Уровень Ферми

Уровень Ферми твердотельного тела является термодинамическим В работе требуется добавить к телу один электрон. Это термодинамическая величина, обычно обозначаемая для краткости µ или E F. Уровень Ферми не включает работу, необходимую для удаления электрона, откуда бы он ни пришел. Точное понимание уровня Ферми - как он соотносится с структурой электронной зоны при определении электронных свойств, как он соотносится с напряжением и потоком заряда в электронной схеме - имеет важное значение для понимание физики твердого тела.

В теории зонной структуры, используемой в физике твердого тела для анализа уровней энергии в твердом теле, уровень Ферми можно рассматривать как гипотетический уровень энергии электрон, так что при термодинамическом равновесии этот энергетический уровень будет иметь 50% -ную вероятность быть занятым в любой момент времени. Положение уровня Ферми по отношению к зонным энергетическим уровням является решающим фактором при определении электрических свойств. Уровень Ферми не обязательно соответствует реальному уровню энергии (в изоляторе уровень Ферми находится в запрещенной зоне ) и не требует наличия зонной структуры. Тем не менее, уровень Ферми является точно определенной термодинамической величиной, и разницу в уровнях Ферми можно просто измерить с помощью вольтметра.

• 1 Измерение напряжения
• 2 Зонная структура твердых тел
  • 2.1 Локальный Определение зоны проводимости, внутренний химический потенциал и параметр ζ
• 3 Температура вне равновесия
• 4 Технические характеристики
  • 4.1 Проблемы терминологии
  • 4.2 Определение уровня Ферми и расположение нулевого уровня Ферми
    • 4.2.1 Почему не рекомендуется использовать «энергию в вакууме» в качестве эталона нуля
  • 4,3 дискретных зарядных эффектов в небольших системах
• 5 Сноски и ссылки

A вольтметр измеряет различия в Ферми уровень, деленный на заряд электрона.

Иногда говорят, что электрические токи обусловлены разницей в электростатическом потенциале (потенциал Гальвани ), но это не совсем так. В качестве контрпримера, устройства из нескольких материалов, такие как p – n-переходы, содержат внутренние разности электростатических потенциалов в состоянии равновесия, но без какого-либо сопутствующего сетевого тока; если к переходу прикреплен вольтметр, просто измеряется ноль вольт. Очевидно, что электростатический потенциал - не единственный фактор, влияющий на поток заряда в материале - отталкивание Паули, градиенты концентрации носителей заряда, электромагнитная индукция и тепловые эффекты также играют важную роль.

Фактически, величина, называемая напряжением, измеряемая в электронной схеме, имеет простую связь с химическим потенциалом для электронов (уровнем Ферми). Когда выводы вольтметра подключены к двум точкам в цепи, отображаемое напряжение является мерой общей работы, передаваемой, когда единичному заряду позволяют перемещаться из одной точки в другую. Если простой провод подключен между двумя точками с разным напряжением (образуя короткое замыкание ), ток будет течь от положительного к отрицательному напряжению, преобразовывая имеющуюся работу в тепло.

Уровень Ферми тела выражает работу, необходимую для добавления к нему электрона, или, в равной степени, работу, полученную при удалении электрона. Следовательно, V A - V B, наблюдаемая разница в напряжении между двумя точками, A и B, в электронной схеме точно связана с соответствующей химической разностью потенциалов, μ A - µ B, в уровне Ферми по формуле

$VA\; -\; VB\; =\; \mu \; A\; -\; \mu \; B\; -\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{A\}\}\; -V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{A\}\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\}\; \{-\; e\}\}\}$

где −e - электрон charge.

Из приведенного выше обсуждения видно, что электроны будут перемещаться от тела с высоким µ (низкое напряжение) к низкому µ (высокое напряжение), если будет обеспечен простой путь. Этот поток электронов вызовет увеличение более низкого µ (из-за зарядки или других эффектов отталкивания) и, аналогичным образом, вызовет уменьшение более высокого µ. В конце концов, µ установится на одно и то же значение в обоих телах. Это приводит к важному факту, касающемуся состояния равновесия (выключения) электронной схемы:

Электронная схема в термодинамическом равновесии будет иметь постоянный уровень Ферми во всех соединенных частях.

Это также означает что напряжение (измеренное с помощью вольтметра) между любыми двумя точками будет равно нулю в состоянии равновесия. Обратите внимание, что термодинамическое равновесие здесь требует, чтобы цепь была подключена внутри и не содержала никаких батарей или других источников питания, а также каких-либо изменений температуры.

Заполнение электронных состояний в различных типах материалов при равновесии. Здесь высота - это энергия, а ширина - это плотность доступных состояний для определенной энергии в указанном материале. Оттенок соответствует распределению Ферми – Дирака (черный = все состояния заполнены, белые = состояния не заполнены). В металлах и полуметаллах уровень Ферми EFнаходится внутри по крайней мере одной зоны. В изоляторах и полупроводниках уровень Ферми находится внутри запрещенной зоны ; однако в полупроводниках зоны достаточно близки к уровню Ферми, чтобы быть термически заполненными электронами или дырками. распределением Ферми-Дирака $f\; (ϵ)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; эпсилон)\; \backslash \}$vs. энергия $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \backslash \}$, с μ = 0,55 эВ и для различных температур в диапазоне 50K ≤ T ≤ 375K.

В теории зон В твердых телах электроны считаются занимающими серию полос, состоящих из одночастичных энергетических состояний, каждая из которых помечена. Хотя это изображение одной частицы является приближением, оно значительно упрощает понимание электронного поведения и обычно дает правильные результаты при правильном применении.

Распределение Ферми – Дирака, $f\; (ϵ)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; epsilon)\}$, дает вероятность того, что (при термодинамическое равновесие ) состояние с энергией ϵ занято электроном:

$f\; (ϵ)\; =\; 1\; e\; (ϵ\; -\; \mu )\; /\; k\; T\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; epsilon)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{e\; ^\; \{(\backslash \; epsilon\; -\; \backslash \; mu)\; /\; kT\}\; +1\}\}\}$

Здесь T - абсолютная температура, а k - постоянная Больцмана. Если есть состояние на уровне Ферми (ϵ = µ), то это состояние будет иметь 50% шанс быть занятым. Распределение показано на левом рисунке. Чем ближе f к 1, тем выше шанс, что это состояние занято. Чем ближе f к 0, тем выше вероятность, что это состояние пусто.

Расположение µ в ленточной структуре материала важно для определения электрического поведения материала.

• В изоляторе µ лежит в большой запрещенной зоне, вдали от любых состояний, которые могут проводить ток.
• В металле полуметалл или вырожденный полупроводник, µ находится внутри делокализованной зоны. Большое количество состояний рядом с µ являются термически активными и легко переносят ток.
• В собственном или слаболегированном полупроводнике µ достаточно близко к краю зоны, так что рядом с ним находится небольшое количество термически возбужденных носителей. край зоны.

В полупроводниках и полуметаллах положение µ относительно зонной структуры обычно можно в значительной степени контролировать с помощью легирования или стробирования. Эти элементы управления не изменяют µ, который фиксируется электродами, а заставляют всю структуру полосы сдвигаться вверх и вниз (иногда также изменяя форму структуры полосы). Для получения дополнительной информации об уровнях Ферми полупроводников см. (Например) Sze.

Местная привязка зоны проводимости, внутренний химический потенциал и параметр ζ

Если символ ℰ используется для обозначения уровень энергии электрона, измеренный относительно энергии края окружающей его полосы, ϵ C, тогда в целом мы имеем ℰ = ϵ - ϵ C. Мы можем определить параметр ζ, который ссылается на уровень Ферми по отношению к краю зоны:

$\zeta \; =\; \mu \; -\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; =\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{C\}\}.\}$

Отсюда следует, что функцию распределения Ферми – Дирака можно записать как

$f\; (E)\; =\; 1\; e\; (E\; -\; \zeta )\; /\; k\; T\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{e\; ^\; \{(\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; -\; \backslash \; zeta)\; /\; kT\}\; +1\}\}.\}$

зонная теория металлов была первоначально разработана Зоммерфельдом, начиная с 1927 года, который уделял большое внимание лежащей в основе термодинамике и статистической механике. Что сбивает с толку, в некоторых контекстах величина ζ, относящаяся к полосе, может называться уровнем Ферми, химическим потенциалом или электрохимическим потенциалом, что приводит к неоднозначности с глобальным уровнем Ферми. В этой статье для обозначения ζ используются термины, относящиеся к зоне проводимости, уровень Ферми или внутренний химический потенциал.

Пример изменения края зоны проводимости E C на диаграмме зонной зоны GaAs / AlGaAs гетеропереход транзистора с высокой подвижностью электронов .

ζ напрямую связано с количеством активных носителей заряда, а также с их типичной кинетической энергией, и, следовательно, он непосредственно участвует в определении локальных свойств материала (таких как электрическая проводимость ). По этой причине обычно сосредотачиваются на значении ζ, когда сосредотачиваются на свойствах электронов в одном однородном проводящем материале. По аналогии с энергетическими состояниями свободного электрона, состояния - это кинетическая энергия этого состояния, а ϵ C - его потенциальная энергия. Имея это в виду, параметр ζ можно также обозначить как кинетическую энергию Ферми.

В отличие от µ, параметр ζ не является константой в состоянии равновесия, а скорее изменяется от места к месту в материале из-за вариаций ϵ C, которые определяются такими факторами, как как качество материала и примеси / легирующие примеси. Вблизи поверхности полупроводника или полуметалла ζ может сильно контролироваться внешними электрическими полями, как это делается в полевом транзисторе . В многополосном материале ζ может даже принимать несколько значений в одном месте. Например, в куске металлического алюминия есть две зоны проводимости, пересекающие уровень Ферми (даже больше зон в других материалах); каждая полоса имеет различную краевую энергию, C, и различное ζ.

Значение ζ при нулевой температуре широко известно как энергия Ферми, иногда обозначаемая как ζ 0. Как ни странно (опять же), название энергия Ферми иногда используется для обозначения ζ при ненулевой температуре.

Уровень Ферми μ и температура T являются четко определенными константами для твердотельного устройства в ситуации термодинамического равновесия, например, когда оно находится на полка ничего не делает. Когда устройство выводится из состояния равновесия и вводится в эксплуатацию, тогда, строго говоря, уровень Ферми и температура перестают быть четко определенными. К счастью, часто можно определить квазиуровень Ферми и квазитемпературу для данного местоположения, которые точно описывают заполнение состояний с точки зрения теплового распределения. Считается, что устройство находится в квазиравновесном состоянии, когда и где такое описание возможно.

Квазиравновесный подход позволяет построить простую картину некоторых неравновесных эффектов, таких как электрическая проводимость куска металла (как результат градиента μ) или его теплопроводность (как результат градиента T). Квази-μ и квази-T могут различаться (или не существовать вообще) в любой неравновесной ситуации, например:

• Если в системе присутствует химический дисбаланс (как в батарее ).
• Если Система подвергается воздействию изменяющихся электромагнитных полей (как в конденсаторах, индукторах и трансформаторах ).
• при освещении от источника света с другой температурой, например, солнца (как в солнечных элементах ),
• , когда температура внутри устройства не постоянна (как в термопарах ),
• , когда устройство было изменено, но не имело достаточно времени для повторного уравновешивания (как в пьезоэлектрические или пироэлектрические вещества).

В некоторых ситуациях, например сразу после того, как на материал воздействует лазерный импульс высокой энергии, распределение электронов не может быть описано каким-либо тепловым распределением. В этом случае нельзя определить квазиуровень Ферми или квазитемпературу; электроны просто называют нетермализованными. В менее драматических ситуациях, например, в солнечной атмосфере При постоянном освещении квазиравновесное описание может быть возможным, но требует присвоения различных значений μ и T разным зонам (зона проводимости против валентной зоны). Даже в этом случае значения μ и T могут скачкообразно перескакивать через границу раздела материалов (например, p – n переход ), когда протекает ток, и быть некорректно определенными на самом интерфейсе.

Проблемы терминологии

Термин «уровень Ферми» в основном используется при обсуждении физики твердого тела электронов в полупроводниках, а также при точном использовании этот термин необходим для описания зонных диаграмм в устройствах, содержащих разные материалы с разным уровнем легирования. В этих контекстах, однако, можно также увидеть, что уровень Ферми используется неточно для обозначения привязанного к полосе уровня Ферми, µ - ϵ C, названного выше ζ. Обычно ученые и инженеры ссылаются на «управление», «закрепление » или «настройку» уровня Ферми внутри проводника, когда на самом деле они описывают изменения в ϵ C из-за легирования или полевого эффекта. Фактически, термодинамическое равновесие гарантирует, что уровень Ферми в проводнике всегда фиксируется, чтобы быть в точности равным уровню Ферми электродов; только зонная структура (не уровень Ферми) может быть изменена за счет легирования или эффекта поля (см. также зонную диаграмму ). аналогичная двусмысленность существует между терминами химический потенциал и электрохимический потенциал.

. Также важно отметить, что уровень Ферми не обязательно то же самое, что и Энергия Ферми. В более широком контексте квантовой механики термин энергия Ферми обычно относится к максимальной кинетической энергии фермиона в идеализированном невзаимодействующем, свободном от беспорядка, нулевой температуре ферми-газе. Эта концепция очень теоретическая (нет такого понятия, как невзаимодействующий ферми-газ, а нулевую температуру достичь невозможно). Однако он находит некоторое применение при приближенном описании белых карликов, нейтронных звезд, атомных ядер и электронов в металле. С другой стороны, в области физики и техники полупроводников энергия Ферми часто используется для обозначения уровня Ферми, описанного в этой статье.

Ссылка на уровень Ферми и расположение нулевого уровня Ферми

Подобно выбору начала координат в системе координат, нулевая точка энергии может быть определена произвольно. Наблюдаемые явления зависят только от разницы энергий. Однако при сравнении отдельных тел важно, чтобы все они были последовательны в выборе местоположения нулевой энергии, иначе будут получены бессмысленные результаты. Поэтому может быть полезно явно указать общую точку, чтобы убедиться, что разные компоненты согласуются. С другой стороны, если контрольная точка по своей сути неоднозначна (например, «вакуум», см. Ниже), она вместо этого вызовет больше проблем.

Практичным и обоснованным выбором общей точки является громоздкий физический проводник, такой как электрическое заземление или земля. Можно считать, что такой проводник находится в хорошем термодинамическом равновесии, и поэтому его µ хорошо определено. Он обеспечивает резервуар для заряда, так что большое количество электронов может быть добавлено или удалено без возникновения эффектов зарядки. Он также имеет то преимущество, что он доступен, так что уровень Ферми любого другого объекта можно просто измерить с помощью вольтметра.

Почему это не рекомендуется использовать «энергию в вакууме» в качестве эталона ноль

Когда два металла, изображенной здесь, находятся в термодинамическом равновесии, как показано (равно Ферми уровней Е F), электростатический потенциал вакуума ϕ не является плоским из-за разницы в работе выхода.

