Альфапедия

Клейнианская группа

редактировать

В математике Клейнианская группа является дискретной подгруппой из PSL (2, C). Группа PSL (2, C ) комплексных матриц 2 на 2 детерминанта 1 по модулю имеет несколько естественных представлений: как конформные преобразования сферы Римана и как сохраняющие ориентацию изометрии трехмерного гиперболического пространства H, и как сохраняющие ориентацию конформные отображения открытого единичного шара B в R в себя. Следовательно, клейнову группу можно рассматривать как дискретную подгруппу, действующую на одно из этих пространств.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Определения
    • 2.1 Варианты
  • 3 Типы
  • 4 Примеры
    • 4.1 Группы Бианки
    • 4.2 Элементарные и приводимые клейновские группы
    • 4.3 Фуксовы группы
    • 4.4 Группы Кебе
    • 4.5 Квазифуксовы группы
    • 4.6 Группы Шоттки
    • 4.7 Кристаллографические группы
    • 4.8 Развлечения основные группы трехмерных гиперболических многообразий
    • 4.9 Вырожденные клейновы группы
  • 5 См. также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

История

Теория общих клейновых групп была основана Феликс Клейн (1883) и Анри Пуанкаре (1883), которые назвали их в честь Феликса Кляйна. Частный случай групп Шоттки был изучен Шоттки несколькими годами ранее, в 1877 году.

Определения

Рассматривая границу шара, клейнова группа может быть также определена как подгруппа Γ в PGL (2, C ), комплексная проективная линейная группа, которая действует посредством преобразований Мёбиуса на сфере Римана. Классически от клейнианской группы требовалось, чтобы она действовала должным образом прерывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана, но современное использование допускает любую дискретную подгруппу.

Когда Γ изоморфна фундаментальной группе π 1 {\ displaystyle \ pi _ {1}}\ pi _ {1} гиперболического 3-многообразия, то фактор-пространство H/ Γ становится клейновской моделью многообразия. Многие авторы используют термины Кляйнианская модель и Кляйнианская группа как синонимы, позволяя одному заменять другое.

Дискретность предполагает, что точки в B имеют конечные стабилизаторы и дискретные орбиты под группой Γ. Но орбита Γp точки p обычно накапливается на границе замкнутого шара B ¯ 3 {\ displaystyle {\ bar {B}} ^ {3} }{\ bar {B}} ^ {3} .

Аполлоновская прокладка является примером предельного множества клейнианской группы

Граница замкнутого шара называется сферой на бесконечности и обозначается S ∞ 2 {\ Displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}S _ {\ infty} ^ {2} . Набор точек накопления Γp в S ∞ 2 {\ displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}S _ {\ infty} ^ {2} называется предельным набором Γ, и обычно обозначается Λ (Γ) {\ displaystyle \ Lambda (\ Gamma)}{\ displaystyle \ Lambda (\ Gamma)} . Дополнение Ω (Γ) = S ∞ 2 - Λ (Γ) {\ displaystyle \ Omega (\ Gamma) = S _ {\ infty} ^ {2} - \ Lambda (\ Gamma)}{\ displaystyle \ Omega (\ Gamma) = S _ {\ infty} ^ {2} - \ Lambda (\ Gamma)} называется областью нарушения непрерывности, или обычным набором, или обычным набором . Из теоремы Альфорса следует, что если группа конечно порождена, то Ω (Γ) / Γ {\ displaystyle \ Omega (\ Gamma) / \ Gamma}{\ displaystyle \ Omega (\ Gamma) / \ Gamma} является группой Римана поверхностное орбифолд конечного типа.

Единичный шар B с его конформной структурой является моделью Пуанкаре гиперболическим 3-пространством. Когда мы думаем об этом метрически, с метрикой

d s 2 = 4 | d x | 2 (1 - | x | 2) 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4 \, \ left | dx \ right | ^ {2}} {\ left (1- | x | ^ {2 } \ right) ^ {2}}}}{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4 \, \ left | dx \ right | ^ {2}} {\ left (1- | x | ^ {2} \ right) ^ {2}}}}

это модель трехмерного гиперболического пространства H . Набор конформных собственных отображений B становится набором изометрий (то есть сохраняющих расстояние карт) H при этой идентификации. Такие карты ограничиваются конформными собственными отображениями S ∞ 2 {\ displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}S _ {\ infty} ^ {2} , которые являются преобразованиями Мёбиуса. Существуют изоморфизмы

Mob ⁡ (S ∞ 2) ≅ Conf ⁡ (B 3) ≅ Isom ⁡ (H 3). {\ displaystyle \ operatorname {Mob} (S _ {\ infty} ^ {2}) \ cong \ operatorname {Conf} (B ^ {3}) \ cong \ operatorname {Isom} (\ mathbf {H} ^ {3}).}{\ displaystyle \ operatorname {Mob} (S _ {\ infty} ^ {2}) \ cong \ operatorname {Conf} (B ^ {3}) \ cong \ operatorname {Isom} (\ mathbf {H} ^ {3}).}

подгруппы этих групп, состоящие из сохраняющих ориентацию преобразований, все изоморфны группе проективных матриц: PSL (2, C ) через обычную идентификацию единичной сферы с комплексной проективной линией P(C).

Варианты

Есть некоторые варианты определения клейнианской группы: иногда кляйновским группам разрешается быть подгруппами PSL (2, C ).2 (PSL (2, C ) расширен комплексным сопряжением), другими словами, чтобы иметь элементы, изменяющие ориентацию, и иногда предполагается, что они конечно сгенерированы, а иногда они должны действовать правильно разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана.

