Матрица Гурвица

В математике, в матрице Гурвица, или матрицы Рауса-Гурвица, в инженерной матрицы устойчивости, является структурированная реальная квадратная матрица строится с коэффициентами вещественного многочлена.

• 1 Матрица Гурвица и критерий устойчивости Гурвица
• 2 стабильные по Гурвицу матрицы
• 3 См. Также
• 4 ссылки
• 5 Внешние ссылки

А именно, учитывая действительный многочлен

${\ Displaystyle п (г) = а_ {0} г ^ {п} + а_ {1} г ^ {п-1} + \ cdots + а_ {п-1} г + а_ {п}}$

квадратная матрица ${\ Displaystyle п \ раз п}$

${\ displaystyle H = {\ begin {pmatrix} a_ {1} amp; a_ {3} amp; a_ {5} amp; \ dots amp; \ dots amp; \ dots amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ a_ {0} amp; a_ {2} amp; a_ {4} amp;amp;amp;amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots \\ 0 amp; a_ {1} amp; a_ {3} amp;amp;amp;amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots \\\ vdots amp; a_ {0} amp; a_ {2} amp; \ ddots amp;amp;amp; 0 amp; \ vdots amp; \ vdots \\\ vdots amp; 0 amp; a_ {1} amp;amp; \ ddots amp;amp; a_ {n} amp; \ vdots amp; \ vdots \\\ vdots amp; \ vdots amp; a_ {0} amp;amp;amp; \ ddots amp; a_ {n-1} amp; 0 amp; \ vdots \\\ vdots amp; \ vdots amp; 0 amp;amp;amp;amp; a_ {n -2} amp; a_ {n} amp; \ vdots \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp;amp;amp;amp; a_ {n-3} amp; a_ {n-1} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; \ dots amp; \ dots amp; \ dots amp; a_ {n-4} amp; a_ {n-2} amp; a_ {n} \ end {pmatrix}}.}$

называется матрицей Гурвица, соответствующей многочлену. Он был создан Адольф Гурвиц в 1895 году, что реальный многочлен является стабильным (то есть, все его корни имеют строго отрицательную вещественную часть), если и только если все ведущие главные миноры матрицы положительны: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle a_ {0}gt; 0}$ ${\ displaystyle H (p)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta _ {1} (p) amp; = {\ begin {vmatrix} a_ {1} \ end {vmatrix}} amp;amp; = a_ {1}gt; 0 \\ [2 мм] \ Дельта _ {2} (p) amp; = {\ begin {vmatrix} a_ {1} amp; a_ {3} \\ a_ {0} amp; a_ {2} \\\ end {vmatrix}} amp;amp; = a_ {2} a_ { 1} -a_ {0} a_ {3}gt; 0 \\ [2 мм] \ Delta _ {3} (p) amp; = {\ begin {vmatrix} a_ {1} amp; a_ {3} amp; a_ {5} \\ a_ {0} amp; a_ {2} amp; a_ {4} \\ 0 amp; a_ {1} amp; a_ {3} \\\ end {vmatrix}} amp;amp; = a_ {3} \ Delta _ {2} -a_ {1} (a_ {1 } а_ {4} -а_ {0} а_ {5})gt; 0 \ конец {выровнено}}}$

и так далее. Миноры называются детерминантами Гурвица. Аналогично, если тогда многочлен устойчив тогда и только тогда, когда главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного. ${\ displaystyle \ Delta _ {k} (p)}$ ${\ displaystyle a_ {0} lt;0}$

В технике и теории устойчивости, квадратная матрица называется стабильной матрицей (или иногда матрица Гурвица), если каждое собственное значение из имеет строго отрицательную вещественную часть, то есть, ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operatorname {Re} [\ lambda _ {i}] lt;0 \,}$

для каждого собственного значения. также называется матрицей устойчивости, потому что тогда дифференциальное уравнение ${\ displaystyle \ lambda _ {я}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}$

является асимптотически устойчивым, то есть, как${\ Displaystyle х (т) \ к 0}$${\ displaystyle t \ to \ infty.}$

Если является (матричнозначной) передаточной функцией, то называется гурвицевым, если полюсы всех элементов имеют отрицательную действительную часть. Обратите внимание, что для конкретного аргумента не обязательно должна быть матрица Гурвица - она ​​даже не обязательно должна быть квадратной. Связь состоит в том, что если - матрица Гурвица, то динамическая система ${\ Displaystyle G (s)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G (s),}$${\ displaystyle s,}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t)}$

${\ Displaystyle у (т) = Cx (т) + Du (т) \,}$

имеет передаточную функцию Гурвица.

Любая гиперболическая неподвижная точка (или точка равновесия ) непрерывной динамической системы является локально асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда якобиан динамической системы устойчив по Гурвицу в неподвижной точке.

Матрица устойчивости Гурвица является важной частью теории управления. Система устойчива, если ее управляющая матрица является матрицей Гурвица. Отрицательные действительные компоненты собственных значений матрицы представляют собой отрицательную обратную связь. Точно так же система по своей природе нестабильна, если любое из собственных значений имеет положительные действительные компоненты, представляющие положительную обратную связь.

• М-матрица
• P-матрица
• Теорема Перрона – Фробениуса.
• Z-матрица

• Аснер, Бернард А. младший (1970). «О полной неотрицательности матрицы Гурвица». Журнал SIAM по прикладной математике. 18 (2): 407–414. DOI : 10.1137 / 0118035. JSTOR   2099475.
• Димитров, Димитар К.; Пенья, Хуан Мануэль (2005). «Почти строгая тотальная положительность и класс многочленов Гурвица». Журнал теории приближений. 132 (2): 212–223. DOI : 10.1016 / j.jat.2004.10.010.
• Гантмахер, FR (1959). Приложения теории матриц. Нью-Йорк: Interscience.
• Гурвиц, А. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt". Mathematische Annalen. 46 (2): 273–284. DOI : 10.1007 / BF01446812.
• Халил, Хасан К. (2002). Нелинейные системы. Прентис Холл.
• Лехнигк, Зигфрид Х. (1970). «О матрице Гурвица». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik. 21 (3): 498–500. Полномочный код : 1970ZaMP... 21..498L. DOI : 10.1007 / BF01627957.

Эта статья включает материал из матрицы Гурвица на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

• «Матрица Гурвица». PlanetMath.