Магический квадрат Фройденталя

редактировать

А \ Б	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$	${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ $\ mathbb {H}$	${\ displaystyle \ mathbb {O}}$ $\ mathbb {O}$
${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$	А 1	А 2	C 3	П 4
${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$	А 2	А 2 × А 2	А 5	E 6
${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ $\ mathbb {H}$	C 3	А 5	D 6	E 7
${\ displaystyle \ mathbb {O}}$ $\ mathbb {O}$	П 4	E 6	E 7	E 8

В математике, то Freudenthal квадрат магии (или Фройденталь-Сиськи магический квадрат) представляет собой конструкцию, в отношении нескольких алгебр Ли (и связанные с ними группы Ли ). Он назван в честь Ганса Фройденталя и Жака Титса, которые независимо разработали эту идею. Он связывает алгебру Ли с парой деления алгебры A, B. Полученные алгебры Ли имеют диаграммы Дынкина согласно таблице справа. «Магия» магического квадрата Фрейденталя состоит в том, что построенная алгебра Ли симметрична относительно A и B, несмотря на то, что исходная конструкция не является симметричной, хотя симметричный метод Винберга дает симметричную конструкцию.

Магический квадрат Фрейденталя включает в себя все исключительные группы Ли, кроме G 2, и предоставляет один из возможных подходов для обоснования утверждения о том, что «все исключительные группы Ли существуют благодаря октонионам »: G 2 сам по себе является группой автоморфизмов октонионов. (Кроме того, это во многом похоже на классическую группу Ли, потому что это стабилизатор общей 3-формы на 7-мерном векторном пространстве - см. предоднородное векторное пространство ).

СОДЕРЖАНИЕ

1 Конструкции
- 1.1 Подход Титса
- 1.2 Симметричный метод Винберга
- 1.3 Триальность
2 Обобщения
- 2.1 Расщепляемые композиционные алгебры
- 2.2 Произвольные поля
- 2.3 Более общие йордановы алгебры
- 2.4 Симметричные пространства
3 История
- 3.1 Проективные плоскости Розенфельда
- 3.2 Магический квадрат
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

Конструкции

Смотрите историю для контекста и мотивации. Первоначально они были построены примерно в 1958 году Фройденталем и Титсом, а в более поздние годы последовали более элегантные формулировки.

Подход Сиськи

Подход Титса, открытый примерно в 1958 г. и опубликованный в ( Tits 1966), заключается в следующем.

Связанные с любым нормированном реальным разделением алгебры А (т.е., R, С, Н или О) есть алгебра Джордан, J 3 (), 3 × 3 А - эрмитовы матрицы. Для любой пары ( A, B) таких алгебр с делением можно определить алгебру Ли

{\ Displaystyle L = \ left ({\ mathfrak {der}} (A) \ oplus {\ mathfrak {der}} (J_ {3} (B)) \ right) \ oplus \ left (A_ {0} \ otimes J_ {3} (B) _ {0} \ right)}

{\ Displaystyle L = \ left (\ mathfrak {der} (A) \ oplus \ mathfrak {der} (J_3 (B)) \ right) \ oplus \ left (A_0 \ otimes J_3 (B) _0 \ right)}

где обозначает алгебру Ли дифференцирования алгебры, а индекс 0 обозначает след свободной части. Алгебра Ли L имеет в качестве подалгебры, и она действует естественным образом на. Скобка Ли на (которая не является подалгеброй) не очевидна, но Титс показал, как ее можно определить, и что она дала следующую таблицу компактных алгебр Ли. ${\ displaystyle {\ mathfrak {der}}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {der}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {der}} (A) \ oplus {\ mathfrak {der}} (J_ {3} (B))}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {дер} (А) \ oplus \ mathfrak {дер} (J_3 (B))}$ ${\ displaystyle A_ {0} \ otimes J_ {3} (B) _ {0}}$ ${\ displaystyle A_0 \ otimes J_3 (B) _0}$ ${\ displaystyle A_ {0} \ otimes J_ {3} (B) _ {0}}$ ${\ displaystyle A_0 \ otimes J_3 (B) _0}$

	B	р	C	ЧАС	О
А	дер (A / B)	0	0	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sp} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}$ ${\ mathfrak {g}} _ {2}$
р	0	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {3}}$ $\ mathfrak {so} _3$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _3}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sp} _3}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _4}$
C	0	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _3}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {3} \ oplus {\ mathfrak {su}} _ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {су} _3 \ oplus \ mathfrak {су} _3}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {6}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _6}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6}}$ ${\ mathfrak {e}} _ {6}$
ЧАС	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sp} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sp} _3}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {6}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _6}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {12}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _7}$
О	${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}$ ${\ mathfrak {g}} _ {2}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _4}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6}}$ ${\ mathfrak {e}} _ {6}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _7}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {8}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _8}$

По построению строка таблицы с A = R дает, и аналогично наоборот. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {der}} (J_ {3} (B))}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {der} (J_3 (B))}$

Симметричный метод Винберга

«Магия» магический квадрат Фрейденталь, что построенная алгебра Ли симметрична A и B. Это не очевидно из конструкции Титса. Эрнест Винберг дал явно симметричную конструкцию в ( Винберг, 1966). Вместо того, чтобы использовать алгебру Джордана, он использует алгебру косоэрмитовых бесследовых матриц с элементами в A ⊗ B, обозначаемые. Винберг определяет структуру алгебры Ли на ${\ displaystyle {\ mathfrak {sa}} _ {3} (A \ otimes B)}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sa} _3 (A \ otimes B)}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {der}} (A) \ oplus {\ mathfrak {der}} (B) \ oplus {\ mathfrak {sa}} _ {3} (A \ otimes B).}

{\ displaystyle \ mathfrak {der} (A) \ oplus \ mathfrak {der} (B) \ oplus \ mathfrak {sa} _3 (A \ otimes B).}

Когда A и B не имеют производных (т.е. R или C), это просто скобка Ли (коммутатор) на. При наличии дифференцирований они образуют подалгебру, действующую естественным образом, как в конструкции Титса, а свободная от следов коммутаторная скобка на модифицируется выражением со значениями в. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sa}} _ {3} (A \ otimes B)}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sa} _3 (A \ otimes B)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sa}} _ {3} (A \ otimes B)}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sa} _3 (A \ otimes B)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sa}} _ {3} (A \ otimes B)}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sa} _3 (A \ otimes B)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {der}} (A) \ oplus {\ mathfrak {der}} (B)}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {дер} (А) \ oplus \ mathfrak {дер} (В)}$

Триальность

Более поздняя конструкция, созданная Пьером Рамоном ( Рамонд, 1976) и Брюсом Эллисоном ( Эллисон, 1978) и развитая Крисом Бартоном и Энтони Садбери, использует тройственность в форме, разработанной Джоном Фрэнком Адамсом ; это было представлено в ( Бартон и Садбери, 2000), а в упрощенной форме - в ( Бартон и Садбери, 2003). В то время как конструкция Винберга основана на группах автоморфизмов алгебры с делением A (или, скорее, их алгебрах дифференцирований Ли), Бартон и Садбери используют группу автоморфизмов соответствующей тройственности. Триальность - это трилинейная карта

{\ Displaystyle A_ {1} \ times A_ {2} \ times A_ {3} \ to \ mathbf {R}}

{\ displaystyle A_1 \ times A_2 \ times A_3 \ to \ mathbf R}

полученный путем взятия трех копий алгебры деления A и использования скалярного произведения на A для дуализации умножения. Группа автоморфизмов - это подгруппа в SO ( A 1) × SO ( A 2) × SO ( A 3), сохраняющая это трилинейное отображение. Обозначается Tri ( A). В следующей таблице сравнивается ее алгебра Ли с алгеброй Ли выводов.

А:	р	C	ЧАС	О
${\ Displaystyle {\ mathfrak {der}} (А)}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {дер} (А)}$	0	0	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sp} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}$ ${\ mathfrak {g}} _ {2}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {tri}} (А)}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {три} (А)}$	0	${\ Displaystyle {\ mathfrak {u}} _ {1} \ oplus {\ mathfrak {u}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak u_1 \ oplus \ mathfrak u_1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {1} \ oplus {\ mathfrak {sp}} _ {1} \ oplus {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _1 \ oplus \ mathfrak {sp} _1 \ oplus \ mathfrak {sp} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {8}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _8}$

Бартон и Садбери затем отождествляют алгебру Ли магических квадратов, соответствующую ( A, B), со структурой алгебры Ли на векторном пространстве

{\ displaystyle {\ mathfrak {tri}} (A) \ oplus {\ mathfrak {tri}} (B) \ oplus (A_ {1} \ otimes B_ {1}) \ oplus (A_ {2} \ otimes B_ { 2}) \ oplus (A_ {3} \ otimes B_ {3}).}

{\ displaystyle \ mathfrak {tri} (A) \ oplus \ mathfrak {tri} (B) \ oplus (A_1 \ otimes B_1) \ oplus (A_2 \ otimes B_2) \ oplus (A_3 \ otimes B_3). }

Скобка Ли совместима с градуировкой Z 2 × Z 2, с tri ( A) и tri ( B) в степени (0,0), и тремя копиями A ⊗ B в степенях (0,1), (1, 0) и (1,1). Скобка сохраняет tri ( A) и tri ( B), и они действуют естественным образом на трех копиях A ⊗ B, как и в других конструкциях, но скобки между этими тремя копиями более ограничены.

Например, когда A и B - октонионы, тройственность соответствует Spin (8), двойное покрытие SO (8), а описание Бартона-Садбери дает

{\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {8} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {8} \ oplus {\ widehat {\ mathfrak {so}}} _ {8} \ oplus (V \ otimes {\ widehat {V}}) \ oplus (S _ {+} \ otimes {\ widehat {S}} _ {+}) \ oplus (S _ {-} \ otimes {\ widehat {S}} _ {-}) }

{\ displaystyle \ mathfrak e_8 \ cong \ mathfrak {so} _8 \ oplus \ widehat {\ mathfrak {so}} _ 8 \ oplus (V \ otimes \ widehat V) \ oplus (S _ + \ otimes \ widehat S _ +) \ oplus (S _- \ otimes \ widehat S_-)}

где V, S + и S - являются тремя 8-мерными представлениями (фундаментальное представление и два спиновых представления ), а объекты со шляпой являются изоморфной копией. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {8}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _8}$

Что касается одной из оценок Z 2, первые три слагаемых объединяются, чтобы дать, а последние два вместе образуют одно из ее спиновых представлений Δ + ¹²⁸ (верхний индекс обозначает размерность). Это хорошо известно симметричное разложение по E8. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {16}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {16}}$

Конструкция Бартона – Садбери распространяет это на другие алгебры Ли в магическом квадрате. В частности, для исключительных алгебр Ли в последней строке (или столбце) симметрические разложения таковы:

{\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {9} \ oplus \ Delta ^ {16}}

{\ displaystyle \ mathfrak f_4 \ cong \ mathfrak {so} _9 \ oplus \ Delta ^ {16}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6} \ cong ({\ mathfrak {so}} _ {10} \ oplus {\ mathfrak {u}} _ {1}) \ oplus \ Delta ^ {32} }

{\ Displaystyle \ mathfrak e_6 \ cong (\ mathfrak {so} _ {10} \ oplus \ mathfrak u_1) \ oplus \ Delta ^ {32}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7} \ cong ({\ mathfrak {so}} _ {12} \ oplus {\ mathfrak {sp}} _ {1}) \ oplus \ Delta _ {+} ^ {64}}

{\ Displaystyle \ mathfrak e_7 \ cong (\ mathfrak {so} _ {12} \ oplus \ mathfrak {sp} _1) \ oplus \ Delta _ + ^ {64}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {8} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {16} \ oplus \ Delta _ {+} ^ {128}.}

{\ displaystyle \ mathfrak e_8 \ cong \ mathfrak {so} _ {16} \ oplus \ Delta _ + ^ {128}.}

Обобщения

Расщепленные композиционные алгебры

В дополнение к нормированным алгебрам с делением существуют другие алгебры композиции над R, а именно расщепленные комплексные числа, расщепленные кватернионы и расщепленные октонионы. Если использовать их вместо комплексных чисел, кватернионов и октонионов, получится следующий вариант магического квадрата (где разделенные версии алгебр с делением обозначены тире).

А \ Б	р	C '	ЧАС'	О '
р	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {3}}$ $\ mathfrak {so} _3$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf R)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {6} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _6 (\ mathbf R)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _ {4 (4)}}$
C '	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf R)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {R}) \ oplus {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf R) \ oplus \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf R)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {6} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _6 (\ mathbf R)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6 (6)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {6 (6)}}$
ЧАС'	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {6} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _6 (\ mathbf R)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {6} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _6 (\ mathbf R)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {6,6}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {6,6}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7 (7)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {7 (7)}}$
О '	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _ {4 (4)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6 (6)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {6 (6)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7 (7)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {7 (7)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {8 (8)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {8 (8)}}$

Здесь все алгебры Ли представляют собой расщепленную вещественную форму, за исключением so 3, но изменение знака в определении скобки Ли может использоваться для получения расщепленной формы so 2,1. В частности, для исключительных алгебр Ли максимальные компактные подалгебры следующие:

Раздельная форма	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _ {4 (4)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6 (6)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {6 (6)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7 (7)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {7 (7)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {8 (8)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {8 (8)}}$
Максимально компактный	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {3} \ oplus {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _3 \ oplus \ mathfrak {sp} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sp} _4}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {8}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _8}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {16}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {16}}$

Несимметричная версия магического квадрата также может быть получена путем объединения расщепленных алгебр с обычными алгебрами с делением. Согласно Бартону и Садбери, результирующая таблица алгебр Ли выглядит следующим образом.

А \ Б	р	C	ЧАС	О
р	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {3}}$ $\ mathfrak {so} _3$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _3}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sp} _3}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _ {4}}$
C '	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf R)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {C})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf C)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {H})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf H)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6 (-26)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _ {6 (-26)}}$
ЧАС'	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {6} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _6 (\ mathbf R)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {3,3}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _ {3,3}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {6} ^ {} (\ mathbf {H})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {так} ^ _ 6 (\ mathbf H)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7 (-25)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _ {7 (-25)}}$
О '	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4 (4)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _ {4 (4)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6 (2)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {6 (2)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7 (-5)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {7 (-5)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {8 (-24)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _ {8 (-24)}}$

Возникающие здесь вещественные исключительные алгебры Ли снова можно описать их максимальными компактными подалгебрами.

Алгебра Ли	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6 (2)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {6 (2)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6 (-26)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _ {6 (-26)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7 (-5)}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {7 (-5)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7 (-25)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _ {7 (-25)}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {8 (-24)}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _ {8 (-24)}}$
Максимально компактный	${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} _ {6} \ oplus {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {su} _6 \ oplus \ mathfrak {sp} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {f} _4}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {12} \ oplus {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {су} _ {12} \ oplus \ mathfrak {sp} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6} \ oplus {\ mathfrak {u}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _6 \ oplus \ mathfrak {u} _1}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {7} \ oplus {\ mathfrak {sp}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {e} _7 \ oplus \ mathfrak {sp} _1}$

Произвольные поля

Разрезные формы композиции алгебры и алгебры Ли могут быть определены над любым полем K. Это дает следующий магический квадрат.

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {3} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {так} _3 (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {6} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _6 (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {4} (\ mathbf K)}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {K}) \ oplus {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf K) \ oplus \ mathfrak {sl} _3 (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {6} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _6 (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {е}} _ {6} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {6} (\ mathbf K)}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {6} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _6 (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {6} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _6 (\ mathbf K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {12} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {так} _ {12} (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {е}} _ {7} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {7} (\ mathbf K)}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {4} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {4} (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {е}} _ {6} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {6} (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {е}} _ {7} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {7} (\ mathbf K)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {е}} _ {8} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {е} _ {8} (\ mathbf K)}$

Здесь есть некоторая двусмысленность, если K не алгебраически замкнуто. В случае K = C это комплексификация магических квадратов Фрейденталя для R, обсуждавшаяся до сих пор.