Типы

  • Клейнова группа называется конечного типа, если ее область разрыва имеет конечное число орбит компонентов под действием группы, а отношение каждой компоненты по своему стабилизатору является компактной римановой поверхностью с удаленным конечным числом точек, а покрытие разветвлено в конечном числе точек.
  • Клейнова группа называется конечно порожденной, если она имеет конечное число генераторы. Теорема Альфорса о конечности говорит, что такая группа имеет конечный тип.
  • Клейнова группа Γ имеет конечный ковобъем, если H / Γ имеет конечный объем. Любая клейнова группа конечного кообъема конечно порождена.
  • Клейнова группа называется геометрически конечной, если у нее есть фундаментальный многогранник (в гиперболическом 3-пространстве) с конечным много сторон. Альфорс показал, что если предельное множество не является всей сферой Римана, то оно имеет меру 0.
  • Клейнова группа Γ называется арифметической, если она соизмерима с групповой нормой 1 элементов множества порядок алгебры кватернионов A, разветвленной во всех действительных местах над числовым полем k, с ровно одной комплексной точкой. Арифметические клейновы группы имеют конечный ковобъем.
  • Клейнова группа Γ называется кокомпактной, если H / Γ компактна, или, что эквивалентно SL (2, C ) / Г компактно. Кокомпактные клейновы группы имеют конечный ковобъем.
  • Клейнова группа называется топологически ручной, если она конечно порождена и ее гиперболическое многообразие гомеоморфно внутренней части компактного многообразия с краем.
  • Клейнианская группа называется геометрически ручной, если ее концы либо геометрически конечны, либо просто вырождены (Thurston 1980).
  • Кляйнианская группа называется типом 1, если предельным множеством является вся сфера Римана, и типа 2 в противном случае.

Примеры

Группы Бианки

A Группа Бианки является клейновой группой вида PSL (2, O d), где O d {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {d}}{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {d}} - кольцо целых чисел мнимое квадратичное поле Q (- d) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-d}})}\ mathbb {Q} (\ sqrt {-d}) для положительного целого числа без квадратов.

Элементарные и приводимые клейновы группы

Клейнова группа называется элементарной, если ее предельное множество конечно, и в этом случае l imit set имеет 0, 1 или 2 балла. Примеры элементарных клейновых групп включают конечные клейновы группы (с пустым предельным множеством) и бесконечные циклические клейновы группы.

Клейнова группа называется приводимой, если все элементы имеют общую неподвижную точку на сфере Римана. Приводимые клейновы группы элементарны, но некоторые элементарные конечные клейновы группы не приводимы.

фуксовы группы

Любая фуксова группа (дискретная подгруппа в SL (2, R )) является клейновой группой, и, наоборот, любая клейнова группа группа, сохраняющая вещественную прямую (по действию на сфере Римана), является фуксовой группой. Вообще говоря, каждая клейнова группа, сохраняющая окружность или прямую в сфере Римана, сопряжена с фуксовой группой.

Группы Кебе

  • A фактор клейновой группы G является максимальной подгруппой H, обладающей следующими свойствами:
    • H имеет односвязную инвариантную компоненту D
    • Сопряжение элемента h из H конформной биекцией является параболическим или эллиптическим тогда и только тогда, когда h есть.
    • Любой параболический элемент G, фиксирующий граничную точку D, находится в H.
  • Клейниан группа называется группой Кебе, если все ее факторы элементарны или фуксовы.

Квазифуксовы группы

Предельное множество квазифуксовой группы

Кляйнова группа, сохраняющая йордан Кривая называется квазифуксовой группой. Когда жорданова кривая представляет собой окружность или прямую линию, они просто сопряжены фуксовым группам при конформных преобразованиях. Конечно порожденные квазифуксовы группы сопряжены фуксовым группам относительно квазиконформных преобразований. Предельное множество содержится в инвариантной жордановой кривой, и оно равно жордановой кривой, группа называется типа один, в противном случае она называется типа 2 .

Группы Шоттки

Пусть C i - граничные окружности конечного набора непересекающихся замкнутых дисков. Группа, сгенерированная инверсией в каждом круге, имеет предельный набор канторовский набор, а частное H / G - это с нижележащим пространством мяч. Он с двойной крышкой с помощью ручки ; соответствующая подгруппа индекса 2 является клейнианской группой, называемой группой Шоттки.

Кристаллографические группы

Пусть T будет периодической мозаикой гиперболического 3-мерного пространства. Группа симметрий мозаики является клейновой группой.

Фундаментальные группы трехмерных гиперболических многообразий

Фундаментальная группа любого ориентированного трехмерного гиперболического многообразия является клейновой группой. Есть много таких примеров, например, дополнение к узлу в форме восьмерки или пространство Зейферта – Вебера. Наоборот, если клейнова группа не имеет нетривиальных элементов кручения, то это фундаментальная группа трехмерного гиперболического многообразия.

Вырожденные клейновы группы

Клейнова группа называется вырожденной, если она не элементарна и ее предельное множество односвязно. Такие группы можно построить, взяв подходящий предел квазифуксовых групп, такой, что одна из двух компонент регулярных точек стягивается до пустого множества; эти группы называются однократно вырожденными . Если оба компонента регулярного набора сжимаются до пустого набора, то предельный набор становится кривой, заполняющей пространство, и группа называется дважды вырожденной . Существование вырожденных клейнианских групп было впервые косвенно показано Берсом (1970), а первый явный пример был найден Йоргенсеном. Cannon Thurston (2007) привели примеры дважды вырожденных групп и кривых заполнения пространства, связанных с псевдоаносовскими отображениями.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-25 11:10:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте