Алгебра композиции

В математике, алгебра композиции A над полем K является необязательно ассоциативной алгеброй над K вместе с невырожденной квадратичной формой N, которая удовлетворяет

$N\; (xy)\; =\; N\; (x)\; N\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (xy)\; =\; N\; (x)\; N\; (y)\}$

для всех x и y в A.

Композиционная алгебра включает инволюцию, называемую сопряжением : $x\; \mapsto \; x\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; x\; ^\; \{*\}.\}$Квадратичная форма $N\; (x)\; =\; xx\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (x)\; \backslash \; =\; \backslash \; xx\; ^\; \{*\}\}$называется нормой алгебры.

Композиционная алгебра (A, ∗, N) является либо алгеброй с делением, либо расщепленной алгеброй, в зависимости от существования ненулевого v в A такой, что N (v) = 0, называемый нулевым вектором . Когда x не является нулевым вектором, мультипликативный обратный x равен $x\; \ast \; N\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{*\}\}\; \{N\; (x)\}\}\; \backslash .\}$Когда есть ненулевой нулевой вектор, N является изотропной квадратичной формой, и «алгебра расщепляется».

• 1 Теорема о структуре
• 2 Примеры и использование
• 3 История
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Каждую унитальную композиционную алгебру над полем K можно получить повторным применением конструкции Кэли-Диксона, начиная с K (если характеристика поля K отличается от 2) или 2-мерную композиционную подалгебру (если char (K) = 2). Возможные размерности композиционной алгебры - 1, 2, 4 и 8.

• Одномерные композиционные алгебры существуют только тогда, когда char (K) ≠ 2.
• Композиционные алгебры размерностей 1 и 2 коммутативны. и ассоциативны.
• Композиционные алгебры размерности 2 являются либо расширениями квадратичных полей поля K, либо изоморфны K ⊕ K.
• Композиционные алгебры размерности 4 называются кватернионные алгебры. Они ассоциативны, но не коммутативны.
• Композиционные алгебры размерности 8 называются алгебрами октонионов. Они не являются ни ассоциативными, ни коммутативными.

Для согласованной терминологии алгебры размерности 1 называются унарионами, а алгебры размерности 2 - бинарионами.

Когда поле K является взятые как комплексные числа Cи квадратичная форма z, тогда четыре композиционные алгебры над C суть само C, бикомплексные числа, бикватернионы (изоморфные 2 × 2 комплексному матричному кольцу M (2, C )) и биоктонионам C⊗ O, которые также являются называются сложными октонионами.

Матричное кольцо M (2, C ) долгое время было объектом интереса, сначала как бикватернионы Гамильтон (1853), позже в изоморфной матричной форме, и особенно как алгебра Паули.

. функция возведения в квадрат N (x) = x в поле вещественных чисел образует изначальную композиционную алгебру. Если в качестве поля K взять действительные числа R, тогда имеется всего шесть других реальных композиционных алгебр. В двух, четырех и восьми измерениях есть как алгебра деления, так и «разделенная алгебра»:

бинарионы: комплексные числа с квадратичной формой x + y и разделенные комплексные числа с квадратичной формой x - y,

кватернионы и разделенные кватернионы,

октонионы и разделенные октонионы.

Каждая композиционная алгебра имеет связанную билинейную форму B (x, y), построенный с нормой N и поляризационным тождеством :

$B\; (x,\; y)\; =\; [N\; (x\; +\; y)\; -\; N\; (x)\; -\; N\; (y)]\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x,\; y)\; \backslash \; =\; \backslash \; [N\; (x\; +\; y)\; -N\; (x)\; -N\; (y)]\; /\; 2.\}$

Состав сумм квадратов было отмечено несколькими ранними авторами. Диофант знал об идентичности, включающей сумму двух квадратов, которая теперь называется тождеством Брахмагупты – Фибоначчи, которое также сформулировано как свойство евклидовых норм комплексных чисел при умножении. Леонард Эйлер обсуждал тождество четырех квадратов в 1748 году, и это привело к У. Р. Гамильтон построить свою четырехмерную алгебру кватернионов. В 1848 году были описаны тессарины, дающие первый свет бикомплексным числам.

Около 1818 года датский ученый Фердинанд Деген продемонстрировал восьмиквадратную идентичность Дегена, которая впоследствии была связана с нормами элементов алгебры октонион :

Исторически сложилось так, что первая неассоциативная алгебра, числа Кэли... возникла в контексте теоретико-числовой проблемы квадратичных форм, допускающих композицию... этот теоретико-числовой вопрос может быть преобразован в вопрос, касающийся некоторых алгебраических систем, композиционные алгебры...

В 1919 Леонард Диксон продвинул исследование проблемы Гурвица с обзором усилий, предпринятых на тот момент, и продемонстрировав метод удвоения кватернионов чтобы получить числа Кэли. Он ввел новую мнимую единицу e, а для кватернионов q и Q записал число Кэли q + Qe. Обозначая кватернион, сопряженный через q ′, произведение двух чисел Кэли равно

$(q\; +\; Q\; e)\; (r\; +\; R\; e)\; =\; (q\; r\; -\; R\; \prime \; Q)\; +\; (R\; q\; +\; Q\; r\; \prime )\; e.\; \{\backslash \; displaystyle\; (q\; +\; Qe)\; (r\; +\; Re)\; =\; (qr-R\text{'}Q)\; +\; (Rq\; +\; Qr\; \text{'})\; e.\}$

Сопряжение числа Кэли - q' - Qe, и квадратичная форма - это qq ′ + QQ ′, полученное умножением числа на его сопряженное. Метод удвоения получил название конструкция Кэли – Диксона.

В 1923 году случай вещественных алгебр с положительно определенной формой был ограничен теоремой Гурвица (композиционные алгебры).

В 1931 году Макс Цорн ввел гамму (γ) в правило умножения в конструкции Диксона для генерации сплит-октонионов. Адриан Альберт также использовал гамму в 1942 году, когда он показал, что удвоение Диксона можно применить к любому полю с помощью функции возведения в квадрат для построения бинарных, кватернионных и октонионных алгебр с их квадратичными формами. Натан Якобсон описал автоморфизмы композиционных алгебр в 1958 году.

Классические композиционные алгебры над R и C являются унитальными алгебрами. Композиционные алгебры без мультипликативного тождества были найдены H.P. Петерссон (алгебры Петерссона ) и Сусуму Окубо (алгебры Окубо ) и другие.

• Магический квадрат Фрейденталя
• Форма Пфистера
• Триальность

В Викиучебнике есть книга на следующие темы: Алгебра ассоциативной композиции

• Фараут, Жак; Кораньи, Адам (1994). Анализ на симметричных конусах. Оксфордские математические монографии. Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк. С. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. MR 1446489.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки. Перспективы в математике. 9 . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002.

=== !!! == Знак равно <2>{\ displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr-R <2><3>{\ displaystyle {\ frac {x ^ {*}} {N (x)}} \. } <3><4>N (ху) = N (x) N (y) <4><5>{\ displaystyle N (x) \ = \ xx ^ {*}} <5><6>{\ displaystyle B (x, y) \ = \ [N (x + y) -N (x) -N (y)] / 2.} <6><7>{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {*}. } <7>html