Более общие йордановы алгебры

Обсуждаемые до сих пор квадраты связаны с йордановыми алгебрами J 3 ( A), где A - алгебра с делением. Существуют также йордановы алгебры J n ( A) для любого натурального числа n, если A ассоциативна. Они дают расщепленные формы (над любым полем K) и компактные формы (над R) обобщенных магических квадратов.

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {n} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {так} _n (\ mathbf K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbf {K}) {\ text {или}} {\ mathfrak {su}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _n (\ mathbf K) \ text {или} \ mathfrak {su} _n}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbf {K}) {\ text {или}} {\ mathfrak {sp}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _ {2n} (\ mathbf K) \ text {или} \ mathfrak {sp} _n}$
${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbf {K}) {\ text {или}} {\ mathfrak {su}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _n (\ mathbf K) \ text {или} \ mathfrak {su} _n}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbf {K}) \ oplus {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbf {K}) {\ text {или}} {\ mathfrak {su}} _ {n} \ oplus {\ mathfrak {su}} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {sl} _n (\ mathbf K) \ oplus \ mathfrak {sl} _n (\ mathbf K) \ text {or} \ mathfrak {su} _n \ oplus \ mathfrak {su} _n}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2n} (\ mathbf {K}) {\ text {или}} {\ mathfrak {su}} _ {2n}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _ {2n} (\ mathbf K) \ text {или} \ mathfrak {su} _ {2n}}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbf {K}) {\ text {или}} {\ mathfrak {sp}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sp} _ {2n} (\ mathbf K) \ text {или} \ mathfrak {sp} _n}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2n} (\ mathbf {K}) {\ text {или}} {\ mathfrak {su}} _ {2n}}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {sl} _ {2n} (\ mathbf K) \ text {или} \ mathfrak {su} _ {2n}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {4n} (\ mathbf {K})}$ ${\ Displaystyle \ mathfrak {так} _ {4n} (\ mathbf K)}$

При n = 2 J 2 ( O) также является йордановой алгеброй. В компактном случае (над R) это дает магический квадрат ортогональных алгебр Ли.

А \ Б	р	C	ЧАС	О
р	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _2}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {3}}$ $\ mathfrak {so} _3$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {5}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _5}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {9}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _9}$
C	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {3}}$ $\ mathfrak {so} _3$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _4}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {6}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _6}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {10}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {10}}$
ЧАС	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {5}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _5}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {6}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _6}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {8}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _8}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {12}}$
О	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {9}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _9}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {10}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {10}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {12}}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {16}}$ ${\ displaystyle \ mathfrak {so} _ {16}}$

Последняя строка и столбец здесь являются частью ортогональной алгебры алгебры изотропии в симметрическом разложении исключительных алгебр Ли, упомянутых ранее.

Эти конструкции тесно связаны с эрмитовыми симметричными пространствами - ср. предоднородные векторные пространства.

Симметричные пространства

Римановы симметрические пространства, как компактные, так и некомпактные, могут быть равномерно классифицированы с помощью конструкции магического квадрата в ( Huang amp; Leung 2010). Неприводимые компактные симметрические пространства, вплоть до конечных покрытий, либо компактная группа Ли просто, грассмановом, A Лагранжев грассманиан, или двойным Лагранжев грассманиан подпространств для нормированного деления алгебры A и B. Аналогичная конструкция дает неприводимые некомпактные симметрические пространства. ${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) ^ {n},}$ $({\ mathbf A} \ otimes {\ mathbf B}) ^ {n},$

История

Проективные плоскости Розенфельда

После открытия Рут Муфанг в 1933 году проективной плоскости Кэли или «октонионной проективной плоскости» P ² ( O), группа симметрии которой является исключительной группой Ли F 4, и с учетом того, что G 2 является группой автоморфизмов октонионов, Розенфельд (1956) предложил, что оставшиеся исключительные группы Ли E 6, E 7 и E 8 являются группами изоморфизмов проективных плоскостей над некоторыми алгебрами над октонионами:

в биоктонионы,C⊗O,
в кватероктонионы,H⊗O,
в octooctonions,O⊗O.

