Купол (геометрия)

редактировать

Набор куполов
. Пятиугольный купол (пример)
Символ Шлефли	{n} \|\| t {n}
Грани	n треугольники,. n квадраты,. 1 n-угольник,. 1 2n-угольник
Edge	5n
Vertices	3n
Группа симметрии	Cnv, [1, n], (* nn), порядок 2n
Группа вращения	Cn, [1, n], (nn), порядок n
Двойные	?
Свойства	выпуклый

В геометрии, купол представляет собой твердое тело, образованное соединением двух многоугольников, один ( основание) с вдвое большим количеством ребер, чем у другого, чередующейся полосой равнобедренных треугольников и прямоугольников. Если треугольники равносторонние , а прямоугольники квадраты, а основание и противоположная грань - правильные многоугольники, треугольник, квадрат и пятиугольник купола - все они входят в число тел Джонсона и могут быть образованы путем взятия сечений кубооктаэдра, ромбокубооктаэдра и ромбикосододекаэдр соответственно.

Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников свернут пополам путем слияния альтернативных вершин.

Куполу можно присвоить удлиненный символ Шлефли {n} || t {n}, представляющий правильный многоугольник {n}, соединенный параллелью его усечения, t {n} или {2n}.

Купола являются подклассом призматоидов.

Его двойник содержит форму, которая является своего рода сварным швом между половиной n-стороннего трапецоэдра и 2n-сторонним пирамида.

Содержание

1 Примеры
2 Координаты вершин
3 Звезда-купола
4 Антикупола
5 Гиперкупола
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Примеры

Семейство выпуклых купол [
v
t
]
n	2	3	4	5	6
Имя	{2} \|\| t {2}	{3} \|\| t {3}	{4} \|\| t {4}	{5} \|\| t {5}	{6} \|\| t {6}
Купол	. Двухугольный купол	. Треугольный купол	. Квадратный купол	. Пятиугольный купол	.. (Плоский)
Связанные. однородные. многогранники	Треугольная призма.	Кубоокта-. эдр.	Ромби-. кубокта-. эдр.	Ромб-. икосидодека-. эдр.	Ромби-. трехгексагональный. мозаика.

Плоскость «шестиугольник купола» в ромбитрихексагональной мозаике

Вышеупомянутые три многогранника являются единственными нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями: "шестиугольный купол »- это плоская фигура, а треугольная призма может считаться« куполом »степени 2 (купол линейного сегмента и квадрата). Однако купола многоугольников более высокой степени могут быть построены с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Координаты вершин

40-гранный купол имеет 40 равнобедренных треугольников (синие), 40 прямоугольников (желтые), верхний правильный 40-угольник (красный) и нижний. обычный 80-угольник (скрытый).

Определение купола не требует, чтобы основание (или сторона, противоположная основанию, которую можно назвать вершиной), было правильным многоугольником, но Удобно рассмотреть случай, когда купол имеет максимальную симметрию, C nv. В этом случае вершина представляет собой правильный n-угольник, а основание - это либо правильный 2n-угольник, либо 2n-угольник, у которого чередуются две разные длины сторон и те же углы, что и у правильного 2n-угольника. Систему координат удобно зафиксировать так, чтобы основание лежало в плоскости xy, а верх - в плоскости, параллельной плоскости xy. Ось z - это ось n-го сгиба, а плоскости зеркала проходят через ось z и делят пополам стороны основания. Они также либо делят пополам стороны или углы верхнего многоугольника, либо и то, и другое. (Если n четно, половина зеркальных плоскостей делит пополам стороны верхнего многоугольника и половину пополам углы, а если n нечетное, каждая зеркальная плоскость делит пополам одну сторону и один угол верхнего многоугольника.) Вершины основания могут быть обозначены от V 1 до V 2n, а вершины верхнего многоугольника могут быть обозначены от V 2n + 1 до V 3n. С помощью этих соглашений координаты вершин можно записать как:

V2j − 1 : (r b cos [2π (j - 1) / n + α], r b sin [2π (j - 1) / n + α], 0)
V2j: (r b cos (2πj / n - α), r b sin (2πj / n - α), 0)
V2n + j : (r t cos (πj / n), r t sin (πj / n), h)

где j = 1, 2,..., n.

