Войти
В математике, А фуксова группа является дискретной подгруппой в PSL (2, R ). Группа PSL (2, R ) можно рассматривать эквивалентным образом в качестве группы из изометрии в гиперболической плоскости, или конформных преобразований единичного круга, или конформных преобразований верхней полуплоскости, так что фуксова группа может рассматриваться как группа, действующая на любом из этих пространств. Есть несколько вариантов определения: иногда предполагается, что фуксова группа конечно порождена, иногда разрешается быть подгруппой PGL (2, R ) (так что она содержит элементы, меняющие ориентацию), а иногда допускается быть клейновой группой (дискретной подгруппой в PSL (2, C ) ), сопряженной с подгруппой в PSL (2, R ).
Фуксовы группы используются для создания фуксовы моделей из римановых поверхностей. В этом случае группу можно назвать фуксовой группой поверхности. В некотором смысле фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то, что кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии. На них основана некоторая графика Эшера (для дисковой модели гиперболической геометрии).
Общие фуксовы группы были впервые изучены Анри Пуанкаре ( 1882 ), который был мотивирован этой статьей ( Fuchs 1880 ) и поэтому назвал их в честь Лазаря Фукса.
Пусть H = { z in C : Im ( z )gt; 0} - верхняя полуплоскость. Тогда H является моделью гиперболической плоскости с метрикой
Группа PSL (2, R ) действует на H с помощью дробно - линейных преобразований (также известный как преобразования Мёбиуса ):
Это действие верно, и на самом деле PSL (2, R ) изоморфна группе все сохраняющей ориентации изометрии из Н.
Фуксова группа Γ может быть определена как подгруппа в PSL (2, R ), которая действует на H разрывно. То есть,
Эквивалентным определением фуксовости Γ является то, что Γ - дискретная группа, что означает, что:
Хотя разрывность и дискретность в этом случае эквивалентны, это обычно неверно для случая произвольной группы конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в отличие от H ). Действительно, фуксова группа PSL (2, Z ) дискретна, но имеет точки накопления на прямой Im z = 0: элементы PSL (2, Z ) переносят z = 0 на каждое рациональное число, а рациональные числа Q равны плотным в R.
Дробно-линейное преобразование, определяемое матрицей из PSL (2, C ), сохранит сферу Римана P 1 ( C ) = C ∪ ∞, но отправит верхнюю полуплоскость H в некоторый открытый диск Δ. Сопряжение с помощью такого преобразования отправит дискретную подгруппу PSL (2, R ) в дискретную подгруппу PSL (2, C ), сохраняющую Δ.
Это мотивирует следующее определение фуксовой группы. Пусть Γ ⊂ PSL (2, C ) действует инвариантно на собственном открытом диске ∆ ⊂ C ∪ ∞, т.е. Γ (∆) = ∆. Тогда Γ фуксово тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих трех эквивалентных свойств:
То есть любой из этих трех может служить определением фуксовой группы, остальные - как теоремы. Понятие инвариантного собственного подмножества Δ важно; так называемая группа Пикара PSL (2, Z [ i ]) дискретна, но не сохраняет ни одного диска в сфере Римана. В самом деле, даже модулярная группа PSL (2, Z ), которая является фуксовой группой, не действует прерывно на прямой действительных чисел; у него есть точки накопления в рациональных числах. Точно так же идея о том, что Δ является правильным подмножеством области разрыва, важна; в противном случае подгруппа называется клейновой группой.
Чаще всего в качестве инвариантной области Δ берется либо открытый единичный круг, либо верхняя полуплоскость.
Из-за дискретного действия орбита Γ z точки z в верхней полуплоскости под действием Γ не имеет точек скопления в верхней полуплоскости. Однако на реальной оси могут быть предельные точки. Пусть Λ (Γ) обозначим предельное множество Г, то есть множество предельных точек Г г для г ∈ H. Тогда Λ (Γ) ⊆ R ∪ ∞. Набор пределов может быть пустым, содержать одну или две точки или бесконечное число. В последнем случае бывает двух типов:
Фуксова группа первого типа представляет собой группу, для которой предел множество является замкнутой вещественной прямой R ∪ ∞. Это происходит, если фактор-пространство H / Γ имеет конечный объем, но существуют фуксовы группы первого рода бесконечного коволюма.
В противном случае фуксова группа называется второй. Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством, нигде не плотным на R ∪ ∞. Поскольку он нигде не плотный, это означает, что любая предельная точка сколь угодно близка к открытому множеству, не входящему в предельное множество. Другими словами, набор пределов - это набор Кантора.
Тип фуксовой группы не обязательно должен совпадать с ее типом, если рассматривать ее как клейнову группу: на самом деле, все фуксовы группы являются клейновыми группами типа 2, поскольку их предельные множества (как клейновы группы) являются собственными подмножествами римановой сферы., содержащиеся в некотором круге.
Примером фуксовой группы является модулярная группа PSL (2, Z ). Это подгруппа в PSL (2, R ), состоящая из дробно-линейных преобразований
где a, b, c, d - целые числа. Фактор - пространство Н / PSL (2, Z ) является пространством модулей из эллиптических кривых.
Другие фуксовы группы включают группы Γ ( n ) для каждого целого n gt; 0. Здесь Γ ( n ) состоит из дробно-линейных преобразований указанного выше вида, где элементы матрицы
сравнимы с матрицами единичной матрицы по модулю n.
Ко-компактным примером является (обычная, вращательная) (2, 3, 7) треугольная группа, содержащая фуксовы группы квартики Клейна и поверхности Макбита, а также другие группы Гурвица. В более общем смысле любая гиперболическая группа фон Дейка (подгруппа индекса 2 в треугольной группе, соответствующая изометриям, сохраняющим ориентацию) является фуксовой группой.
Все это фуксовы группы первого рода.
Если ч является гиперболическим элементом, перевод длиной L ее действий в верхней полуплоскости связанно с следом от ч в виде матрицы 2 × 2 соотношения
Аналогичное соотношение имеет место для систолы соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа без кручения и кокомпактна.