Это предложение привлекательно, поскольку существуют некоторые исключительные компактные римановы симметрические пространства с желаемыми группами симметрии и размерность которых совпадает с размерностью предполагаемых проективных плоскостей (dim ( P ² ( K ⊗ K ′)) = 2 dim ( K) dim ( K ′)), и это дало бы единообразную конструкцию исключительных групп Ли как симметрий естественных объектов (т. Е. Без априорного знания исключительных групп Ли). Римановы симметрические пространства были классифицированы Картаном в 1926 году (метки Картана используются в дальнейшем); подробности см. в классификации, и соответствующие поля:

октонионной проективная плоскость - FII, размер 16 = 2 × 8, F 4 симметрии, Кэли проективная плоскость Р ² ( О),
bioctonionic проективная плоскость - EIII, размер 32 = 2 × 2 × 8, Е 6 симметрии, Комплексифицированное Кэли проективная плоскость, Р ² ( С ⊗ O),
"quateroctonionic проективная плоскость "- ИЭУ, размер 64 = 2 × 4 × 8, Е7симметрии,Р²(Н⊗O),
"октооктонионная проективная плоскость »- EVIII, размерность 128 = 2 × 8 × 8,симметрияE8,P²(O⊗O).

Сложность этого предложения состоит в том, что, хотя октонионы являются алгеброй с делением, и, таким образом, над ними определена проективная плоскость, биоктонионы, кватероктонионы и октооктонионы не являются алгебрами с делением, и, таким образом, обычное определение проективной плоскости не работает. Это может быть разрешено для биоктонионов, в результате чего проективная плоскость является комплексифицированной плоскостью Кэли, но конструкции не работают для кватероктонионов и октооктонионов, и рассматриваемые пространства не подчиняются обычным аксиомам проективных плоскостей, поэтому цитаты на «(предполагаемая) проективная плоскость». Однако касательное пространство в каждой точке этих пространств можно отождествить с плоскостью ( H ⊗ O) ² или ( O ⊗ O) ^{2, что} еще раз подтверждает интуицию, что они являются формой обобщенной проективной плоскости. Соответственно, полученные пространства иногда называют проективными плоскостями Розенфельда и обозначают, как если бы они были проективными плоскостями. В более широком смысле, эти компактные формы являются эллиптическими проективными плоскостями Розенфельда, а двойственные некомпактные формы - это гиперболические проективные плоскости Розенфельда. Более современное изложение идей Розенфельда можно найти в ( Rosenfeld 1997), а краткое замечание об этих «плоскостях» - в ( Besse 1987, стр. 313–316).

Пространства могут быть построены с использованием теории зданий Титса, которая позволяет строить геометрию с любой заданной алгебраической группой в качестве симметрии, но для этого нужно начинать с групп Ли и строить из них геометрию, а не строить геометрию независимо от знание групп Ли.

Магический квадрат

В то время как на уровне многообразий и групп Ли, построение проективной плоскости P ² ( K ⊗ K ') два нормированных алгебр с делением не работает, соответствующая конструкция на уровне алгебр Ли делает работу. То есть, если разложить алгебру Ли инфинитезимальных изометрий проективной плоскости P ² ( K) и применить тот же анализ к P ² ( K ⊗ K ′), можно использовать это разложение, которое выполняется, когда P ² ( K ⊗ K ′) на самом деле можно определить как проективную плоскость, как определение «алгебры Ли магического квадрата» M ( K, K ′). Это определение чисто алгебраическое и выполняется даже без предположения о существовании соответствующего геометрического пространства. Это было независимо сделано примерно в 1958 году в ( Титс, 1966) и Фройденталем в серии из 11 статей, начиная с ( Freudenthal, 1954a) и заканчивая ( Freudenthal, 1963), хотя упрощенная конструкция, описанная здесь, принадлежит ( Vinberg 1966).