Поскольку многоугольники V 1V2V2n + 2 V 2n + 1 и т. Д. Являются прямоугольниками, это накладывает ограничение на значения r b, r t и α. Расстояние V 1V2равно

rb{[cos (2π / n - α) - cos α] + [sin (2π / n - α) - sin α]}

= r b {[cos (2π / n - α) - 2cos (2π / n - α) cos α + cos α] + [sin (2π / n - α) - 2sin (2π / n - α) sin α + sin α]}

= r b {2 [1 - cos (2π / n - α) cos α - sin (2π / n - α) sin α]}

= r b {2 [1 - cos (2π / n - 2α)]}

, а расстояние V 2n + 1 V 2n + 2 равно

rt{[cos (π / n) - 1] + sin (π / n)}

= r t {[cos ( π / n) - 2cos (π / n) + 1] + sin (π / n)}

= r t {2 [1 - cos (π / n)]}.

Они должны быть равны, и если это общее ребро обозначено s,

rb= s / {2 [1 - cos (2π / n - 2α)]}

rt= s / {2 [ 1 - cos (π / n)]}

Эти значения должны быть вставлены в выражения для координат вершин, данные ранее.

Звезда-купола

Семейство звездо-куполов
н / д	4	5	7	8
3	. {4/3}	. {5/3}	. {7/3}	. {8/3}
5	—	—	. {7/5}	. {8/5}

Семейство звездчатых куплоидов
⁄d	3	5	7
2	. Перекрещенный треугольный куплоид	. Пентаграмматический куплоид	. Гептаграмматический куплоид
4	—	. Перекрещенный пятиугольный куплоид	. Перекрещенный гептаграмматический куплоид

Звездчатые купола существуют для всех оснований {n / d}, где / 5< /d< 6 and d is odd. At the limits the cupolae collapse into plane figures: beyond the limits the triangles and squares can no longer span the distance between the two polygons. When d is even, the bottom base {2n/d} becomes degenerate: we can form a cuploid or semicupola by withdrawing this degenerate face and instead letting the triangles and squares connect to each other here. In particular, the тетрагемигексаэдр может рассматриваться как {3/2} -куплоид. Все купола ориентируемы, а куплоиды все неориентируемы. Когда n / d>2 в куплоиде, треугольники и квадраты не покрывают все основание, и в основании остается небольшая мембрана, которая просто закрывает пустое пространство. Следовательно, куплоиды {5/2} и {7/2}, изображенные выше, имеют мембраны (не заполненные), тогда как куплоиды {5/4} и {7/4}, изображенные выше, не имеют.

Высота h {n / d} -куполки или куплоида определяется по формуле $h = 1 - 1 4 sin 2 ⁡ (π dn) {\ displaystyle h = {\ sqrt { 1 - {\ frac {1} {4 \ sin ^ {2} ({\ frac {\ pi d} {n}})}}}}}$ $h = { \ sqrt {1 - {\ frac {1} {4 \ sin ^ {{2}} ({\ frac {\ pi d} {n}})}}}}$ . В частности, h = 0 в пределах n / d = 6 и n / d = 6/5, а h максимизируется при n / d = 2 (треугольная призма, где треугольники расположены вертикально).

На изображениях выше звездным куполам дана согласованная цветовая схема, чтобы помочь идентифицировать их лица: базовый n / d-угольник красный, основание 2n / d-угольник желтый, квадраты синие, треугольники зеленые. У куплоидов основание n / d-угольник красное, квадраты - желтые, а треугольники - синие, так как другое основание было удалено.

Антикупола

Набор антикупол
. Пятиугольный пример
символ Шлефли	s {n} \|\| t {n}
Лица	3n треугольники. 1 n-угольник,. 1 2n-угольник
Ребра	6n
Вершины	3n
Группа симметрии	Cnv, [1, n], (* nn), порядок 2n
Группа вращения	Cn, [1, n], (nn), порядок n
Двойные	?
Свойства	выпуклые

n-угольная антикупола построена из правильного 2n-угольного основания, 3n треугольников двух типов и правильного n -кональный верх. При n = 2 верхняя грань двуугольника сводится к единственному ребру. Вершины верхнего многоугольника выровнены с вершинами нижнего многоугольника. Симметрия C nv, порядок 2n.

Антикупола не может быть построена со всеми правильными гранями, хотя некоторые могут быть сделаны регулярными. Если верхний n-угольник и треугольники правильные, то основание 2n-угольника не может быть плоским и правильным. В таком случае n = 6 образует правильный шестиугольник и окружающие равносторонние треугольники курносой шестиугольной мозаики, которая может быть замкнута в многоугольник нулевого объема с основанием в виде симметричного 12-угольника, имеющего форму большего шестиугольника., имеющий смежные пары коллинеарных ребер.

Две антикуполы могут быть увеличены вместе на их основе как a.

Семейство выпуклых антикупол
n	2	3	4	5	6...
Имя	s {2} \|\| t {2}	s {3} \|\| t {3}	s {4} \|\| t {4}	s {5} \|\| t {5}	s {6} \|\| t {6}
Изображение	. Дигонал	. Треугольник	. Квадрат	. Пятиугольник	. Шестиугольник
Прозрачный
Сетка

Гиперкуполы

hypercupolae или многогранные купола представляют собой семейство выпуклых неоднородных полихор (здесь четырехмерных фигур), аналогичных куполам. Основание каждого из них - это Платоново твердое тело и его расширение.

Имя	Тетраэдрический купол		Кубический купол		Восьмигранный купол		Додекаэдрический купол
Символ Шлефли	{3,3} \|\| rr {3,3}		{4,3} \|\| rr {4,3}		{3,4} \|\| rr {3,4}		{5,3} \|\| rr {5,3}		{6,3} \|\| rr {6,3}
Segmentochora. index	K4.23		K4.71		K4.107		K4.152
радиус окружности	1		sqrt ((3 + sqrt (2)) / 2). = 1,485634		sqrt (2 + sqrt (2)). = 1,847759		3 + sqrt (5). = 5.236068
Изображение
Концевые ячейки
Вершины	16		32		30		80		∞
Края	42		84		84		210		∞
Грани	42	24 {3} + 18 {4}	80	32 {3} + 48 {4}	82	40 {3} + 42 {4}	194	80 {3} + 90 {4} + 24 {5}	∞
Ячейки	16	1 тетраэдр. 4 треугольные призмы. 6 треугольные призмы. 4 треугольные пирамиды. 1 кубооктаэдр	28	1 куб. 6 квадратные призмы. 12 треугольные призмы. 8 треугольные пирамиды. 1 ромбокубооктаэдр	28	1 октаэдр. 8 треугольные призмы. 12 треугольные призмы. 6 квадратные пирамиды. 1 ромбокубооктаэдр	64	1 додек аэдр. 12 пятиугольных призм. 30 треугольных призм. 20 треугольных пирамид. 1 ромбикосододекаэдр	∞	1 шестиугольная мозаика. ∞ гексагональные призмы. ∞ треугольные призмы. ∞ треугольные пирамиды. 1 ромбитрихексагональная мозаика
Связанная. однородная. полихора	5-ячеечная.		рунцинированная тессеракта.		ранцинированная 24 -ячейка.		многогранник из 120 клеток.		многогранник с гексагональной мозаикой.

См. также

Ссылки

Johnson, NW Выпуклые многогранники с правильными гранями. Можно. J. Math. 18, 169–200, 1966.

Внешние ссылки