)$ действует по первому факту r в тензорном произведении и $ρ 2 (x) {\ displaystyle \ rho _ {2} (x)}$ $\rho _{2}(x)$ действует на второй множитель в тензорном произведении. В контексте представлений алгебры Ли su (2) тензорное произведение представлений называется «сложением углового момента». В этом контексте $ρ 1 (X) {\ displaystyle \ rho _ {1} (X)}$ ${\ displaystyle \rho _{1}(X)}$ может, например, быть орбитальным угловым моментом, в то время как $ρ 2 (X) {\ displaystyle \ rho _ {2} (X)}$ $\rho _{2}(X)$ - спиновый угловой момент.

Двойные представления

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ будет алгеброй Ли и $ρ: g → gl ( V) {\ displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}$ $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)$ быть представлением $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Пусть $V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}$ $V^{*}$ будет двойным пространством, то есть пространством линейных функционалов на $V {\ displaystyle V}$ $V$ . Затем мы можем определить представление $ρ ∗: g → gl (V ∗) {\ displaystyle \ rho ^ {*}: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V ^ {* })}$ $\rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})$ по формуле

ρ ∗ (X) = - (ρ (X)) tr, {\ displaystyle \ rho ^ {*} (X) = - (\ rho (X)) ^ {\ operatorname {tr}},}

\rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },

где для любого оператора $A: V → V {\ displaystyle A: V \ rightarrow V}$ $A:V\rightarrow V$ оператор транспонирования $A tr: V ∗ → V ∗ {\ displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}: V ^ {*} \ rightarrow V ^ {*}}$ $A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$ определяется как "композиция с $A {\ displaystyle A}$ $A$ "оператор:

(A tr ϕ) (v) = ϕ (A v) {\ displaystyle (A ^ {\ operatorname {tr}} \ phi) (v) = \ phi (Av)}

(A^{\operatorname {tr} }\phi)(v)=\phi (Av)

Знак минус в определении $ρ ∗ {\ displaystyle \ rho ^ {*}}$ $\rho ^{*}$ необходим, чтобы гарантировать, что $ρ ∗ {\ displaystyle \ rho ^ {*}}$ $\rho ^{*}$ на самом деле является представлением $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ в свете идентичности $( AB) tr = B tr A tr. {\ displaystyle (AB) ^ {\ operatorname {tr}} = B ^ {\ operatorname {tr}} A ^ {\ operatorname {tr}}.}$ ${\ displaystyle (AB) ^ {\ operatorname {tr}} = B ^ {\ operatorname {tr}} A ^ {\ operatorname {tr}}.}$

Если мы работаем в основе, то транспонирование в Приведенное выше определение можно интерпретировать как обычное транспонирование матрицы.

Представление на линейных картах

Пусть $V, W {\ displaystyle V, W}$ $V,W$ будет $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ ${\mathfrak {g}}$ -модули, $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ алгебра Ли. Тогда $Hom ⁡ (V, W) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W)}$ $\operatorname {Hom} (V,W)$ становится $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модуль, задав $(X ⋅ f) (v) = X f (v) - f (X v) {\ displaystyle (X \ cdot f) (v) = Xf (v) -f (XV)}$ $(X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)$ . В частности, $Hom g ⁡ (V, W) = Hom ⁡ (V, W) g {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathfrak {g}} (V, W) = \ operatorname {Hom} (V, W) ^ {\ mathfrak {g}}}$ $\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}$ ; то есть, гомоморфизмы $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модулей от $V {\ displaystyle V}$ $V$ до $W {\ displaystyle W}$ $W$ - это просто элементы $Hom ⁡ (V, W) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W)}$ $\operatorname {Hom} (V,W)$ , которые инвариантны под только что определенным действием $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ на $Hom ⁡ (V, W) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W)}$ $\operatorname {Hom} (V,W)$ . Если мы возьмем $W {\ displaystyle W}$ $W$ в качестве базового поля, мы восстановим действие $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ на $V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}$ $V^{*}$ , указанном в предыдущем подразделе.

Теория представлений полупростых алгебр Ли

См. Теория представлений полупростых алгебр Ли.

Обертывающие алгебры

Каждой алгебре Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ над полем k можно связать некое кольцо, называемое универсальной обертывающей алгеброй $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ ${\mathfrak {g}}$ и обозначается $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ . Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что каждое представление $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ дает начало представлению $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ . И наоборот, теорема PBW говорит нам, что $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ находится внутри $U (g) {\ displaystyle U ({ \ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ , так что любое представление $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ может быть ограничено в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ и представлениями $U (g) {\ displaystyle U ( {\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ .

Универсальная обертывающая алгебра играет важную роль в теории представлений полупростых алгебр Ли, описанной выше. В частности, конечномерные неприводимые представления конструируются как частные от модулей Верма, а модули Верма конструируются как частные от универсальной обертывающей алгебры.

