Домен (теория кольца)

редактировать

В математике, а точнее в алгебре, домен - это ненулевое кольцо, в котором ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0. (Иногда говорят, что такое кольцо «обладает свойством нулевого произведения ».) Эквивалентно домен является кольцо, в котором 0 является единственным левым делителем нуля (или, что то же самое, единственным правым делителем нуля). Коммутативная область называется областью целостности . Математическая литература содержит множество вариантов определения «области».

Содержание

1 Примеры и не примеры
2 Конструкции областей
3 Групповые кольца и проблема делителя нуля
4 Спектр область целостности
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки

Примеры и не примеры

Кольцо Z/6Zне является областью, потому что изображения 2 и 3 в этом кольце являются ненулевыми элементами с произведением 0. В более общем смысле, для положительного целого числа n кольцо Z/nZявляется областью тогда и только тогда, когда n простое.
Конечная область автоматически становится конечным полем, по маленькой теореме Веддерберна.
кватернионы образуют некоммутативную область. В более общем смысле, любая алгебра с делением является областью, поскольку все ее ненулевые элементы обратимы.
Множество всех целых кватернионов является некоммутативным кольцом, которое является подкольцом кватернионы, следовательно, некоммутативная область.
A кольцо матриц Mn(R) для n ≥ 2 никогда не является областью: если R не равно нулю, такое матричное кольцо имеет ненулевые делители нуля и даже нильпотентные элементы кроме 0. Например, квадрат элемента матрицы E12равен 0.
Тензорная алгебра векторного пространства , или эквивалентно, алгебра многочленов от некоммутирующих переменных над полем, $K ⟨x 1,…, xn⟩, {\ displaystyle \ mathbb {K} \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle, }$ ${\ mathbb {K}} \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle,$ - это домен. Это может быть доказано с помощью упорядочения некоммутативных одночленов.
Если R является областью, а S является расширением Оре R, то S является областью.
Алгебра Вейля - некоммутативная область. В самом деле, это область согласно теореме ниже, поскольку она имеет две естественные фильтрации, по степени производной и по полной степени, и соответствующее градуированное кольцо для любого из них. изоморфна кольцу многочленов от двух переменных.
универсальная обертывающая алгебра любой алгебры Ли над полем является областью. В доказательстве используется стандартная фильтрация на универсальной обертывающей алгебре и теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта.

Конструкции областей

Один из способов доказать, что кольцо является областью, - это показать фильтрацию с особые свойства.

Теорема: Если R является фильтрованным кольцом, связанное с ним градуированное кольцо gr (R) является областью, то само R является областью.

Эту теорему необходимо дополнить анализом градуированного кольца gr (R).

Групповые кольца и проблема делителя нуля

Предположим, что G - это группа, а K - это поле. Групповое кольцо R = K [G] - это домен? Идентификатор

(1 - g) (1 + g +… + gn - 1) = 1 - gn, {\ displaystyle (1-g) (1 + g + \ ldots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n},}

(1-g) (1 + g + \ ldots + g ^ {{n-1}}) = 1-g ^ {n},

показывает, что элемент g конечного порядка n>1 индуцирует делитель нуля 1 - g в R. Задача делителя нуля задает является ли это единственным препятствием; другими словами,

Для поля K и группы без кручения G, правда ли, что K [G] не содержит делителей нуля?

Нет контрпримеров известно, но проблема в целом остается открытой (по состоянию на 2017 год).

Для многих особых классов групп ответ утвердительный. Фаркаш и Снайдер доказали в 1976 г., что если G - почти конечная полициклическая группа без кручения и char K = 0, то групповое кольцо K [G] является областью. Позже (1980 г.) Клифф снял ограничение на характеристику поля. В 1988 г. Крофоллер, Линнелл и Муди обобщили эти результаты на случай разрешимых и почти разрешимых групп без кручения. Ранее (1965) работа Мишеля Лазара, важность которой не оценивалась специалистами в этой области около 20 лет, была посвящена случаю, когда K - кольцо целых p-адических чисел и G является p-й конгруэнтной подгруппой группы GL (n, Z ).

Спектр области целостности

Делители нуля имеют топологическую интерпретацию, по крайней мере, в случае коммутативных колец: кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда оно приведено и его спектр Spec R является неприводимым топологическим пространством. Первое свойство часто считается кодирующим некоторую бесконечно малую информацию, тогда как второе является более геометрическим.

Пример: кольцо k [x, y] / (xy), где k - поле, не является областью, так как изображения x и y в этом кольце являются делителями нуля. Геометрически это соответствует тому факту, что спектр этого кольца, который представляет собой объединение прямых x = 0 и y = 0, не является неприводимым. Действительно, эти две линии являются его неприводимыми компонентами.

См. Также

Примечания

Ссылки

Лам, Цит -Юэнь (2001). Первый курс некоммутативных колец (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0. MR 1838439.
Чарльз Лански (2005). Понятия в абстрактной алгебре. Книжный магазин AMS. ISBN 0-534-42323-X.
Сезар Польчино Милиес; Сударшан К. Сегал (2002). Знакомство с групповыми кольцами. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
Натан Джейкобсон (2009). Основная алгебра И. Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
Луи Халле Роуэн (1994). Алгебра: группы, кольца и поля. А. К. Петерс. ISBN 1-56881-028-8.