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Адамс, Джон Франк (1996). Махмуд, Зафер; Мимура, Мамора (ред.). Лекции об исключительных группах Ли. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-00527-0.
Эллисон, Б.Н. (1978). «Структурируемые алгебры». Математика. Энн. 237 (2): 133–156. DOI : 10.1007 / bf01351677. S2CID 120322064.
Баэз, Джон С. (2002). «Октонионы». Бюллетень Американского математического общества. 39 (2): 145–205. arXiv : математика / 0105155. DOI : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. ISSN 0273-0979. Руководство по ремонту 1886087. S2CID 586512. - 4.3: Волшебный квадрат
Баэз, Джон С. (2005). "Исправления для Octonions " (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 42 (2): 213–214. DOI : 10.1090 / S0273-0979-05-01052-9.
Бартон, Швейцария; Садбери, А. (2000). «Магические квадраты алгебр Ли». arXiv : математика / 0001083.
Бартон, Швейцария; Садбери, А. (2003). «Магические квадраты и матричные модели алгебр Ли». Успехи в математике. 180 (2): 596–647. arXiv : math.RA / 0203010. DOI : 10.1016 / S0001-8708 (03) 00015-X. S2CID 119621987.
Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна. Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-15279-8.
Фройденталь, Ганс (1954a). "Beziehungen der E 7 und E 8 zur Oktavenebene. I". Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 16: 218–230. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (54) 50032-6. Руководство по ремонту 0063358.
Фройденталь, Ганс (1954b). "Beziehungen der E 7 und E 8 zur Oktavenebene. II". Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 16: 363–368. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (54) 50045-4. Руководство по ремонту 0068549.
Фройденталь, Ганс (1955a). "Beziehungen der E 7 und E 8 zur Oktavenebene. III". Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 17: 151–157. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50020-5. Руководство по ремонту 0068550.
Фройденталь, Ганс (1955b). "Beziehungen der E 7 und E 8 zur Oktavenebene. IV". Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 17: 277–285. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50039-4. Руководство по ремонту 0068551.
Фройденталь, Ганс (1959). "Beziehungen der E 7 und E 8 zur Oktavenebene. V – IX". Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 21: 165–201, 447–474. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (59) 50019-0.
Фройденталь, Ганс (1963). "Beziehungen der E 7 und E 8 zur Oktavenebene. X, XI". Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 25: 457–471, 472–487. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (63) 50046-8. Руководство по ремонту 0163203.
Фройденталь, Ганс (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
Фройденталь, Ганс (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Geometriae Dedicata, 19: 7–63, doi : 10.1007 / bf00233101, S2CID 121496094 (перепечатка статьи 1951 г.)
Хуанг, Юндон; Леунг, Найчунг Конан (30 июля 2010 г.). «Единообразное описание компактных симметрических пространств как грассманианов с использованием магического квадрата» (PDF). Mathematische Annalen. 350 (май 2011 г.): 79–106. DOI : 10.1007 / s00208-010-0549-8. S2CID 121427210.
Ландсберг, Дж. М.; Манивел, Л. (2001). «Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя». Журнал алгебры. 239 (2): 477–512. arXiv : math.AG/9908039. DOI : 10.1006 / jabr.2000.8697. S2CID 16320642.
Постников М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V, Мир
Рамон, Пьер (декабрь 1976 г.). Введение в исключительные группы и алгебры Ли (доклад). Пасадена: Калифорнийский технологический институт. CALT-68-577.
Розенфельд, Борис А. (1956). «[Геометрическая интерпретация компактных простых групп Ли класса E ]». Докл. Акад. АН СССР. 106: 600–603.
Розенфельд, Борис А. (1997). Геометрия групп Ли. Математика и ее приложения. 393. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. xviii + 393. ISBN 978-0-7923-4390-5.
Титс, Жак (1966). «Альтернативы Альжебра, алгебры Жордана и исключительные алгебры Ли » [Альтернативные алгебры, йордановы алгебры и исключительные алгебры Ли]. Indagationes Mathematicae (на французском языке). 28: 223–237. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (66) 50028-2. MR 0219578.
Винберг, Е.Б. (1966). «[Построение исключительных простых алгебр Ли]». Труды сем. Vekt. Тенз. Анальный. (на русском). 13: 7–9.
Винберг, Е.Б. (2005). «Построение исключительных простых алгебр Ли». Амер. Математика. Soc. Пер. 213: 241–242.
Йокота, Ичиро (1985). «Несимметрия магического квадрата Фрейденталя». J. Fac. Sci. Shinshu Univ. 20: 13.