В принципе, можно было бы рассмотреть возможность использования состояния неподвижного электрона в вакууме в качестве точки отсчета для энергии. Этот подход не рекомендуется, если только не нужно точно определить, где находится вакуум. Проблема в том, что не все точки в вакууме эквивалентны.

При термодинамическом равновесии типично, что в вакууме существует разность электрических потенциалов порядка 1 В (Вольта-потенциалы ). Источником этого изменения потенциала вакуума является изменение работы выхода между различными проводящими материалами, подвергающимися воздействию вакуума. Непосредственно за пределами проводника электростатический потенциал сильно зависит от материала, а также от выбранной поверхности (ориентации кристаллов, загрязнения и других деталей).

Параметр, который дает наилучшее приближение к универсальности, - это предложенный выше уровень Ферми с привязкой к Земле. Это также имеет то преимущество, что его можно измерить с помощью вольтметра.

Эффекты дискретной зарядки в малых системах

В случаях, когда «эффектами зарядки», обусловленными одним электроном, нельзя пренебречь, приведенные выше определения следует уточнить. Например, рассмотрим конденсатор , сделанный из двух одинаковых параллельных пластин. Если конденсатор не заряжен, уровень Ферми одинаков с обеих сторон, поэтому можно подумать, что для перемещения электрона с одной пластины на другую не требуется энергии. Но когда электрон перемещается, конденсатор становится (слегка) заряженным, поэтому на это требуется небольшое количество энергии. В обычном конденсаторе этим можно пренебречь, но в конденсаторе наноразмеров это может быть более важным.

В этом случае необходимо точно определить термодинамическое определение химического потенциала, а также состояние устройства: электрически оно изолировано или подключено к электроду?

• Когда тело способно обмениваться электронами и энергией с электродом (резервуаром), это описывается большим каноническим ансамблем. Можно сказать, что значение химического потенциала µ фиксируется электродом, а количество электронов N на теле может колебаться. В этом случае химический потенциал тела - это бесконечно малое количество работы, необходимое для увеличения среднего числа электронов на бесконечно малую величину (даже если количество электронов в любой момент является целым числом, среднее число постоянно изменяется):

  $\mu \; (⟨N⟩,\; T)\; знак\; равно\; (\partial \; F\; \partial \; ⟨N⟩)\; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (\backslash \; left\; \backslash \; langle\; N\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle,\; T)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; N\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\},\}$

  где F (N, T) - функция свободной энергии большой канонической ансамбль.
• Если количество электронов в теле фиксировано (но тело по-прежнему термически связано с термостатом), то оно входит в канонический ансамбль . Мы можем определить «химический потенциал» в этом случае буквально как работу, необходимую для добавления одного электрона к телу, которое уже имеет ровно N электронов,

  $\mu \; \prime \; (N,\; T)\; =\; F\; (N\; +\; 1,\; T)\; -\; F\; (N,\; T),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}(N,\; T)\; =\; F\; (N\; +\; 1,\; T)\; -F\; (N,\; T),\}$

  где F (N, T) - свободная энергия функция канонического ансамбля, альтернативно

  $\mu \; ″\; (N,\; T)\; =\; F\; (N,\; T)\; -\; F\; (N\; -\; 1,\; T)\; =\; \mu \; \prime \; (N\; -\; 1,\; T).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\text{'}\; (N,\; T)\; =\; F\; (N,\; T)\; -F\; (N-1,\; T)\; =\; \backslash \; mu\; \text{'}(N-1,\; T).\}$

Эти химические потенциалы не эквивалентны, µ ≠ µ '≠ µ' ', за исключением термодинамического предела. Это различие важно для небольших систем, например, показывающих кулоновскую блокаду. Параметр µ (т. Е. В том случае, когда количество электронов может колебаться) остается точно связанным с напряжением вольтметра даже в небольших системах. Если быть точным, то уровень Ферми определяется не детерминированным событием зарядки одним зарядом электрона, а скорее статистическим событием зарядки бесконечно малой долей электрона.