Построение $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ выглядит следующим образом. Пусть T будет тензорной алгеброй векторного пространства $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Таким образом, по определению $T = ⊕ n = 0 ∞ ⊗ 1 ng {\ displaystyle T = \ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} \ otimes _ {1} ^ {n} {\ mathfrak { g}}}$ $T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}$ и умножение на него дается как $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\otimes$ . Пусть $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ будет кольцом частных T по идеалу, порожденному элементами формы

[X, Y] - (X ⊗ Y - Y ⊗ X) {\ displaystyle [X, Y] - (X \ otimes YY \ otimes X)}

[X,Y]-(X\otimes YY\otimes X)

Существует естественная линейная карта из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ в $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ , полученный путем ограничения частного карта $T → U (g) {\ displaystyle T \ to U ({\ mathfrak {g}})}$ $T \ to U ({\ mathfrak {g}})$ с точностью до одного градуса. Теорема PBW подразумевает, что каноническое отображение действительно инъективно. Таким образом, любая алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ может быть встроена в ассоциативную алгебру $A = U (g) {\ displaystyle A = U ({ \ mathfrak {g}})}$ $A=U({\mathfrak {g}})$ таким образом, что скобка на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ задается как $[ X, Y] = XY - YX {\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$ $[X,Y]=XY-YX$ в $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Если $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ равно абелеву, тогда $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ равно симметричная алгебра векторного пространства $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ .

Поскольку $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ является модулем над собой через присоединенное представление, охватывающая алгебра $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ становится $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модуль путем расширения присоединенного представления. Но можно также использовать левое и правое регулярное представление, чтобы превратить обертывающую алгебру в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модуль; а именно, с обозначением $l X (Y) = XY, X ∈ g, Y ∈ U (g) {\ displaystyle l_ {X} (Y) = XY, X \ in {\ mathfrak {g}}, Y \ in U ({\ mathfrak {g}})}$ $l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})$ , отображение $X ↦ l X {\ displaystyle X \ mapsto l_ {X}}$ $X\mapsto l_{X}$ определяет представление из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ на $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ . Правое регулярное представление определяется аналогично.

Индуцированное представление

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ - конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики и $час ⊂ g {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ подалгебра. $U (h) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {h}})}$ $U({\mathfrak {h}})$ действует на $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ справа и, таким образом, для любого $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\mathfrak {h}}$ -модуля W можно сформировать левый $U (g) {\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ -модуль $U (g) ⊗ U (h) W {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}}) \ otimes _ {U ({\ mathfrak {h}})} W}$ $U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W$ . Это модуль $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ , обозначенный $Ind hg ⁡ W {\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h} } ^ {\ mathfrak {g}} W}$ $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ и вызвал $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модуль, индуцированный W. Он удовлетворяет ( и фактически характеризуется) универсальным свойством: для любого $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модуль E

Hom g ⁡ (Ind hg ⁡ W, E) ≃ Hom час ⁡ (W, Res hg ⁡ E) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathfrak {g}} (\ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g} } W, E) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {\ mathfrak {h}} (W, \ operatorname {Res} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} E)}

\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)

Кроме того, $Ind hg {\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}}}$ $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}$ является точным функтором из категории $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\mathfrak {h}}$ -модули в категорию $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модулей. В них используется тот факт, что $U (g) {\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ $U({\mathfrak {g}})$ является свободным правым модулем над $U (h) {\ displaystyle U ( {\ mathfrak {h}})}$ $U({\mathfrak {h}})$ . В частности, если $Ind hg ⁡ W {\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} W}$ $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ является простым (соответственно, абсолютно простым), то W просто (соответственно, абсолютно просто). Здесь $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -module V абсолютно прост, если $V ⊗ k F {\ displaystyle V \ otimes _ {k} F}$ $V\otimes _{k}F$ прост для любого расширения поля $F / k {\ displaystyle F / k}$ $F / k$ .

Индукция транзитивна: $Ind hg ≃ Ind h ′ g ∘ Ind hh ′ {\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} \ simeq \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h '}} ^ {\ mathfrak {g}} \ circ \ operatorname { Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {h '}}}$ $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}$ для любой подалгебры Ли $h ′ ⊂ g {\ displaystyle {\ mathfrak {h'}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}$ и любая подалгебра Ли $h ⊂ h ′ {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {h}} '}$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'$ . Индукция коммутирует с ограничением: пусть $h ⊂ g {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ будет подалгеброй, а $n {\ displaystyle { \ mathfrak {n}}}$ ${\mathfrak {n}}$ идеал $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ , который содержится в $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\mathfrak {h}}$ . Установите $g 1 = g / n {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1} = {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {n}}}$ ${\ mathfrak {g}} _ {1} = {\ mathfrak {g }} / {\ mathfrak {n}}$ и $час 1 = час / n {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {1} = {\ mathfrak {h}} / {\ mathfrak {n}}}$ ${\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}$ . Тогда $Ind hg ∘ Res h ≃ Res g ∘ Ind h 1 g 1 {\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} \ circ \ operatorname {Res} _ {\ mathfrak {h}} \ simeq \ operatorname {Res} _ {\ mathfrak {g}} \ circ \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h_ {1}}} ^ {\ mathfrak {g_ {1}} }}$ $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}$ .

Бесконечномерные представления и "категория O"

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ конечномерная полупростая алгебра Ли над полем характеристики нуль. (в разрешимом или нильпотентном случае изучаются примитивные идеалы обертывающей алгебры; окончательное описание см. Диксмье.)

Категория (возможно бесконечномерных) модулей над $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ оказывается слишком большим, особенно для того, чтобы можно было использовать методы гомологической алгебры: было обнаружено, что меньшая подкатегория категория O является лучшим местом для теории представлений в полупростом случае с нулевой характеристикой. Например, категория O оказалась подходящей по размеру, чтобы сформулировать знаменитую взаимность BGG.

(g, K) -module

Одно из наиболее важных приложений представлений алгебры Ли относится к теории представлений вещественной редуктивной группы Ли. Приложение основано на идее, что если $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ является представлением в гильбертовом пространстве, скажем, связной вещественной полупростой линейной группы Ли G, то оно имеет два естественных действия : комплексификация $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ и связная максимальная компактная подгруппа K. $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ -модульная структура $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ позволяет применять алгебраические, особенно гомологические методы и $K {\ displaystyle K}$ $K$ -модульная структура позволяет проводить гармонический анализ аналогично тому, как это делается для связных компактных полупростых групп Ли.

Представление на алгебре

Если у нас есть супералгебра Ли L, то представление L на алгебре является (не обязательно ассоциативным ) Z2градуированным алгебра A, которая является представлением L как Z2градуированного векторного пространства, и, кроме того, элементы L действуют как производные / первообразные на A.

Более конкретно, если H является чистым элементом L, а x и y являются чистыми элементами A,

H [xy] = (H [x]) y + (−1) x (H [y])

Кроме того, если A равно unital, то

H [1] = 0

Теперь для В случае представления алгебры Ли мы просто отбрасываем все градуировки и (−1) на некоторые степенные множители.

(супер) алгебра Ли - это алгебра, и она имеет присоединенное представление самого себя. Это представление на алгебре: свойство (анти) деривации - это super тождество Якоби.

Если векторное пространство является и тем, и другим ассоциативная алгебра и алгебра Ли, а присоединенное представление алгебры Ли на самой себе является представлением на алгебре (т. Е. Действует дифференцированием на структуру ассоциативной алгебры), то это алгебра Пуассона. Аналогичное наблюдение для супералгебр Ли дает понятие супералгебры Пуассона.

См. Также

Примечания

Литература

Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И., «Структура представлений, которые генерируются векторами наивысшего веса», Функциональный. Анальный. Appl. 5 (1971)
Dixmier, J. (1977), Enveloping Algebras, Amsterdam, New York, Oxford: North-Holland, ISBN 0-444-11077-1.
A. Бейлинсон и Дж. Бернштейн, "Локализация g-модулей", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 292, вып. 1, pp. 15–18, 1981.
Bäuerle, G.G.A; де Керф, Э.А. (1990). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 1 . Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; ten Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 7 . North -Holland. ISBN 978-0-444-82836-1 - через ScienceDirect. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Фултон, В. ; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Д. Гайтсгори, Теория геометрического представления, Math 267y, Fall 2005
Холл, Брайан К. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарный I Введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение Через линейные группы, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Риоши Хотта, Киёси Такеучи, Тошиюки Танисаки, D-модули, извращенные пучки, и теория представлений; перевод Киёси Такеуч
Хамфрис, Джеймс (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Тексты для выпускников по математике, 9, Springer, ISBN 9781461263982
Н. Якобсон, Алгебры Ли, Courier Dover Publications, 1979.
Гарретт Биркгоф ; Филип М. Уитмен (1949). «Представление йорданов и алгебр Ли» (PDF). Пер. Амер. Математика. Soc. 65: 116–136. doi : 10.1090 / s0002-9947-1949-0029366-6.
Кириллов А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли. Кембриджские исследования в области высшей математики. 113 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521889698. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Кнапп, Энтони У. (2001), Представительство теория полупростых групп. Обзор, основанный на примерах., Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0 (элементарное лечение SL ( 2, C))
Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond and Introduction (второе издание), Birkhauser

Дополнительная литература

Бен-Цви, Дэвид; Надлер, Дэвид ( 2012). «Локализация Бейлинсона-Бернштейна над центром Хариш-Чандры». arXiv : 1209.0188v1 [math.RT ]. На сайте нет неизвестный параметр: |version=()